高中数学全称存在量词命题练习及答案

高中数学全称存在量词命题练习及答案
1．命题“0x R ∃∈，00
1
2x x +
≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，1
2x x +> B ．x R ∃∈，1
2x x +
< C ．x R ∃∈，1
2x x
+>
D ．x R ∀∈，1
2x x
+<
2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A.存在x 0∈R ，使得＜0 B.对任意x ∈R ，都有x 2
＜0 C.存在x 0∈R ，使得≥0 D.不存在x ∈R ，使得x 2＜0
3.命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是（ ） A.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 B.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 C.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 D.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根
4.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *
，使得n ≥x 2
”的否定形式是（ ） A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D.∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 5.写出下列全称命题的否定：
（1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3.
6．将下列命题用“∀”或“∃”表示． （1）实数的平方是非负数；
（2）方程()2
2100ax x a ++=<至少存在一个负根.
7.命题p ：∃m 0∈R ，使方程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“p ”形式的命题是（ ） A.∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B.对∀m ∈R ，方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根 C.对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 8.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ）
A.对任意实数x ，都有x ＞1
B.不存在实数x ，使x ≤1
C.对任意实数x ，都有x ≤1
D.存在实数x ，使x ≤1
9.若命题p ：∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1≤0，则对命题p 的否定是（ ） A.∀x ∈[－3,3]，x 2＋2x ＋1＞0
B.∀x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），x 2＋2x ＋1＞0
C.∃x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），＋2x 0＋1≤0
D.∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1＜0
10.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 11.下列命题正确的是（ ） A ．4
,1x x ∀∈≥Z
B ．2
00,3x x ∃∈=Q
C ．2,210x x x ∀∈-->R
D ．00,0x x ∃∈≤N
12.已知下列命题：
①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；
②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“（p ）∧（q ）为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；
④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________． 13.写出下列存在量词命题的否定． （1）p ：∃x 0∈R ，＋2x 0＋2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含三个正因数．
14.已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）命题:q 任意实数[]
1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.
15.设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式
210x x m --+≤成立.
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 答案
1．命题“0x R ∃∈，00
1
2x x +
≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，1
2x x +> B ．x R ∃∈，1
2x x +
< C ．x R ∃∈，1
2x x
+>
D ．x R ∀∈，1
2x x
+<
【答案】D
【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，1
2x x
+<,故选D. 2.命题“对任意x ∈R ，都有x 2
≥0”的否定为（ ） A.存在x 0∈R ，使得＜0 B.对任意x ∈R ，都有x 2＜0 C.存在x 0∈R ，使得≥0 D.不存在x ∈R ，使得x 2＜0 【答案】A
【解析】由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x 0∈R ，使得＜0. 3.命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是（ ） A.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 B.对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有负实根 C.存在a ∈R ，方程ax 2
－3x ＋2＝0有负实根 D.存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根 【答案】D
【解析】任意对应存在，有正实根的否定是无正实根．故命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2
－3x ＋2＝0无正实根”． 4.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是（ ） A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D.∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是：∃x ∈R ，∀n ∈N *
，使得n ＜x 2
.故选D.
5.写出下列全称命题的否定：
（1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3.
【答案】（1）p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数． （2）p ：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆． （3）p ：∃x 0∈Z ，的个位数字等于3. 6．将下列命题用“∀”或“∃”表示． （1）实数的平方是非负数；
（2）方程()2
2100ax x a ++=<至少存在一个负根.
【答案】（1）x ∀∈R ，20x ≥；（2）0x ∃<，()2
2100ax x a ++=<．
【解析】（1）原命题为全称命题，可改写为“x ∀∈R ，20x ≥”； （2）原命题为特称命题，可改写为“0x ∃<，()2
2100ax x a ++=<”.
7.命题p ：∃m 0∈R ，使方程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“p ”形式的命题是（ ） A.∃m 0∈R ，使得方程x 2
＋m 0x ＋1＝0无实根 B.对∀m ∈R ，方程x 2
＋mx ＋1＝0无实根 C.对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根
D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 【答案】B
【解析】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B. 8.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有x ＞1 B.不存在实数x ，使x ≤1 C.对任意实数x ，都有x ≤1 D.存在实数x ，使x ≤1 【答案】C
【解析】存在量词命题的否定是全称命题，故选C.
9.若命题p ：∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1≤0，则对命题p 的否定是（ ） A.∀x ∈[－3,3]，x 2＋2x ＋1＞0
B.∀x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），x 2＋2x
＋1＞0
C.∃x ∈（－∞，－3）∪（3，＋∞），＋2x 0＋1≤0
D.∃x 0∈[－3,3]，＋2x 0＋1＜0 【答案】A
【解析】存在量词命题的否定是全称命题，故选A.
10.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B
【解析】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
11.下列命题正确的是（ ） A ．4
,1x x ∀∈≥Z
B ．2
00,3x x ∃∈=Q
C ．2,210x x x ∀∈-->R
D ．00,0x x ∃∈≤N
【答案】D
【解析】对于A ，取0x =，可知401<，即A 错误；
对于B ，由2
03x =，可得03x =±3B 错误；
对于C ，因为在一元二次不等式2210x x ->中，240∆=+>，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取0x =时，不等式不成立，即C 错误； 对于D ，当00x =时，00x ≤成立，即D 正确. 故选：D. 12.已知下列命题：
①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；
②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“（p ）∧（q ）为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；
④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】②
【解析】命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错误；“p ∨q ”为假命题说明
p 假q 假，则（p ）∧（q ）为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇏a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必
要不充分条件，故③错误；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误． 13.写出下列存在量词命题的否定． （1）p ：∃x 0∈R ，＋2x 0＋2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含三个正因数． 【答案】（1）p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0. （2）p ：所有的三角形都不是等边三角形． （3）p ：每一个素数都不含三个正因数．
14.已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）命题:q 任意实数[]
1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(]
[),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭
.
【解析】（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，
∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；
（2）:q 任意实数[]
1,2x ∈，使1
2a x x
≥+
恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+
≤，55224
a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()
552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
.
15.设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式
210x x m --+≤成立.
（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或
5
24
m <≤ 【解析】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；
（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立， 只需(
)
2
min
1
0x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5
(1)4
x x m m ∴-+-=-+，
504
m ∴-+≤，5
4m ≤，
即命题q 为真时，实数m 的取值范围是5
4
m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，
若p 为假命题， q 为真命题，则125
4m m m ⎧⎪
⎨≤⎪
⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则12
54m m ≤≤⎧⎪
⎨>⎪⎩
，得524m <≤，
综上，1m <或5
24
m <≤.。