最新高考数学(理)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件

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高考数学一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件-教学课件

四种命题的相互关系．理解充分条件与必要条件的相对性，
3．理解必要条件、充分条能借助于集合间的包含关系判断充要
件与充要条件的意义.
关系.
1．命题可以判断_真__假__的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为 __条__件__和_结__论___两部分；就其结果正确与否分为真__命__题__和_假__命__题_．
1．(2011 年福建)若 a∈R，则 a＝2 是(a－1)(a－2)＝0 的( A) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．“x>1”是“x2>x”A的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若 a∈R，则“a(a－3)<0”是“关于 x 的方程 x2－ax＋a ＝0 没有实数根”的( A )
例2：①(2011 年天津)设集合 A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈ R|x<0} ，C ＝{x ∈R|x(x －2)>0} ，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的
(C ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x<0 或 x>2}，
(4) 逆命题：若方程mx2 －x ＋n ＝0 有两个不等实数根，则 mn<0(假命题)．
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0 没有两个不等实数根(假命题)．
逆否命题：若方程mx2 －x＋n＝0 没有两个不等实数根，则 mn≥0(真命题)．
原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，要理解命题之间的等价性，当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．

高三一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件

第二课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.命题的四种形式(A) 2.充分条件、必要条件、充分必要条件(B)知识梳理：1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2p⇒q且q pp q且q⇒pp⇔qp q且q p 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)“sin 45°＝1”是真命题．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(7)q不是p的必要条件时，成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√(7)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)提示：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要例题讲解：[典题1](1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是________．(2)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是________．(3)下列命题中为真命题的是________．(填序号)①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析：(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)②(4)④小结：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2](1)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(2)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(3)“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：(1)|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．(2)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(3)“a ＝2”⇒“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充分不必要小结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①非q 是非p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；②非q 是非p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；③非q 是非p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．练习1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要[典题3](1)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：(1)由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，即a ≤－3.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：(1)(－∞，－3] (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．注意：由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．练习：已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，，因此a ≥1.答案：[1，＋∞)总结：1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q的充要条件．注意： 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别．课后作业：1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要 3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <13，借助数轴，所以⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故该命题的否命题是：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<35．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：充分不必要6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是________．(填序号)解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④7．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β ”是“sin α＞sin β ”的________条件．解析：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α＝π3＋2π，β＝π3时，满足α>β，但sin α＝ sin β，故sin α>sin β不成立，即充分性不成立；当α＝π3，β＝π6＋2π时，满足sin α>sin β，但α>β不成立，即必要性不成立，故“α>β ”是“sin α>sin β ”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且 cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形．答案：充分不必要9．“a ≥3”是“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择填空)．解析：若“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，等价于∀x ∈[1,2]，x 2≤a 为真命题，则a ≥4.则“a ≥3”是“a ≥4”的必要不充分条件．答案：必要不充分10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误．答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是________．(填序号)①17≤a <13；②0<a <13；③17<a <13；④0<a <17. 解析：由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎡⎭⎫17，13的真子集，故③正确．答案：③ 15．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．答案：充要16．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要17．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >918．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．对于p ，|x －a |<4，∴a －4<x <a ＋4，对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)， ∴－1≤a ≤6.答案：[－1,6]。

高三一轮复习1-2命题及其关系、充分条件与必要条件

换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：B
高考总复习 RJ · A版（理）数学
3．已知p：不等式x2＋2x＋m>0的解集为R；q：指数函数 1x f(x)＝(m＋ ) 为增函数，则p是q的( ) 4 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x＋m>0的解集为R，得Δ＝4－4m<0，即 m>1. 1x 1 3 由指数函数f(x)＝(m＋ ) 为增函数，得m＋ >1，即m> ， 4 4 4 3 3 3 因此，p：m>1，q：m> ，由m>1> ，但m> 时不一定有 4 4 4 m>1，故选A. 答案：A
高考总复习 RJ · A版（理）数学
4．(2011年皖南八校第二次联考)“a＝－1”是“函数f(x)
＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( A．充分必要条件 C．必要不充分条件 ) B．充分不必要条件 D．非充分非必要条件
解析：a＝－1⇒a＝－1或a＝0⇔f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点．答案：B
高考总复习 RJ · A版（理）数学
变式迁移3 已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2 －b2 ＝1.该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明：∵a2 －b2 ＝1，∴a4 －b4 －2b2 ＝(a2 －b2)(a2 ＋b2)－ 2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1. 另一方面又a4 －b4 －2b2 ＝1，即为a4 －(b4 ＋2b2 ＋1)＝0.a4 －(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1 ＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分条件，也是a4－ b4－2b2＝1的必要条件．

课标通用2025版高考数学大一轮复习第一章2第二节命题及其关系充分条件与必要条件精练理

其次节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( )A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假答案 D q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p假,当x<1时,x2<1不肯定成立,∴q假.故选D.2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0.故选B.3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B 直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直,所以a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或a=-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.4.(2024辽宁沈阳质检)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2+3x-4=0”,真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”,假命题答案 C 依据逆否命题的定义可以解除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.5.(2024江西南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π答案 B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.6.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x ≠0”B.命题“若cosx=cosy,则x=y ”的逆否命题为真命题C.命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 都不是有理数”D.“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题为真命题答案 D A 中,命题的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0”,选项A 不正确;B 中,命题“若cosx=cosy,则x=y ”为假命题,因此其逆否命题为假命题;对于C,命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 不都是有理数”,所以C 错误;D 中命题为真命题.故选D.7.已知命题α:假如x<3,那么x<5;命题β:假如x ≥3,那么x ≥5;命题γ:假如x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③答案 A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换,故①正确,②错误,③正确.8.已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 解法一:S 4+S 6>2S 5等价于(S 6-S 5)+(S 4-S 5)>0,等价于a 6-a 5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵S n =na 1+12n(n-1)d,∴S 4+S 6-2S 5=4a 1+6d+6a 1+15d-2(5a 1+10d)=d,则S 4+S 6>2S 5等价于d>0.故选C. 9.设a,b ∈R,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的条件.答案充要解析设f(x)=x|x|,则f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以f(x)是R 上的增函数,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.10.原命题“设a 、b 、c ∈R,若a>b,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .答案 2解析由题意可知原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题;逆命题为“设a 、b 、c ∈R,若ac 2>bc 2,则a>b ”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题.故真命题有2个11.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是.答案[3,8)解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m 的取值范围是[3,8).12.(2024安徽合肥模拟)已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=√x2-3x+2}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.答案{a|a≤0或a≥3}解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以a+1≤1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并推断它们的真假.解析(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,为真命题.。

2020年高考数学(理)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否\要命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.突破点一命题及其关系抓牢双基自学回扣［基本知识］1. 命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题•其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 四种命题及相互关系3. 四种命题的真假关系⑴若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.［基本能力］一、判断题(对的打，错的打“X” )⑴“x2+ 2x—8V0” 是命题.()(2) 一个命题非真即假.()(3) 四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )⑷命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )答案：(1)X (2)V (3) V (4) X二、填空题1•命题“若x2<4,则—2vx<2”的否命题为____________________ ，为________ (填“真”或“假”)命题.答案：若x2》4,贝U x> 2或x<—2真2. 设m € R，命题“若m>0，则方程x2+ x —m = 0有实根”的逆否命题是答案：若方程x2+ x—m= 0没有实根，贝U m w 03. 有下列几个命题：1 1⑴“若a>b,则a>b”的否命题；(2) “若x+ y= 0，则x, y互为相反数”的逆命题；(3) “若|x|<4，则—4VXV4”的逆否命题.其中真命题的序号是 __________ .1 1解析：⑴原命题的否命题为“若a< b,则-w二”，假命题；⑵原命题的逆命题为 a bx, y互为相反数，则x + y= 0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题.答案：⑵(3)研透高考•深化提能［全析考法］考法一命题真假的判断•［例1］下面的命题中是真命题的是()2A. y= sin x的最小正周期为2 nB. 若方程ax2+ bx+ c= 0(a^ 0)的两根同号，则->0aC .如果M ? N，那么M U N = M—> —>D .在△ ABC中，若AB -BC >0，贝U B为锐角［解析］y= sin2x = 1 —；S 2, T =今=n,故A为假命题；当M ? N时，M U N 故C为假命题；在三角形ABC中，当瓦I BC >0时，向量云S与百？的夹角为锐角，为钝角，故D为假命题，故选 B.［答案］B［方法技巧］判断命题真假的思路方法(1) 判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断.(2) 当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由p”经过逻辑推理，得出q”，则可判定“若P,则q”是真命题；②判定“若P,则q”是假命题，只需举一反例即可.考法二四种命题的关系•［例2］(1)(2019长春质监)命题“若x2<1,则—1VXV1 ”的逆否命题是()A .若x2> 1，则x> 1 或x w—12B.若—1<x<1，贝V x <12C .若x>1 或x< —1,贝U x >12D .若x > 1 或x<—1，贝U x》1(2)(2019广•东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是()A .命题"若x>y,则x>|y|”的逆命题B. 命题“若x>1，则x2>1 ”的否命题C. 命题“若x= 1,则x2+ x —2= 0”的否命题D .命题“若x2>0 ,则x>1 ”的逆否命题［解析］(1)命题的形式是“若p,则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q,则綈p”的形式，所以“若x2<1，则—1vxv1 ”的逆否命题是“若x> 1或x w —1, 则x2> 1”.故选D.⑵命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x w 1，则x2< 1”，是假命题，故B错误；命题“若x= 1,则x2+ x—2 = 0”的否命题为“若x工1，则x2+ x—2工0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题为“若x w 1,则x2w 0”，是假命题，故D错误.选A.［答案］(1)D (2)A［方法技巧］四种命题的关系及真假判断(1) 判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性.(2) 命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例.②间接判断法：转化成等价命题，再判断.［集训冲关］1.［考法二］命题“若a= n，则tan a= 1”的逆否命题是()A .若a^f,则tan aM 14B.若a= ~7,则tan aM 14…nC .右tan aM 1，贝U aM4nD .若tan a丰 1,贝U a=T4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确.2. ［考法一、二］原命题为“若Z1, Z2互为共轭复数，则|Z i|=|Z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A .真，假，真B.假，假，真C .真，真，假D .假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|Z i|= |Z2|,当z i= 1, Z2 = -1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假.故选 B.+ 0, Ovxvl,3. ［考法一］定义“正对数”：ln x = 现有四个命题：IJn x, x> 1.①若a>0, b>0，贝V In+(a b) = bln+a ；②若a>0, b>0，贝V In (ab)= In a+ In b;③若a>0, b>0，贝U In +房In+a - In +b;④若a>0, b>0，贝V In (a+ b)< In a+ In b+ In 2.其中的真命题有 ________ (写出所有真命题的编号).解析：对于①，当a > 1时，a b> 1,则In (a b)= In a b= bIn a= bIn a;当0<a<1 时，0<a b<1，则In+(a b)= 0, bIn+a= 0,即In*(a b)= bIn^a，故①为真命题.同理讨论a, b在(0,+s)内的不同取值，可知③④为真命题.对于②，可取特殊值 a = e, b=1,e贝V In,ab) = 0, In*a + In*b= 1 + 0= 1，故②为假命题.综上可知，真命题有①③④.答案：①③④突破点二充分条件与必要条件抓牢双基•自学回扣［基本知识］1.充分条件与必要条件的概念2.一、判断题(对的打，错的打“X” )(1) 当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(2) 当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.()(3) “ x= 1”是“ x2—3x+ 2 = 0”的必要不充分条件.()答案：⑴“(2)V (3) X二、填空题1. ______________________________ “x = 3”是“ x2=9”的条件(填“充分不必要”或“必要不充分” _______________ ).答案：充分不必要2. ab>0”是“ a>0, b>0” 的_______ 条件.答案：必要不充分3. xy= 1 是lg x+ lg y= 0 的________ 条件.解析：lg x + lg y= lg(xy) = 0,/• xy= 1 且x>0, y>0.所以“lg x + lg y= 0”成立，xy= 1必成立，反之无法得到x>0 , y>0.因此“xy= 1”是“lg x+ lg y= 0”的必要不充分条件.答案：必要不充分4. 设p, r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____________ 条件，r是t的 ___________ 条件(用“充分不必要”“必要不充分” “充要”填空).解析：由题知p? q? s? t,又t? r, r? q,故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.答案：充分不必要充要研透高考廉化提能［全析考法］考法一充分条件与必要条件的判断•［例1］(1)(2018北京高考)设a, b, c, d是非零实数，则“ ad= be”是“ a, b, c, d成等比数列”的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件11 交(2)(2018 天•津高考)设x € R，则“ x -寸V ；” 是“ x3V 1 ”的( )A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C•充要条件D.既不充分也不必要条件［解析］(1)a, b, e, d 是非零实数，若a<0, d<0, b>0, e>0，且ad= be,则a, b , e , d不成等比数列(可以假设a= —2, d=- 3, b= 2 , e= 3).若a , b , e , d成等比数列，贝U 由等比数列的性质可知ad= be.所以“ad= be”是“a , b , e , d成等比数列”的必要而不充分条件.1 1 ,(2)由X-2 V 2，得0 V X V 1,则0V x3v 1 ,1 1 3即“ x-2 V 2” ? “ x3V 1”；1 1由x3V 1 ,得X V 1,当x< 0 时，x- 1 > -,2 2即“ x3V 1 ”* “ x -1 V 2 ”.1 1 3所以“ x-1V 1”是“ x3V 1”的充分而不必要条件.2 2［答案］(1)B (2)A［方法技巧］充分、必要条件的判断方法考法二根据充分、必要条件求参数范围［例2］（2019大庆质检）已知p：x< 1+ m, q：|x—4|w 6.若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A. （— m,—1］B. （— 8, 9］C. ［1,9］D. ［9,+m ）［解析］由|x—4|W 6，解得一2< x< 10,因为p是q的必要不充分条件，所以m+ 1> 10, 解得m> 9.故选D.［答案］D［方法技巧］根据充分、必要条件求参数范围的思路方法（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解.（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.［集训冲关］1. ［考法一］已知m,n为两个非零向量，贝U"mnv0”是"m与n的夹角为钝角”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B 设m, n的夹角为0,若才< 0v n,则cos 0<0,所以m n<0 ；若0= n则m n=—|m| |n|<0.故“ m n<0”是“ m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选 B.2. ［考法一］已知a, B均为第一象限角，那么“a> g'是“ sin a>sin 的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选D a= 7n B=寸均为第一象限角，满足a> g但sin a= sin g因此不满足充3 3分性；a=—5n, 3=；均为第一象限角，满足sin a>sin g,但a< g因此不满足必要性.故3 6选D.3. ［考法二］设M为实数区间，a>0且1,若“ a € M”是“函数f（x）= log a|x—1|在（0,1）上单调递增”的充分不必要条件，则区间M可以是（）C • （0,1） D. 0, 1 2解析：选D 由函数f（x）= log a|x —1|在（0,1）上单调递增可知0<a<1，由题意及选项知区间M可以是0，1 .故选D.4.［考法二］已知p：（x—m）3>3（x—m）是q：x2+ 3x—4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为_____________ .解析：p对应的集合A= {x|x<m或x>m+ 3}, q对应的集合 B = {x| —4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知 B A,/• m> 1 或m+ 3< —4，即m> 1 或m< —7.答案：（—a, —7］U ［1 ,+^ ）［课时跟踪检测］2（2019合肥模拟）命题“若a2+ b2= 0,贝V a= 0且b= 0”的逆否命题是（）A .若a丰 0 或b z 0,贝U a2+ b2z 0B.若a2+ b2z 0，贝y a丰0 或b z 0C .若a = 0 或b= 0,贝U a2+ b2z 0D .若a2+ b2z 0，贝y a z 0 且b z 0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a z0或b z 0，则a2+ b2z 0”.故选A.3（2018 天津高考）设x€ R,则“ x3 4>8” 是“ |x|>2”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A 由x3> 8? x> 2? |x|> 2，反之不成立，故“x3>8”是“ |x|>2”的充分而不必要条件.解析：选A 因为y = 2 x 是增函数，又a>1，所以3 a >i ，所以3a >2a ；若3a >2a , 则/>1 = g ：，所以a>0，所以a>1 ”是3a >2a ”的充分不必要条件，故选 A.5.已知下列三个命题：① 若一个球的半径缩小到原来的 2,则其体积缩小到原来的 8 ② 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③ 直线x + y + 1 = 0与圆x 2 + y 2= 1相切. 其中真命题的序号为( )A .①②③B .①②C .①③D .②③解析：选C对于命题①，设球的半径为 R ，则4 n R 3 = 1-u R 3,故体积缩小到原来的3 y 8 38,命题正确;对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确; 半径，所以直线与圆相切，命题正确.26. (2019咸阳模拟)已知p ： m =— 1, q ：直线x — y = 0与直线x + m y = 0互相垂直, 则p 是q 的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件2 一 1解析：选A 由题意得直线 x + m 2y = 0的斜率是—1,所以肓 =—1, m = ±. 所以p 是q 的充分不必要条件•故选A.7. (2019重庆调研)定义在R 上的可导函数f(x)，其导函数为f ' (x),则“ f ' (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：选 B •/ f(x)为奇函数，••• f( — x) =— f(x).「. [f( — x)] = [— f(x)] =— f ' (x), ••• f ' (— x)= f ' (x) ,即卩 f ' (x)为偶函数；反之，若 f ' (x)为偶函数，如 f ' (x)= 3x 2, f(x)=对于命题③, 圆x 2+ / = *的圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0的距离d =吩等于圆的1x3+ 1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“ f'(X)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B.8. (2019抚州七校联考)A, B, C三个学生参加了一次考试，A, B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，贝U A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A .若及格分不低于70分，则A, B, C都及格B.若A, B, C都及格，则及格分不低于70分C .若A, B, C至少有一人及格，则及格分不低于70分D •若A, B, C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A, B,C 至少有一人及格,则及格分不低于70 分.故选C.9. (2019济南模拟)原命题：“ a, b为两个实数，若a + b>2,则a, b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是( )A. 逆命题为：a, b为两个实数，若a, b中至少有一个不小于1，则a+b>2,为假命题B. 否命题为：a, b为两个实数，若a + b<2，则a, b都小于1,为假命题C .逆否命题为：a, b为两个实数，若a, b都小于1,则a + b<2，为真命题D. a, b为两个实数，“a+ b》2”是“a, b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D 原命题：a, b为两个实数，若a+ b> 2，则a, b中至少有一个不小于1; 逆命题：a, b为两个实数，若a, b中至少有一个不小于1，则a+ b> 2；否命题：a, b为两个实数，若a + b<2，则a, b都小于1；逆否命题：a, b为两个实数，若a, b都小于1, 则a+ b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a= 1.2, b= 0.5，则a+ b> 2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题. 所以“ a+ b>2”是“a, b中至少有一个不小于1 ” 的充分不必要条件.故选D.10. 已知：p：x> k, q：(x+ 1)(2 —x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A. [2,+s )B. (2,+^ )C. [1 ,+^ )D. (— a, —1]解析：选B 由q：(x + 1)(2 —x)<0，得x< —1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2, + a)，故选B.11. 在原命题“若A U B工B，则A A B M A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________ .解析：逆命题为“若A A B M A，贝U A U B M B” ；否命题为“若A U B= B,贝U A A B = A” ；逆否命题为“若A A B = A,贝U A U B= B”.全为真命题.答案：412.已知命题"若 m — ivxvm + 1,贝U 1<x<2”的逆命题为真命题，则 m 的取值范围是解由已知得，若1<x<2成立, 则m — 1<xvm + 1也成立.m —1<1, K m < 2. m + 1 > 2.答案：[1,2]13.条件p ： 1 — x<0，条件q ： x>a ,若p 是q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是解析：p ： x>1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ? q ,但q ' p ,也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以 a<1.答案：(—3 1) 14. (2019湖南十校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = Aq n + B(q M 0),则“ A =— B ” 是“数列｛a n ｝为等比数列”的 ____________ 条件.解析：若A = B = 0，贝y S n = 0,数列｛a n ｝不是等比数列.2 3如果｛a n ｝是等比数列，由 a 1= S 1 = Aq + B ,得 a 2= S 2 — a 1= Aq — Aq , a 3= S 3 — S 2= Aq —Aq 2,.a 1a 3= a 2,从而可得 A =— B ,故“A =— B ”是“数列｛a n ｝为等比数列”的必要不充分条件.答案：必要不充分15. (2019湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)= 4sin 2 ；+ x - 2.3遇 2x — 1, p ： n< x < 才, q ： |f(x)— m|<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围. =4sin ( 2x — n ) + 1.当毛寸，n 2x —J 4 2 6 3 3 则 f w sin 2x —n w 1，所以 f(x)€ [3,5]. 当 |f(x) — m|<2 时，f(x) € (m — 2, m + 2). 又p 是q 的充分不必要条件，了m — 2<3,所以所以3<m<5.|m + 2>5,解：化简解析式,=2sin 2x — 2 3cos 2x + 11 — cos 得 f(x) = 4^ --------- cos 2x — 1即实数m的取值范围为（3,5）.3. 下列命题中为真命题的是（）A. mx2+ 2x—1 = 0是一元二次方程B. 抛物线y= ax2+ 2x—1与x轴至少有一个交点C .互相包含的两个集合相等D.空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m = 0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当△= 4+ 4a<0, 即a< —1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题.4. （2019 •肥调研）a>1 ”是“3>2a”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件。

高考第一轮复习第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章集合与常用逻辑用语
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
第一章集合与常用逻辑用语
1．命题
用语言、符号、式子叫做命题，其中判断为真的语句叫做假命题．
表达的，可以判断语真句假的的陈述句叫判做断真为命假题，
第一章集合与常用逻辑用语
2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命题原命题逆命题否命题逆否命题
第一章集合与常用逻辑用语
1．下列语句是命题的是( )
①求证x是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7＞0.
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．③④⑤
【答案】 C
第一章集合与常用逻辑用语
2．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是( ) A．若x2＜1，则－1＜x＜1 B．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 C．若－1≤x≤1，则x2≤1 D．若－1＜x＜1则x2＜1 【答案】 D
表述形式若p则q 若q则p
若綈p则綈q 若綈q则綈p
第一章集合与常用逻辑用语 (2)四种命题间的相互关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性不确定．
第一章集合与常用逻辑用语
3．充分条件与必要条件 (1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则 p是q成立的充分条件， q是p成立的必要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则 p是q成立的充要条件，q也是p成立的充要条件．
第一章集合与常用逻辑用语
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

高考数学一轮总复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件精品课件理新人教版

D.若 a≠0 或 b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0
关闭
a=b=0 是 a=0,且 b=0 的意思,含有“且”“或”语句在否定时的规律是
“且”变为“或”,“或”要变为“且”.
关闭
D
考点(kǎo diǎn)一
解析
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十一页，共25页。
答案
答案
(dá àn)
1.2 命题(mìng tí)及其关系、
充分条件
与必要条件
第一页，共25页。
考纲要求
(yāoqiú)
考纲要求
1.理解命题的概念,并能判断命题的真假.
2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种
命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,并能用集合的观点看充要条
(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
第十六页，共25页。
探究(tànjiū)
突破
举一反三 2 已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且 q 是 p 的充分条
件,则实数 a 的取值范围为(
A.-1<a<6
C.a<-1 或 a>6
)
B.-1≤a≤6
第十七页，共25页。
答案
答案
(dá àn)
探究(tànjiū)
突破
考点三充要条件的证明
【例 3】求证:方程 mx2-2x+3=0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是
1
3
(1)充分性:因为
0<m< .

高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第二节命题及其关系充分条件与必要条件(课件)

解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|x>a} {x|x≥2}，则实数a的取值范围是a≥2.
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|x≥2} {x|x>a}，则实数a的取值范围是 a<2.
(四)走进高考 7．[2021·浙江卷]已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)“x－3>0”是命题．( × ) (2)一个命题非真即假．( √ ) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．( × ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ ) (5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ ) (6) 命题 “ 若 p 不成立，则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立，则 p 成立”．( √ )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
答案：B
解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”，其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.
2．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( ) A．逆命题为“周期函数不是单调函数” B．否命题为“单调函数是周期函数” C．逆否命题为“周期函数是单调函数” D．以上都不正确
答案：D
解析：根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.
3．下列命题中为真命题的是( ) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程 B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点 C.互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的真子集

高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件文

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解析：命题“若 a2＋b2＝0，a，b∈R，则 a＝b＝0”的逆否命题是“若 a≠0 或 b≠0，a，b∈R，则 a2＋b2≠0”．
答案：A
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考点二充分条件与必要条件的判断 1.利用定义判断 (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 q⇒p，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 p⇒q 且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件；
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【解析】由 q：(x－a)(x－a－4)>0，得 x<a 或 x>a＋4. 设 p：A＝{x|－2≤x≤1}，q：B＝{x|x<a 或 x>a＋4}， ∵p 是 q 成立的充分不必要条件，∴A B. ∴a＋4<－2 或 a>1，即 a<－6 或 a>1. 【答案】 (－∞，－6)∪(1，＋∞)
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利用 p⇒q 与綈 q⇒綈 p，q⇒p 与綈 p⇒綈 q，p⇔q 与綈 q⇔ 綈 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
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(2014·北京卷)设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
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解析：若 a＝4 时，函数 f(x)＝x＋ax在(2，＋∞)上单调递增，而当函数 f(x)在(2，＋∞)上为增函数时，只需 a≤2 即可，故选 A.
答案：A
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3．(2015·河北正定中学月考)设 A：x－x 1<0，B：0<x<m，若 B 是 A 成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 __________．
A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假【思路启迪】从原命题和否命题的真假性入手，利用原命题与逆否命题等价判断．

高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件第1章集合与常用逻辑用语-第2节命题及其关系、充分条件与必要条件p

答案：(1)√ (2)√
4．(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：若 x＝1，则 x2－2x＋1＝0；若 x2－2x＋1＝0，即 (x－1)2＝0，则 x＝1.故选 A.
答案：A
5．设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( )
2．(2015·山东卷)设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x2 ＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是( )
A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0
A．m<4
B．m>4
C．0<m<4
D．0≤m<4
【解析】 (1)因为函数 f(x)过点(1，0)，所以函数 f(x) 有且只有一个零点⇔函数 y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数 y＝2x(x≤0)与直线 y＝a 无公共点．由数形结合，可得 a≤0 或 a>1.
观察选项，根据集合间关系{a|a<0} {a|a≤0 或 a>1}，
答案：(3，＋∞)
1．对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是：正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式．
解析：依题意，P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝ {x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}．

第一轮复习--命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．一、基础知识A ．命题1．命题可以判断真假的陈述句，叫做命题．注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+．以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．2．假命题、真命题真命题：可以判断为真的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．假命题：可以判断为假的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假．（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-．解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．（3）将命题函数()P x 变成命题命题函数()P x 变成命题的方法有两个．方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ．例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>．当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题．方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数():32P x x +>，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数x 都有32x +>”或“有实数x 使32x +>” ．前者是假命题，后者是真命题．3．命题的形式若p ，则q ．其中p 叫做命题的条件（或题设），q 叫命题的结论．注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．B ．四种命题及其关系1．四种命题及其关系（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.（2）设原命题为：“若p ，则q ”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q ，则p ”．否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若p ⌝，则q ⌝”．逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若q ⌝，则p ⌝”．延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A ：垂直于弦”、“B ：过圆心”；结论也有两个：“C ：平分这条弦”、“D ：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A B C D ∧→∧，该命题的所有偏逆命题有：A CB D ∧→∧：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；A DBC ∧→∧：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；B C A D ∧→∧：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；B D AC ∧→∧：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．2．四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．（4）不等价关系：两命题的真假性没有关系．互逆命题、互否命题不等价．C．充分条件与必要条件记命题“若p，则q”为“q p→”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“p q≠>．⇒”，为假时，则记作p q1．基本概念（1）若p q⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．（2）若p q<≠，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充⇒，且p q分条件．（3）若p q⇐，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条⇒，且p q件．（4）若p q<≠，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p ≠>，且p q的不充分不必要条件．注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．2．对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论q成立，只要具备条件p就足够了．事实上，式子p q⇒已经表明，条件p成立时，结论q一定成立，就是说，要使结论q成立，只要具备条件p 就足够了．必要条件：当条件q成立时，结论p不一定成立，但条件q不成立时，结论p一定不成立.依题意，条件为q、结论为p．一方面，虽然命题“p q→”却未必为真，因此，当条件q成立时，结论p不一→”为真，但其逆命题“q p定成立．另一方面，命题“p q⌝⇒⌝，据此可知，条件q不成立→”为真，从而其逆否命题“q p⌝→⌝”也真，即q p时，结论p一定不成立．（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开关A 的闭合”为条件p ，“灯泡B 亮”为结论q ，则图①中，条件p 是结论q 的条件．充分不必要条件（,p q p q ⇒<≠）图②中，条件p 是结论q 的条件．必要不充分条件（,p q p q ≠>⇐）图③中，条件p 是结论q 的条件．充要条件（,p q p q ⇒⇐）图④中，条件p 是结论q 的条件．不充分不必要条件（,p q p q ≠><≠）（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，即:{|()}p A x p x =，:{|()}q B x q x =． ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴p 是q 的充分条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的充分不必要条件． ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ≠⊂，则p 是q 的必要不充分条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴q 是p 的必要条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的必要不充分条件． ③若A B =，则p 与q 互为充要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B =，可得x B ∈，即p q ⇒，若有x B ∈，∵A B =，可得x A ∈，即q p ⇒，∴p 、q 互为充要条件．④若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊄，可得x B ∉，即p q ≠>，同理p q <≠，p 是q 的既不充分也不必要条件．二、基本思想方法等价转化的思想示例已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由1|1|23x --≤得，{|210}A x x =-≤≤．由22210(0)x x m m -+-≤>得，{|11,0}B x m x m m =-≤≤+>． ∵q p ⇒，∴B A ⊆．结合数轴有12,110,0.m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤．①②③④点评与警示：本题利用等价转化思想，把p q⇒，进一步转化为B是A的子集，然后利用数轴⌝⇒⌝转化为q p列出不等关系．A．命题的判断、命题的真假判断例判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的真子集；命题；假命题．（2）三角函数是单调函数吗？疑问句，不是命题．（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行；命题；假命题．（4）3x<；开句，不是命题．（5）若x∈R，则2-+>；命题；真命题（∵二次三项式221x x210∆=-<，-+的判别式70x x在x∈R条件下，始终有2210-+>）．x x（6）若整数a是素数，则a是奇数；命题；假命题（∵2a=时，由条件推不出结论）．（72-．命题；假命题．点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．B．命题的形式例把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．（1）周长相等的两个三角形面积相等；（2）偶数能被2整除；（3）奇函数的图象关于原点对称；（4）同弧所对的圆周角不相等；（5）菱形对角线互相平分；（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（7）负数的立方是负数；（8）对顶角相等．解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等．假命题．（2）若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分．真命题．（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．真命题.（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等．真命题．选填②C．四种命题的概念例把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）当2x =时，2320x x -+=；（2）对顶角相等；（3）等底等高的两三角形全等；（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．解：（1）原命题：若2x =，则2320x x -+=．逆命题：若2320x x -+=，则2x =．否命题：若2x ≠，则2320x x -+≠．逆否命题：若2320x x -+≠，则2x ≠．（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．D ．四种命题之间的关系例写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．（1）垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α；（2）若0q <，则方程20x x q ++=有实根；（3）若220x y +=，则0x y ==；（4）菱形对角线垂直且相等．解：（1）原命题：若直线l 垂直于平面α内无数条直线，则直线l 垂直于平面α．假命题.逆命题：若直线l 垂直于平面α，则直线l 垂直于平面α内无数条直线．真命题.否命题：若直线l 不垂直于平面α内无数条直线，则直线l 不垂直于平面α．真命题．逆否命题：若直线l 不垂直于平面α，则直线l 不垂直于平面α内无数条直线．假命题．（2）逆命题：若方程20x x q ++=有实根，则0q <．假命题．否命题：若0q ≥，则方程20x x q ++=无实根．假命题．逆否命题：若方程20x x q ++=无实根，则0q ≥．假命题．（3）逆命题：若0x y ==，则220x y +=．真命题．否命题：若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0．真命题．逆否命题：若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠．真命题．（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形．假命题．否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等．假命题．逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形．假命题．E ．利用等价命题证明例证明：若220x y +=，则0x y ==.分析：将“若220x y +=，则0x y ==”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”为真命题．证明：若,x y 中至少有一个不为0，不妨设0x ≠，则20x >，∴220x y +>，即220x y +≠.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．F ．充要条件的判定例指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？（1）:2p a b +=，:q 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切．（2）:||p x x =，2:0q x x +≥．（3）设,l m 均为直线，α为平面，其中l α⊄，m α⊂，://p l α，://q l m ．（4）设,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，:q αβ<，:tan tan q αβ<．（5）ABC △中，内角,A B 对边的长分别为,a b ，:p a b >， :sin sin q A B >．解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件． G ．由充分条件、必要条件求参数取值范围已知条件321:022n n p +-≤-，条件22:q x x a a +<-，且p ⌝是q ⌝的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1[2,]2--B ．1{,2}2C ．[1,2]-D ．1(2,][2,)2-+∞ 解：不等式321022n n +-≤-等价于3(21)(22)0,220,x x x +⎧--≤⎪⎨-≠⎪⎩即1228x ≤<，解得31x -≤<，∴条件p 对应的取值集合[3,2)M =-．由22x x a a +<-，得()[(1)]0x a x a +--<．当1a a -<-，即12a >时，解集为(,1)a a --，这时条件q 对应的取值集合(,1)N a a =--；当1a a -=-，即12a =时，解集为∅，这时N =∅；当1a a ->-，即12a <时，解集为(1,)N a a =--． ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，从而条件q 对应的取值集合N 是条件p 对应的取值集合M 的真子集．当12a >时，(,1)N a a =--，由N M ，得3,11,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得122a <≤；当12a =时，N =∅，显然有N M ；当12a <时，(1,)N a a =--，由N M ，得31,1,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得112a -≤<．综上，a 的取值范围是[1,2]-．答案：C ．H ．错解剖析写出命题“若a b =，c d =，则a c b d +=+”的否命题和逆否命题．否命题是：．逆否命题是：．错解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a 与b ，c 与d 都不相等，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a 与b ，c 与d 都不相等．错因分析：事件“a b =，c d =”的正确否定应为：①a 与b 、c 与d 不都相等；②a b ≠或c d ≠．正解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a b =，c d =中至少有一个不成立，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a b =，c d =中至少有一个不成立．M ．方法规律探究四种条件的判定方法.（1）定义推断法：分别去判断p q ⇒和q p ⇒是否成立，然后形成结论．（2）原、逆命题推断法：原真逆假⇔条件为：充分不必要；原假逆真⇔条件为：必要不充分；原真逆真⇔条件条件为：充要；原假逆假⇔条件为：不充分不必要.（3）逆否命题判别法：判断命题p q ⌝→⌝的真假，改为判断其逆否命题q p →的真假．（4）集合推断法：具体内容见前面．（5）传递法：即123n p p p p ⇒⇒⇒⇒，得1n p p ⇒．一、选择题1．下列语句不是命题的有①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->．A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题．答案：C ．2．若,M N 是两个集合，则下列命题中的真命题是A ．如果M N ⊆，那么M N M =B ．如果M N N =，那么M N ⊆C ．如果M N ⊆，那么M N M =D ．如果M N N =，那么N M ⊆ 答案：A ．3．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=．真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤．假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤．假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）． ④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数．假命题（∵a =b 时，2b a =不是无理数）．答案：B ．二、判断题4．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．（1）等边三角形的三个内角相等；（2）当0a >时，函数y ax b =+的值随x 值的增加而增加．解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．（2）当0a >时，若x 的值增加，则函数y ax b =+的值也增加，真命题．5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.（1）矩形的对角线相等；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；（4）实数的平方是非负数．解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．6.给出以下命题，判断p 是q 的什么条件？（1）:p A B =，:sin sin q A B =；（2）:2p x >且3y >，:5q x y +>；（3）:p 正方形，:q 菱形；（4）:p a b >，11:q a b<．解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．二、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．（1）ac bc a b >⇒>；（2）当14m >-时，210mx x -+=无实根．解：（1）若ac bc >，则a b >．否命题：若ac bc ≤，则ca b ≤．逆否命题：若a b ≤，则ac bc ≤．（2）若14m >-，则方程210mx x -+=无实根．否命题：若14m ≤-，则方程210mx x -+=有实根．逆否命题：若方程210mx x -+=有实根，则14m ≤-． 8．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=．真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤．假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤．假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）． ④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数．假命题（∵a =b 时，2b a =不是无理数）．答案：B ．9．写出下列命题“若0m ≤且0n ≤，则0m n +≤”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若0m n +≤，则0m ≤且0n ≤．假命题．否命题：若0m >或0n >，则0m n +>．假命题．逆否命题：若0m n +>，则0m >或0n >．真命题．10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．11．证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠．word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载分析：将“若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若1a b -=，则222430a b a b -+--=”为真命题．证明：若1a b -=，则1a b =+，∴2222243(1)2(1)432122430a b a b b b b b b b b -+--=+-++--=+++--=，即222430a b a b -+--=．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，,a b ∈R ，若()()0f a f b +≥，求证：0a b +≥．分析：将“若()()0f a f b +≥，则0a b +≥”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若0a b +<，则()()0f a f b +<”为真命题．证明：“若0a b +<，a b <-.∵()f x 为R 上的增函数，∴()()f a f b <-，又知()f x 为奇函数，∴()()f a f b <-，即()()0f a f b +<．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．。

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最新高考数学(理)一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件