多元函数极值的充分条件

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多元函数取得极值的条件

序列可行方向的性质性质 1 处可微，设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有在处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空，法间 n − me −1 空，生 m 维间其空是为间在空中取组准交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考函方组法间任一标正基虑数程
∇f (x*) = 0
设元数 (x)存二连偏数 x*是小 n 函 f 在阶续导，极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )

多元函数的极值及其求法

不是上面之一, 则称为不定矩阵.
定理设A是一个n n对称矩阵,
A正定所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2

等约束条件下多元函数条件极值的充分条件

０１２００１２００００６］，的伴随矩阵，两矩阵有相同的正定和负定性［结论得证。
０
０
０
０
ｆ＋λφ 烎
０２２
００２２
２三元函数的条件极值
２．１单等式约束条件下极值三元函数ｕ＝ｆ（ｘ，ｚ）在 φ（ｘ，ｚ）＝０下取到极值的充分条件。ｙ，ｙ，
２２２定理２设函数ｕ＝ｆ（ｘ，ｚ），ｘ，ｚ）存在二阶连续偏导数，ａｒａｎｅ函数ｙ，ｙ，ｇｇｘ＋φ ｚ ≠０且Ｌｙ＋φ φ（ φ 是空间区域 Ω 的内点且是Ｌ（Ｌ（ｘ，ｚ，ｘ，ｚ）ｘ，ｚ），Ｍ０（ｘｚｘ，ｚ，＝ｆ（＋λ λ） λ λ）的稳ｙ，ｙ，ｙ，ｙｙ，０，０，０，０） φ（
在大学数学许多教材中，关于等约束条件极值几乎只是给出了其必要条件，而要求出极值通常是采至于是极大值还是极小值往往是结合实际问题来讨论，而要用Ｌａｒａｎｅ乘数法求出其可能的极值点，ｇｇ
１］２］２。通常的方法是采用二阶微分法［从理论上准确判断出其是极大、极小值往往比较困难［求出ｄＬ并
ｕｚ，）将ｚ＝ψ（ｘｘ，ｘ，ｚ）得：ｕ＝ｆ（ｘ，ｘ，＝ｆｙｙ）代入ｕ＝ｆ（ｙ，ｙ，ｙ）０，０），ｘ＋ｆｚ ψ（ ψ（ｘｘ
２２ｕｚｕｚ（ｚ）ｚｚ；＝ｆ＋ｆ＋ｆ２＝ｆｚｘｘ＋ｆｘｚｚｘ＋ｆｚｚｚｙ＋ｆ２ｘｘｘｘｘｙｙ２２ｚ（ｚ）ｚｕｚ；＝ｆ＋ｆ＋ｆｘｘｚｚｚｚｚｙ＋ｆｙ＋ｆｘｘｘｙｙｙｙ２２ｚ（ｚ）ｚｕｚ；＋ｆ＋ｆｆｚｚｚｚｚｙ＋ｆｙｙ＋ｆｙ２＝２ｙｙｙｙｙ２ｚｚｘｙｘｘｚ－２ｘｚｚｚｚ φ φｘ φｚ＋φ φｘ；又将以下几式＝－φ ，＝－φ ２＝－φ φ ３ｘｘｙ φｚ φｚ φｚ２２ｘｙｚ－（ｘｚｙｚｚ＋φ ｚｚｙｙｙｚｚｚｚｚ φ φｙ＋φ φｘ） φ φｘ φｙ； φ φｚ－２ φ φｙ φｚ＋φ φｘ代入（）、（）、（）式４５６＝－φ φ ３２＝－３ｘｙｙｚｚ φ φ ２２２２２２ｆ１ｕ１ｕ２２２２（ｘ且令λ＝－ｚｕＬＬＬ＝ｚｘｚ－２ｘｚｘｚ＋Ｌｚｚｘ）２；２＝（ｚ－２ｚ＋Ｌｚｚｙｙｙｙｙ）２；２＝Ｌ φ φ φ φ φ φ φ φ ｘｘｙｙｚｚ φｚ φ φ ２２２ｕｕ１ｕ２（其中μ＝ＬＡ，Ｂ，２Ｃ，＝＝＝ｘｘｚｚｚｚｙｙ２ φｚ－Ｌ φｘ φｚ－Ｌ φｙ φｚ＋Ｌ φｘ φｙ）２ μ μ μ ，）ｘ，），）ｘ（ｙ（ｘｙ（ｘｘｚ０ｙ０ φ ０ｙ００ｙ０２２

多元函数取局部极值的一个充分条件

（，Ｏ处不取局部极值，从而ｆｘ，在点０）＜）
在尸１），（。定由论，ｚ）点局极值（）一点ｔ，处Ａ），推知（在尸部小，．＝（１一３正，，取１１
在Ｐ，ｎ（一，点ｚＯ＝。ｊ（）：Ｏ处
（）定。然而，令＝０负，则ｆ（ｚ， ‘ ．Ｏ０）处不取局部极值。
“
６５０）５００
（
பைடு நூலகம்
，
）凸区域Ｄ（Ｒ）上具有连续偏导数的ｎ元函数，方程组，．是Ｄ若
。：，… ，。，则称Ｐ。，的一十稳定点。，。）是）凸区域Ｄ上具有二阶连续偏导数的元函数，（。ｚ。 … ，：是Ｐ。，，）（Ｐ），矩阵Ａ（ｌ）一ａｊ
（：Ｐ注点的坐标为（十ｚ，２＋ △ ，，＋ △ 】ｚ。 …
尸（，＋】２＾Ｐ）（，Ｐ）上 … ＋ △ｒ１
）Ｐ， ∈ Ｄ）。
＾（Ｐ）下（Ｐ）一
…
２ｌ＾（Ｐ）＋２２，（Ｐ）卞 … ＋，，ｘ／Ｓ，ｘＳ
处取局部极小（）值。大
证明：用定理证明中的部分推导，对点尸。Ａ正定，Ａ的所有顺序主子式（于，，沿针，关
…
．
的函数）全大于０由微分学知，存在点。
处负定的情形
” ）≤ ，

多元函数极值条件的充分及必要条件

多元函数极值条件的充分及必要条件一、引言在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究方向。

求解多元函数的极值可以帮助我们了解函数的性质和优化问题。

本文将介绍多元函数极值的充分条件和必要条件，并通过数学推导和具体案例进行说明。

二、充分条件对于一个多元函数，如果它在某一点处取得极值，那么该点的梯度向量为零。

这是多元函数极值的充分条件之一，也称为驻点条件。

假设函数为$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们定义其梯度向量为：$$\n ab la f=\l ef t(\f ra c{{\pa rt ia lf}}{{\p ar ti al x_1}},\f ra c {{\p ar ti al f}}{{\p a rt ia lx_2}},...,\fr ac{{\p ar ti alf}}{{\pa r t i al x_n}}\ri gh t)$$如果存在一个点$(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)$，使得$\na bl af(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)=\m at hb f{0}$，那么该点为函数$f$的驻点。

然而，驻点并不一定是极值点。

还需要进一步考察该点的二阶偏导数信息。

三、必要条件1.H e s s i a n矩阵H e ss ia n矩阵是多元函数在某个点处的二阶偏导数构成的矩阵。

对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其He ssi a n矩阵定义为：$$H(f)=\be gi n{bma t ri x}\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_1^2}}&\f ra c{{\par t ia l^2 f}}{{\pa rt ia lx_1\p ar ti al x_2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_1\par t ia lx_n}}\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_2\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_2^2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_2\par t ia lx_n}}\\\v do ts&\vd ot s&\dd o ts&\vd ot s\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_n\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_n\p a rt ial x_2}}&\cd ot s&\fr a c{{\pa rt i al^2f}}{{\pa rti a lx_n^2}}\e nd{b ma tr ix}$$2.S y l v e s t e r定理S y lv es te r定理给出了判别He ss ia n矩阵正定、负定和不定的条件。

多元函数极值的判定

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1定理中用到的定义 (2)2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5)3多元函数极值判定定理的应用 (7)参考文献 (8)多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值.关键词：极值；条件极值；偏导数；判定The judgement of the extremum of the function of manyvariablesAbstract ：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables .Keywords : extremum; conditional ;partial derivative引言在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去.1 定理中用到的定义定义 1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点.定义1.2[]1设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在0x 的某一领域有定义，则当极限0000000(,)(,)(,)limx xf x y f x x y f x y x x→+-=V V V V V 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作00(,)x y fx∂∂.定义1.3[]3 设n D R ⊂为开集，12(,,,)n P x x x D ∈L ，0000122(,,,)P x x x D ∈L :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有000()()()limP P f P f P A P P P P →----,则称n 元函数12(,,,)n f x x x L 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为0()f P '.注1：01122(,,,)T n n P P x x x x x x '''-=---L 为n 维列向量. 注2：0P P -=注3：在导数存在的条件下，可求得：012()(,,,)nf f f f P A x x x ∂∂∂'==∂∂∂L ,它是一个n 维向量函数.定义 1.4[]3（二阶导数）若n 元函数f 的一阶导数f '在D （或D 某一点）上可微，则称f 在D （或D 某一点）上二阶可微，并定义n 维向量函数()T f '的导数为f 的二阶导数，记作()f P ''，并可求得2222121122222122222212()n n nnn ff f x x x x x f f f f P x x x x x f f f x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎪''=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭L L L L L L L此矩阵为f 在P 点的Hesse 矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. n 元函数f 在点0P 的二阶Taylor 公式可简单地写成：00000001()()()()()()()()2T n f P f P f P P P P P f P P P O P P '=+-+--+-.2 函数极值的判定定理对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.定理2.1[]1 （必要条件）若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域偏导数存在，切点00(,)x y 是是其极值点，则0000(,)(,)0f x y f x y x y∂∂==∂∂. 定理2.2[]1 （充分条件）设点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且在点00(,)x y 的某领域有二阶连续偏导数存在.记222200000022(,)(,)(,),,,,f x y f x y f x y A B C AC B x x y y∂∂∂====-∂∂∂∂V 则1）当0<V 时，点00(,)x y 不是函数的极值点;2）当0>V 是，若0A >,则点00(,)x y 是函数的极小值点，若0A <,则点00(,)x y 是函数的极大指点；3)当0=V 时，该方法不能判断其是不是极值点.注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了0=V 的情形）.利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.定理2.3 （必要条件）设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y f x x x =L 在点0P D ⊂可微，且在该点取得极值，则0()0f P '=（此0表示n 维向量(0,0,,0)L ）.证明由费马定理知当f 在0P 点取得极值时，012()(,,,)0nf f ff P x x x ∂∂∂'==∂∂∂L . 定理2.4（充分条件）设n D R ⊂为开集，n 元实函数12(,,,)n y f x x x =L 在0()U P D ⊂上存在二阶连续偏导数，且0()0f P '=，则当0()n f P 为正定或半正定时，f 在0P 点取得极小值，当0()n f P 为负定或半负定时，f 在0P 点取得极大值.证明 0P ，P 点坐标分别满足00012(,,,)n x x x L 与12(,,,)n x x x L ，且0()P U P ⊂,0i i i x x x =-V ，当0()0f P '=时，由Taylor 公式，有000000212012121211()()()()()()21(,,,)()(,,,)(())2(,,,)()T n nT nn n i i i nn i i f f P f P P P f P P P O P P x x x f P x x x o x x g x x x o x ===-=--+-=+-=+∑∑V V V L V V V L V V V L V V 当0()U P 充分小时,只要0()P U P ⊂，则该式子的符号由12(,,,)n g x x x V V L V 确定.当0()n f P 为正定时，二次型12(,,,)0n g x x x >V V L V ，当0()n f P 为半正定时，二次型12(,,,)0n g x x x ≥V V L V .故当0()n f P 为正定或半正定时，0()()0f f P f P =-≥V ，所以0()()f P f P ≥，故0P 点是f 的极小值点.同理可证，当0()n f P 为负定或半负定时，0P 点是f 的极大值点.定理 2.5[]1 设在条件12(,,,)0,1,2,,()k n x x x k m m n ϕ==<L L 的限制下，求函数12(,,,)n y f x x x =L 的极值问题，其中f 与(1,2,,)k k m ϕ=L 在区域D 有连续的一阶偏导数.若D 的点000012(,,,)n P x x x L 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵01111n m m n P x x x x ϕϕϕϕ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂ ⎪⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭K M O M L的秩为m ，则存在m 个常数(0)(0)(0)12,,,mλλλL ，使得000(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλL L 为拉格朗日函数121212121(,,,,,,)(,,,)(,,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλλϕ==+∑L L L L的稳定点，即000(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλL L 为下述n m +个方程： 111111112120(,,,)0(,,,)0n mmx k k mx k k n nn m n f L x x f L x xL x x x L x x x λλϕλϕλϕϕ==∂∂⎧=+=⎪∂∂⎪⎪⎪∂∂⎪=+=⎨∂∂⎪⎪==⎪⎪⎪==⎩∑∑L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 的解.此定理的证明可参阅文献[1]第二十三章的定理23.19的证明. 由定理5可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的定理都可以用来判定条件极值.除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.定理 2.6[]2 设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y L x x x =L 在0()U P D ⊂存在二阶连续偏导数，且0()0L P '=,则当20()0d L P >时，12(,,,)n y L x x x =L 在0P 点取得极小值；20()0d L P <时，12(,,,)n y L x x x =L 在0P 点取得极大值.证明 11n nL LdL dx dx x x ∂∂=++∂∂L ， 2121222212121211()()n nn n L L Ld L d dL ddx d dx d dx x x x L L Ldx dx dx dx x x x x x ∂∂∂==+++∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂L L22212221222222122212()()n n n n n nL L L dx dx dx dx x x x x x L L L dx dx dx dx x x x x x ∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂L L L22211112221(,,)n n n nn L L x x x dx dx dx dx L L x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂∂⎝⎭K L MO M L L11(,,)()n n dx dx dx f P dx ⎛⎫⎪''= ⎪ ⎪⎝⎭L L .又因为0()0L P '=，固由定理4知当0()f P ''正定，即20()0d L P >时，0P 为L 的极小值点，当0()f P ''负定，即20()0d L P <时，0P 为L 的极小值点 .3 多元函数极值判定定理的应用由于函数的条件极值都可以通过定理5转化成无条件极值，也就是说在条件极值的判定中能充分体现无条件极值的判定.例 3.1[]2 求三元函数(,,)22f x y z x y z =-+在受约束条件2221x y z ++=限制下的极值.解设222(,,,)22(1)L x y z x y z x y z λλ=-++++-，由0L L L L x y z λ∂∂∂∂====∂∂∂∂有：当32λ=-时，122(,,)(,,)333x y z =-，当32λ=时，122(,,)(,,)333x y z =--，现判断是极大值还是极小值 .方法1：对函数(,,)22f x y z x y z =-+用定理2，其中z 视为,x y 的函数，即(,)z z x y =，它由2221x y z ++=决定。

《高等数学》(北大第二版 )6-9极值问题

f y ( x0 , y0 ) 0.
令
根据代数知识， b 2 ac 时，二次三项式当
ax 2 2bxy cy 2
( x, y不全为零）
1 2 2 2 0, 当a 0时, [( ax by ) (ac b ) y ] a 0, 当a 0时。
证设( x, y)为( x , y )邻域内的任意一点， x x0 x, 令 0 0
b y ax o x x
y ( xi , yi ) yi
i
解问题转化为求二元函数 u (a, b)的最小值.
u (a, b) (axi b yi )
i 1
n
2
令
u b
u a
称为法方程组
xi b
即
i 1
n
xi a
i 1
n
解此线性方程组即得 a, b
用归纳法可证方程组的系数行列式
2 xi ,
i 1
n
于是得到最线性近似公式
补例某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,

多元函数的微分中值定理与极值判定

多元函数的微分中值定理与极值判定多元函数的微分中值定理和极值判定是微积分中重要的理论基础，也是应用广泛的数学工具。

它们是研究函数性质和优化问题的重要工具。

本文将介绍多元函数的微分中值定理和极值判定的概念、原理和应用。

一、多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分的基本定理之一，它是单变量函数中值定理在多元函数中的推广。

多元函数的微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。

1.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是多元函数微分中值定理的一种形式。

设函数$f(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上连续且在开区间$(a,b)\times(c,d)$上具有一阶偏导数，则存在一点$(x_0,y_0)$属于开区间$(a,b)\times(c,d)$，使得$$f(b,d) - f(a,c) = f_x(x_0,y_0)(b-a) + f_y(x_0,y_0)(d-c)$$其中，$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$分别表示函数在点$(x_0,y_0)$的偏导数。

1.2 柯西中值定理柯西中值定理是多元函数微分中值定理的另一种形式。

设函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上连续且在开区间$(a,b)\times(c,d)$上具有一阶偏导数，并且$g_x(x,y)$和$g_y(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上不同时为零，则存在一点$(x_0,y_0)$属于开区间$(a,b)\times(c,d)$，使得$$\frac{f(b,d)-f(a,c)}{g(b,d)-g(a,c)} =\frac{f_x(x_0,y_0)}{g_x(x_0,y_0)} =\frac{f_y(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}$$二、多元函数的极值判定多元函数的极值判定是通过求函数的偏导数和判定二次型的正负来确定函数的极值点。

多元函数微分法应用-极值与最值

2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组

ch7-6-多元函数求极值

umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件） • 多元函数的最值 • 条件极值（拉格朗日乘数法）
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成本最低的产量？ • 解：目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数，f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？ • 解：目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ）
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位，单价分别为：200,150，总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解：

解：令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,

多元函数极值的充分条件教学过程

The teaching process of sufficient condition of
extremum of function of several variables 作者：陈俊霞[1];王振纬[1];姚晓闺[1]
作者机构： [1]陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室,合肥230031
出版物刊名：黑龙江科学
页码： 34-35页
年卷期： 2020年第5期
主题词：多元函数极值;极坐标变换;一元函数泰勒公式
摘要：在大多数《高等数学》教材中,证明多元函数极值的充分条件的理论依据都是二元函数的泰勒公式。

但二元函数泰勒公式是选学内容,在课堂教学中,教师往往选择不证明,直接给出结论。

因此,学生往往一知半解,只会死记硬背、套用公式,缺乏学习兴趣。

本研究仅利用一元函数的泰勒公式进行证明,大大简化了证明过程。

始终在教学过程中坚持启发式原则,通过层层推导,引导学生总结从驻点过渡到极值点的条件。

综合利用二次型正定、负定的相关结论,注重与学生共同分析讨论,引导学生构造充分性的相关条件与结论。

从而激发了学生的学习兴趣,提升了其学习效率,取得了良好的教学效果。

多元函数取局部极值的一个充分条件及其几何意义

参考文献
[1]同济大学数学教研室. 高等数学( 四版) ( 下册) . 北京: 高等教育出版社 1998 61-7O [2]张国坤岳秦先. 多元函数取局部极值的一个充分条件. 高等数学研究 2OO2 1. 12-13
多元函数取局部极值的一个充分条件及其几何意义
作者：作者单位：刊名：
英文刊名：年，卷(期)：
F< 1) F< 0) = F/ < 6) 0 < 6 < 1 即
f < I1 I2
In ) f < I01 I02
I0n ) =
n
Z f / II [I01 + 6< I1 I01 ) I02 + 6< I2 I02 )
I= 1
I0n + 6< In I0n ) < II I0I ) =
< 1) f < I1 I2
王书彬，王霞郑州大学数学系,郑州,450052
高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2003,6(1)
参考文献(2条) 1.同济大学数学教研室高等数学 1998
2.张国坤.岳秦先多元函数取局部极值的一个充分条件[期刊论文]-高等数学研究 2002(01)
例3
讨论 f(I y
)=
1 2
I4 +
1 2
y4+
4 + I2
2+ y2
2+ I2-y2 的极值( 参看[2]P13 例 3)
解 f I= 2I( I2+ 2+ 1) f y= 2y( y2+ 2-1) f = 2 ( I2+ y2+ 2 2)

多元极值的充分条件

多元极值的充分条件稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊多元极值的充分条件这个有点小复杂但超级有趣的话题。

你们知道吗，要弄明白多元极值的充分条件，就好像是在解一个神秘的谜题。

想象一下，我们在一个充满未知数的大迷宫里，而这个充分条件就是我们找到出口的关键线索。

比如说，当我们有一个多元函数，然后对它求偏导数。

如果这些偏导数在某个点都等于零，那这可就是个重要的信号哦！就好像是函数在跟我们说：“嘿，注意啦，这里可能有情况！”还有呢，如果二阶偏导数满足某些特定的条件，那就能更确定是不是极值啦。

这就像是给这个谜题又加上了一层保障，让我们更有信心找到答案。

比如说，如果二阶偏导数组成的矩阵是正定的，那妥妥的就是极小值；要是负定的，那就是极大值。

这感觉是不是有点像拥有了神奇的魔法钥匙，能打开极值的大门呀？不过呢，要真的熟练掌握这些充分条件，可得多做些练习题，多琢磨琢磨。

就像打怪升级一样，经验多了，面对各种情况都能轻松应对。

好啦，今天就先聊到这儿，希望大家对多元极值的充分条件有了更多的了解和兴趣哟！稿子二哈喽呀，小伙伴们！今天咱们来唠唠多元极值的充分条件。

这多元极值的充分条件啊，就像是一场刺激的探险之旅中的宝藏线索。

你想啊，多元函数就像一个神秘的宝藏地图，而充分条件就是指引我们找到最值宝藏的关键。

当我们研究一个多元函数的时候，第一步常常是求偏导数。

要是在某个点上，所有的偏导数都变成了零，这时候就得竖起耳朵，睁大眼睛啦，因为这可能是极值出现的前奏。

然后呢，再看看二阶偏导数。

这二阶偏导数就像是更精细的探测器，能告诉我们更多的秘密。

如果它们组成的那个矩阵表现得很特别，比如说正定，那我们就像挖到了宝贝，知道这肯定是极小值；要是负定，那就是极大值到手啦！但是哦，可别以为这就简单啦。

有时候，这些条件会变得有点调皮，故意考验我们的耐心和细心。

所以呀，咱们得静下心来，好好分析，不能马虎。

而且，实际运用的时候，可不能死记硬背这些条件。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

二、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

多元函数求极值

解令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
解将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4 z y 0 2 y 2 z z x 2 4 z y 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 A z xx | P , 2 z
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和使得 3 2 u x y z 为最大.
2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 3 2 F x y 0 z x y z 12
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２函数 z x 2 y 2
在 (0,0) 处有极大值．
(1)
(2)
例３函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )

多元函数求极值的方法总结

多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。

分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。

解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。

（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。

解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。

解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。

多元函数的极值与条件极值

例5 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y(4 - x - y ) 在直线 x + y = 6， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
解
如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x+ y=6
D
x
D
o
பைடு நூலகம்
解方程组
2 f ( x , y ) = 2 xy ( 4 x y ) x y=0 x 2 2 f y ( x, y ) = x ( 4 - x - y ) - x y = 0
不是极值；在点 ( -3,0) 处，AC - B 2 = -12 6 < 0, 所以 f ( -3,0) 不是极值；
AC - B2 = (-12) (-6) > 0, 又在点 ( -3,2) 处，
A < 0, 所以函数在 ( -3,2) 处有极大值
f ( -3,2) = 31.
求极值的步骤总结
yz + 2l ( y + z ) = 0
xz + 2l ( x + z ) = 0
xy + 2l ( y + x ) = 0
2xy + 2 yz + 2xz - a = 0
2
得到
6 x= y=z= a, 6
6 的正方体的体积为最大，最大体积 a 6
这是唯一可能的极值点。因此表面积为a 2 的长方体中，以棱长为
3 3 2 2
的极值解
先解方程组
2 f ( x , y ) = 3 x + 6 x - 9 = 0, x 2 f ( x , y ) = 3 y + 6 y = 0, y

多元函数取到条件极值的充分条件

多元函数取到条件极值的充分条件
在数学及经济学中，多元函数取到条件极值的充分条件是一直在学术界引发热
议的话题。

由于大多数多元函数的性质是复杂的，因此解决条件极值问题时，往往需要结合统计学研究多元函数的性质来获得解决方案。

多元函数取到条件极值的充分条件，通常就是要求函数符合一定的条件函数，
并且函数必须满足一定的变量不等式要求，才能取得最优解。

具体来说，要求偏导函数满足Kaplans-Kronrod方程，以及函数的条件必须在第四范式函数中满足等式，才能保证能使函数取得条件极值。

此外，通过多元math解析法求解多元函数取到条件极值的充分条件，可以从
解析、符号、数值几方面来考虑极值问题。

首先，通过解析法，我们可以确定函数的步调和步长，以及函数形式最合理时的极值情况；其次，通过符号学计算，可以推算出条件函数面上极值的取值空间大小与选择；最后，通过数值计算，可以进一步改善求解准确性和精度，从而有效精确求解出条件极值的充分条件。

通过恰当的多元函数处理可以使得机器学习的算法具有有效的收敛性，从而有
效抑制模型可能出现的偏差。

此外，取得条件极值的充分条件还可以使机器学习更加准确，提高系统性能，完善互联网体验。

因此，多元函数取到条件极值的充分条件对当今互联网来说，十分重要。