高一数学必修一第三章函数的应用知识点总结.docx

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y =

f(x)(xeD)的零点。

2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与

兀轴交点的横坐标。

即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点.

3、函数零点的求法：

①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根；

© (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点.

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。

②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。

x

③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。

④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0).

(1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次

函数有两个零点.

(2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数

有一个二重零点或二阶零点.

(3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.

⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。

⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1.

⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。

5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把

复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。

6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。

试判断方程X4-X2+2X-1= 0在区间［0, 2］内是否有实数解？并说明理由。

7、确定零点在某区间（d,b ）个数是唯一的条件是:①/（兀）在区间 上连续，且

/（d ）/（b ）＜ 0②在区间（Q"）上单调。 求函数/（%） = 2" + Ig （x +1） - 2的零点个数。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使/（兀）=0的实数；

从“形”的角度看：即是函数/（兀）的图象与x 轴交点的横坐标；

若函数/（%）的图象在x = x 0处与兀轴相切，则零点兀。通常称为不变号零点； 若函数f

（x ）的图象在x = x 0处与兀轴相交，则零点兀0通常称为变号零点.

一元二次方程根的分布讨论

一元二次方程根的分布的基本类型

设一元二次方程+^X4-C = 0 （。工0）的两实根为站，兀2,且兀1＜兀2・

k 为常数,则一元二次方程根的k 分布（即"，兀2相对于k 的位置）或根在区间上的 分布主要

有以下基本类型：

表一：（两根与0的大小比较）

分布情况

脚> KB>

0(-.

f 于

>

一大石 何个

我一 O

一 O

』 根于人

呵卜 O

O

大致图象(> )

L

//

I

\

)

X

r

r 得

出的结论

o O O < > 7需⑼

一 /

o o o > >

A>±26z ⑼

一 /

O < \)/ 9 /

O

大致图象

(< ) a

y A

- I

A

1

X 0

r 得出的结论

o o o < < A>±<加⑼

- r/ ■ ■

z

J

o o o > < A>A2a ⑼

一

/ r<

o > a

综合结论

(

不讨论

G)

r

o )o > o < ) A>;/(0 •

o )o > o > ) A>;m •

Q r<

o < \)z o z(\ / •

d

表二：（两根与k 的大小比较）

分

布情况

即 比

£ <

// , 歸 <

即 k k > it 勺 都

k H > 两 西

大 个

可 一 < £ < 于 西 小 即 根 k 个 于

大 致 图 象

a>0

n \

- /

1

\□

1 3 -

3

vy

X

1 n F

得出的结论

£ O O < > A>A<2a ⑷

一

/ —#<1—

4

£ O O > > A>A2a ⑷

- f ■ ■

■

、

O

< \)/ JK 7|\ /

表三：（根在区间上的分布）

分布情况

内

\1^/ An

)

加 一

另 g , < 内

p 司 V 仏 n o < 在加 根 ， 一

内

大 致 图 象

z*x

a > 0

// n

1 ? y

-

-

X q m

3

得出的结论

<

/?

■

o O < O0>

少方加

A

/ / X r k

o

<

<

o O < <

或

o o o O > < < > -)切小

0 /|\ /|\ //\ /(\ / / / /

O

大致图象(V )

得出的结论

A>0 b --- < k 2a /(^)<0

A>0 b . --- > k 2a /W<0

张)> o

综合

结论

(

不

讨论G)

A>0

b ---

2a

心⑷〉0

A>0

b ---- >k 2a aj ⑷ >0