(完整版)导数与定积分

专题：导数和定积分基础题1．下列求导运算正确的是（）A．（x）′=1 B．（x2cosx）′=﹣2xsinxC．（3x）′=3x log3e D．（log2x）′=2．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣65．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣36．定积分12201sin sin2xxdx e xdxπ-+⎰⎰的值等于（）A．142p- B．142p+ C．124p- D．12p-8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）9．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）A．e B．﹣e C． D．﹣10．f（x）=ax+sinx是R上的增函数，则实数a的范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．[1，+∞）、11．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，若g（x）=．则g′（1）=（）A． B．﹣ C．﹣ D．212．已知f （x ）=x 2+sin ，f′（x ）为f （x ）的导函数，则f′（x ）的图象是（ ）13．已知f （x ）=x 3﹣ax 2+4x 有两个极值点x 1、x 2，且f （x ）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．14．设点P 是曲线233x y e x =-+上的任意一点，P 点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．),32[ππ B ．),32[)2,0[πππY C ．),65[)2,0[πππY D ．)65,2[ππ 15．下列4个不等式：（1）故dx ＜； （2）sinxdx ＜cosxdx ； （3）e ﹣x dx ＜e dx ； （4）sinxdx ＜xdx ．能够成立的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+f′（x ）＞1，f （0）=4，则不等式e x f （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D ．（3，+∞）17．已知函数f （x ）对定义域R 内的任意x 都有f （x ）=f （4﹣x ），且当x≠2时其导函数f′（x ）满足（x ﹣2）f′（x ）＞0，若2＜a ＜4则（ ）A ．f （2a ）＜f （3）＜f （log 2a ）B ．f （log 2a ）＜f （3）＜f （2a ）C ．f （3）＜f （log 2a ）＜f （2a ）D ．f （log 2a ）＜f （2a ）＜f （3）18．定义在R 上的函数()f x 满足()41f ＝，()f x '为()f x 的导函数，已知函数()y f x '＝的图象如图所示．若两正数a b ，满足1(2)f a b <＋，则22b a ++的取值范围是（ ）19．已知函数f （x ）=x 3+2x 2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ．20．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx （a ，b ∈R ）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a 的值为 ．21．已知函数f （x ）=f′（）cosx+sinx ，则f （）的值为 ． 23．已知函数32()33f x x ax bx =++在2x =处有极值，其图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=，则()f x 的极大值与极小值之差为 ．24．函数()22, 0,4,02,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，则()22f x dx -⎰的值为 ．25．已知函数1()ln +f x x x =，若对任意的)1+1,2x ⎡⎡⎤⎣⎣⎦∈∞∈，及m ，不等式2()m 22f x tm ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围是_____．参考答案 1．D【解析】试题分析：根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．解：A ．（x+）′=1﹣，∴A 错误． B ．（x 2cosx ）′=﹣2xsinx ﹣x 2sinx ，∴B 错误． C ．（3x ）′=3x ln3，∴C 错误．D ．（log 2x ）′=，正确．故选：D ．考点：导数的运算．2．D【解析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a ﹣1=2，∴a=3．故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3．B【解析】试题分析：a ax x dx a x -=-=-⎰232121212）（；212sin 212cos 4040==⎰ππx xdx ，两定积分相等，则12321=⇒-=a a ，故本题的正确选项为B. 考点：定积分的计算.4．B【解析】试题分析：根据=[4×]=4（ ）=4f′（x 0），利用条件求得结果．解：∵f′（x 0）=﹣3，则 =[4×]=4（ ）=4f′（x 0）=4×（﹣3）=﹣12，故选：B ．考点：导数的运算．5．C【解析】试题分析：根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a ，b ，c 的关系，即可得到结论． 解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x ）=0的两个根，∵f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d ，∴f′（x ）=3ax 2+2bx+c ，由f′（x ）=3ax 2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2， 即c=﹣6a ，2b=﹣3a ，即f′（x ）=3ax 2+2bx+c=3ax 2﹣3ax ﹣6a=3a （x ﹣2）（x+1）， 则===﹣5，故选：C考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．6．A【解析】试题分析：因为函数sin x y e x =是奇函数，所以11sin 0x e xdx -=⎰，所以xdx e dx x x sin 2sin 1122⎰⎰-+π 201cos 11(sin )22220ππx dx x x -==-⎰11(sin )042242πππ=--=-．故选A ． 考点：微积分基本定理．7．B【解析】试题分析：首先对f （x ）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x ），最后将x=0代入即可．解：因为f′（x ）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x ）=2x+2f′（1）=2x ﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选B ．考点：导数的运算．8．C【解析】试题分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．考点：函数的单调性与导数的关系．9．C【解析】试题分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．考点：导数的几何意义．10．D【解析】试题分析：求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．解：∵f（x）=ax+sinx是R上的增函数，∴f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a+cosx≥0，即a≥﹣cosx，∵﹣1≤﹣cosx≤1，∴a≥1，故选：D考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．11．A【解析】试题分析：求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=，∵g （x ）=，∴g′（x ）=，则g′（1）===，故选：A ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．12．A【解析】试题分析：先化简f （x ）=x 2+sin =x 2+cosx ，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案．解：由f （x ）=x 2+sin =x 2+cosx ， ∴f′（x ）=x ﹣sinx ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ．又f″（x ）=﹣cosx ，当﹣＜x ＜时，cosx ＞，∴f″（x ）＜0， 故函数y=f′（x ）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C ．故选：A ．考点：函数的单调性与导数的关系；函数的图象．13．A【解析】试题分析：求导函数，利用f （x ）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，可得f′（x ）=0的两个根中：x 1∈（0，1），x 2＞1，由此可得结论．解：由题意，f′（x ）=3x 2﹣2ax+4∵f （x ）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，∴f′（x ）=0的两个根中：x 1∈（0，1），x 2＞1∴f′（0）=4＞0，f′（1）=7﹣2a ＜0，解得故选A ．考点：函数在某点取得极值的条件．14．B【解析】试题分析：由已知'3x y e =，所以tan 33xαe =->，因为[0,)απ∈,所以2[0,)(,)23ππαπ U ．故选B ． 考点：导数的几何意义，直线的倾斜角，正切函数的性质．15．D 【解析】试题分析：利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出．解：（1）由于x ∈（0，1），∴，∴dx ＜；（2）∵，∴sinx ＜cosx ，∴sinxdx ＜cosxdx ；（3）∵，∴e ﹣x dx ＜e dx ； （4）令f （x ）=x ﹣sinx ，x ∈[0，2]，则f′（x ）=1﹣cosx≥0，∴sinxdx ＜xdx ． 综上可得：正确的命题有4个．故选：D ．考点：微积分基本定理．16．A【解析】试题分析：构造函数g （x ）=e x f （x ）﹣e x ，（x ∈R ），研究g （x ）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解：设g （x ）=e x f （x ）﹣e x ，（x ∈R ），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）﹣e x =e x [f （x ）+f′（x ）﹣1]，∵f （x ）+f′（x ）＞1，∴f （x ）+f′（x ）﹣1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，∵e x f （x ）＞e x +3，∴g （x ）＞3，又∵g （0）═e 0f （0）﹣e 0=4﹣1=3，∴g （x ）＞g （0），∴x ＞0故选：A ．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．17．B【解析】试题分析：由函数的性质得到函数的对称轴，再由（x ﹣2）f'（x ）＞0得到函数的单调区间，由函数的单调性得到要证得结论．解：函数f （x ）对定义域R 内任意x 都有f （x ）=f （4﹣x ），即函数图象的对称轴是x=2∵（x ﹣2）f'（x ）＞0∴x ＞2时，f'（x ）＞0，x ＜2时，f'（x ）＜0即 f （x ）在（﹣∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增∵2＜a ＜4∴∴． 故选B ．考点：导数的运算．18．D【解析】试题分析：由导数的图像可知，当()0,∞-∈x 时，函数是单调递减函数，当()+∞∈,0x 时，函数是单调递增函数，所以当0,0>>b a 时，只需满足42<+b a 时，求22++a b 的取值范围，看成线性规划问题，即⎪⎩⎪⎨⎧<+>>4200b a b a 时，求22++=a b z 的取值范围，如图，可行域为如图阴影部分，目标函数表示可行域内的点和()22--，D 连线的斜率的取值范围，可知()02，B ,()40，C ,斜率的最小值是()()212220=----=BD k ,()()32024=----=CD k ,所以斜率的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛321，，故选D.考点：1.导数的基本应用；2.线性规划.【方法点睛】本题考查了导数的基本应用与线性规划的简单综合，属于中档题型，本题的一个难点是平时做线性规划的问题都是关于y x ,的约束条件和目标函数，现在是关于b a ,的式子，所以首先要打破做题习惯的束缚，第二个难点是给出导数的图像，要会分析原函数的单调性，根据函数的单调性会解不等式()()412f b a f =<+，将此不等式转化为关于b a ,的不等式组，即约束条件，理解22++=a b z 表示的几何意义，问题就变得简单了. 19．﹣1≤a＜7【解析】试题分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a 的值，由于函数f （x ）=x 3+2x 2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解：由题意，f′（x ）=3x 2+4x ﹣a ，当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f （x ）=x 3+2x 2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a ＜7，当a=﹣1时，f′（x ）=3x 2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x ）=3x 2+4x ﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，则a 的取值范围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．考点：函数在某点取得极值的条件．20．-3【解析】试题分析：由图可知f （x ）=0得到x 的解确定出b 的值，确定出f （x ）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a 的方程求出a 并判断a 的取舍即可． 解：由图知方程f （x ）=0有两个相等的实根x 1=x 2=0，于是b=0，∴f （x ）=x 2（x+a ），有， ∴a=±3．又﹣a ＞0⇒a ＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．考点：定积分．21．1【解析】试题分析：利用求导法则：（sinx ）′=cosx 及（cosx ）′=﹣sinx ，求出f′（x ），然后把x 等于代入到f′（x ）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f （x ）后，把x=代入到f （x ）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f （）的值．解：因为f′（x ）=﹣f′（）×sinx+cosx 所以f′（）=﹣f′（）×sin +cos解得f′（）=﹣1 故f （）=f′（）cos +sin =（﹣1）+=1 故答案为1．考点：导数的运算；函数的值．22．7(3,)2【解析】试题分析：由题意得，()32213f x x x ax =-+-的导数为()222f x x x a '=-+，由题意可得2223x x a -+=，即22230x x a -+-=有两个不等的正根，则48(3)0a ∆=-->，1210x x +=，121(3)02x x a =->，解得732a <<． 考点：利用导数研究函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及导数的几何意义、导数在函数问题中应用，着重考查了二次方程实数根的分布，以及韦达定理的运用，同时考查了运算能力和分析、解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，求出函数()f x 的导数，由题意可转化为方程22230x x a -+-=有两个不等的正根，运用判别式和韦达定理列出条件，即可求解实数a 的取值范围．23．4【解析】试题分析：因为2()363f x x ax b '=++，又()f x 在2x =处有极值，所以(2)0f '=，由图象在1x =处的切线平行于直线6250x y ++=知(1)3f '=-，联立方程(2)121230(1)36a 3b 3f a b f '=++=⎧⎨'=++=-⎩解得：1a =-，0b =，所以2()363(2)f x x x x x '=-=-，所以极大值为(0)0f =，极小值为(2)4f =-，即()f x 的极大值与极小值之差为4，所以答案应填：4．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数研究函数的单调性． 24．6π+【解析】试题分析：当20x -≤≤时，0202-21(2)(2)|2x dx x x --=-=⎰6，当02x ≤≤时，204x dx -⎰2124ππ=⨯⨯=，所以()226f x dx π-=+⎰，所以答案应填：6π+．考点：不定积分．25．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：由题意得，2211()ln +()x x f x x f x x -⇒'==，可判断函数()f x 在区间1(0,)2单调递减；在区间1(,)2+∞单调递增，所以函数()f x 在区间)1+⎡⎣∞，单调递增，所以min ()(1)1f x f ==，所以2,11,2m 22tm ⎡⎤⎣⎦∈≥-+m ，即2m 210tm -+≤，即(1)05(2)04g t g ≤⎧⇒≥⎨≤⎩，所以实数t 的取值范围是5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 考点：利用导数求闭区间上的函数的最值；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题主要考查了了利用导数在闭区间上的最值和利用导数研究函数的极值，着重考查了导数的应用、不是的恒成立问题，是一道综合试题，难度较大，属于难题，本题的解答中，函数()f x 在区间)1+⎡⎣∞，单调递增，得min ()(1)1f x f ==，则2,11,2m 22tm ⎡⎤⎣⎦∈≥-+m ，即2m 210tm -+≤，列出不等式组，求解实数m 的范围．。