微分几何 陈维桓 习题答案

习题答案2

p. 58 习题3.1

2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是

2

221u x u v =++，2221

v

y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；

(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.

证明. (1) 设(,)r u v Op '=v

. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得

(1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222

u v Op =+u u v ，0Op ON '⋅=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，

得222/(1)t u v =++. 从而

22222221

(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v

22222222

221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭

，2

(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知

(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u

v u u u v u u u v v ，

又2()dt t udu vdv =-+，所以

2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v

，

332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+v v

2

2

2

2

2

(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v

v . (3)

因此(,)r r u v =v v

给出了2\{}S N 的正则参数表示.

(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有

(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++，

22222222

221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭

u u u v ，2

(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v

， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+v v

22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v

v . (5)

因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.

(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为

22u u u v =+，22

v

v u v

=+. (6) 由(3)和(5)可知

22222222222

(,)(1)1

0(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.

注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.

(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示

22

222222

221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭

v %%%%%%%%%%%% 则在公共部分的参数变换公式为

22u u u v =+%，22

v v u v -=+%. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且

22222222222

22

222

2()()222

2()()(,)

1

0(,)

()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==

>∂+%%，

所以2S 是可定向的. □

5 写出单叶双曲面222

2221x y z a b c

+-=和双曲抛物面22222x y z a b =-作为直纹面的参数方

程.

解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆

()(cos ,sin ,0)a u a u b u =v

，(0,2)u π∈

为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =v

. 则直纹面的参数方程为