多元函数极值的充分条件

多元函数极值的充分条件

马丽君

（集宁师范学院 数学系）

我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。若

0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值

点）

对于多元函数()

Y f X =，其中

12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充

分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中

12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12

,,,T

n f f

f x x x ⎛⎫∂∂∂

⎪∂∂∂⎝⎭

为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理 设n 元函数()f X ，其中

12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，

则()f X 在点00

0012(,,,)n X x x x =取得极值的必要

条件

是

：

0112(),,

,0T

n n X X f f

f gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭

证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶

连续偏导数，00

0012(,,

,)n X x x x =是()f X 的驻点，

现定义

()f X 在点0X 处的矩阵为：

2220002

112122220002021

22222

0002

1

2

()

()()()()

()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫

∂∂∂⎪⎪

∂∂∂∂∂⎪

⎪⎪⎪

∂∂∂⎪

⎪

=∂∂∂∂∂⎨⎬

⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

∂∂∂⎪

⎪∂∂∂∂∂⎩⎭

由

于

各

二

阶

偏

导

数

连

续

，

即

22(,1,2,,)i j j i

f f

i j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，

所以0()f H X 为实对称矩阵。

定理 设n 元函数()f X ，其中

12(,,,)n X x x x =，具有对各自变量的二阶连续偏导

数，00

0012(,,

,)n X x x x =是()f X 的驻点，则 （1） 当

0()

f H X 正

定

时

，

000012(,,

,)n X x x x =是()f X 的极小值

点；

（2） 当

0()

f H X 负定时，

000012(,,

,)n X x x x =是()f X 的极大值

点；

（3） 当

0()

f H X 不定时，

000012(,,

,)n X x x x =不是()f X 的极大

值点

证明：由()f X 在点0X 处的泰勒公式

00000112212

2200200

0001111222112

2

0001112

2

0000221122212

()()()()()()()()()1()[()()()]2()()()()()()()(n n n n n n

f X f X f X f X X X X X X X f X f X f X X X X X X X X X X X X X f X X X X X X X f X f X X X X X X X X X X ∂∂=+-+-∂∂∂∂∂++-+-+--∂∂∂∂∂+

+--∂∂∂∂+--+-∂∂∂()02

2200

022********

200022220202121212

0)()()()()()()()()()()()]()()1

()2

n n n n n n n n n n n n

n

T n n n n f n f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X X X X X f X X X R X x x f X gradf X x x x x x x H X x ∂++--∂∂∂+

+--∂∂∂+--∂∂∂+

+-+∂∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦∆⎡⎤⎢∆⎢+

∆∆∆⎢⎢∆⎣n

R ⎥

⎥+⎥⎥⎦

是 其中0

(1,2,,)i i i X X X i n ∆=-=，n R 比X ∆高阶的无穷小

对于驻点0X ，由引理结果01()0n gradf X ⨯=，则上述泰勒展开式又可写为：

()1201201

()()()2

n f n

n x x f X f X x x x H X R x ∆⎡⎤⎢⎥

∆⎢⎥-=

∆∆∆+⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦

由此可见，当0()f H X 正定时，在点0X 的某去心邻域内就有0()()0f X f X ->，

即0()()f X f X >。

故000

012(,,,)n X x x x =为()f X 的极小值点。同理可知：当0()f H X 负定时，

0000

1

2

(,,,)n

X x x x =为的极大值点：对

0()f H X 不定时情况，本文不再详细讨论。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）