高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A
高中数学 第3章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学
3.1 不等关系与不等式学习目标核心素养1.了解不等式的性质．(重点)2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)通过学习用不等式表示不等关系、比较两数(式)的大小及不等式的性质，培养学生的逻辑推理素养．1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a 不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．3．比较两实数a，b大小的依据思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a>b⇔b<a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c性质3(可加性)a >b ⇒a ＋c >b ＋c 推论 a ＋b >c ⇒a >c －b 性质4(可乘性)a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc性质5(不等式同向可加性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 性质6(不等式同向正数可乘性)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 性质7(乘方性) a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) 性质8(开方性)a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？ (1)a >b 且c >d ，则a －c >b －d . (2)a >b ，则ac >bc . (3)a >b >0，且c >d >0则a c >b d. (4)a >b >0，则a n >b n. (5)a >b ，则a c 2>b c2.[提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错． (2)中当c ≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则54>31是错的，故(3)错．(4)中对n ≤0均不成立，例如a ＝3，b ＝2，n ＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错． (5)因为1c 2>0，所以a ·1c 2>b ·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5).1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥40 C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.] 2．已知a >b ，c >d ，且cd ≠0，则( ) A.ad >bcB ．ac >bcC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [a ，b ，c ，d 的符号未确定，排除A 、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C 项，故选D 项．]3．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－bC [法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法． 令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2， 即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a <b <0， ∴a >－b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .]4．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是 ．m ≥n [m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.]用不等式表示不等关系【例1】 用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m).因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．[跟进训练]1．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .比较两数(式)的大小【例2】 已知a ，b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． 思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解] 法一：(作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab．∵a ，b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号). 法二：(作商法)b a ＋ab a ＋b＝（b ）3＋（a ）3ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a ＋b －ab ）ab （a ＋b ）＝a ＋b －abab＝ （a －b ）2＋ab ab ＝1＋（a －b ）2ab≥1，当且仅当a ＝b 时取等号．∵b a ＋ab>0，a ＋b >0， ∴b a ＋ab≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号). 法三：(平方后作差)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a 2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2－(a ＋b )2＝（a ＋b ）（a －b ）2ab . ∵a >0，b >0， ∴（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号).1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于 1.[跟进训练]2．(1)已知|a |＜1，比较11＋a与1－a 的大小． (2)若m >2，比较m m与2m的大小．[解] (1)由|a |＜1，得－1＜a ＜1.∴1＋a ＞0，1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a2， ∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . (2)因为m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m，又因为m >2，所以m2>1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >⎝ ⎛⎭⎪⎫m 20＝1，所以m m >2m.不等式性质的应用 [探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8， ∴－2<a b<4.你认为正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．【例3】 已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.思路探究：①如何证明c a <c b？②由c a <c b 怎样得到c －a a <c －bb？ [证明] ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.由⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c >0⇒c a <c b ，⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a <c －b bc －a >0c －b >0a >0b >0⇒a c －a >b c －b .1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“a >b >0，c <0”证明：c a >cb.[证明] 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“已知－6<a <8，2<b <3”如何求出2a ＋b ，a －b 及a b的取值范围．[解] 因为－6<a <8，2<b <3， 所以－12<2a <16， 所以－10<2a ＋b <19.又因为－3<－b <－2，所以－9<a －b <6.又13<1b <12，(1)当0≤a <8时，0≤a b<4； (2)当－6<a <0时，－3<a b<0.由(1)(2)得－3<a b<4.1．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a >b 及c >d ，推不出ac >bd ；由a >b ，推不出a 2>b 2等．(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．1．判断正误(1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2.( ) (2)若a <b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确． ( ) (3)若a >b ，则ac >bc 一定成立． ( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d . ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×[提示] (1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2.(2)正确．不等式a ≤b 表示a <b 或a ＝b .故若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a >b ，则ac >bc 不一定成立．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2.满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b . 2．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <abC [因为a <b ，故b －a >0，所以1a 2b －1ab2＝b －a a 2b 2>0，故1a 2b >1ab 2.]3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为 ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45 [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45.] 4．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. [证明] 因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd.。
高中数学3.1不等关系与不等式教案新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式（第一课时）【教课目的】1. 经过详细情境让学生感觉和体验现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，鼓舞学生用数学看法进行察看、概括、抽象，使学生感觉数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．成立不等看法，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．认识不等式或不等式组的实质背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实质问题。
【要点难点】要点 :１. 经过详细的问题情形，让学生领会不等量关系存在的广泛性及研究的必需性。
２.用不等式或不等式组表示实质问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组关于刻画不等关系的意义和价值。
难点 :1.用不等式或不等式组正确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实质问题。
【方法手段】1.采纳研究法，依据阅读、思虑、沟通、剖析，抽象概括出数学模型，从详细到抽象再从抽象到详细的方法进行启迪式教课。
2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和踊跃性。
【教课过程】教学教师活动学生活动设计企图环节导平时生活中，同学们发现了哪些实例 1. 某天的天气预告报导，最指引学生想生入数目关系。
你能举出一些例子高气温 35℃，最低气温 29℃。
活中的例子和新吗？实例 2. 若一个数是非负数，则这学过的数学中课个数大于或等于零。
的例子。
在老师实例 3. 两点之间线段最短。
的指引下，学生实例 4. 三角形两边之和大于第一定会迫不及三边，两边之差小于第三边。
待的能说出很多个例子来。
即活跃了讲堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
推同学们所举的这些例子联系了同学们仔细观看显示屏幕上老让学生们边看进现实生活，又考虑到数学上常有师所举的例子。
边思虑：生活中新的数目关系，特别好。
并且大家有很多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等的描绘能够采关系与不等式》，所举的实例都用不等的数目是反应不等量的关系。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高中数学 第三章 3.1不等关系与不等式导学案新人教A版必修5
§3.1 不等关系与不等式 课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立．(2)符号表示a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质(1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a >n b .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>ab >aC.a b >a >ab 2 D.ab >ab 2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n. ∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小． 解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．。
2021学年高中数学第三章不等式3.1第1课时不等关系与比较大小学案含解析人教A版必修5.doc
第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<，≤，>，≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中，我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈[7.5,10]．(2)①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. 知识点二比较两实数a，b大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形？提示：一般地，对差式分解因式或配方．4．比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．提示：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝[x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322]＋3－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34≥34>0，所以x 2＋3>3x .类型一 用不等式(组)表示不等关系[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表：食物甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700维生素B/(单位/kg) 800 400单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ，y 所满足的不等关系．[分析] 根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．[解] x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )(单位)，含有维生素B(800x ＋400y )(单位)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(第1课时)教案新人教A版必修5
3.1不等关系与不等式（1）一、教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式 :本课采用“探究——发现"教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线",即（一）知识技能线（二）过程与方法线（三)能力线.“抓两点”，即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点。
学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程三、典例分析： 例 1 例1、试比较下列各组数的大小,其中x R ∈(1）(1)(5)x x ++与2(3)x +;（2）61x +与42x x +； (3)a b a b 与b a a b ,其中,0,,R a b a b >∈且。
（2)61x +42()x x -+6421x x x =--+422(1)(1)x x x =---24(1)(1)x x =--222(1)(1)x x =-+当1x =±时, 61x +42()x x =+； 当1x ≠±,61x +42()x x >+. （3) a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
高中数学 (3.1.1 不等关系与不等式(一)示范教案 新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜. 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究 开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2 不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答） ［过程引导］师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或c b c a ＜)；a ＞b 且c ＞0ac ＞bc (或c b c a ＞).性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0ac ＜bc (或c b c a ＜). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数.师 很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞b⇒a-b＞0.它的逆命题是否正确？生显然正确.师类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a＞b⇒a-b＞0;a=b⇒a-b=0;a＜b⇒a-b＜0.师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了.师很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)［合作探究］【问题1】已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与b a 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴b a b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b )=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)［合作探究］【问题2】求证：（1）a＞b且c＞0 ac＞bc；（2）a＞b a+c＞b+c.师请同学们思考第一小问该如何证明？生可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.师这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.师这位同学证明得是否正确？生正确.师这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路） 师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c .师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c＞.师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a ＞b ,b ＞c a ＞c ;a＞b,b＞c ⇒a-b＞0,b-c＞0⇒ (a-b)+(b-c)＞0⇒a-c＞0a＞c.（2）a＞b a+c＞b+c;a＞b⇒a-b＞0⇒ (a-b)+(c-c)＞0⇒ (a+c)-(b+c)＞0⇒a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0⇒ac＞bc;a＞b,c＞0⇒a-b＞0,c＞0⇒ (a-b)c＞0⇒ac-bc＞0⇒ac＞bc.（4）a＞b,c＜0⇒ac＜bc.a＞b,c＜0⇒a-b＞0,c＜0⇒ (a-b)c＜0⇒ac-bc＜0⇒ac＜bc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.板书设计不等关系与不等式（二）引入方法引导方法归纳不等式和实数的基本性质实例剖析（知识方法应用）小结示范解题。
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
人教A版高中数学必修5第三章不等式3.1不等关系与不等式导学案(1)
※ 知识拓展
（ 1）对一切都成立的条件为
（ 2）对一切都成立的条件为
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：
1. 已知方程的两根为，且，若，则不等式的解为
（ ）.
A．R
B
．
C．或 D ．无解
变式：求下列不等式的解集 . （ 1）； （ 2） .
归纳：这是一个关于 x 的一元二次不等式，最终归
.
精品文档
例 2 求不等式的解集 .
小结：解一元二次不等式的步骤： （1）将原不等式 化为一般式 . （ 2）判断的符号 . （ 3）求方程的根 . （ 4）根据图象写解集 . ※ 动手试试 练 1. 求不等式的解集 .
※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：
1. 函数的定义域是（
）.
A．或 B ．
C．或 D ．
2. 不等式的解集是（
）.
A．[2 ， 4] B ．
C．R
D
．
3. 集合 A=，
B=，则 =（ ） .
A．或
B．且
C．{1 ， 2， 3， 4}
D．或
（ 1）作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论
（ 2）作商法的一般步骤：
作商——变形——与 1 比较大小——定论
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：
1. 若，，则与的大小关系为（
高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面 之间的距离为 d，Ｂ为平面 上任意一点，则点Ａ与平面 的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克， 配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药 至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新人教A版必修5(2021年最新整理)
2017-2018学年高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式学案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式学案新人教A版必修5的全部内容。
3.1 不等关系与不等式学习目标1。
能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小。
3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示?答案v≤40.梳理试用不等式表示下列关系：（1）a大于b a＞b(2)a小于b a〈b（3）a不超过b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1）2≥0,所以x2＋1≥2x。
梳理作差法的理论依据：a〉b⇔a－b>0;a＝b⇔a－b＝0；a〈b⇔a－b〈0。
知识点三不等式的基本性质思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c。
答案a>b，b〉c⇒a－b>0，b－c〉0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.梳理不等式性质：（1)a>b⇔b〈a（对称性);(2）a〉b，b〉c⇒a〉c(传递性）;(3)a〉b⇒a＋c〉b＋c(可加性）；(4）a〉b,c〉0⇒ac〉bc;a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a〉b,c〉d⇒a＋c>b＋d；(6）a>b>0，c〉d>0⇒ac>bd；（7)a〉b>0，n∈N，n≥1⇒a n〉b n;(8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒错误!〉错误!.类型一用不等式（组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为错误!x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式错误!x≥20.反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力,即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1）要先读懂题,设出未知量；(2)抓关键词,找到不等关系;(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系:（1）截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为错误!类型二比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋（b3－ab2）＝a2(a－b)＋b2(b－a）＝（a－b)(a2－b2）＝(a－b）2（a＋b）．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2;当a≠b时,(a－b)2〉0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．解∵（x3－1）－(2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2(x－1)－(x－1)2＝（x－1）（x2－x＋1)＝(x－1)[(x－错误!)2＋错误!]，∵（x－错误!）2＋错误!＞0,x－1＜0，∴（x－1）[（x－错误!)2＋错误!]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x＜1，a＞0且a≠1,试比较|log a（1－x)|与|log a(1＋x)｜的大小关系．解错误!＝错误!＝错误!，∵0＜x＜1，∴错误!＝－log(1＋x)(1－x）＝log（1＋x）错误!，∵1－x2＝（1＋x）(1－x)＜1，且1－x＞0，∴1＋x＜错误!，∴log（1＋x)11－x＞1，即错误!＞1，∴|log a(1＋x)|＜|log a（1－x)|.反思与感悟作商法的依据：若b＞0，则ab＞1⇔a＞b。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(1)教案新人教A版必修5
3.1.1 不等关系与不等式(一)一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学重、难点教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？ 生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.。
高中数学 3.1不等关系与不等式教学设计 新人教A版必修5
3.1 不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）教材分析三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.掌握不等式的基本性质.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学建议建议安排两课时，第一课时让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.第二课时的学习，让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.导入新课一师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b .(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)导入新课二北京奥运这是一届创造奇迹、超越梦想的奥运会。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案(无答案)新人教A版必修5(2021年整理)
广西南宁市高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式学案（无答案）新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西南宁市高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式学案（无答案）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广西南宁市高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式学案（无答案）新人教A版必修5的全部内容。
3．1 不等关系与不等式知识点一不等关系与不等式1．现实世界与日常生活中，与等量关系一样，________关系也是自然界存在的基本数量关系．2．我们经常应用________来研究含有不等关系的问题．常用的不等号有3.作差法比较两实数（代数式）大小知识点二不等式的性质考点一用不等式(组）表示不等关系例1(1）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x％，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一至十月份销售总额至少达7000万元，则用不等式表示上述不等关系是________．2）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元．现在工人工资的预算为2000元,设共请木工x人，瓦工y人,用不等式（组）表示请工人数量的范围是________．(3）在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车可装洗衣机20台；每辆乙型货车可装洗衣机10台，每辆至多只运一次．设使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则上述关系可用不等式组表示为________．考点二比较两个数(式)的大小例2 已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小．［小结] 比较大小的一般步骤是: ，变形是比较大小的关键,是最重要的一步，常用的变形方法有：因式分解，配方，凑成若干个平方和等．练习：（1)若a＝ln 22，b＝错误!,c＝错误!，则( ）A．a<b〈c B．c〈b〈a C．c<a〈b D．b<a<c (2）若a〉b>0，则a a b b与a b b a的大小关系是________．考点三不等式的性质及其应用例3 若a，b，c为实数，判断下列命题是否正确:(1)若a〉b,则ac〈bc；(2）若ac2>bc2,则a>b；（3)若a<b〈0，则a2〉ab>b2；(4）若c〉a〉b>0，则错误!>错误!.【变式】1、已知12〈a<60，15<b<36，求a－b及错误!的取值范围．2、已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．1．若a<b〈0，下列不等式中不一定成立的是( ）A.错误!＞错误!B.错误!＞错误!C.错误!＞错误!D．|a|＞－b 2．已知a，b，c∈R，且a＞b,则下列不等式一定成立的是（）A.1a＜1bB．a2＞b2 C．a3＞b3 D．ac2＞bc23．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x,则( )A．a〉b B．a<b C．a≥b D．a≤b4．某同学拿50元钱买纪念邮票,票面1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1不等关系与不等式[提出问题]在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制重量：装载总重量G不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m；⑤时间范围：t∈[7.5,10]．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.[导入新知]不等式的概念我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．[化解疑难]1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换[提出问题]实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a，b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b.问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．[导入新知]比较两个实数a，b大小的依据[化解疑难]1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．[提出问题]问题1：若a>b，b>c，则a>c，对吗？为什么？提示：正确．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴(a－b)＋(b－c)>0，即a－c>0.∴a>c.问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0，即a ＋c ＞b ＋c .问题3：若a ＞b ，则ac ＞bc ，对吗？试举例说明．提示：不一定正确．若a ＝2，b ＝1，c ＝2时正确．c ＝－2时不正确． [导入新知] 不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c . 推论(同向可加性)：⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(4)可乘性：⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒ac <bc .推论(同向同正可乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd .(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N *，n ≥1)． (6)正数开方性：a >b >0⇒na >nb (n ∈N *，n ≥2)．[化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．[例1] 9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，0≤y ≤7，x ∈N ，y ∈N.[类题通法]用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．[活学活用]用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v ≤80. (2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎪⎨⎪⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.[例2] (1)x 2＋3与2x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． [解] (1)(x 2＋3)－2x ＝x 2－2x ＋3 ＝()x －12＋2≥2＞0，∴x 2＋3＞2x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ， ∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0. ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. [类题通法]比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程是作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．[活学活用]试判断下列各对整式的大小： (1)m 2－2m ＋5与－2m ＋5； (2)x 3＋6x 与x 2＋6.解：(1)(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5) ＝m 2－2m ＋5＋2m －5＝m 2.∵m 2≥0，∴(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)≥0， ∴m 2－2m ＋5≥－2m ＋5. (2)(x 3＋6x )－(x 2＋6) ＝x 3－x 2＋6x －6 ＝x 2(x －1)＋6(x －1) ＝(x －1)(x 2＋6)． ∵x 2＋6＞0，∴当x ＞1时，(x －1)(x 2＋6)＞0， 即x 3＋6x ＞x 2＋6.当x ＝1时，(x －1)(x 2＋6)＝0， 即x 3＋6x ＝x 2＋6.当x ＜1时，(x －1)(x 2＋6)＜0， 即x 3＋6x ＜x 2＋6.[例3] 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：a －c ＞b －d.证明：∵c ＜d ＜0， ∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0， 即a －c ＞b －d ＞0， ∴0＜1a －c ＜1b －d. 又∵e ＜0， ∴ea －c ＞eb －d.[类题通法]利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.[活学活用]已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp . 证明：∵a ＞b ，又p ＞0， ∴ap ＞bp . ∴－ap ＜－bp . 又∵m ＞n ，即n ＜m . ∴n －ap ＜m －bp .4.探究利用不等式性质求取值范围[典例] 已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． [解] ∵1＜a ＜4,2＜b ＜8， ∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24. ∴8＜2a ＋3b ＜32. ∵2＜b ＜8， ∴－8＜－b ＜－2. 又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)， 即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是(8,32)，a －b 的取值范围是(－7,2)．【探究一】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．在本例条件下，求ab的取值范围． [解] ∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ·1b ＜4×12，即18＜ab＜2.故a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫18，2. 【探究三】不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．例：已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，求ab的取值范围． [解] ∵－6＜a ＜8,2＜b ＜3， ∴13＜1b ＜12. ①当0≤a ＜8时，0≤a b＜4； ②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 由①②得：－3＜a b＜4. 【探究四】利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数． 例：已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．[解] 设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ， 解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，所以－113≤a ＋3b ≤1.(注：本题可以利用本章第三节内容求解)[随堂即时演练]1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000， 即5x ＋4y ≤200，故选D.2．(四川高考)若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b dD.a c <b d解析：选B ∵c ＜d ＜0， ∴1d ＜1c＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d＞－b c＞0， ∴a d ＜b c，故选B.3．比较大小：x 2－x ________x －2.解析：(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为(x －1)2≥0，所以(x －1)2＋1>0，即x 2－x >x －2. 答案：>4．若－10＜a ＜b ＜8，则|a |＋b 的取值范围是________． 解析：∵－10＜a ＜8，∴0≤|a |＜10，又－10＜b ＜8，∴－10＜|a |＋b ＜18. 答案：(－10,18)5．(1)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小； (2)若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b，a 2，b 2的大小．解：(1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0. 又3x 2＋1＞0， ∴(x －1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1. (2)∵－1＜a ＜b ＜0， ∴－a ＞－b ＞0， ∴a 2＞b 2＞0. ∵a ＜b ＜0， ∴a ·1ab ＜b ·1ab＜0，即0＞1a ＞1b，∴a 2＞b 2＞1a ＞1b.[课时达标检测]一、选择题1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜ND ．与x 有关解析：选A M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0.∴M ＞N .2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380，z 超过45即z >45. 3．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0 D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56πC.()0，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D ∵0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D ，只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.二、填空题6．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.答案：＞7．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.∴1＋a ＞0,1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2. ∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1， ∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a ≥1－a 8．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员数和预计产值如下：今制订计划欲使总产值最高，则A 类产品应开发________件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．答案：20 330三、解答题9．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝ b ＋a b －a ab， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴ b ＋a b －a ab ＜0，故b a ＜a b. (2)∵1a ＜1b， ∴1a －1b ＜0，即b －a ab＜0， 而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.10．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45xn ， y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．11．设2<a <3，－4<b <－3，求a ＋b ，a －b ，a b ，ab ，b 2a的取值范围． 解：∵2<a <3，－4<b <－3，∴－2<a ＋b <0.由－4<b <－3，知3<－b <4.∴5<a －b <7.由3<－b <4，知14<1－b <13. ∴24<a －b <1.即－1<a b <－12. ∵3<－b <4，∴6<a (－b )<12.∴－12<ab <－6.由3<－b <4，知9<(－b )2<16.又13<1a <12，∴3<b 2a<8. 12．某化工厂制订明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h ；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h ；生产每袋需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t ．试根据这些数据预测明年的产量．解：设明年的产量为x 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ≤200×2 100，x ≥80 000，0.02x ≤600＋1 200，解得80 000≤x ≤90 000.预计明年的产量在80 000到90 000袋之间．。