高考真题不等式选讲专题答案

不等式选讲专题答案

1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．

（1）画出()y f x =的图像；

（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．

2.（2020•全国2卷）已知函数2

()|21|f x x a x a =-+-+.

（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；

（2）若()4f x ，求a 的取值范围.

3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．

（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；

（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }

4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．

不等式选讲专题答案

1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．

（1）画出()y f x =的图像；

（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛

⎫-∞- ⎪⎝⎭

. 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；

（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．

【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩

，作出图象，如图所示：

（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：

由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝

⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.

（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；

（2）若()4f x ，求a 的取值范围.

【答案】（1）32x x ⎧

≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.

【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到()()2

1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，

()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3

2x ≤；

当34x <<时，

()4314f x x x =-+-=≥，无解；

当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥

； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧

≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭

. （2）()()()()22222121211f x x a x a x a

x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）

，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．

（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；

（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由

()222322b c b c bc a a a bc

bc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，

()22212

ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()22212

0ab bc ca a b c ∴++=-

++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，

由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，

1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc

++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，

a ∴≥，即3max{,,}4a

b

c .

.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224

x x x >⎧⎨++≤⎩ 21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.