35数学八年级上册乘法公式(基础)知识讲解

数学八年级上册乘法公式（基础）知识讲解
乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：22
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-
（3）指数变化：如3232()()m n m n +-
（4）符号变化：如()()a b a b ---
（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++
要点二、完全平方公式
完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2
233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；
(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；
(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.
【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．
(2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()2
2a ＝2294b a -． (3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()2
3b ＝2249a b -． (4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()2
3b ＝2249a b -． (5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()2
2a ＝2294b a -． 【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．
举一反三：
【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．
【答案】
解：（1）原式22
22392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）原式222
(2)4x x =--=-．
（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-． 2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22
600.1-＝3600－0.01＝3599.99
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．
举一反三：
【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）
【答案】
解：（1）1232﹣124×122
=1232﹣（123+1）（123﹣1）
=1232﹣（1232﹣1）
=1232﹣1232+1
=1；
（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）
=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）
=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）
=（4a 2）2﹣（b 2）2
=16a 4﹣b 4． 类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()2
23x y --．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.
【答案与解析】
解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++． (2) ()()()222
223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+． (3) ()()22
222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．
(4) ()()()()2222
222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化． 4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．
（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；
（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）
2
，（m ﹣n ）2，mn ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．
【答案与解析】
解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；
（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；
方法②：（m+n ）2﹣4mn ；
（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；
（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，
∵a+b=7，ab=5，
∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5
=49﹣20
=29．
【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．
5、（2016春•常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．
（1）求xy 的值；
（2）求x 2+y 2+4xy 的值．
【思路点拨】
（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x +y=3代入，即可求出答案；
（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．
【答案与解析】
解：（1）∵x +y=3，（x +3）（y +3）=xy +3（x +y ）+9=20，
∴xy +3×3+9=20，
∴xy=2；
（2）∵x +y=3，xy=2，
∴x 2+y 2+4xy=（x +y ）2+2xy=32+2×2=13．
【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知2()7a b +=，2
()4a b -=，求22a b +和ab 的值． 【答案】
解：由2
()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①
由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ② ①＋②得222()11a b +=，∴ 22112
a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34
ab =．。