2017年福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试数学样卷(附答案及评分标准)
2017年福建省中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学 ...................................................... 1 福建2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学答案解析. (4)福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学（本试卷满分150分,考试时间120分钟）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.3的相反数是( )A .3-B .13-C .13D .3 2.如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是( )AB C D 3.用科学计数法表示136 000,其结果是( )A .60.13610⨯B .51.3610⨯C .313610⨯ D .613610⨯ 4.化简2(2)x 的结果是( )A .4xB .22xC .24x D .4x 5.下列关于图形对称性的命题,正确的是( )A .圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B .正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C .线段是轴对称图形,但不是中心对称图形D .菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形6.不等式组20,30x x -⎧⎨+⎩≤＞的解集是( )A .32x -＜≤B .32x -≤＜C .2x ≥D .3x ＜-7.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是( )A .10,15B .13,15C .13,20D .15,158.如图,AB 是O 的直径,,C D 是O 上位于AB 异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD ∠互余的角是( )A .ADC ∠B .ABD ∠C .BAC ∠D .BAD ∠9.若直线1y kx k =++经过点(,3)m n +和(1,21)m n +-,且02k ＜＜,则n 的值可以是( )A .3B .4C .5D .610.如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段A B ''和点P ',则点P '所在的单位正方形区域是( )A .1区B .2区C .3区D .4区第Ⅱ卷(非选择题 共110分)毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 11.计算0|2|3--= .12.如图,ABC △中,,D E 分别是,AB AC 的中点,连线DE ,若3DE =,则线段BC 的长等于 .13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是13,那么添加的球是 .14.已知,,A B C 是数轴上的三个点,且C 在B 的右侧.点,A B 表示的数分别是1,3,如图所示.若2BC AB =,则点C 表示的数是 . 15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上,且有一个公共顶点O ,其摆放方式如图所示,则AOB ∠等于 度. 16.已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数1y x=的图象上,且点A 的横坐标是2,则矩形ABCD 的面积为 .三、解答题(本大题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分8分)先化简,再求值：21(1)1aa a --,其中21a =-.18.(本小题满分8分)如图,点,,,B E C F 在一条直线上,,,AB DE AC DF BE CE ===.求证：A D =∠∠.19.(本小题满分8分)如图,ABC △中,90BAC =︒∠,AD BC ⊥,垂足为D .求作ABC ∠的平分线,分别交AD ,AC 于,P Q 两点；并证明AP AQ =.(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)20.(本小题满分8分)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只.”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.21.(本小题满分8分)如图,四边形ABCD 内接于O ,AB 是O 的直径,点P 在CA 的延长线上,45CAD =︒∠.(1)若4AB =,求CD 的长；(2)若,BC AD AD AP ==,求证：PD 是O 的切线.数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）22.(本小题满分10分)小明在某次作业中得到如下结果：2222sin 7sin 830.12+0.99=0.9945︒+︒≈, 2222sin 22sin 680.37+0.93=1.0018︒+︒≈, 2222sin 29sin 610.48+0.87=0.9873︒+︒≈, 2222sin 37sin 530.60+0.80=1.0000︒+︒≈, 2222sin 45sin 45(+(=122︒+︒≈. 据此,小明猜想：对于任意锐角α：均有22sin sin (90)1αα+︒-=.(1)当30α=︒时,验证22sin sin (90)1αα+︒-=是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请举出一个反例.23.(本小题满分10分)自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随取随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整：一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6同时,愿,(1)写出,a b 的值；(2)已知该校有5000名师生,且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5 800元.试估计：收费调整后,此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利？说明理由.24.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 中,6,8AB AD ==,,P E 分别是线段,AC BC 上的点,且四边形PEFD 为矩形.(1)若PCD △是等腰三角形,求AP 的长； (2)若AP ,求CF 的长.25.(本小题满分14分)已知直线2y x m =+与抛物线2y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ,且a b ＜. (1)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示)； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)直线与抛物线的另一个交点记为N . (ⅰ)若112a -≤≤-,求线段MN 长度的取值范围； (ⅱ)求QMN △面积的最小值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。
【全国百强校】福建省师大附中2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(实验班)
福建师大附中2017-2018学年下学期期末考试（实验班）高二理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共70分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.复数(i 为虚数单位)的共轭复数是（ ）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 2．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，若(4)(0)P x P x >=<，则μ=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.计算( )A . 1B ．C ．D ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和小于7}，则()P B A =（ ）A ．13 B ．49 C.59 D ．235. 设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时，( )．A . D （ξ）减小B . D （ξ）增大C .D （ξ）先减小后增大 D . D （ξ）先增大后减小 6.若20182018012018(12)x a a x a x -=+++L )(R x ∈,则20181222018222a a a +++L 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．-1 D ．-214．已知函数()()210{ 21(0)xxx f x e x x x +≥=++<，若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]11123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，，B. (]1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， C. [)1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， D. (]21123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，，二、填空题（每小题5分，共20分）15. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答). 16.若23250125(3)(2)(2)(2)x x a a x a x a x +=+++++++L ，则=2a ___________．17. ____________.（用组合数表示）18．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是______________.（用数字表示）三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分10分) 已知复数i a a z )1(2121-++=，i R a i a z ,()1(22∈++=是虚数单位）. （Ⅰ）若复数21z z +在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若虚数1z 是实系数一元二次方程0442=+-m x x 的根，求实数m 的值.20. (本小题满分10分)已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为()2cos sin ρθθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线12:{ (1x tl t y ==为参数）与曲线C 交于,A B 两点，于y 轴交于点E ，求11EA EB +的值。
福建省师大附中2017届高三期中考试：数学理（含答案）word版
福建省师⼤附中2017届⾼三期中考试：数学理（含答案）word版福建省师⼤附中 2017届⾼三期中考试数学试题（理）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷．⼀、选择题：（每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合要求）1、已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B = （）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2、复数i 215+的共轭复数为（）A ．－31035-IB ．－i 31035+C ．1+2iD ．1－2i3、已知等差数列}{n a 的前13项之和为39，则876a a a ++等于（）A ．6B ．9C ． 12D ．184、已知,a b R ?，则“33log log a b >”是 “11()()22a b<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知O 为ABC ?的重⼼，设 AB a AC b ==，，则OB＝（）A ．2133a b -+B ．1122a b -+C ．2133a b -D ．1122a b -6、命题p ：),0[+∞∈?x ，1)2(log 3≤x ，则（）A ．p 是假命题，p ?：1)2(log ),,0[030>+∞∈?x xB ．p 是假命题，p ?：1)2(log ),,0[3≥+∞∈?x xC ．p 是真命题，p ?：),0[0+∞∈?x ，1)2(log 03>xD ．p 是真命题，p ?：1)2(log ),,0[3≥+∞∈?x x7、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（）A ．12-B ．12 C．2-D．28、函数()sin()f x A x ω?=+（其中0,||2A π><）的图象如图所⽰，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像（）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位9、如图，设点A 是单位圆上的⼀定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针⽅向旋转⼀周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图象⼤致是（）10、在ABC ?中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是（）A ．（0，6π] B ．（0，3π] C ．[6π，π） D ．[3π，π） 11、如下图所⽰，由若⼲个点组成形如三⾓形的图形，每条边（包括两个端点）有(1,)n n n N >∈个点，每个图形总的点数记为n a ，则233445201020119999a a a a a a a a ++++= （）A ．20102009B ．20102011C ．20092011D ．2011201012、对于函数()f x ，若存在区间[,]M a b =（其中a b <），使得{|(),},y y f x x M M =∈=则称区间M为函数()f x 的⼀个“稳定区间”。
福建省师大附中2017_2018学年高二数学下学期期中试题理(实验班)精品文档
福建省师大附中2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理（实验班）一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3cos 4sin 90ραρα--=，则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心2.已知)(x f 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是( )3．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级， 走完这n 级台阶共有()f n 种走法，则下面的猜想正确的是（ ） A. ()()()()123f n f n f n n =-+-≥ B. ()()()212f n f n n =-≥ C. ()()()2112f n f n n =--≥ D. ()()()()123f n f n f n n =--≥4．已知,15441544,833833,322322 =+=+=++∈=+R t a ta t a ,,88， 则=+t a （ ）A 、70B 、68C 、69D 、715. 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )． A ．ρ＝cos θ＋sin θ， π02θ≤≤ B ．1cos +sin ρθθ=，π04θ≤≤ C ．1cos +sin ρθθ=，π02θ≤≤ D ．ρ＝cos θ＋sin θ， π04θ≤≤6．已知函数()y f x =的图象在区间[],a b 上是连续不断的，如果存在[]0,x a b ∈，使得ABCD()()0·bx af x dx f x eb a=-⎰成立，则称0x 为函数()f x 在[],a b 上的“好点”，那么函数()22f x x x =+在[]1,1-上的“好点”的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A ．43 B ．2 C ．83 D．38．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A. ()3,4B. ()4,5C. ()5,6D. ()6,79.若210()+2()d f x x f x x =⎰，则10()d f x x ⎰＝( )A ．－1B ．13 C ．13- D ．1 10. 已知函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′（x ），若对于任意实数x ，有f （x ）＞f ′（x ），且y=f(x)-1为奇函数，则不等式f （x ）＜e x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，e 4） D ．（e 4，+∞）11．已知函数)(x g 满足)1()(xg x g =，当]3,1[∈x 时，x x g ln )(=，若函数mx x g x f -=)()(在区间]3,31[上有三个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,33ln [e B ．)3,33ln [eC ．)1,3[ln eD ．)3,0(e 12.如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的n 个数分别是：1,3,5，…，2n-1；（2）从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n 行（如：第3行的第4个数为36）.问：当n=2018时，第34行的第17个数是（ ）A. 201823333+⋅B.392C. 34233⋅D. 382 13．方程()()()22222e 1240()x x x xt x x e t R --+--=∈g 的不等实根的个数为（ ）A. 1B. 3C. 5D. 1或5 二、填空题（每小题5分，共25分）1 3 5 7 9 11 ……4 8 12 16 20 …… 12 20 28 36 …… ………………… …………… …… .14.=+-⎰-dx x x )19(3332______________. 15. 已知函数m e x x x f x ---=)22()(2有三个不同的零点，则m 的取值范围为 . 16. 射线3πθ=（0>ρ）与曲线θρsin 2:1=C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C :θρ22cos 12+=的交点为B ，则|AB|= ．17. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得()11x x e f x e +=-是圆O 的一个太极函数；④直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆()()()222:210O x y R R -+-=>的太极函数；⑤若函数()()3f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2.k ∈-所有正确的是__________． 18.已知函数)0(ln )(>+=a x a x x f ，若))(1,21(,2121x x x x ≠∈∀，|11||)()(|2121x x x f x f ->-， 则正数a 的取值范围为 . 三、解答题（要求写出过程，共60分）19. (本小题满分12分) 已知过点()0,1P -的直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C 的方程为()22sin cos00a a θρθ-=>.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.20. (本小题满分12分) 为了提高经济效益，某食品厂进行杏仁的深加工，每公斤杏仁的成本20元，并且每公斤杏仁的加工费为t 元（t 为常数，且25t ≤≤，设该食品厂每公斤杏仁的出厂价为x 元（2540x ≤≤），销售量q ，且(0,)x kq k k R e=>∈（e 为自然对数的底）。
福建师大附中17—18学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)$829564
福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷（实验班）高二理科数学·选修2-1一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1.向量),1,2(y x --=，),1,,1(--=x 若∥，则y x +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．22．若双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a ）A. 2y x =±B. y =C. 12y x =± D. y x = 3．下列命题中是真命题的是（ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题; ④“29x =，则3x =”的否命题. A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④ 4.若1>k ，则关于y x ,的方程1)-1222-=+k y x k （表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线5.与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆93-x :C 222=+y ）（外切的动圆圆心P 的 轨迹方程是（ ）A. )01822<=-x y x （ B . 1822=-y x C. )015422<=-x y x （ D. 15422=-y x 学6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若=，=，=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7.设12,F F 是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A.4B.6C.22D.248．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知P 为抛物线y x 22=的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(， 则|PA|+|PM|的最小值是（ ）A.221 B.10 C.219D.8 10．给出以下命题：①若cos ＜，＞=﹣，则异面直线MN 与PQ 所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足，则点M ∈平面ABC ；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F(-c,0)作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若是若E 是线段FP 中点，则双曲线的离心率为（ ）A.215+ B. 5+1 C.25D. 512．如图,正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分13．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2A B A D C D x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值是（ ）A. B. C. 2 D.二、填空题（每小题5分，共25分）14.直线l 与双曲线x 2﹣4y 2=4相交于A 、B 两点，若点P （4，1）为线段AB 的中点，则直线l 的方程是 ． 15. 已知1:12p x ≤≤， ()():10q x a x a --->，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，则a 的取值范围为__________．16.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m ，当水面上涨2m 时，水面宽变为12m ，此时桥洞顶部距水面高度为_________米.17.在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，∠BAC=2π，AB=AC=AA 1=1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为____________.18．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>，长轴AB 上的100等分点从左到右依次为点1M ，2M ，⋅⋅⋅，99M ，过i M （1i =，2，⋅⋅⋅，99）点作斜率为k （0k ≠）的直线i l （1i =，2，⋅⋅⋅，99），依次交椭圆上半部分于点1P ，3P ，5P ，⋅⋅⋅，197P ，交椭圆下半部分于点2P ，4P ，6P ，⋅⋅⋅，198P ，则198条直线1AP ，2AP ，⋅⋅⋅，198AP 的斜率乘积为 ．三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分8分)已知命题p :方程11222=-+m y x 表示焦点在y 轴的椭圆，命题q :关于x 的方程0422=+-m x x 没有实数根。
福建省师大附中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理(实验班)
福建师大附中2017-2018学年下学期期末考试（实验班）高二理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共70分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.复数(i 为虚数单位)的共轭复数是（ ）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 2．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，若(4)(0)P x P x >=<，则μ=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.计算( )A. 1 B ．C ．D ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和小于7}，则()P B A =（ ）A ．13 B ．49 C.59 D ．235. 设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时，( )．A. D （ξ）减小B. D （ξ）增大C. D （ξ）先减小后增大D. D （ξ）先增大后减小 6.若20182018012018(12)x a a x a x -=+++L )(R x ∈,则20181222018222a a a +++L 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．-1 D ．-27. 我校校友数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）A. B. C. D.8．已知随机变量X 满足5)1(=-X E ，5)1(=-X D ，则下列说法正确的是（ ）A ．5)(,5)(=-=X D X EB ．4)(,4)(-=-=X D X EC ．5)(,5)(-=-=XD XE D ．5)(,4)(=-=X D X E9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A. 18B.24C.30D.36 10. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知()16145P ξ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%11. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段(虚线部分)与两条直道(实线部分)平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．321122y x x x =--B ．3211322y x x x =-- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-12．2018辆）均服从正态分布则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ） A.1125 B. 12125 C. 61125 D. 6412513．某种植基地将编号分别为1，2，3， 4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( )A. 360种B. 432种C. 456种D. 480种14．已知函数()()210{ 21(0)xxx f x e x x x +≥=++<，若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (]11123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，， B. (]1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， C. [)1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， D. (]21123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，，二、填空题（每小题5分，共20分）15. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答). 16.若23250125(3)(2)(2)(2)x x a a x a x a x +=+++++++L ，则=2a ___________．17. ____________.（用组合数表示）18．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是______________.（用数字表示）三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分10分) 已知复数i a a z )1(2121-++=，i R a i a z ,()1(22∈++=是虚数单位）.（Ⅰ）若复数21z z +在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若虚数1z 是实系数一元二次方程0442=+-m x x 的根，求实数m 的值.20. (本小题满分10分)已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为()2cos sin ρθθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线12:{(12x tl t y ==+为参数）与曲线C 交于,A B 两点，于y 轴交于点E ，求11EA EB+的值。
福建师大附中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含答案
福建师大附中2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）(解+析版)一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知抛物线y=ax 2（a ＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（ ）A ．4B ．2C ．D ．2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．13．方程（t 为参数）表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆4．已知0＜θ＜，则双曲线与C 2：﹣=1的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．若正数x ，y 满足xy 2=4，则x +2y 的最小值是（ ）A ．3B ．C ．4D ．6．下列命题：其中正确命题的个数是（ ） （1）“若a ≤b ，则am 2≤bm 2”的逆命题； （2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若a ＞1，则关于x 的不等式ax 2≥0的解集为R”的逆否命题； （4）“命题“p ∨q 为假”是命题“p ∧q 为假”的充分不必要条件” A ．1B ．2C ．3D ．47．设F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．29．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是．14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|=．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e ∈（）．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q （1，2），P 是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F （1，0）作倾斜角为60°的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 的面积．21．（14分）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的顶点B 到左焦点F 1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的右頂点，过点A 作互相垂直的两条射线，与椭圆C 分別交于不同的两点M ，N （M ，N 不与左、右顶点重合），试判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），M 为C 1上的动点，P 点满足=2，点P 的轨迹为曲线C 2．（Ⅰ）求C 2的普通方程；（Ⅱ） 设点（x ，y ）在曲线C 2上，求x +2y 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．（12分）已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2016-2017学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线距离为1，则a=（）A．4 B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=ax2（a＞0）化为，可得．再利用抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：抛物线方程化为，∴，∴焦点到准线距离为，∴，故选D．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A ．B ．2C ．D ．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．方程（t 为参数）表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆 【考点】参数方程化成普通方程．【分析】方程（t 为参数），消去参数，即可得出表示的曲线．【解答】解：（t 为参数），可得x +y=2•2t ，y ﹣x=2•2﹣t ，∴（x +y ）（y ﹣x ）=4（y ＞x ＞0），即y 2﹣x 2=4（y ＞x ＞0），∴方程（t 为参数）表示的曲线是双曲线的上支，故选B ．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．4．已知0＜θ＜，则双曲线与C 2：﹣=1的（ ）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．5．若正数x，y满足xy2=4，则x+2y的最小值是（）A．3B．C．4D．【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足xy2=4，∴x=．则x+2y=+2y=+y+y=，当且仅当y=，x=2时取等号．∴x+2y的最小值是，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．下列命题：其中正确命题的个数是（）（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；（4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）原命题的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；（2）原命题的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误；（3）由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真，即可判断出正误．【解答】解：（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；（2）“全等三角形面积相等”的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，不正确；（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”正确，因此其逆否命题也正确；（4）“命题“p∨q为假”⇒命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真．∴“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”，正确．综上可知：正确的命题只有（3）（4）．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=﹣上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，得|PF1|=|F1F2|且∠PF1F2=120°，设交x轴于点M，可得|PF1|=2|F1M|，由此建立关于a、c的等式，解之即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设交x轴于点M，∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F2F1|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线上一点，∴2（﹣c+）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故选：C【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF 的方程为y=﹣2（x ﹣2），与y 2=8x 联立可得x=1， ∴|QF |=d=1+2=3， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．9．已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x 1+x 2=2，y 1+y 2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a 2=2b 2，再利用c=3=，即可解得a 2，b 2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．12．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出简图，则＞，则e=．【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．设x∈Z，集合A是奇数集，集B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B；则命题p的否定是¬p：∃x∈A，2x∉B．【考点】命题的否定．【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：¬p：∃x∈A，2x∉B；故答案为：¬p：∃x∈A，2x∉B；【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．14．过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|=12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用线段AB中点M的纵坐标为4，通过y1+y2+p 求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y焦点F（0，2），过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，可得y1+y2=8．则|AB|=y1+y2+p=8+4=12，故答案为：12；【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．16．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是﹣=1（x＞3）．【考点】轨迹方程．【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故答案为：﹣=1（x＞3）．【点评】本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）（2008秋•泰州期末）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q 为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．【解答】解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．20．（10分）（2016秋•马尾区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB 的面积．【考点】轨迹方程．【分析】（1）由+=，得，即可求点P的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=（x﹣1），与抛物线方程联立得：y2﹣y﹣4=0，利用韦达定理，即可求△AOB的面积．【解答】解：（1）设点P的坐标为P（x，y），则k OP=，k OQ=2，k PQ=，由+=，得．整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0，y≠2）；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过F倾斜角为60°的直线L：y=（x﹣1），与抛物线方程联立得：y2﹣y﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣4，∴S==．【点评】本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．21．（14分）（2016秋•马尾区校级期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的顶点B到左焦点F1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A为椭圆C的右頂点，过点A作互相垂直的两条射线，与椭圆C分別交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知列出关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，△MNA为等腰直角三角形，求出M的坐标，可得直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由判别式大于0可得4k2﹣m2+1＞0，再由AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），由向量数量积为0解得m=﹣2k或，然后分类求得直线MN的方程得答案．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．当时，直线l的方程，过定点，故直线过定点，且定点是．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）（2016秋•马尾区校级期末）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），M 为C 1上的动点，P 点满足=2，点P 的轨迹为曲线C 2．（Ⅰ）求C 2的普通方程；（Ⅱ） 设点（x ，y ）在曲线C 2上，求x +2y 的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设点的坐标为p （x ，y ），根据题意，用x 、y 表示出点M 的坐标，然后根据M 是C 1上的动点，代入求出C 2的参数方程即可；（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，则x +2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin （θ+φ）即可，【解答】解：（Ⅰ）设P （x ，y ），则由条件知M （）．由于M 点在C 1上，所以，即，消去参数α得即C 2的普通方程为（Ⅱ） 由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，则x +2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin （θ+φ），其中tanφ=．∴x +2y 的取值范围是[﹣5，5]．【点评】本题考查轨迹方程的求解，及参数方程的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（12分）（2016•福建模拟）已知函数f （x ）=|x +1|．（I ）求不等式f （x ）＜|2x +1|﹣1的解集M ；（Ⅱ）设a ，b ∈M ，证明：f （ab ）＞f （a ）﹣f （﹣b ）．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．。
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案1.XXX2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知$a=\frac{5+35-3}{5-35+3}$，$b=$，则二次根式$a^3b+ab^3+19$的值是（）A、6.B、7.C、8.D、92.有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）begin{cases}4x\geq3(x+1)\\2x-<a\end{cases}$A、$\frac{3}{452}$B、$\frac{1}{993}$C、$\frac{1}{452}$ D、$\frac{1}{165}$3.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.若实数$a\neq b$，且a、b满足$a^2-8a+5=0$，$b^2-8b+5=.$则A、-20.B、2.C、2或20.D、2或205.对于每个非零自然数n，抛物线$y=x-\frac{b-1}{a-1}$的值为$\frac{2n+1}{n(n+1)}$，其中$x+$与x轴交于A$_n$、B$_n$以及A$_{2017}$、B$_{2017}$的值是（）表示这两点间的距离，则A、$\frac{2017}{2016}+\frac{2018}{2017}$B、$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$ C、$\frac{2016}{2017}+\frac{2017}{2016}$ D、$\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2016}$6.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边，则下列式子一定正确的是（）A、$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac$B、$\frac{a+bc}{a+b+1c+1}c$ D、$a^3+b^3>c^3$7.如图，从$\triangle ABC$各顶点作平行线$AD\parallel EB\parallel FC$，各与其对边或其延长线相交于D，E，F.若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle DEF$的面积为（）A、3.B、3C、D、28.半径为2.5的圆$\odot O$中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知$A、$\frac{169}{25}$B、$\frac{32}{43}$C、$\frac{3}{4}$ D、$\frac{5}{6}$二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解，则$a$的值为_________满足$a<1$，则方程$\frac{x-a}{x+1}=a$的解为$x=\frac{a}{1-a}$，当$a\geq1$时，分母$x+1$始终大于分子$x-a$，方程无解。
福建师大附中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案
2016-2017学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题5分，共65分.在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线的倾斜角为（）A．30o B．150o C．60o D．120o2．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤3．下列说法正确的是（）A．截距相等的直线都可以用方程表示B．方程x+my﹣2=0（m∈R）不能表示平行y轴的直线C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1=tanθ（x﹣1）D．经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线方程为4．已知两直线l1：x+my+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+3m=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．0 B．0或4 C．﹣1或 D．5．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊥α，α⊥β，m∥n⇒n∥βB．m∥α，α∩β=n⇒n∥mC．α∥β，m∥α，m⊥n，⇒n⊥βD．m⊥α，n⊥β，m∥n⇒α∥β6．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设直线A1B与平面A1DCB1所成角为θ1，二面角A1﹣DC﹣A的大小为θ2，则θ1，θ2为（）A．45o，30o B．30o，45o C．30o，60o D．60o，45o7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x ﹣2）2+（y+1）2=18．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．7 B．6 C．4 D．29．若直线y=x+m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．10．在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8112．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行13．如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1=θ2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题5分，共25分.14．已知球O有个内接正方体，且球O的表面积为36π，则正方体的边长为．15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．16．无论λ取何值，直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0必过定点．17．已知圆心为C（0，﹣2），且被直线2x﹣y+3=0截得的弦长为，则圆C的方程为．18．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是．①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱锥E﹣ABF的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30o．三、解答题：要求写出过程，共60分.19．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程．20．如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F为EB的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．21．已知线段PQ的端点Q的坐标为（﹣2，3），端点P在圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=4上运动．（Ⅰ）求线段PQ中点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，CC1=2AC=2．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣CB1A的体积；（Ⅱ）在线段BB1上寻找一点F，使得CF⊥AC1，请说明作法和理由．23．已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．2016-2017学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解+析一、选择题：每小题5分，共65分.在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线的倾斜角为（）A．30o B．150o C．60o D．120o【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．可得tanθ=﹣，【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ=﹣，∴θ=120°．故选：D．2．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选A．3．下列说法正确的是（）A．截距相等的直线都可以用方程表示B．方程x+my﹣2=0（m∈R）不能表示平行y轴的直线C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1=tanθ（x﹣1）D．经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线方程为【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示；B，当m=0时，方程x+my﹣2=0（m∈R）表示平行y轴的直线；C，倾斜角为θ=900的直线方程不能写成点斜式；D，x1≠x2，直线的斜率存在，可以用点斜式表示．【解答】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错；对于B，当m=0时，方程x+my﹣2=0（m∈R）表示平行y轴的直线x=2，故错；对于C，经过点P（1，1），倾斜角为θ=900的直线方程不能写成y﹣1=tanθ（x﹣1），故错；对于D，∵x1≠x2，∴直线的斜率存在，可写成，故正确；故选：D．4．已知两直线l1：x+my+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+3m=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．0 B．0或4 C．﹣1或 D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：①当m=0时，两条直线分别化为：x+4=0，﹣x=0，此时两条直线相互平行，因此m=0．②当m≠0时，两条直线分别化为：y=﹣x﹣，y=﹣x﹣1，由于两条直线相互平行可得：﹣=﹣，且﹣≠﹣1，此时无解，综上可得：m=0．故选：A．5．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊥α，α⊥β，m∥n⇒n∥βB．m∥α，α∩β=n⇒n∥mC．α∥β，m∥α，m⊥n，⇒n⊥βD．m⊥α，n⊥β，m∥n⇒α∥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，m⊥α，α⊥β，m∥n⇒n∥β或n⊂β，不正确；对于B，m∥α，m⊂β，α∩β=n⇒n∥m，不正确；对于C，α∥β，m∥α，m⊥n⇒n、β位置关系不确定，不正确；对于D，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊥β，∴α∥β，正确，故选D．6．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设直线A1B与平面A1DCB1所成角为θ1，二面角A1﹣DC﹣A的大小为θ2，则θ1，θ2为（）A．45o，30o B．30o，45o C．30o，60o D．60o，45o【考点】二面角的平面角及求法．【分析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．【解答】解：连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，∵BO=A1B，∴θ1=30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°．故选：B．7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x ﹣2）2+（y+1）2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程．【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，故选：A．8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．7 B．6 C．4 D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用几何体的体积不变，体积相等，转化求解即可．【解答】解：底面ABC的面积设为S，则侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，水的体积为：，当底面ABC水平放置时，液面高为h，水的体积为：Sh=，可得h=6．故选：B．9．若直线y=x+m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，把斜率是1的直线平行移动，即可求得结论．【解答】解：表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右移动，可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，直线与曲线相切时的m值为，直线与曲线有两个交点时的m值为1，则1．故选D．10．在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】判断旋转后的几何体的形状，然后求解几何体的体积．【解答】解：由题意可知旋转后的几何体如图：将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积：=．故选：C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：3××2=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．故选：B．12．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选C．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，CD=2AB=2EF=2a ，E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得平面BEFC ⊥平面ADFE ．若动点P ∈平面ADFE ，设PB ，PC 与平面ADFE 所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1=θ2，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】先确定PE=PF ，再以EF 所在直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，求出轨迹方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，∵BE=CF ，θ1=θ2，∴PE=PF ．以EF 所在直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，设E （﹣，0），F （，0），P （x ，y ），则（x +）2+y 2= [（x ﹣）2+y 2]，∴3x 2+3y 2+5ax +a 2=0，即（x +a ）2+y 2=a 2，轨迹为圆，面积为．故选：D ．二、填空题：每小题5分，共25分.14．已知球O有个内接正方体，且球O的表面积为36π，则正方体的边长为．【考点】球内接多面体．【分析】设正方体的棱长为x，利用球的内接正方体的对角线即为球的直径、球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为x，则=36π，解得x=．故答案为．15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=．16．无论λ取何值，直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0必过定点（﹣3，3）．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【分析】由条件令参数λ的系数等于零，求得x和y的值，即可得到定点的坐标．【解答】解：直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由，求得x=﹣3，y=3，可得直线经过定点（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．17．已知圆心为C（0，﹣2），且被直线2x﹣y+3=0截得的弦长为，则圆C的方程为x2+（y+2）2=25．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】先求出弦心距，再根据弦长求出半径，从而求得圆C的方程．【解答】解：由题意可得弦心距d==，故半径r==5，故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，故答案为：x2+（y+2）2=25．18．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是①②③④．①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱锥E﹣ABF的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30o．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由EF∥平面ABCD判定；②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF；③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，；④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300．【解答】解：如图：对于①，∵面ABCD∥面A1B1C1D1，EF⊂面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故正确；对于②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF，∴平面ACF⊥平面BEF，故正确；对于③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，故正确；对于④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300，故正确．故答案为：①②③④三、解答题：要求写出过程，共60分.19．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为x﹣3y+m=0（m≠﹣6），然后由点到直线距离得出=，就可以求出m的值，即可求出结果．【解答】解：（1）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为﹣3又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．3x+y+2=0．（2）∵M为矩形ABCD两对角线的交点，则点M到直线AB和直线DC的距离相等∵DC∥AB∴可令DC的直线方程为：x﹣3y+m=0（m≠﹣6）M到直线AB的距离d==∴M到直线BC的距离即：=∴m=2或﹣6，又∵m≠﹣6∴m=2∴DC边所在的直线方程为：x﹣3y+2=020．如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F为EB的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点G，连结FG，GC，由三角形中位线定理可得FG∥AE，，结合已知DC∥AE，，可得四边形DCGF为平行四边形，得到FD∥GC，由线面平行的判定可得FD∥平面ABC；（2）由线面垂直的性质可得EA⊥面ABC，得到EA⊥GC，再由△ABC为等边三角形，得CG⊥AB，结合线面垂直的判定可得CG⊥平面EAB，再由面面垂直的判定可得面BDE⊥面EAB．【解答】（1）证明：取AB的中点G，连结FG，GC，∵在△EAB中，FG∥AE，，∵DC∥AE，，∴DC∥FG，FG=DC，∴四边形DCGF为平行四边形，则FD∥GC，又∵FD⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC；（2）证明：∵EA⊥面ABC，CG⊂平面ABC，∴EA⊥GC，∵△ABC为等边三角形，∴CG⊥AB，又EA∩AB=A，∴CG⊥平面EAB，∵CG∥FD，∴FD⊥面EAB，又∵FD⊂面BDE，∴面BDE⊥面EAB．21．已知线段PQ的端点Q的坐标为（﹣2，3），端点P在圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=4上运动．（Ⅰ）求线段PQ中点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），利用中点坐标公式，转化为P的坐标，代入圆的方程求解即可．（Ⅱ）设Q（﹣2，3）关于x轴对称点Q'（﹣2，﹣3）设过Q'（﹣2，﹣3）的直线ℓ：y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），则代入轨迹E的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；（Ⅱ）设Q（﹣2，3）关于x轴对称点Q'（﹣2，﹣3）设过Q'（﹣2，﹣3）的直线ℓ：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0∵，（5k﹣5）2=k2+125（k2﹣2k+1）=k2+124k2﹣50k+24=0，（3k﹣4）（4k﹣3）=0，∴或，∴反射光线所在，即4x﹣3y﹣1=0，即3x﹣4y﹣6=0．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，CC1=2AC=2．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣CB1A的体积；（Ⅱ）在线段BB1上寻找一点F，使得CF⊥AC1，请说明作法和理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（Ⅱ）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线．【解答】解：（Ⅰ）取BC中点E连结AE，在等边三角形ABC中，AE⊥BC，又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1CC1⊥面ABC，面BB1CC1∩面ABC=BC，∴AE⊥面BB1CC1，∴AE为三棱锥B1﹣ACC1的高，又∵AB=AC=BC=1，∴，又∵底面CC1B1为直角三角形，∴===1，∴三棱锥C1﹣CB1A的体积=．（Ⅱ）作法：在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线．证明：如图，在矩形BB1C1C中，连结EC1，∵，，∴，∴Rt△C1CE∽Rt△CBF，∴∠CC1E=∠BCF，又∵∠BCF+∠FCC1=90°，∴∠CC1E+∠FCC1=90°，∴CF⊥EC1，又∵AE⊥面BB1C1C，而CF⊂面BB1C1C，∴AE⊥CF，又∵AE∩EC1=E，∴CF⊥面AEC1，又∵AC1⊂面AEC1，∴CF⊥AC1．- 21 -23．已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2+（y ﹣2）2=1，直线l 的方程为x ﹣2y=0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）若∠APB=60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）设P （2m ，m ），代入圆方程，解得m ，进而可知点P 的坐标．（2）设P （2m ，m ），MP的中点，因为PA 是圆M 的切线，进而可知经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到经过A ，P ，M 三点的圆必过定点的坐标．【解答】解：（1）设P （2m ，m ），由题可知，即（2m ）2+（m ﹣2）2=4，…解得：故所求点P 的坐标为P （0，0）或． … （2）设P （2m ，m ），MP的中点，因为PA 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：…化简得：x 2+y 2﹣2y ﹣m （2x +y ﹣2）=0，此式是关于m 的恒等式，故解得或即（0，2）和（）．…2017年2月13日。
2017福州二检数学试卷及评分标准
2017年福州市初中毕业班质量检测数 学 试 卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1．下列运算结果为正数的是A ．)2(1-+B ．)2(1--C ．)2(1-⨯D ．)2(1-÷ 2．若一个几何体的主视图，左视图，俯视图都是半径相等的圆，则这个几何体是A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．正方体 3．数轴上点A ，B 表示的数分别是a ，b ，这两点间的距离是A ．b a +B ．b a -C ．b a +D ．b a -4．两个全等的正六边形如图摆放，与△ABC 面积不同的一个三角形是 A ．△ABD B ．△ABEC ．△ABFD ．△ABG 5．如图，O 为直线AB 上一点，α=∠AOC ，β=∠BOC ，则β的余角可表示为A ．)(21βα+B ．α21C ．)(21βα-D ．β216．在一个不透明的袋子中装有4个红球，2个白球，每个球只有颜色不同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是 A ．至少有1个球是红球 B ．至少有1个球是白球 C ．至少有2个球是红球 D ．至少有2个球是白球 7．若m ，n 均为正整数且3222=⋅n m ，64)2(=n m ，则n m mn ++的值为A ．10B ．11C ．12D ．138．如图，△ABC 中，︒=∠50ABC ，︒=∠30C ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转α（︒0＜α≤︒90）得到△DBE ．若DE ∥AB ，则α为 A ．︒50 B ．︒70C ．︒80D ．︒909．在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （2，1），C （1-，3-），D （2-，3），其中不可能与点E （1，3）在同一函数图象上的一个点是 A ．点A B ．点B C ．点C D ．点DA B C αβ第5题 A B DE 第8题第4题10．P 是抛物线542+-=x x y 上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别是M ，N ，则PN PM +的最小值是A ．45B ．411 C ．3 D ．5二、填空题(共6小题，每题4分，满分24分)11．若二次根式3-x 有意义，则x 的取值范围是 . 12．2017年5月12日是第106个国际护士节，从数串“2 017 512”中随机抽取一个数字，抽到数字2的概率是________． 13．计算：=⨯⨯-01720162403342________．14．如图，矩形ABCD 中，2=AB ，点E 在AD 边上，以E 为圆心EA 长为半径的⊙E 与BC 相切，交CD 于点F ，连接EF ，若扇形EAF 的面积为π34，则BC 的长是_______．15．对于锐角α，αtan ______αsin ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 16．如图，四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADC ABC ，BD 平分∠ABC ， ︒=∠60DCB ，8=+BC AB ，则AC 的长是________．三、解答题(共9小题，满分86分)17．（8分）化简：aa a a a a 1)113(2-⋅+-+． 18．（8分）求证：等腰三角形底边中点到两腰距离相等．19．（8分）已知关于x 的一元二次方程012=++mx x ，写出一个无理数m ，使该方程没有实数根，并说明理由．20．（8分）如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，1=BC ，2=AC ．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ；以点A 为圆心AD 长为半径画弧，交AC 于点E ，保留作图痕迹，并求ACAE的值．A第20题ABCD第16题B第14题21．（8分）请根据下列图表信息解答问题：（1）表中空缺的数据为_________；（精确到1%） （2）求统计表中年增长率的平均数及中位数； （3）预测2017年的观影人次，并说明理由．22．（10分）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．某项研究表明，）的一次函数，下表是测得的一组数据（的取值范围） （2）如果李华的指距为22 cm ，那么他的身高约为多少？23．（10分）如图，锐角△ABC 内接于⊙O ，E 为CB 延长线上一点，连接AE 交⊙O 于点D ，BAC E ∠=∠，连接BD ． （1）求证：ABC DBE ∠=∠；（2）若︒=∠45E ，3=BE ，5=BC ，求△AEC 的面积．2010~2016年电影行业观影人次统计图2011~2016年电影行业观影人次年增长率统计表年份人次E 第23题24．（12分）如图，□ABCD 中，AB AD 2=，点E 在BC 边上，且AD CE 41=，F 为BD 的中点，连接EF ．（1）当︒=∠90ABC ，4=AD 时，连接AF ，求AF 的长； （2）连接DE ，若DE ⊥BC ，求∠BEF 的度数； （3）求证：BCD BEF ∠=∠21．25．（14分）已知抛物线c bx x y ++=2（bc ≠0）． （1）若该抛物线的顶点坐标为（c ，b ），求其解析式；（2）点A （m n ，），B （1+m ，n 83），C （6+m ，n ）在抛物线c bx x y ++=2上，求△ABC 的面积； （3）在（2）的条件下，抛物线c bx x y ++=2的图象与x 轴交于D （1x ，0），E （2x ，0）（1x ＜2x ）两点，且0＜2131x x +＜3，求b 的取值范围．ABDEFABCDEF第24题 备用图福州市2017年初中毕业班质量检测数学试卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共40分）1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．A10．B 二、填空题（每小题4分，共24分）11．x ≥3 12．72 13．1 14．3 15．＞ 16．638 三、解答题(满分86分) 17．解：原式aa a a a )1)(1(12-+⨯+=4分 )1(2-=a 6分22-=a ．8分18．已知：如图，△ABC 中，AC AB =，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．2分求证：DF DE =． 3分证明：连接AD ． 4分 ∵AC AB =，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ． 6分∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DF DE =．8分19．解：2=m （m 满足2-＜m ＜2的无理数均可） 2分理由如下：当2=m 时，方程为0122=++x x ，4分 ∵24)2(422-=-=-=∆ac b ＜0．7分∴当2=m 时，方程012=++mx x 无实数根．8分 20．解：如图所示．3分∵在Rt △ABC 中，1=BC ，2=AC ，∴52122=+=AB ． 4分 由作图知：1==BC BD ． 5分 ∴15-==AD AE ． 7分ABCE F ABCDE∴215-=AC AE ． 8分 21．解：（1）9%；3分（2）年增长率的平均数%316%9%52%35%32%27%31=+++++=． 5分年增长率的中位数%5.312%32%31=+=． 6分 （3）预测2017年全国观影人数约为17.97亿（答案从14.84～20.85均可）．理由如下：按每年增长率的平均数进行估算，答案为：%)311(72.13+⨯≈17.97．（答案不唯一，言之有理即可得分）8分22．解：（1）设身高y 与指距x 之间的函数关系式为b kx y +=． 1分将⎩⎨⎧==15119y x 与⎩⎨⎧==16020y x 代入上式得：⎩⎨⎧=+=+1602015119b k b k ． 3分 解得⎩⎨⎧-==209b k 5分∴y 与x 之间的函数关系式为209-=x y ． …①6分 将⎩⎨⎧==16921y x 代入①也符合．（2）当22=x 时，178********=-⨯=-=x y ． 9分 因此，李华的身高大约是178 cm ． 10分 23．解：（1）∵四边形ADBC 为⊙O 的内接四边形，∴︒=∠+∠180EAC DBC ．1分 ∵︒=∠+∠180DBC EBD ，∴BAC BAE EAC DBE ∠+∠=∠=∠．2分 ∵BAC E ∠=∠，∴BAC BAE BAE E ABC ∠+∠=∠+∠=∠．3分 ∴ABC DBE ∠=∠．4分（2）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ．5分 ∵︒=∠45E ， ∴︒=∠45EAH ．∴EH AH =．∵C C ∠=∠，BAC E ∠=∠，∴△ABC ∽△EAC ． 6分 ∴ECACAC BC =． 即40)35(52=+⨯=⋅=EC BC AC ．7分 设x AH =，则x EH =，x HC -=8． 在Rt △AHC 中：222AC HC AH =+， 即40)8(22=-+x x ．8分 解得：6=x ，2=x ． 当2=x 时，EH ＜BE ， ∴点H 在BE 上．∴∠ABC ＞︒90（不合题意，舍去）． ∴6=AH ．9分 ∴24682121△=⨯⨯=⋅=AH EC S AEC ．10分 24．解：（1）如图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB =，BC AD =，AD ∥BC ．1分 （写出一个结论即给1分） ∴︒=∠+∠180ABC BAD ．∴︒=︒-︒=∠-︒=∠9090180180ABC BAD ． ∵AB AD 2=，4=AD ， ∴2=AB ．∴52422222=+=+=AD AB BD ．2分 ∵F 为BD 中点， ∴521==BD AF ．3分 （2）如图，∵BC AD =，CD AB =，AD CE 41=，AB AD 2=， ∴CE CD 2=，CD BC 2=．AB CDEF∴21==BC CD CD CE ．4分 ∵C C ∠=∠，∴△DCE ∽△BCD ． 5分 ∴CDE CBD ∠=∠．∵在Rt △CDE 中，21sin ==∠CD CE EDC ， ∴︒=∠=∠30CDE CBD ．6分 ∵F 为BD 中点， ∴BF BD EF ==21． ∴︒=∠=∠30DBE BEF ．7分（3）在BC 边上取中点G ，连接FG ．9分 则FG ∥CD ． ∴C BGF ∠=∠，BC CD FG 4121==．10分 ∵BC AD CE 4141==，BC CG 21=， ∴BC EC CG GE 41=-=． ∴GE FG =．11分 ∴GFE BEF ∠=∠．∵BEF CFE BEF BGF ∠=∠+∠=∠2 ∴BEF C ∠=∠2．12分25．解：（1）∵依题意得：抛物线的对称轴是c bx =-=2， ∴c b 2-=．1分∴抛物线的解析式可化为c cx x y +-=22． ∵抛物线过顶点（c ，c 2-）， ∴c c c c 2222-=+-．2分 化简得032=-c c ．解得：01=c （不合题意，舍去），32=c ． ∴62-=-=c b ．3分ABCDEF ABCEFG D∴抛物线的解析式为362+-=x x y ．4分（2）依题意得：抛物线的对称轴为直线3+=m x ．6分 ∴设抛物线的顶点为（3+m ，k ）．则抛物线的解析式为k m x y +--=2)3(．7分∵抛物线过A （m ，n ），B （1+m ，n 83）两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+n k n k 8349．解得⎩⎨⎧=-=81n k ．8分∴1556218521△=⨯⨯=⋅=n AC S ABC ．9分 （3）由（2）可知：抛物线的解析式为1)3(2---=m x y ．10分 令0=y ，得01)3(2=---m x ． ∵1x ＜2x ，∴21+=m x ，42+=m x ．11分 ∵0＜2131x x +＜3， ∴0＜)4(312+++m m ＜3．12分解得：25-＜m ＜41-．13分 ∵32+=-m b， ∴211-＜b ＜1-．14分。
2016-2017学年福建师大附中实验班高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年福建师大附中实验班高二（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.方程 y =2t +2−t x =2t −2−t（t 为参数）表示的曲线是（ ） A.双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆2.若a ，b ，c 均为正实数，则三个数a +1b ，b +1c ，c +1a （ ） A.都不大于2 B.都不小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 3.若正数x ，y 满足xy 2=4，则x +2y 的最小值是（ ）A.3 43B. 43C.4 33D. 334.下列命题：其中正确命题的个数是（ ） （1）“若a ≤b ，则am 2≤bm 2”的逆命题； （2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若a ＞1，则关于x 的不等式ax 2≥0的解集为R ”的逆否命题； （4）“命题“p ∨q 为假”是命题“p ∧q 为假”的充分不必要条件” A.1 B.2 C.3 D.45.已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a2+y 2b2=1，双曲线C 2的方程为x 2a2-y 2b2=1，C 1与C 2的离心率之积为 154，则C 2的渐近线方程为（ ）A.x ±2y =0B.2x ±y =0C.x ±4y =0D.4x ±y =06.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B.23 C.34 D.45 7.已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（ ） A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=18.已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：x 22−y 2=1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右两个焦点，若MF 1 ⋅MF 2 ＜0，则y 0的取值范围是（ ） A.(− 33， 33) B.(− 36， 36) C.(−2 23，2 23) D.(−2 33，2 33)9.已知A ，B 为平面内两个定点，过该平面内动点m 作直线AB 的垂线，垂足为N ．若MN2=λAN •NB ，其中λ为常数，则动点m 的轨迹不可能是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线10.定长为l （l ＞2b 2a）的线段AB 的两个端点都在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为（ ） A.22B.2 a 2+b 2C.22D.2 a 2+b 211.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M （ 3，0）的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF=（ ）A.45 B.23 C.47 D.12 12.方程x |x |16+y |y |9=-1的曲线即为函数y =f （x ）的图象，对于函数y =f （x ），有如下结论：①f （x ）在R 上单调递减；②函数F （x ）=4f （x ）+3x 不存在零点； ③函数y =f （x ）的值域是R ；④若函数g （x ）和f （x ）的图象关于原点对称，则函数y =g （x ）的图象就是方程y |y |16+x |x |9=1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是（ ）A.①②B.②③C.①③④D.①②③二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)13.若双曲线C 经过点（2，2 2），且与y 24-x 2=1具有相同的渐近线，则C 的标准方程为______ ．14.如果关于x 的不等式|x -3|+|x -4|＜a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ______ ．15.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 ______ 米． 16.已知p ：3x−1≤1，q ：x 2+x ≤a 2-a （a ＜0），若￢q 成立的一个充分而不必要条件是￢p ，则实数a 的取值范围为 ______ ．17.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[π6，π3]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ______ ．18.△ABC 的顶点A （-5，0），B （5，0），△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上，则顶点C 的轨迹方程是 ______ ．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分) 19.已知曲线C 1： y =6+ 2sinθx = 2cosθ，（θ为参数），曲线C 2：x 210+y 2=1．（1）写出曲线C 1的普通方程，曲线C 2的参数方程； （2）在曲线C 1，C 2上分别取点P ，Q ，求|PQ|的最大值．20.已知命题p：方程x22m +y29−m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线y25−x2m=1的离心率e∈（62，2）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．21.已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|-1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）-f（-b）．22.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a＞b＞0)的离心率为22，且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形的周长为22+2（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使MA⋅MB=−716成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．23.在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足1k OP +1k OQ=1k PQ．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；（3）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F．求证：直线EF恒过一定点．。
福建师大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷(实验班) Word版含解析
2017-2018学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A．115°B．120°C．135°D．150°2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A． B． C． D．5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．下列正确的是（）A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=48．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B． C．D．﹣19．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）A． B． C．D．10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）A．24 B．48 C．72 D．78二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．14．函数f（x）=的最小值为．15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值范围为．16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上中真的序号为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A．115°B．120°C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，结合题意即可算出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线的斜率为﹣，∴直线倾斜角α满足tanα=﹣，结合α∈[0°，180°），可得α=150°故选：D．2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的【考点】棱锥的结构特征．【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故答案选C．3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=2，AC=2A′C′=2，∴△ABC的面积为=2．故选：B．4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A． B． C． D．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．【解答】解：点P（﹣1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（﹣1，1，﹣1），一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光所走的路程是：=．故选D．5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，设母线与底面所成角为θ，则母线与底面所成角的余弦值cosθ==，∴母线与底面所成角是60°．故选：C．6．下列正确的是（）A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】逐个分析选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，若l⊂α，则α内存在无数条直线与l平行，故A错误．对于B，若l⊂α，则α内存在无数条直线与l垂直，故B错误．对于C，若α∩β=l，则在α存在无数条直线与l平行，故这无数条直线都与平面β平行，故C错误．对于D，若β内存在直线l垂直于平面α，则α⊥β，即D的逆否成立，故D成立，故D正确．7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设BC的中点的坐标，由弦长公式和两点间的距离公式列出式子，化简后可得BC 的中点的轨迹方程．【解答】解：设BC的中点P的坐标是（x，y），∵BC是圆x2+y2=25的动弦，|BC|=6，且圆心O（0，0），∴|PO|==4，即，化简得x2+y2=16，∴BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，故选：C．8．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B． C．D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于=≠=﹣1，解得m=﹣，故选：B．9．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）2+y2=1相交于B，C两点，，，，∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，∴0，故选A．10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．11．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．【考点】圆的切线方程．【分析】作出图象易得sin∠OMB，进而可得cos∠AMB和sin∠AMB=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：如图，由题意可得|OM|==，由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，故sin∠OMB===，∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，故选：C．12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）A．24 B．48 C．72 D．78【考点】异面直线的判定．【分析】可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．【解答】解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．分几种情况考虑第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有=24对第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有=6对第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对故选D二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC==，∴外接球的面积是，故答案为：3π14．函数f（x）=的最小值为2．【考点】两点间距离公式的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由配方可得函数表示f（x）表示P（x，0）到两点A（3，2），B（5，2）的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，运用两点之间线段最短，由两点的距离公式计算即可得到．【解答】解：函数f（x）+=+，设点P（x，0），A（3，2），B（5，2），则f（x）表示P到两点A，B的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，则||PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==2，则当A，P，B'三点共线，取得最小值2．故答案为：2．15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值范围为[1，3）．【考点】中点坐标公式．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则3x1﹣y1﹣5=0，3x2﹣y2﹣13=0，两式相加得3（x1+x2）﹣（y1+y2）﹣8=0，设M（x0，y0），则由中点的坐标公式可得3x0﹣y0﹣4=0，又x0+y0＞4即点M在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到M位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案．【解答】解：设P，Q两点的坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），∵点P，Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，∴3x1﹣y1﹣5=0，①3x2﹣y2﹣13=0，②两式相加得3（x1+x2）﹣（y1+y2）﹣8=0．设线段PQ的中点M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．∴3x0﹣y0﹣4=0．即y0=3x0﹣4．又M点的坐标满足x0+y0＞4，即M恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，∴线段PQ的中点M满足，如图．联立，解得M（2，2），∴M位于以（2，2）为端点向上的射线上，当M（2，2）时，k OM=1，∴直线OM斜率的取值范围是[1，3）．16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=，在△AOD中，AO=DO=，又AD=，∴=，则，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是．故答案为：．17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上中真的序号为①②④．【考点】的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】（I）列方程组求出A点坐标，根据两直线垂直的条件求出BC、AB所在的直线方程，然后解方程组得B的坐标；（II）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的C点，写出直线方程，求出△MON面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点A在BC边上的高x﹣2y+1=0上，又在∠A的角平分线y=0上，所以解方程组得A（﹣1，0）．∵BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∴k BC=﹣2，∵点C的坐标为（1，2），所以直线BC的方程为2x+y﹣4=0，∵k AC=﹣1，∴k AB=﹣k AC=1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，解方程组得B（5，﹣6），故点A和点B的坐标分别为（﹣1，0），（5，﹣6）．（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k＜0），则，所以，当且仅当k=﹣2时取等号，所以（S△MON）min=4，此时直线l的方程是2x+y﹣4=0．20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证明G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）设G在平面SEF上的射影为点H，则GH⊥平面SEF．∵折前SG1⊥G1E、SG3⊥G3F，∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF…∵，，SG∩GH=G，∴EF⊥平面SGH…∵SH⊂平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H为△SEF的垂心．…（2）过G作GO⊥SE交SE于点O，连OH，则∠GOH即为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．…∵，又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，∴SE⊥平面GHO∵OH⊂平面GHO，∴SE⊥OH，∴∠GOH为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．…设正方形SG1G2G3的边长为1，则在Rt△SEG中，∴…又，∴sin∠GOH==，∴二面角G﹣SE﹣F的正弦值为．…21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE∥平面ADP．（Ⅱ）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面ADP．解：（Ⅱ）连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，进而BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM===．∴直线BE与平面PDB所成角的正弦值为．23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．【考点】轨迹方程．【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出圆P、圆Q 的方程，由圆系方程求得MN所在直线方程，再由直线系方程可得直线MN都通过一定点；（2）由题意求出M的坐标，得到圆Q的方程，设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，由=，可得，整理后代入根与系数的关系可得点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系．设M（m，0），则：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F（m，a﹣m），，，⊙P方程为：，即：x2+y2﹣mx﹣my=0 ①，⊙Q方程为：即：x2+y2﹣（a+m）x﹣（a﹣m）y+am=0②．①﹣②得，公共弦MN所在直线方程：ax+（a﹣2m）y﹣am=0．整理得：（ax+ay）+m（﹣2y﹣a）=0，∴MN恒过定点；（2）解：当时，，⊙Q：，即：．设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，则：，，，由题意，，即：．把y=kx代入⊙Q方程，得：，由韦达定理得：，，∴，将代入整理，得：2x+y﹣a=0．∴点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．2016年8月1日。
2017年福建省中考数学试卷(含答案解析)
绝密★启用前福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数 学（本试卷满分150分,考试时间120分钟）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.3的相反数是( )A .3-B .13-C .13D .32.如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是( )ABC D 3.用科学计数法表示136 000,其结果是( )A .60.13610⨯B .51.3610⨯C .313610⨯ D .613610⨯ 4.化简2(2)x 的结果是( )A .4xB .22xC .24x D .4x 5.下列关于图形对称性的命题,正确的是( )A .圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B .正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C .线段是轴对称图形,但不是中心对称图形D .菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形6.不等式组20,30x x -⎧⎨+⎩≤＞的解集是( )A .32x -＜≤B .32x -≤＜C .2x ≥D .3x ＜-7.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------位数和众数分别是 ( )A .10,15B .13,15C .13,20D .15,158.如图,AB 是O 的直径,,C D 是O 上位于AB 异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD ∠互余的角是 ( ) A .ADC ∠ B .ABD ∠ C .BAC ∠D .BAD ∠9.若直线1y kx k =++经过点(,3)m n +和(1,21)m n +-,且02k ＜＜,则n 的值可以是( ) A .3B .4C .5D .610.如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段A B ''和点P ',则点P '所在的单位正方形区域是 ( )A .1区B .2区C .3区D .4区第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上)11.计算0|2|3--= .12.如图,ABC △中,,D E 分别是,AB AC 的中点,连线DE ,若3DE =,则线段BC 的长等于 .13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是13,那么添加的球是 . 14.已知,,A B C 是数轴上的三个点,且C 在B 的右侧.点,A B 表示的数分别是1,3,如图所示.若2BC AB =,则点C 表示的数是 .15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上,且有一个公共顶点O ,其摆放方式如图所示,则AOB ∠等于 度. 16.已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数1y x=的图象上,且点A 的横坐标是2,则矩形ABCD 的面积为 .三、解答题(本大题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分8分)先化简,再求值：21(1)1aa a --,其中1a .18.(本小题满分8分)如图,点,,,B E C F 在一条直线上,,,AB DE AC DF BE CE ===.求证：A D =∠∠.19.(本小题满分8分)如图,ABC △中,90BAC =︒∠,AD BC ⊥,垂足为D .求作ABC ∠的平分线,分别交AD ,AC 于,P Q 两点；并证明AP AQ =.(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)20.(本小题满分8分)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只.”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.21.(本小题满分8分)如图,四边形ABCD 内接于O ,AB 是O 的直径,点P 在CA 的延长线上,45CAD =︒∠. (1)若4AB =,求CD 的长；(2)若,BC AD AD AP ==,求证：PD 是O 的切线.22.(本小题满分10分)小明在某次作业中得到如下结果：2222sin 7sin 830.12+0.99=0.9945︒+︒≈, 2222sin 22sin 680.37+0.93=1.0018︒+︒≈, 2222sin 29sin 610.48+0.87=0.9873︒+︒≈, 2222sin 37sin 530.60+0.80=1.0000︒+︒≈,-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------2222sin 45sin 45()+(=122︒+︒≈. 据此,小明猜想：对于任意锐角α：均有22sin sin (90)1αα+︒-=. (1)当30α=︒时,验证22sin sin (90)1αα+︒-=是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请举出一个反例.23.(本小题满分10分)自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随取随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整：一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,同时,(1)写出,a b (2)已知该校有5000名师生,且A 品牌共享单车投放该校一天的费用为5 800元.试估计：收费调整后,此运营商在该校投放A 品牌共享单车能否获利？说明理由.24.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 中,6,8AB AD ==,,P E 分别是线段,AC BC 上的点,且四边形PEFD 为矩形. (1)若PCD △是等腰三角形,求AP 的长；(2)若AP ,求CF 的长.25.(本小题满分14分)已知直线2y x m =+与抛物线2y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ,且a b ＜. (1)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示)； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)直线与抛物线的另一个交点记为N . (ⅰ)若112a -≤≤-,求线段MN 长度的取值范围； (ⅱ)求QMN △面积的最小值.福建省2017年初中毕业和高中阶段学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】3的相反数是-3，故选A 。
福建省师大附中2016-2017学年高二期中数学试卷(解析版).doc
2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＞b＞0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【考点】不等式的基本性质．【分析】由题意，取a=2，b=1，代入验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，取a=2，b=1，则a2＞b2，a2＞ab，＜1，＜，故选C．2．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C的大小为（）A．或B．或C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，化为：sinC=，∵c＜a，∴C为锐角，∴C=．故选：D．3．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（）A．0≤a≤2 B．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞2【考点】简单线性规划．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，以及处在区域两侧的点的符号相反求解a的取值范围．【解答】解：∵原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，即a（a﹣2）＜0，解得0＜a＜2，故选：B．4．在△ABC中，已知2bccosBcosC=c2sin2B+b2sin2C，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由c2sin2B+b2sin2C=2bccosBcosC，由正弦定理可得：sin2Csin2B+sin2Bsin2C=2sinBsinCcosBcosC，化为：cos（B+C）=0，即可判断出真假；④【解答】解：∵c2sin2B+b2sin2C=2bccosBcosC，∴由正弦定理可得：sin2Csin2B+sin2Bsin2C=2sinBsinCcosBcosC，化为：sinBsinC=cosBcosC，∴cos（B+C）=0，∵0＜B+C＜π，∴B+C=，则△ABC一定是直角三角形．故选：C．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D6．下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数x，都有x3≥x2﹣x+1恒成立．C．的最小值为2D．y=2x（2﹣x），（x≥2）的最大值为2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】必须对选项一一加以判断：对A运用分析法考虑；对B应用作差法考虑；对C应用基本不等式考虑；对D应用二次函数的最值求得．【解答】解：因为⇔⇔⇔⇔70＜42，显然不成立，所以A错；因为x3﹣（x2﹣x+1）=（x3﹣1）﹣（x2﹣x）=（x﹣1）（x2+x+1）﹣x（x﹣1）=（x﹣1）（x2+1），所以对任意的实数x，x3﹣（x2﹣x+1）≥0不恒成立，只有x≥1，才恒成立，故B错；因为≥当且仅当x=0时y取最小值2，所以C正确；因为y=2x（2﹣x）=﹣2（x﹣1）2+2，当x≥2时，函数为减函数，x=2，y取最大值0，所以D错．故选：C7．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．24【考点】余弦定理．【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．【解答】解：根据题意设△ABC的三边长为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，∵sinα=，∴cosα=或﹣，当cosα=时，α=60°，不合题意，舍去；当c osα=﹣时，α=120°，由余弦定理得：cosα=cos120°==﹣，解得：a=3或a=﹣2（不合题意，舍去），则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15．故选：A．8．二次方程x2+（a2+1）x+a﹣2=0，有一个根比1大，另一个根比﹣1小，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意令f（x）=x2+（a2+1）x+a﹣2，然后根据条件f（1）＜0且f（﹣1）＜0，从而解出a值．【解答】解：令f（x）=x2+（a2+1）x+a﹣2，则f（1）＜0且f（﹣1）＜0即，∴﹣1＜a＜0．故选C．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S30=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则30×5+=390，解得d=．故选：C．10．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1或a≥B．0＜a≤1 C．0≤a＜1或a＞D．0＜a＜1【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的是简单线性规划问题．线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．因此在解答此题时应先根据先行约束条件画出可行域，然后根据可行域的特点及条件：表示的平面区域是一个三角形及其内部，找出不等关系即可．【解答】解：由题意可知：画可行域如图：不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，且当直线x+y=a过直线y=x与直线2x+y=2的交点时，a=．所以a的取值范围是：0＜a≤1或a≥，故选：A．11．数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2014=（）A．1005 B．1006 C．1007 D．1008【考点】数列的求和．【分析】先求出co s的规律，进而得到ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结论．【解答】解：当n=1，2，3，4，…，cos=0，﹣1，0，1，0，﹣1，0，1…，ncos=0，﹣2，0，4，0，﹣6，0，8…；∴数列{a n}的每四项和为：2+4=6，而2014÷4=503×4…2，∴S2014=503×6+0﹣2014+2=1006，故选：B12．已知单调递增数列{a n}满足a n=3n﹣λ•2n（其中λ为常数，n∈N+），则实数λ的取值范围是（）A．λ≤3 B．λ＜3 C．λ≥3 D．λ＞3【考点】等比数列的通项公式．【分析】单调递增数列{a n}满足a n=3n﹣λ•2n（其中λ为常数，n∈N+），可得：a n＜a n+1，化为：λ＜2×，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵单调递增数列{a n}满足a n=3n﹣λ•2n（其中λ为常数，n∈N+），∴a n＜a n+1，∴3n﹣λ•2n＜3n+1﹣λ•2n+1，化为：λ＜2×（）n，由于数列{2×（）n}单调递增，∴2×（）n≥=3．∴λ＜3．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．已知关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+b＜0的解集是{x|1＜x＜5}，则a+b=．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，得出方程的两个根为2和3，再利用根与系数的关系求出a、b的值即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+b＜0的解集是{x|1＜x＜5}，∴关于x的方程ax2﹣（a+1）x+b=0的两个根为1和5，∴=1+5，=1×5；解得a=，b=1；∴a+b=1+=．故答案为：14．设x，y∈R+，且=2，则x+y的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且+=1，代入x+y=（x+y）•（+），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=2，∴+=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（+）=+=5++≥5+2 =8（当且仅当=，x=2，y=6时取“=”）．故答案为：8．15．数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，3a n+1=S n（n≥1），则a n=．【考点】数列递推式．【分析】这是一道典型的含有a n+1，S n的递推公式来求通项公式的题目，利用公式，本题是先求出S n，再由S n求出a n，要注意对n=1和n≥2进行讨论．【解答】解：由已知，a1=1，3a n+1=S n∴3（S n+1﹣S n）=S n，所以，即{S n}是首项为1，公比为的等比数列，所以S n=1×（）n﹣1=（）n﹣1，又由公式，得到a n=．故答案为：．16．如图，第1个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，如此继续下去，得第3个图，…，用a n示第n图的边数，则数列{a n}前n 项的和S n等于4n﹣1．【考点】数列的应用．【分析】根据图形，可得=4（n≥2），利用等比数列的定义，可得数列的通项，从而可求数列的和．【解答】解：由题意知：a1=3，a2=12，a3=48∴每一条边经一次变化后总变成四条边，即=4（n≥2），由等比数列的定义知：a n=3×4n﹣1∴S n==4n﹣1故答案为：4n﹣1三、解答题（共6小题，满分74分）17．在△ABC中，cosB=﹣，sinC=（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S，求BC的长．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，结合范围B∈（，π），可求C为锐角，求得cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可得解sinA的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式，及正弦定理，可求AB的值，进而利用正弦定理即可解得BC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由cosB=﹣，B∈（0，π），得sinB==，由cosB=﹣＜0，得B∈（，π），∴C∈（0，），所以，由sinC=，得cosC=，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．（Ⅱ）∵S，可得：=，由（Ⅰ）可得sinA=，可得：AB×AC=65，…又∵AC==AB，…∴AB2=65，AB=，∴BC==…18．（Ⅰ）若函数f（x）=定义域为R，求k的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＞0．【考点】一元二次不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）由题意可得x2﹣kx﹣k≥0恒成立，根据判别式即可求出．（Ⅱ）对a分类讨论，求出其解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=定义域为R，∴x2﹣kx﹣k≥0恒成立∴△=k﹣4（﹣k）≤0，∴﹣4≤k≤0，（II）解：不等式（x﹣a）（x+a﹣1）＞0对应方程的实数根为a和1﹣a；…①当1﹣a=a，即a=时，不等式化为（x﹣）2＞0），∴x≠，∴不等式的解集为{x|x≠}；…②当1﹣a＞a，即a＜时，解得x＞1﹣a或x＜a，∴不等式的解集为{x|x＞1﹣a或x＜a}；…③当1﹣a＜a，即a＞时，解得x＞a或x＜1﹣a，∴不等式的解集为{x|x＞a或x＜1﹣a}．…综上，当a=时，不等式的解集为{x|x≠}；当a＜时，不等式的解集为{x|x＞1﹣a或x＜a}；当a＞时，不等式的解集为{x|x＞a或x＜1﹣a}．…12 分19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若边长c=2，求△ABC的周长的最大值．【考点】解三角形．【分析】（1）由题意可得absinC=•2abcosC，可求tanC，进而可求C（2）由c=2，要求△ABC的周长的最大值，只要求a+b的最大值，由（1）知，C=，利用余弦定理可得，结合可求a+b的范围，可求周长的最大值另法：由正弦定理得到=，，结合正弦函数的性质可求【解答】解：（1）由题意可知，absinC=•2abcosC，所以tanC=．因为0＜C＜π，所以C=．（2）由（1）知，C=∴∴a2+b2﹣4=ab∴（a+b）2﹣4=3ab∵当且仅当a=b时取等号∴∴a+b≤4，∴△ABC的周长最大值为6另法：由正弦定理得到=所以，所以，当时，a+b最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6．其他方法请分步酌情给分20．已知数列{a n}满足2a，它的前n项和为S n，且a5=5，S7=28．（Ⅰ）求数列{}的前n项和T n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=1，b（q＞0），求数列{b n}的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由2a n+1=a n+a n+2（n∈N*），知{a n}是等差数列，利用条件求出数列的通项与前n项和，再利用裂项法求和，即可得到结论；（Ⅱ）由，得，当n≥2时，可得b n=，验证当n=1时，b1=1满足上式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由2a n+1=a n+a n+2（n∈N+）知{a n}是等差数列，且a5=5，S7=28，得，即，∴a n=n，∵，∴．∴=；（Ⅱ）由b1=1，，得，∴当n≥2时，b n=b1+（b2﹣b1）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+q+q2+…+q n﹣1=．当n=1时，b1=1满足上式，故b n=．21．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元．，并求出此时生产A，B产品各少件．【考点】简单线性规划的应用．【分析】设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，得出约束条件表示的可行域，根据可行域得出目标函数取得最大值时的最优解．【解答】解：设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，则，目标函数z=2100x+900y，做出可行域如图所示：将z=2100x+900y变形，得，由图象可知，当直线经过点M时，z取得最大值．解方程组，得M的坐标为（60，100）．所以当x=60，y=100时，z max=2100×60+900×100=216000．故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．22．设数列{a n}前n项和为S n，已知a1=a（a≠4），a n+1=2S n+4n（n∈N*）（Ⅰ）设b n=S n﹣4n，求证：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a n+1≥a n（n∈N*），求实数a取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）依题意得：S n+1﹣S n=a n+1=2S n+4n，化简利用等比数列的定义，可证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）确定S n，再写一式，两式相减，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a n+1≥a n（n∈N*）成立，作差，构建函数，利用函数的单调性，即可求实数a取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：依题意得：S n+1﹣S n=a n+1=2S n+4n，即S n+1=3S n+4n，由此得=3（）即b n+1=3b n，…∴数列{b n}是公比为3的等比数列．…（Ⅱ）解：∵，∴，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3×4n﹣1+2（a﹣4）•3n﹣2，…n=1时，a1=1∴…（Ⅲ）解：∵a n+1=3×4n+2（a﹣4）•3n﹣1，∴a n+1﹣a n=4•3n﹣2[]≥0设f（n）=，则f（n）≥0，…∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…∴当n≥2时a n+1﹣a n≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥﹣5…又a2≥a1等价于2a1+4≥a1，即a≥﹣4．…综上，所求的a的取值范围是[﹣4，4）∪（4，+∞）．…。
2017-2018学年福建师大附中期中考(实验班)试卷
a
0
，实数
x
、
y
满足约束条件
x+ y 3
，若 z = 2x + y 的最小值为 1，则 a =(
)
y a(x − 3)
A.1
B.1
C .1
D .2
4
2
6.
设 ABC
的面积为 S1 ，它的外接圆面积为 S2
，若 ABC
的三个内角大小满足
A:
B:C
=
4 :1:1，则
S1 S2
的
值为( )
A. 3 3 4
租金为多少？
3
19、（本小题满分 10 分）已知等差数列an中，公差 d 0 ，其前 n 项和为 Sn ，且满足：a2a3 = 45, a1 + a4 = 14
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)通过公式 bn
=
Sn n+c
构造一个新的数列 bn，若bn也是等差数列，求非零常数
c.
(3)若 bn是等差数列，求
an+1
4
21（本小题满分
12
分）如图，在某商业区周边有两条公路
l1
和
l2
，在点
O
处交汇；该商业区为圆心角
3
、半径
3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路 AB，与、 l2 l1 分别交于 A、B，要求 AB 与扇形弧相切，切点 T 不
在 l1 、 l2 上． （1）设 OA = akm ， OB = bkm 试用 a ， b 表示新建公路 AB 的长度，求出 a ， b 满足的关系式，并写出 a ， b
D.a+c b+d
2. 设等差数列an的前 n 项和 Sn ，若 a2 + a5 + a8 = 15 ，则 S9 = ( )
福建省师大附中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
福建师大附中2016-2017学年第二学期模块考试卷高二数学（文科）本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.在一组样本数据（x 1,y 1）,（x 2,y 2）,…,（x n ,y n ）（n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中,若所有样本点（x i ,y i ）(i=1,2,…,n)都在直线y=4x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为（***）A.4B.0C.41D.1 2．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（***）A ．iB ．－iC ．1D ．－13.复数i )23(222++++=m m m m z 是纯虚数，则实数m 的值是（***） A.0 B.-2 C.0或-2 D.-1 4．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”；②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc (c ≠0)”；③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为（***）A ．1B ．2C ．3D ．45.满足条件i i z 43+=-的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（***）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆6.下列推理是演绎推理的是（***）A.由圆222r y x =+的面积2r S π=，猜想椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的面积ab S π=B.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C.猜想数列,,431,321,211 ⋅⋅⋅的通项公式为)()1(1*N n n n a n ∈+=D.半径为r 的圆的面积,2r S π=则单位圆的面积π=S7..更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a = 153，b =119，则输出的a 值是（***） A.16 B.17 C.18 D.198.已知圆C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4-=，圆心为C ，点⎪⎭⎫⎝⎛4,2πA ，则线段AC 的长为（***） A.5 B. 5 C.55D. 519.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是（***） A. x 0∈R,f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f /(x 0)=010.已知函数x x f x f +=sin )3()('π，则=)('πf （***）A.21 B. 21- C. 1 D. 1- 11．已知函数g （x ）=|e x ﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x ）图象大致为（***）否结束输出a 否b = b - aa = a - b是是a >b a ≠b 输入a ，b 开始A. B ．C ．D ．12.已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x ＞0,则a 的取值范围为（***） A.（2,+∞） B.（-∞,-2） C.（1,+∞） D.（-∞,-1）第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题5分，共20分）13.()()=-+2311i i ***14.关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实根，则实数m 的值是 ***15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．则f (5)= *** ，f (n )= ***16.奇函数)(x f 定义域为),0()0,(ππ -，其导函数为)('x f 。
福建师大附中自主招生样卷--理化试卷及答案
福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试样卷物理、化学（满分：100分；建议完成时间：70分钟）姓名______________ 准考证号______________ 初中校_______________________ 一、单项选择题（1-4题，每小题4分；5-7题，每小题3分；共25分）1．如图，在水平面上有一上表面光滑的平板车，车上放置一个小球。
当平板车在水平外力的作用下向右运动后，小球将从车的左端离开，小球的运动轨迹可能是图中的A．曲线a B．曲线bC．曲线c D．曲线d2．在如图所示的电路中，R为滑动变阻器，L1和L2为小灯泡。
闭合开关S，当滑动变阻器的滑片由a向b端滑动时，小灯泡的亮度变化情况是A．L1变亮，L2变暗B．L1变暗，L2变亮C．L1变亮，L2变亮D．L1变暗，L2变暗3．小船往返于上、下游两个渡口，若河水不流动，船往返一次所需要的时间为t1；若河水流动，船往返一次所需要的时间为t2，则t1、t2的关系为A．t1=t2B．t1<t2C．t1>t2D．因船速与水速未知，t1、t2的关系无法确定4．如图，AB为一轻质杠杆，O为支点，BO＝2AO，AB两端分别悬挂实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡。
若将两球同时浸没在某液体中，液体的密度小于铜和铁的密度，则A．杠杆仍能保持平衡B．铁球一端下降C．铜球一端下降D．液体密度未知，故无法判断哪端下降5．在含有Cu（NO3）2、Mg（NO3）2和AgNO3的溶液中加入适量锌粉，首先置换的是A．Mg B．Cu C．Ag D．H26．只用试管和滴管就把①硫酸铜溶液、②氯化钡溶液、③盐酸、④硫酸钠溶液四种试剂鉴别出来，至少需要几步实验操作才能得出结论A．1 B．2 C．3 D．47．为了除去物质内的杂质，需选用适当的试剂，其中正确的是选项物质（括号内为杂质）选用试剂A CO2（CO）碱石灰B CaCl2（HCl）KOH溶液C NaOH溶液（Ca(OH)2）K2CO3溶液D C（Fe）盐酸二、填空题（共39分）8．（6分）如图，用50N的力拉着物体A以0.2m/s的速度在水平面匀速前进，若A受到的摩擦力是20N，则B受到的摩擦力是_____N，B物体的速度是_____m/s 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ 2 ） 设 购 进 乙 种 零 件 y 个 ， 则 购 进 甲 种 零 件 (3y 5) 个 由 题 意 得 ：
点 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧外切，则 sin EAB 的值是
.
D
C
E
A
B
第1页共6页
9.已知两个反比例函数
y
5 x
，
y
10 x
，第一象限内的点 P1
、 P2
、 P3 、… 、 P2015
在反
比例函数
y
10 x
的图象上，它们的横坐标分别为
x1
、
x2
、
x3
、…、
x2015
，纵坐标
分别是1、3 、5 、…，共 2015 个连续奇数，过 P1 、 P2 、 P3 、…、 P2015 分别作 y 轴
福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试样卷
数学
（满分：150 分，建议完成时间：110 分钟）
姓名______________ 准考证号______________ 初中校_______________________
一、填空题（1-13 题，每小题 6 分，共 78 分）
1.函数 y
1
的最大值是
的平行线，与
y
5 x
的图象交点依次为 Q1(x1,
y1) 、Q2 (x2 ,
y2 ) 、…、Q2015 (x2015,
y2015 )
，
则 P Q 2015 2015 的长度是
.
10.已知方程组
x 1
y 2 5 ，则
(x 1)( y 2) =
.
x y 20
11.观察下列各式：
12 11
1
1
.
1 x(1 x)
2.已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积是
.
3.方程 x2 | x | 12 0 的所有实数根之和等于
.
4.一直角三角形的两直角边之比为 2∶3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段
与较大的一段之比是
.
5.已知⊙O 的半径OA 1，弦 AB 、 AC 的长分别是 2 、 3 ，则BAC 的度数
是
.
6.如图，已知圆 O 的面积为 3 ， AB 为圆 O 的直径， AOC 80 ， BOD 20 ，
点 P 为直径 AB 上任意一点，则 PC PD 的最小值是
.
C
D
A
OP
B
7.已知实数 a 满足| 2014 a | a 2015 a ，那么 a 20142 1的值是
.
8.如图，正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，以点 E 为圆心、 EC 为半径的半圆与以
3 15、（14 分）解：（1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为 (x 2) 元．
依题意得： 80 100 ，解得 x 10 ．检验：当 x 10 时， x(x 2) 0 ， x2 x
∴ x 10 是原分式方程的解．10 2 8 （元）
答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元．……5 分
第3页共6页
B
P O
AR
Q
17.如图 1，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 B 在 y 轴的正半轴 上， O 为坐标原点.现将正方形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为 （ 0o 45o ）.
（1）当点 A 落到 y 轴正半轴上时，求边 BC 在旋转过程中所扫过的面积； （2）若线段 AB 与 y 轴的交点为 M （如图 2）,线段 BC 与直线 y x 的交点为 N .当
5、15°或 75°
6、3
8、3 9、4029 10、3
5
2
11、2014 1 或写为 20152
2016
2016
二、解答题
14、（12 分）解：由不等式组得1 3a x 21……4 分
7、2016
12、(2, 8) 13、11 10
原不等式组只有四个整数解，故16 1 3a 17 ……5 分 解得 16 a 5 ……3 分
14.若关于
x
的不等式组
x 15 2
2x 1 3
x x
3 a
有且只有
4
个整数解，求实数
a
的取值范围.
15.某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价 比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种 零件的数量相同．
16.如图， OA和 OB 是⊙ O 的半径，并且 OA OB . P 是 OA上任意一点， BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ， 点 R 在 OA的延长线上，且 RP RQ .
（1）求证： RQ 是⊙ O 的切线； （2）当 RA OA时，试确定 B 的取值范围； （3）求证： OB2 PB PQ OP2 .
22.5 时，求此时 BMN 内切圆的半径； （3）设 MNB 的周长为 l ,试判断在正方形 OABC 旋转的过程中 l 值是否发生变化，并
说明理由.
y
y
B
A
C
M A
B
N C
O
x
O
x
图1
图2
第4页共6页
参考答案与评分标准
数学
一、填空题（每小题 6 分，共 78 分）
1、 4 3
2、7
3、0
4、4:9
12 1
1
12
1
1
(1
); 2
22 2 1 1 1 1 (1 1);
22 2
22 2
23
32 3 1
1
11
1
1 ( );
32 3
32 3
34
……
计算：
1 2
22
5
2
11 32
3
20152 2015 20152 2015
1
.
12.已知抛物线 y 1 x2 bx 经过点 A(4, 0) . 设点 C(1, 4) ，欲在抛物线的对称轴上确 2
（1）求甲、乙两种零件的进价； （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购
进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元，每 个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使 销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过 371 元. 通过计算求出五金商店本 次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．
定一点 D ,使得 AD CD 的值最大，则 D 点的坐标是
.
13.一列分数有规律地排列如下： 1, 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 11 21231 23412345
200 个分数是
.
，则第
第2页共6页
二、解答题（第 14 题 12 分，第 15 题 14 分，第 16 题 23 分，第 17 题 23 分；共 72 分）