一平面简谐波的波动方程
波动方程举例
4t - 4 9
20
yD
3 102
cos[4 π t
-
9
5
]
3 102 cos[4 π t ]
5
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
u
T
t=0时x=0处的质点的位移为0，
向正方向运动
y/m t0
0.04
O A
y
π
2
o•
-0.04
p•
0.2
u 0.08m/s
x/m
坐标原点的振动方程为 y 0.04cos[0.4t - ]SI
2
波动方程 y 0.04cos[0.4 t x - ]SI
0.08 2
（2）p点处x = 0.2m,代入上述波动方程
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
2.已知波动方程，求各物理量
例3 波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
1.此波是正向还是反向波，并求 A、n、T、u 及 ；
2. x = 2 m 处质点的振动方程及初相； 3.x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。
解：1.
0.05 cos ( 5 x – 100 t ) 0.05 cos 100 ( t – x )
20
cosa = cosa
正向波
波动方程 y = 0.05 cos ( 5 x – 100 t ) (SI)
与
y
A cos ( t
平面简谐波__波动方程
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
波动方程例题
一平面简谐波， 轴负方向传播， 例1.一平面简谐波，向 x 轴负方向传播，波速为 一平面简谐波 u=120m/s,波长为 波长为60m,以原点处质点在 =A/2处并向 以原点处质点在y 波长为 以原点处质点在 处并向 y轴正方向运动作为计时零点，试写出波动方程。 轴正方向运动作为计时零点， 轴正方向运动作为计时零点 试写出波动方程。
t =0 A yO = 2 v< 0
O
A 2 o
.P
12
A x (m)
=π
4
2π
yP = 0 v >0
x = p 0 λ
2π
P = π 2
λ
12 =
π
2
π
4
∴ λ = 32 m
[ 例4] 以P 点在平衡位置向正方向运动作为计时零点 写出波动方程。 ，写出波动方程。
y
u d
o
P
x
解： ∵ t = 0, y0 = 0, v0 > 0 ∴ p = 2 π P点的振动方程 y p = A cos (ω t 点的振动方程： 点的振动方程 2 )
2π π x ) 波动方程为： ∴ y = 0.03cos(4πt + 波动方程为： 3 6
时刻的波形图， 例7.图示为平面简谐波在 t=10s时刻的波形图，求 图示为平面简谐波在 时刻的波形图 （1）波动方程 ） （2）此时 点的振动速度与方向 ）此时P点的振动速度与方向 y(m) 由波形图可知： 解： 由波形图可知：
3
[ 例5 ] 波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。 时刻的波形如图所示。 时刻的波形如图所示 y(m) 写出波动方程。 写出波动方程。
u t=0 y 0 = 4 cos ( 200 t π ) π 3 原点的振动方程： 解： 4 p 2 (o点) 点 o A x π x (m) 5 y0 = 2 = y = 4 cos 200π 3 + 2 ( m) t 波动方程： { v0 ＞ 0 400 3 2π d = p 0 u λ 0 = π 得： ω = 2π 2 d π 3 λ λ = y0 = 0 t =0 p 0 = 200π (p点) { v0 ＜ 0 点 5
《大学物理》 第二版 课后习题答案 第十章
习题精解10-1 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是3,,,424λλλλ。
设振源的振动方程为cos 2y A t πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1） 122,2,2xxπϕπϕππλλ∆∆∆==∆==3432,222x x πϕπϕππλλ∆∆∆==∆== （2）112233440,,2223,222πππϕϕϕϕππϕϕπϕϕπ=-∆==-∆=-=-∆=-=-∆=-（3） 1212343411,,,24223,,,242t T T t T T t T T t T Tϕϕππϕϕππ∆∆∆==∆==∆∆∆==∆==10-2 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为21.010m -⨯，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1400u m s -=∙的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。
解 根据题意可知，波源振动的相位为32ϕπ= 2122200, 1.010,4000.01A m u m s T ππωπ--====⨯=∙ 波动方程231.010cos 2004002x y t m ππ-⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10-3 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。
解 （1）比较系数法 将波动方程改写成0.05cos10 2.5x y t m π⎛⎫=-⎪⎝⎭与cos x y A t u ω⎛⎫=-⎪⎝⎭比较得1120.05;10;0.21015; 2.5;0.5A m T s v s u m s u T m Tπωππλ--=======∙=∙=（2）各质元的速度为()10.0510sin 410v x t m s πππ-=⨯-∙ 所以1max 0.0510 1.57()v m s π-=⨯=∙ 各质元的加速度为()220.05(10)cos 410a x t m s πππ-=-⨯-∙ 所以22max 0.05(10)49.3()a m s π-=⨯=∙10-4 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图10.1所示。
机械波一章习题解答
离变化，且两波的强度都是 I，则在 S1 和 S2 连线上 S1 外侧和 S2 外侧各点，合成
波的强度分别是：［
］
(A) 4I，4I。
(B) 0，0。
(C) 0，4I。
(D) 4I，0。
r2
r1
S2
Q
P
S1
3λ
r2
4
r1
题解 13―12 图
解：见图示，两波源在它们的连线上任一点的位相差为
2π
πHale Waihona Puke 2π∆ϕ = (ϕ2 − ϕ1 ) − λ (r2 − r1 ) = − 2 − λ (r2 − r1 )
在 S1 和 S2 连线上 S1 外侧的任一点 P 有
∆ϕ
=
π −
−
2π
⋅
3λ
=
−2π
2 λ4
因此，点 P 的振动是加强的，该点合成波的强度满足
IP
=
⎛ ⎜
AP
2
⎞ ⎟
=
⎛ ⎜
2
⎞ ⎟
2
=4
I ⎝ A ⎠ ⎝1⎠
所以(B)和(D)也可以被排除，所以最后应当选择答案(C)。事实上，因 a、b 两点
相距为 λ 4 ，故相应两点的位相差应当是π 2 。
习题 13—2 已知一平面简谐波的波动方程为 y = Acos(at − bx) (a、b 为正值)，
则：［ ］ (A) 波的频率为 a。 (C) 波长为π / b 。
波密介质的反射面，波由 P 点反射。
则反射波在 t 时刻的波形图为：
［
］
解：因为 BC 为波密介质的反
Y
0
–A
Y A
0 (A)
Y A
5-2平面简谐波的波动方程详解
u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 平面简谐波波函数的其它形式
大学物理学 （第3版）
t y A cos[2 π( T
y A cos[2 t
y A cos[ 2
2 x
x ) 0 ] λ
0 ]
(ut x) 0 ] A cos[k (ut x) 0 ]
x y A cos (t ) (沿x轴负向传播) u
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 如果原点的
大学物理学 （第3版）
A
O
y
u
初相位不为零
x
x 0, 0 0 A
点 O 振动方程
y0 A cos(t 0 )
波 函 数
x y A cos[ (t ) 0 ] u x y A cos[ (t ) 0 ] u
2 y G 2 y 2 t x2 2 y E 2 y 2 t x 2
G为切变模量
固体内弹性平面纵波
E为杨氏模量
张紧柔软线绳上传播横波
2 y T 2 y 2 t x 2
T为线绳所受张力，为线密度:单位长度线绳的质量
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程 2、波速 固体中弹性横波 固体中弹性纵波 张紧软绳中横波
x0 x0 2 π u λ
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
大学物理学 （第3版）
波线上各点的简谐运动图
第5章 机械波
5–2 平面简谐波的波动方程
6.1 平面简谐波的波动方程
2
1 E kA 2
2
E
EP Ek
1 2 1 2 (1)动能和势 kA或 mv 等于 m 结 能的幅值相等 2 2
(2) 动能和势 相 (3) 动能和势 相 能变化的周期 同 能变化的步调 反 论 一 等于振动周期 (4) 机械能守恒 半
x
t
(5) 总 能 量 与 振 幅 平 方 成 正 比 ， 振 幅 反 映 振 动 强 弱 (6)求振幅的三种方法
A A A 1 2
3.合振动减弱的条件 合振动与分振动同相
2.合振动加强的条件
( 2 k 1 ) ( k 0 , 1 , 2 , ) 2 1
A A A 1 2
合振动初相与 大振幅者相同
第 6 章
机 械 波
振动状 态的传 播过程
两类
波的
不同
之处
变化电场和变化磁 场在空间的传播 传播速度 机 械 波 的 传 播 两类 能量传播 需 要 传 播 波的 振 动 的 媒 质 反 射 共同 电磁波的传播 折 射 特征 不 需 要 媒 质 衍 射
沿着 波的 传播 方向
后一质元的 振动总要重 复相邻前一 质元的振动
在 时 间 (位相) 上 依 次 落 后
演示：横波
在 波 的 传 播 过 程 中 质点的振动和介质的形变 (3) 均以一定的速度向前传播 波动伴随着能量的传播
振动状 态和能 行 量在传 波 播的波
演示：横波
4.波的几何描述 波线 沿波的传播方向画一些带箭头的线段
理 解
一群质点(媒质) 以弹性力相互联系 其中一个质点(波源) 在外力作用下振动 引起邻近质点振动
机 械 波
演示：横波
2.波的两种类型 横 波 质点振动方向与 波的传播方向 相互垂直的波
波动作业题
19
17 如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于 图面，发出波长为的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点， 已知S1P=2，S2P=2.2，两列波在P点发生相消干涉。若S1的 振动方程为 y1 A cos( 2t ) [ D ] 2 则S2的振动方程为
( A) y 2 A cos(2t
0点比P点振动超前时间 y l 0 • p u x
[ A ]
xl t' u
xl y A cos[ (t ) 0 ] u
11
10 一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，0为坐标原点， 已知p点的振动方程为y=Acost，则 （A）0点的振动方程为y0=Acos(t–l/u) （B）0点的振动方程为y0=Acos(t+l/u) （C）波动方程为y=Acos[t+(l/u)–(x/u)] （D）c点的振动方程为yc=Acos(t–3l/u) 0点比P点振动超前时间 波动方程 [ C、B ]
13 一平面简谐波沿x轴负向传播，已知x=b处质点的振动方程为
b x ( A) y A cos[ t 0 ] u b x ( B ) y A cos{[t ] 0} u xb (C ) y A cos{[t ] 0} u bx ( D) y A cos{[t ] 0} u x b y A cos{[t ] 0 } u u xb A cos{[t ] 0} u
v0
y(m) 0.5 0 -1
t
u=1.0m/s
或/2
2
y 0.50 cos(
2
t
2
)
( SI )
1 2
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
机械波一章习题解答
5m
习题 13―7 图
X(m)
y P = A cos(ω t + ϕ )
由所给的波形图容易得到： λ = 10 m ，A=0.10m，u=20m/s，而振动的圆频率
ω=
2πu 2π × 20 = = 4π rad/s λ 10
因为波是自左向右传播的， 由此可以判断出 P 点在 t=0 时刻正在最大位移一半处 且向 Y 轴负向运动，所以， P 点振动的初位相为 ϕ = π 3 。这样，P 处介质质点 的振动方程为
Y
B P C A PX
0 (B)
习题 13─11
如图所示，为一向右传
Y
0
X
播的简谐波在 t 时刻的波形图，BC 为 波密介质的反射面，波由 P 点反射。 则反射波在 t 时刻的波形图为： ［ ］ 解：因为 BC 为波密介质的反 射面，所以在反射时有“半波损失” ， 故反射波在 P 点引起的振动与入射波 在 P 点引的振动在位相上刚好相反，
(A) y P = 0.10 cos(4πt + π 3) 。 (B) y P = 0.10 cos(4πt − π 3) 。 (C) y P = 0.10 cos(2πt + π 3) 。 (D) y P = 0.10 cos(2πt + π 6) 。 解：设 P 点处的振动方程为
u=20m/s P
y0 = A cos(ω t ′ + φ )
由 t=3s 时的波形曲线可知 A = 2 × 10 −2 m , λ = 20 m，所以
ω = 2πν =
2πu π = rad/s λ 2
t ′ = 0 时，原点处质元处于负的最大位移处，则其位相为 φ = π ，所以，
故 x=0 处的振动方程为
平面简谐波的波动方程
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
7-2平面简谐波的波动方程
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
普通物理(一)上06卷含答案
普通物理(一)上06卷含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN苏州大学 普通物理（一）上 课程试卷（06）卷 共6页考试形式 闭 卷 年 月院系 年级 专业 学号 姓名 成绩一、填空题：（每空2分，共40分。
在每题空白处写出必要的算式） 1、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长伸长△l ，这一振动系统的周期为 。
2、一平面简谐波的波动方程为y=0.25cos （125t-0.37x ）（SI ），其圆频率 ω= ，波速V= ，波长λ= 。
3、一飞轮以角速度ω0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为I ，另一个转动惯量为5I 的静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，啮合后整个系统的角速度ω= 。
4、图示水平管子，粗的一段截面积S 1=1m 2，水的 流速为V 1=5m/s ，细的一段截面积S 2=0.5m 2，压强 P 2=2×105Pa ，则粗段中水的压强P 1= 。
5、电偶极矩p 的单位为 。
闭合球面中心放置一电偶极矩为p 的电偶极子则通过闭合球面的电场E 的通量φ= 。
S 1S26、点电荷q 位于导体球壳（内外半径分别为R 1和R 2）的中心，导体球壳内表面电势U 1= 。
球壳外表面U 2= ，球壳外离开球心距离r 处的电势U= 。
7、固定于y 轴上两点y=a 和y=-a 的两个正点电荷，电量均为q ，现将另一个负点电荷-q 0（质量m ）放在x 轴上相当远处，当把-q 0向坐标原点稍微移动一下，当-q 0经过坐标原点时速度V= ，-q 0在坐标原点的电势能W= 。
8、如图所示带负电的粒子束垂直地射入两磁铁之间 的水平磁场，则：粒子将向 运动。
9、长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流I 通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介质。
6-2 平面简谐波的波动方程
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
x1 ) u
2π
(t T
x1 )
波程差
2
(t
x2 u
)
2π
(t T
x2
)
x21 x2 x1
2
y cos[2π( t x ) π ] (m) 2.0 2.0 2
O
y
A
返回
第 6 章 机械波
15
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
(2)求 t 1.0s 波形图
y 1.0 cos[2π( t x ) π ]
2.0 2.0 2
第 6 章 机械波
4
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
波动方程 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2
A cos[ (t
x) u
返回 ]
6-2 平面简谐波的波动方程
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，
已知振幅A 1.0 m，T 2.0 s，λ 2.0 m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向
运动. 求：(1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图；
第三节波 动方程
y y1 y t1 t1 + t
1-5-3
x
x
ut
x
y 1 = A cosω ( t 1 x ) u x y = A cosω ( t 1+Δ t u ) x 令 y 1= y 得： = x +uΔ t 这表示在t 1 时刻x 处的位移y 1， 在经过Δ t 时间 后， 同样的位移发生在 x 处，
一. 平面简谐波的波动方程 y u 参考点O点的振动方程为： y = A cosω t x 任意点（B点）的振动方程 B x o 为： y = A cosω ( t x ) u y表示在波线上任意一点（距原点为 x 处） 质点在任意时刻的位移, 也就是平面简谐波 的波动方程。
... 2 π = 2 ν, ω= T π
1-5-3
λ
质点的振动速度：
.. . 平面简谐波的波动方程为: x y = A cos ω ( t u ) t x ) = A cos 2 ( T π λ π A cos 2 ( x u t ) =
1-5-3
λ
质点的振动速度： v=
y t
.. . 平面简谐波的波动方程为: x y = A cos ω ( t u ) t x ) = A cos 2 ( T π λ π A cos 2 ( x u t ) =
1-5-3 波动方程
1-5-3
一. 平面简谐波的波动方程 y u 参考点O点的振动方程为： y = A cosω t x 任意点（B点）的振动方程 B x o 为： y = A cosω ( t x ) u y表示在波线上任意一点（距原点为 x 处） 质点在任意时刻的位移, 也就是平面简谐波 的波动方程。
x x B点落后O点的时间 u ，落后相位ω u
一平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。 一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
y
u
xa
b
A
oB
B点振动滞后于A点的时间 ：
AP a b
uu
B点振动方程 ：
y B y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t a u b ) + 0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 m T0.5s 0 0
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
yAcost2πx0
y f (x)
令 0 t0C（定值）
则 yAcos2πx0
λuT10m
yAcos[2π(T t x)0]
大学物理 平面简谐波的波函数
17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)
y x v A sin[ (t ) ] t u
分析：
2 3 ( D) 2
( B)
,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
波动与振动-答案和解析
1. 一简谐振动的表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时的初位移为, 初速度为s -1，则振幅A = ，初相位 = 解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)309.0(04.0)(222020=-+=-+=ωv x A 初相： οο1.1439.36)04.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ因为x 0 > 0, 所以ο9.36-=ϕ2. 两个弹簧振子的的周期都是, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为 。
解：从旋转矢量图可见，t = s 时，1A ρ与2A ρ反相，即相位差为。
3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）。
当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为解：谐振动总能量221kA E E E p k =+=，当A x 21=时4)2(212122EA k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。
物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=， 振动周期gl km T ∆==ππ224. 上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。
解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 点。
振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5-2 平面简谐波的波动方程
利用 2π 2πν 和 uT
T 可得波动方程的几种不同形式：
yAcostux0 Acos2πT t x0
Acost 2πx0
5-2 平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理含义
1、x 一定，t变化
yAcost2πx0
令
0
2π
x 0
y f (t)
5-2 平面简谐波的波动方程
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3m
T0.5s 0 0
λuT10m
yAcos[2π(T t x)0]
y3cos4π(t x ) 20
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3cos4πt
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
点 D 的相位落后于点 A
yD3cos(4t2AλD)
3cos(4π9 π) 5
u y A ( 3 1 2 m 0 )c 4 o 1 π s m 0 s 1 ) t(
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
5-2 平面简谐波的波动方程
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程
点C 的相位比点A 超前
yC3cos(4πt2πAC]
3cos(4πt 13π) 5
u y A ( 3 1 2 m 0 )c 4 o 1 π s m 0 s 1 ) t( 8m 5m 9m
C
B oA
A
yu
xP
OP
x
动落后 x 。
u
tO
A
xO
P点在t时刻的位移是O点在 t
时刻的位移，即：
yP(t)yO(t)
5-2 平面简谐波的波动方程
y P y O ( t ) A c o s ω t 0
Acost ux0
由于P为波传播方向上任一点，因此上述方程能描 述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为 沿 x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。
则 yAcost0 y
表示x点处质点的振动方 O
t
程（y-t 的关系）。
问题？
由波动方程如何确定波线上任 意一点的振动方程？
5-2 平面简谐波的波动方程 波线上各点的简谐振动图
5-2 平面简谐波的波动方程
2、t一定，x变化
yAcost2πx0
y f (x)
令 0 t0C（定值）
则 yAcos2πx0
yu
O
x
5-2 平面简谐波的波动方程
➢沿x轴负方向传播的波动方程
y
u
A
P
x
O
x
A
yAcos[(tux)0]
5-2 平面简谐波的波动方程
➢平面简谐波的波动方程一般形式
yAcos[(tmux)0]
对波动方程的各种形式，应着重从物理意义 上去理解和把握.
从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
5-2 平面简谐波的波动方程
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的 位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
y
问题？
o
x
由波动方程如何确定任意时刻的波 形方程？
5-2 平面简谐波的波动方程
3、x和t都变化
波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。 一方面了波线上任意点的振动情况，另一 方面给出任意时刻的波形。
波动方程为 ： yAcos[(tau x)+0]
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法一： ➢B点位于A点 的下游
y
u
xa
b
A
oB
➢B点振动滞后于A点的时间 ：
AP a b
uu
➢B点振动方程 ：
a b
y B y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t u ) + 0 ]
yA 3cos4πt
B C 2 π x B x C 2 π 1 8 0 1 .6 π
C D 2 πx C x D 2 π 1 2 0 2 4 .4 π
u
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
1m 0
Dx
例：一平面简谐波以速度 u20m/s 沿x正向传播， 波线上点 A 的振动方程 yA3cos(4πt)
求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程；
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
u
8m 5m 9m
C
B oA
3、已知某时刻的波形方程和u 波动方程？
例：已知u=1m/s（沿x轴正向传播）且t=0时刻波 形方程为：
y 2cos(x)
3
5-2 平面简谐波的波动方程
4、已知某两时刻的波形图和T的范围
t0
t 0.5s
y/m
u10m/s
10
波动方程？ T 2(s)
5-2 平面简谐波的波动方程
波动方程？
从已知点（A点）振动方程
波线上任意点（P点）振动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
➢思路：
在波线任取一点P（坐标为x);
（1）P点位于A点
上游？ 下游？
（2）P点滞后（超前）A点的时间 ： A P u
（3）P点振动方程 ： yP yA(t)
5-2 平面简谐波的波动方程
例：已知A点振动方程为 ：
yAcos(t0)
试求（1）波动方程； （2）B点的振动方程。
y
u
xa
b
A
oB
5-2 平面简谐波的波动方程
解：（1）在坐标轴上选取P点
y
u
➢P点位于A点 的下游
xa
b
P
➢P点振动滞后于A点的时间 ：
A
o Bx
AP a x
uu
➢P点振动方程 ：
y P y A ( t ) = A c o s [( t ) + 0 ] A c o s [( t a u x ) + 0 ]
5-2 平面简谐波的波动方程
一、平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐
波沿 x轴正方向传
y A
u
P
x
播，波速为u，坐标
O
x
原点 O处质点的振动
A
方程为
yOA cost0
yO表示质点 O 在t时刻离开平衡位置的距离。
5-2 平面简谐波的波动方程
考察波线上P点 (坐标x),P点比O点的振
5-2 平面简谐波的波动方程
（2）求B点的振动方程
方法二：
y
u
以B点坐标x=-b代入波动方程 x a
，即得B点 振动方程：
A
b
oB
yBAcos[(tau b)+0]
5-2 平面简谐波的波动方程
2、已知某时刻的波形图和u 波动方程？
y/m
u10m/s
10
5
O
10
x/m
10
5-2 平面简谐波的波动方程
5-2 平面简谐波的波动方程
三、质点的振动速度和加速度
➢振动速度
v y t A sin[(tu x)0]
➢振动加速度 a 2 t2 y2Acos[(tu x)0]
➢行波的微分方程
2 y x 2
1 u2
2 y t 2
5-2 平面简谐波的波动方程
四、波动方程的确定
1、已知波线上某点的振动方程 ➢问题转化为：
P 点位于A点下游 P 点在时间上滞后于A AP x5
uu
u
8m 5m 9m
C oB A P D x
5-2 平面简谐波的波动方程
P 点振动方程为：
y P 3 c o s4 π (t) 3 c o s4 π (tx 2 0 5 )
波动方程为：
y3cos[4π(tx)π] 20
u
8m 5m 9m