高考真题不等式选讲专题答案

不等式选讲专题答案
1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．
（1）画出()y f x =的图像；
（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．
2.（2020•全国2卷）已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+.
（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；
（2）若()4f x ，求a 的取值范围.
3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．
（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；
（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }
4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．
不等式选讲专题答案
1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．
（1）画出()y f x =的图像；
（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；
（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．
【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩
，作出图象，如图所示：
（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：
由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.
（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；
（2）若()4f x ，求a 的取值范围.
【答案】（1）32x x ⎧
≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.
【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到()()2
1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，
()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3
2x ≤；
当34x <<时，
()4314f x x x =-+-=≥，无解；
当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥
； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧
≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭
. （2）()()()()22222121211f x x a x a x a
x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）
，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．
（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；
（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由
()222322b c b c bc a a a bc
bc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，
()22212
ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()22212
0ab bc ca a b c ∴++=-
++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，
由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，
1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc
++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，
a ∴≥，即3max{,,}4a
b
c .
.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224
x x x >⎧⎨++≤⎩ 21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.。