2017年福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试数学样卷(附答案及评分标准)

12 1
1
12
1
1
(1
); 2
22 2 1 1 1 1 (1 1);
22 2
22 2
23
32 3 1
1
11
1
1 ( );
32 3
32 3
34
……
计算：
1 2
22
5
2
11 32
3
20152 2015 20152 2015
1
.
12.已知抛物线 y 1 x2 bx 经过点 A(4, 0) . 设点 C(1, 4) ，欲在抛物线的对称轴上确 2
是
.
6.如图，已知圆 O 的面积为 3 ， AB 为圆 O 的直径， AOC 80 ， BOD 20 ，
点 P 为直径 AB 上任意一点，则 PC PD 的最小值是
.
C
D
A
OP
B
7.已知实数 a 满足| 2014 a | a 2015 a ，那么 a 20142 1的值是
.
8.如图，正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，以点 E 为圆心、 EC 为半径的半圆与以
福建师大附中创新人才培养实验班自主招生考试样卷
数学
（满分：150 分，建议完成时间：110 分钟）
姓名______________ 准考证号______________ 初中校_______________________
一、填空题（1-13 题，每小题 6 分，共 78 分）
1.函数 y
1
的最大值是
（1）求甲、乙两种零件的进价； （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的 3 倍还少 5 个，购
进两种零件的总数量不超过 95 个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为 12 元，每 个乙种零件的销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使 销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过 371 元. 通过计算求出五金商店本 次从市机械厂购进甲、乙两种零件的所有方案．
3 15、（14 分）解：（1）设每个乙种零件进价为 x 元，则每个甲种零件进价为 (x 2) 元．
依题意得： 80 100 ，解得 x 10 ．检验：当 x 10 时， x(x 2) 0 ， x2 x
∴ x 10 是原分式方程的解．10 2 8 （元）
答：每个甲种零件的进价为 8 元，每个乙种零件的进价为 10 元．……5 分
定一点 D ,使得 AD CD 的值最大，则 D 点的坐标是
.
13.一列分数有规律地排列如下： 1, 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 11 21231 23412345
200 个分数是
.
，则第
第2页共6页
二、解答题（第 14 题 12 分，第 15 题 14 分，第 16 题 23 分，第 17 题 23 分；共 72 分）
14.若关于
x
的不等式组
x 15 2
2x 1 3
x x
3 a
有且只有
4
个整数解，求实数
a
的取值范围.
15.某五金商店准备从该市机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价 比每个乙种零件的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种零件的数量与用 100 元购进乙种 零件的数量相同．
.
1 x(1 x)
2.已知直角三角形的周长为 14，斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积是
.
3.方程 x2 | x | 12 0 的所有实数根之和等于
.
4.一直角三角形的两直角边之比为 2∶3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段
与较大的一段之比是
.
5.已知⊙O 的半径OA 1，弦 AB 、 AC 的长分别是 2 、 3 ，则BAC 的度数
的平行线，与
y
5 x
的图象交点依次为 Q1(x1,
y1) 、Q2 (x2 ,
y2 ) 、…、Q2015 (x2015,
y2015 )
，
则 P Q 2015 2015 的长度是
.
10.已知方程组
x 1
y 2 5 ，则
(x 1)( y 2) =
.
xห้องสมุดไป่ตู้ y 20
11.观察下列各式：
12 11
1
1
5、15°或 75°
6、3
8、3 9、4029 10、3
5
2
11、2014 1 或写为 20152
2016
2016
二、解答题
14、（12 分）解：由不等式组得1 3a x 21……4 分
7、2016
12、(2, 8) 13、11 10
原不等式组只有四个整数解，故16 1 3a 17 ……5 分 解得 16 a 5 ……3 分
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B
P O
AR
Q
17.如图 1，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 B 在 y 轴的正半轴 上， O 为坐标原点.现将正方形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转，旋转角为 （ 0o 45o ）.
（1）当点 A 落到 y 轴正半轴上时，求边 BC 在旋转过程中所扫过的面积； （2）若线段 AB 与 y 轴的交点为 M （如图 2）,线段 BC 与直线 y x 的交点为 N .当
16.如图， OA和 OB 是⊙ O 的半径，并且 OA OB . P 是 OA上任意一点， BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ， 点 R 在 OA的延长线上，且 RP RQ .
（1）求证： RQ 是⊙ O 的切线； （2）当 RA OA时，试确定 B 的取值范围； （3）求证： OB2 PB PQ OP2 .
22.5 时，求此时 BMN 内切圆的半径； （3）设 MNB 的周长为 l ,试判断在正方形 OABC 旋转的过程中 l 值是否发生变化，并
说明理由.
y
y
B
A
C
M A
B
N C
O
x
O
x
图1
图2
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参考答案与评分标准
数学
一、填空题（每小题 6 分，共 78 分）
1、 4 3
2、7
3、0
4、4:9
点 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧外切，则 sin EAB 的值是
.
D
C
E
A
B
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9.已知两个反比例函数
y
5 x
，
y
10 x
，第一象限内的点 P1
、 P2
、 P3 、… 、 P2015
在反
比例函数
y
10 x
的图象上，它们的横坐标分别为
x1
、
x2
、
x3
、…、
x2015
，纵坐标
分别是1、3 、5 、…，共 2015 个连续奇数，过 P1 、 P2 、 P3 、…、 P2015 分别作 y 轴
（ 2 ） 设 购 进 乙 种 零 件 y 个 ， 则 购 进 甲 种 零 件 (3y 5) 个 由 题 意 得 ：