第1章概率论

第1章 教材习题同步解析

1. 掷一粒骰子的试验,观察出现的点数,事件A 表示“出现偶数点”；B 表示“出现点数小于4”；

C 表示“出现小于5的奇数点”．用集合的列举法表示下列事件：Ω,A ,B ,C ,B A ,B A -,A B -,AB ,AC ,B A ．

解 {}6,5,4,3,2,1=Ω； {}6,4,2=A ； {}3,2,1=B ； {}3,1=C ； {}6,4,3,2,1=B A ； {}6,4=-B A ； {}3,1=-A B ； {}2=AB ； φ=AC ；

{}5,3,2,1=B A ．

2.说出下列各对事件A 与B 之间的关系： (1){}{}0,1A x B x =≥=>; (2){}{}0,0A x B x =≥=<; (3){}{}0,1A x B x =≥=≤-;

(4)A 为“3次投篮全投中”,B 为“3次投篮恰有一次未投中”; (5)A 为“3次投篮全投中”,B 为“3次投篮至少一次未投中”; (6)A 为“3次投篮全投中”,B 为“3次投篮最多一次未投中”. 解 (1)B A ⊂;

(2)既是互不相容事件又是对立事件; (3) 互不相容事件; (4)互不相容事件; (5) 对立事件; (6) A B ⊂;

3.化简下列各式： (1)()A A B B - ;

(2)()()()A B A B A B ; (3)()()()A B B A A B -- . 解 (1)()A A B B - =A B ; (2)由随机事件的分配律，有

()()()()()A B A B A B A B B A B =

()()A A B =∅ ()()A A A B = A B = ;

(3)由随机事件的交换律与分配律，有

()()()()()()A B B A A B A B B A A B --=

()()A B B B A =

()A B A =

()()A B A A = A B = .

4.在某学院学生中任选一名学生,A 表示选中的是女生,B 表示选中的是大一新生,C 表示选中的是08奥运精神宣传员.

（1）说明事件ABC 的意义.

（2）在什么条件下AC C =成立？ （3）何时B C B = 成立？

解 （1）ABC 表示选中的是女的08奥运精神宣传员,但她不是大一新生. （2）AC C =表示该学院的女生都是08奥运精神宣传员.

（3）B C B = 表示该学院08奥运精神宣传员都是大一新生.

5．一个工人生产了4个零件,用事件i A 分别表示他生产的第(1,2,3,4)i i =个零件是正品.用i A 表示下列事件：

（1）四个零件都是正品; （2）至少有一个零件是正品; （3）恰有一个零件是正品; （4）至少有一个零件不是正品. 解 （1）四个零件都是正品表示为1234A A A A ;

（2）至少有一个零件是正品表示为1234A A A A ;

（3）恰有一个零件是正品表示为1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A +++; （4）至少有一个零件不是正品表示为1234A A A A . 6.已知11

()()(),()(),()0416

P A P B P C P AC P BC P AB ===

===,求,,A B C 全不发生的概率与,,A B C 至少有一个发生的概率与.

解 ,,A B C 全不发生这一事件可表示为ABC .()0P AB =，则()0P ABC =.

由德摩根律与加法公式，有

()1()P ABC P A B C =-

1[()()()()()()()]P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =-++----

1111131[0]44416168

=-++--+=.

,,A B C 至少有一个发生这一事件可表示为A B C .

5

()1().8

P A B C P ABC =-=

7.设(),()P A p P B q ==,()P A B r = ,求()p AB .

解 由()()()P A P AB P AB =+，可知

()()()P AB P A P AB =-()[()()()]P A P A P B P A B r q =-+-=- .

8.在100个产品中有70个一等品,20个二等品,10个废品．规定一、二等品都是合格品,求这批产品的合格率．

解 设事件A 表示合格品.12,A A 分别表示一等品与二等品.显然事件12,A A 互不相容,并且

12A A A = ,

由可数可加性,可得

12127020()()()()0.9100100

P A P A A P A P A ==+=

+= . 故产品的合格率为0.9.

9．一箱中有12件同类产品,其中10件正品,2件次品.求:

（1）先后有放回地依次取出两件产品, 都是正品的概率以及刚好一件正品和一件次品 的概率;

（2）先后无放回地依次取出两件产品, 都是正品的概率以及刚好一件正品和一件次品 的概率.

解 记事件A 为 “取出的两件产品都是正品”,事件B 为 “取出的两件产品一件正品 和一件次品”.

（1）从12件产品中先后有放回地依次取出两件,不同的取法共有11

1212C C ⋅种,使事件A 发生的取法为111010

C C ⋅种,使事件B 发生的取法为11102C C ⋅种,从而 11

101011121225

()36C C P A C C ⋅==⋅,

111021112125

()36

C C P B C C ⋅==⋅;

（2）从12件产品中先后无放回地依次取出两件,不同的取法共有11

1211C C ⋅种,使事件A 发生的取法为11109C C ⋅种,取出的第一件是正品第二件是次品的取法为11102C C ⋅种,取出的第一件是次品第二件是正品的取法为11210

C C ⋅种从而 11

10911121115

()22C C P A C C ⋅==

⋅, 1110211121110

()233

C C P B C C ⋅=⨯=⋅.

10．设有5张10元的、3张30元的和2张50元的戏票,任意抽取3张,求： （1）其中至少有2张是同价格的概率)(A P ； （2）3张票价共值70元的概率)(B P ．

解 （1）事件A 的对立事件为：A ＝“抽取的3张戏票价格皆不相同”. 任意抽取3张，共

有310C 种抽法，事件A 发生的基本事件总数为111532

C C C ⋅⋅，于是有 111

532

3

10

()1()10.75C C C P A P A C ⋅⋅=-=-=. （2）任意抽取3张，共有3

10C 种抽法.

3张票价共值70元的组合方式有两种：1张50元的加上2张10元的； 1张10元的、2张30

元的.所以事件B 发生共有1212

2553C C C C +种.因此

1212

25533

107

()24

C C C C P B C +==.