高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A

3.1不等关系与不等式

[提出问题]

在日常生活中，我们经常看到下列标志：

问题1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？

提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；

②限制重量：装载总重量G不得超过10 t；

③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；

④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m；

⑤时间范围：t∈[7.5,10]．

问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？

提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.

[导入新知]

不等式的概念

我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．

[化解疑难]

1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．

2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换

[提出问题]

实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．

问题1：怎样判断两个实数a，b的大小？

提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，

则a

问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？

提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．

[导入新知]

比较两个实数a，b大小的依据

[化解疑难]

1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．

2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．

[提出问题]

问题1：若a>b，b>c，则a>c，对吗？为什么？

提示：正确．∵a>b，b>c，

∴a－b>0，b－c>0.

∴(a－b)＋(b－c)>0，即a－c>0.

∴a>c.

问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？

提示：正确．∵a＞b，

∴a－b＞0，

∴a＋c－b－c＞0，

即a ＋c ＞b ＋c .

问题3：若a ＞b ，则ac ＞bc ，对吗？试举例说明．

提示：不一定正确．若a ＝2，b ＝1，c ＝2时正确．c ＝－2时不正确． [导入新知] 不等式的性质

(1)对称性：a >b ⇔b b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c . 推论(同向可加性)：

⎭

⎪⎬⎪

⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d .

(4)可乘性：

⎭

⎪⎬⎪

⎫a >b c >0⇒ac >bc ；

⎭

⎪⎬⎪

⎫a >b c <0⇒ac

推论(同向同正可乘性)：

⎭

⎪⎬⎪

⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd .

(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n

>b n

(n ∈N *

，n ≥1)． (6)正数开方性：a >b >0⇒n

a >n

b (n ∈N *，n ≥2)．

[化解疑难]

1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．

[例1] 9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．

[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．由题意得

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ≤9，

10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤

y ≤7，x ∈N ，y ∈N ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ≤9，

5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N.

[类题通法]

用不等式表示不等关系的方法

(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．

(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．

[活学活用]

用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；

(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.

解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v ≤80. (2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.

(3)⎩

⎪⎨

⎪⎧

f ≤2.5%，

p ≥2.3%.

[例2] (1)x 2

＋3与2x ；

(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3

＋b 3

与a 2

b ＋ab 2

的大小． [解] (1)(x 2

＋3)－2x ＝x 2

－2x ＋3 ＝()x －12

＋2≥2＞0，

∴x 2

＋3＞2x .

(2)(a 3

＋b 3

)－(a 2

b ＋ab 2

)＝a 3

＋b 3

－a 2

b －ab 2

＝a 2

(a －b )－b 2

(a －b )＝(a －b )(a 2

－b 2

)＝(a －b )2

(a ＋b )．

∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2

＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3

＋b 3

)－(a 2

b ＋ab 2

)＞0，