单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

各单元类型的单元刚度矩阵

各单元的单元刚度矩阵一）杆件单元刚度矩阵局部坐标系中：整体坐标系中：αμαλsin ;cos ==二、）梁单元刚度矩阵剪弯梁局部坐标系下：坐标转换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111][l EA ke ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k z z z z z z z z z z z z z z z z e 46612266122661246612][223223223223[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T轴剪弯梁局部坐标系下：坐标转化矩阵为：三、）平面三节点三角形单元刚度矩阵{}[]{}e N δδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=m j i m j i N N N N N N N 000000][ )(21y c x b a AN i i i i ++=； ),,(m j i i = j m m j i y x y x a -=，m j i y y b -=，j m i x x c -=。

单元为等腰直角三角形，直角边长为1。

泊松比为0，弹性模量为1。

（单元节点编号为逆时针i ，j ，m ；直角顶点为m ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA K e 460260612061200000260460612061200000222322222223[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000sin cos 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααT⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=23211212102302121110002*********][E k e 1)集中力：}{][}{P N R T e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧y x y x m m j j i i m m j j i i P P N N N N N N Y X Y X Y X p p ),(000000 2)体力：⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{3）分布面力：⎰=s T e tds P N R }{][}{例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm 的ij 边上作用有沿x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

第9章矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
31 2
32
1
x
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
②
②
5 6
4
(局部坐标)
4 6
5
y
(整体坐标)
整体坐标下的单元刚度矩阵：
k② T T k ② T
结点位移码
(
(1 2 3 0 0 0)
结点码
1
2
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
k ② T T k ② T
9.65
7.13
k
②
0.45 9.65
7.13 0.45
1 3
7.13 5.50 0.6 .137 5.50 0.6
0.45 0.6 5.0 0.45 0.6 2.5
9.65 7.13 0.45 9.65 7.13 0.45
7.13 5.50 0.6 7.13 5.50 0.6
0.0 0.69 2.08
0.0 0.69 2.08
0.0
2.08
4.17
0.0
2.08
8.33
①
①
k k
单元②： 15.0

optistruct 单元刚度矩阵

optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。

OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。

单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。

OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。

根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。

一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。

2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。

3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。

4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。

了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。

通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种.处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，下面分别予以介绍.1、删行删列法若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解.这种方法的优点是道理简单.如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小.通常用人工计算时常采用该方法.若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变.因而一般计算机算题不太采用.2．分块法为了理解这个方法，我们把方程分块如下：（3-11）其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移.因而是已知的结点力；是未知的结点力.方程（3-11）可以写为即（3-12）和（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.步骤（2）除对角线元素以外，使[K]中对应于的行和列为零，而对角线元素为1，即步骤（3）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（1）到（3））.应当指出，由于这个过程保持了方程的对称性，因此，[K]可以按带状存储，而且几乎不会增加编制程序的工作量.4．置大数法置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解.当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零.删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移（包括零位移）.5．斜支座的处理对于简单的约束情况（如限定某些结点位移为零或取得给定数值），可以用前述置大数法处理.有的结构在直角坐标系内建立了位移方程组，但在某个斜边上受有法向约束.如图3-28所示正方形固支板，受均布横向载荷，对此，可利用对称性而只计算其1/8，如图中ABC部分，其中AC为固支边，按对称性，AB边上有，但在BC边上应限定绕BC的转用等于零.为处理此类斜边上的约束，须对斜边上的结点做坐标变换.若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图3-29）.对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系.设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29 则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19）这样把位移到列阵中凡是斜支座的结点位移矢量都用局部坐标表示了.将式（3-19）中第行左右两边前乘以（3-20）由上式可见：凡是边界点的斜支座，在刚度方程中对应于斜支座的位移和载荷向量均可直接斜支座的局部坐标值，总刚度距阵中的相应行列需作相应的变换.上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移就很方便了.实际计算中，并不需要建立结构总的位移方程组后再进坐标变换.而可以在形成单元刚度矩阵和结点载荷之后，就对斜支座点进行坐标变换，把变换后的单元刚度矩阵和结点载荷叠加入总刚度矩阵和总载荷的相应位置，最后叠加形成的也就是方程组（3-20），即需要处理的结点，应该在单元计算中完成坐标变换后再叠加，当结构有不同的斜边约束时，都可以这样处理，只不过对不同边上的结点，应按不同的方向余弦矩阵变换就是了.7.4.4 总刚度平衡方程的求解应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组.通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.我们已知，总体刚度矩阵具有大型、对称、稀疏、带状分布、正定、主元占优势的特点，稀疏表示将对称消元法进一步改造，使之适合总刚的等带宽二维存储.（4）因子化法（三角分解）又称Cholesky分解，适合一维变带宽存储总刚.这上方法储效率高，计算速度快，应用较为普遍.此外，还有一种方法，叫做波前法.波前法实际上也是一种改进的高斯消去法.它建立一个称为“波前”的空间，各单元刚度系数依次进入波前.一旦与某自由度有关的所有单元的刚度系数全部装入，便可将相应的变量消去.经过消元的方程的系数随即退出波前，存放在计算机的外存中.这样就可腾出空间装入新的刚度系数.所以，波前法不需要生成完整的总刚，而是边组装边消元，“成熟”一个消去一个.消元完成后，全部系数都已存储在计算机的外存或缓冲区中.回代时将各方程的系数按“先出后入”的顺序调入内存求解.由此可见，这种方法是利用计算机充裕的外存资源，以多耗取机时来缓解内存不足的矛盾，以便适应较大规模的问题.随着计算机技术的发展，内存资源不断扩大，对具有稀疏、带状性质的有限元刚度方程，这种以时间换取空间的办法得不偿失.另一方面，波前法的阐述和程序设计比较复杂，且对多种单元并存的结构使用不便.所以，本书不拟介绍波前法.本书第九章将详细讨论适合整体存储总刚的高斯消去法和适合一维变带宽存储的因子化法以及有关的程序设计问题，以下仅列出这两种方法的梗概.1、高斯消去法高斯循序消去法的一般公式：对于n阶线性代数方程，需进行次消元.采用循序消去时，第m次消元以m-1次消元后的m行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，则是单位上三角矩阵，.代入整本结构平衡方程记，则.即由向下回代.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，……，依此类推可求得{Y}.又由向上回代，可得，由得依此类推可求得.由上述过程可见，三角分解法求解线性代数方程组的关键是对系数矩阵进行三角分解.7.4.5 求解内力由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方程（3-3）、（3-4）和（3-6）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。

第2章5_用整体坐标表示单元刚度矩阵

0
K (2)
0.5
0
0.866 0
0
0
0
0 0.866 0.5 1 0
0 1
0
EA
0.5
0.866
0
0 2 0
0 0.866
0
0.5
0
0
0.5
0.866
0
0
0
0
0
0 0.5 0.866
0.75
0.433
0.75
0.433
0.433 0.25 0.433 0.25
C
2 y
y
E
A
CxCy
C
2 y
l
— 上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵
[例2-1]平面桁架如图所示，各杆截面 EA均为常数。已知P1=15kN,P2= 20kN，试桁架各杆轴力。
1.对结点和单元编号如图示; 2. 列表表示各单元参数;
单元 ① ②
单元坐标 x轴方向
1→2
3→2
α
0
0
0.04 0.12
0
0.04 0.12
K
(1)
K
(3)
0
0.48
0 4
0.12 0
0.24 0
105
对称
0.04 0.12
0.48
单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换
第一种方法：直接代入公式：
2 1 2i 2 BCx l2 Cy
(e)
K
1 2i (B l2 )CxC y
0
6EI
2
l 2EI
l
EA l
0
0
EA l 0

11.3 单元刚度矩阵(整体座标系)

e
e
e
e
e e
y
y
Y2
Y2
X2
x
X 2 = X 2 cos α + Y2 sin α
e
e
Y2 = − X 2 sin α + Y2 cos α M2 = M2
e
e
e
把上式表示成矩阵形式：把上式表示成矩阵形式：
e X 1 cos α − sin α Y1 M1 0 = X2 0 Y2 0 M 2 0
0 − 30 −12 0 12 0 300 0 0 − 300 0 100 30 0 4 − 30 ②=[T]T[k ]②[T] = 10 × [k] 30 12 0 −12 0 0 − 300 0 0 300 50 30 0 − 30 0
− 30 0 50 30 0 100 6
为正交矩阵
[T]-1 =[T]T
或 [T][T]T=[T]T [T] =[I]
同理有
{∆} = [T ] {∆} ⓔ ⓔ T {∆} = [T ] {∆}
e
{F} = [T]{F} e e 于是有 {F} = [T] {F} e
e e 由上页
T
3
二、整体座标系中的单元刚度矩阵
（解决 [k
] e 与[k] e 的关系）的关系）
sin α cos α 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 cos α 0 − sin α 0 0
e
e
e e 0 0 X 1 0 0 Y1 e e 0 0 M 1 sin α 0 X 2 cos α 0 Y2 座标转换矩阵 0 1 M 2 2

结构力学11.2 单元刚度矩阵

89
结构力学讲稿
uie
u
e j
EA

k
e

l 0
0 0
EA l 0
FNei 0 FSei 0 FNej
FSej

EA
l 0
0 0
EA
l 0
0 0
桁架单元的单刚也是对称的和奇异的。
第十一章矩阵位移法
90
e
]

0 EA
l

0

0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0
0 12EI
l3
0

6EI

l2
0 EA
6EI l2
0
2EI
l

，称为，单元刚度矩阵，简称“单刚”。
FFSNeeii

uviiee

{F
e}

M
e i
FNej

，称为，单元杆端力列向量。{
e}

ie
u
e j

，称为，单元杆端位移列向量。
FSej

v
e j

M
e j

e j

EA

l
0

[k
第十一章矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} 这意味着：1) 给定杆端位移，可唯一确定出相应的杆端力；2) 给定杆端力，不能唯一确定出杆

结构力学11.3 单元刚度矩阵的坐标变换)

e j

M
e j

e j

则有
{F e} [T ]{F e}
cos sin 0 0
0 0
sin cos 0 0
0 0
0
01 0
0 0
[T
]

，称为，坐标变换矩阵。
0
0 0 cos sin 0
0
0
0
sin
cos
0
即 [k e ] [T ]T [k e ][T ]{ e} 87
结构力学讲稿
此即单元刚度矩阵的坐标变换式。整体坐标系下，单元刚度方程为 {F e} [k e ]{ e}
可将单元刚度方程按端结点 i、j 进行分块，有
第十一章矩阵位移法
可得
{Fie}

[kiei
]{
e i
}

[kiej
0
00 0
0 1
坐标变换矩阵的性质—正交矩阵
第十一章矩阵位移法
[T]是一个正交矩阵，即
[T ]1 [T ]T
杆端力的坐标变换关系式为
{F e} [T ]{F e}
同理，杆端位移的坐标变换关系式为
{ e} [T ]{ e}
由{F e} [T ]1{F e} ，{F e} [k e ]{ e} ，{F e} [k e ]{ e} ，得

{F
e}

M
e i
FNej

，{
e}

ie
u
e j

，{F
e}

M
e i

Fxej

§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)

第9章矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 ▲ §9-8 §9-9 概述单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（整体坐标系）连续梁的整体刚度矩阵（先讲）刚架的整体刚度矩阵结构整体结点荷载计算步骤和算例竖向杆件坐标变换的简化技巧忽略轴向变形时刚架的整体分析桁架及组合结构的整体分析
e e e 与 {F} [k ] {} 比较
则有：
[k ] [T ] [k ] [T ]
e T e
—— 单元刚度矩阵变换式
5. 单刚坐标变换步骤
含支座结点
（1）编号、建立坐标系: 对每个单元、结点、结点位移进行编号；对每个单元分别确定局部坐标方向；对结构建立一套整体坐标。（2）对每个单元写出局部坐标下的单元刚度矩阵。（3）对每个单元写出坐标转换矩阵。（4）对每个单元求出整体坐标下的单元刚度矩阵。
[k ]e [T ]T [k ]e[T ]
[例1] 求图示结构整体坐标系下的各单元刚度矩阵，杆长5m, A=0.5m2, I=1/24m4, E=3×104Mpa。 3 1 (1,2,3) 解： x ① (0,0,4) 1）编号、建立坐标如图所示。 ② 2）写出各单元的刚度矩阵 2
（局部坐标系）
0 0
0
0
0 0 0 0
0 0
0
Sin Cos
0 1
0
0
FX 1 F Y1 M1 FX 2 FY 2 M2
e
e e 简记为： {F} [T ]{F}
反向转换
{F}e [T ]T {F}e
—— 正交矩阵
其中： [T ] —— 单元坐标转换矩阵

单元刚度矩阵组装及整体分析

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠.下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种.处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，下面分别予以介绍.1、删行删列法若结构的某些结点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解.这种方法的优点是道理简单.如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小.通常用人工计算时常采用该方法.若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变.因而一般计算机算题不太采用.2．分块法为了理解这个方法，我们把方程分块如下：（3-11）其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移.因而是已知的结点力；是未知的结点力.方程（3-11）可以写为即（3-12）和（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.步骤（2）除对角线元素以外，使[K]中对应于的行和列为零，而对角线元素为1，即步骤（3）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（1）到（3））.应当指出，由于这个过程保持了方程的对称性，因此，[K]可以按带状存储，而且几乎不会增加编制程序的工作量.4．置大数法置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解.当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零.删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移（包括零位移）.5．斜支座的处理对于简单的约束情况（如限定某些结点位移为零或取得给定数值），可以用前述置大数法处理.有的结构在直角坐标系内建立了位移方程组，但在某个斜边上受有法向约束.如图3-28所示正方形固支板，受均布横向载荷，对此，可利用对称性而只计算其1/8，如图中ABC部分，其中AC为固支边，按对称性，AB边上有，但在BC边上应限定绕BC的转用等于零.为处理此类斜边上的约束，须对斜边上的结点做坐标变换.若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图3-29）.对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系.设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29 则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19）这样把位移到列阵中凡是斜支座的结点位移矢量都用局部坐标表示了.将式（3-19）中第行左右两边前乘以（3-20）由上式可见：凡是边界点的斜支座，在刚度方程中对应于斜支座的位移和载荷向量均可直接斜支座的局部坐标值，总刚度距阵中的相应行列需作相应的变换.上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移就很方便了.实际计算中，并不需要建立结构总的位移方程组后再进坐标变换.而可以在形成单元刚度矩阵和结点载荷之后，就对斜支座点进行坐标变换，把变换后的单元刚度矩阵和结点载荷叠加入总刚度矩阵和总载荷的相应位置，最后叠加形成的也就是方程组（3-20），即需要处理的结点，应该在单元计算中完成坐标变换后再叠加，当结构有不同的斜边约束时，都可以这样处理，只不过对不同边上的结点，应按不同的方向余弦矩阵变换就是了.7.4.4 总刚度平衡方程的求解应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组.通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.我们已知，总体刚度矩阵具有大型、对称、稀疏、带状分布、正定、主元占优势的特点，稀疏表示将对称消元法进一步改造，使之适合总刚的等带宽二维存储.（4）因子化法（三角分解）又称Cholesky分解，适合一维变带宽存储总刚.这上方法储效率高，计算速度快，应用较为普遍.此外，还有一种方法，叫做波前法.波前法实际上也是一种改进的高斯消去法.它建立一个称为“波前”的空间，各单元刚度系数依次进入波前.一旦与某自由度有关的所有单元的刚度系数全部装入，便可将相应的变量消去.经过消元的方程的系数随即退出波前，存放在计算机的外存中.这样就可腾出空间装入新的刚度系数.所以，波前法不需要生成完整的总刚，而是边组装边消元，“成熟”一个消去一个.消元完成后，全部系数都已存储在计算机的外存或缓冲区中.回代时将各方程的系数按“先出后入”的顺序调入内存求解.由此可见，这种方法是利用计算机充裕的外存资源，以多耗取机时来缓解内存不足的矛盾，以便适应较大规模的问题.随着计算机技术的发展，内存资源不断扩大，对具有稀疏、带状性质的有限元刚度方程，这种以时间换取空间的办法得不偿失.另一方面，波前法的阐述和程序设计比较复杂，且对多种单元并存的结构使用不便.所以，本书不拟介绍波前法.本书第九章将详细讨论适合整体存储总刚的高斯消去法和适合一维变带宽存储的因子化法以及有关的程序设计问题，以下仅列出这两种方法的梗概.1、高斯消去法高斯循序消去法的一般公式：对于n阶线性代数方程，需进行次消元.采用循序消去时，第m次消元以m-1次消元后的m行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，则是单位上三角矩阵，.代入整本结构平衡方程记，则.即由向下回代.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，……，依此类推可求得{Y}.又由向上回代，可得，由得依此类推可求得.由上述过程可见，三角分解法求解线性代数方程组的关键是对系数矩阵进行三角分解.7.4.5 求解内力由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方程（3-3）、（3-4）和（3-6）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。

刚架的整体刚度矩阵[详细]

第9章矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵 §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
0 30 100 0 30 50 3
①
104 ×300 0
0 300 0
0
0
3 0 12 30 0 12 30 0
0
30 50
0
30
100
4
1
3
单元② 900
k② T T k ② T
0 1 0
1 0 0
0
T
0
01
0
1 0
0
1 0 0
0 0 1
1 2 300 0
0
12 30
0
12
30
2
104
×
0 300
30 0
100 0
0 300
30 0
50 3
0
0
0 12 30 0 12 30 0
0
30 50
0
30
100
4
1230 00
12 0 30 12 0 30 1
0
300
0
0
300
0
2
104
×
30 12
0 0
100 30 30 12
0 0
解：1）编号、建立坐标如图所示。 2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵
1（1,2,3） ①
②
2 y （0,0,0）

§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)解析

2.杆端力的坐标变换（将整体量转换为局部量）
（1）杆件始端（1端）
Fx1 FX 1 cos FY1 sin
α
局部坐标系中的杆端力
X
Fy1 FX 1 sin FY1 cos
M1 M1
（2）杆件末端（2端） Y
F X1
M1
α
X
Fx 2 FX 2 cos FY 2 sin Fy 2 FX 2 sin FY 2 cos M2 M2
2 1 0
3
0
0 2 0
0) ( )
[例2] 求整体坐标下的单元刚度矩阵, A=0.5m2,I=1/24m4, E=3×107Mpa。
（0,0,0）
（1,2,3）
x
1 y
①
2
②
6m
（0,0,0）
解：编号建立坐标如图所示。
单元①：
25.0 0.0 ① 0.0 k 25.0 0.0 0.0
k
①
k
②
3）求各单元整体坐标下的刚度矩阵
单元①：局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，
即： k
①
k
①
单元②：
0 1 0 T
=900
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 0
0
0
0 0 0 0
0 0
0
Sin Cos
0 1
0
0
FX 1 F Y1 M1 FX 2 FY 2 M2
e
e e 简记为： {F} [T ]{F}

11-11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵

y
j
Mj
j
uj
j1 FNj
FQj
FNi
EA l
(ui
u
)j
x
FQi
6EI l2
(i
j
)
12EI l3
(
vj )vi
Mi
4EI l
i
2EI l
j
6EI l2
(vi
vj )
FNj
EA l
(ui
u )j
FQj
6EI l2
(i
)j
12EI l3
(v
i
v
)j
M
j
2EI l
i
4EI l
j
6EI l2
0
6EI
l2
2EI
l
0
6EI
l2
4EI l
称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度矩阵，简称单刚。是6×6阶的方阵。
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11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
11.3.2 单元刚度矩阵的性质
1.单刚是单元固有的性质
单刚中各元素只与单元的弹性模量E、横截面面积A、惯性矩I及杆长l等有关，而与外荷载等其他因素无关。
vj(e) =1
y
单刚中第五列元素
3）某一行的六个元素，分别表示各个杆端位移分量分别等于1时，所引起的按该行号顺序排列的那个杆端力分量的数值。
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11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
11.3.2 单元刚度矩阵的性质
3. 单元刚度矩阵是对称矩阵

9-3单元刚度矩阵(整体坐标系)

y Fy1
1. 单元坐标转换矩阵
Fx1 M1 x
⎫ ⎪ e F y1 = − Fxe1 cos a + Fye1 sin a ⎪ ⎪ e e M1 = M1 ⎪ ⎬ e e e F x 2 = Fx 2 cos a + Fy 2 sin a ⎪ ⎪ e e e F y 2 = − Fx 2 cos a + Fy 2 sin a ⎪ e e ⎪ = M2 M2 ⎭ F
Fx1 Fy1 M1 M1
α α
(e) y M2 Fy2
e x1 e y1
x
Fx1
α
Fy1 (e) M2 y y
x
y
Fx2 x
Fx2 Fy2 x
F = F cos α + F sin α
e x1
Fx1
Fxe1 cos α
Fye1 sin α
x
F ey1 = − Fxe1 sin α + Fye1 cos α
(e)
e
0 0 1 ⋅ 0 0 0
{F } = [T ]{F } {Δ} = [T ]{Δ}
(e)
0⎤ 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⋅ ⋅ ⋅⎥ ⎥ cos a sin a 0⎥ − sin a cos a 0⎥ 0 0 1⎥ ⎦ 0 0 0 0
(e)
e
⎧ Fx1 ⎫ ⎪F ⎪ ⎪ y1 ⎪ ⎪ M1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨⋅ ⋅ ⋅ ⎬ ⎪ Fx 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Fy 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩M 2 ⎪
e x1
= F cos a + F sin a
e x1 e y1
α
Fy1 y y Fy2 (e) M2 Fx2 x
Fx1
Fxe1 cos α

(完整)7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析

7。

4 单元刚度矩阵组装及整体分析7.4.1 单刚组装形成总刚根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的。

如果一个结构的计算模型分成个单元,那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即[K］是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座"叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行。

如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系。

将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量；［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠。

下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵。

设有一个简单的平面结构，选取6个结点，划分为4个单元.单元及结点编号如图3-27所示.每个结点有两个自由度。

总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步：图7—27(1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7—27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是(2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3—27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3)将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下:（4）将所有的单元都执行上述的1，2,3步，便可得到总体刚度矩阵，如式(3-9).其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3—9）(5）从式（3—9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加。

总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的. 7。

4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和,环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3—10）以［K］代入平衡方程,得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程,于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K］为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然,如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的,在合成以前，也应把它们转换到统一的结构(总体）坐标系下，即式中,是总体坐标系下的结点载荷向量,为坐标转换阵.7.4。

内容回顾_整体刚度矩阵

引入支承约束的结构节点平衡方程
[K ] P
（1-53）
用平衡方程（1-53）是解不出结构的节点位移的，因为结构刚度矩阵是奇异矩阵。因此，必须引入约束，排除任何刚体位移，使结构为几何不变体系。
方程（1-53）中的刚度矩阵[K]和节点荷载向量列阵 P可分割为约束和自由两部分：
K ff
排列。
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵的每一列都有很多零元素。
Krf
K fr
Krr
rf
PPrf
自由（1-54）
约束
式中，Pr是支承反力，约束位移 r 0
展开（1－54），有：
K ff f Pf Krf f Pr
(1-55） (1-56）
方程(1-55）是引入约束后的结构节点平衡方程，用于计算结构所有非刚性约束节点的节点位移。而方程(1-60）可以用来计算结构所有受刚性约束节点的反力。
150173结构刚度矩阵特性1结构刚度矩阵元素的力学意义把方程150写开333231232221131211jnjjjiijii1512结构刚度矩阵是对称矩阵已知单元刚度矩阵是对称矩阵用单元刚度矩阵组集结构刚度矩阵的过程没有破坏其对称性结构刚度矩阵必然也是对称的
➢整体刚度矩阵
• 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有：
e1
e1
[K]{} {P} （1-50）
式中：[K]为整体刚度矩阵，{Δ}为整体节点位移列阵；{P}为整体等价节点荷载列阵。如下：

4-5单元刚度矩阵坐标变换

=
0
0
0
0
[t]
0 0
0 0
[t]
0
[ ] K 0
0
11
0
[t]
[K
]
41
[K
14
]
[t]T
0
[ ] K
44
0 0
0
[t]T
0
0
0
0
[t]T
0
0
0
0
[t
]T
[t ][K 11][t ]T
[t
][K
14][t
]T
[t
][K
41][t
]T
[t
][K
44][t
z z
n1 = cos(x z) n2 = cos( y z) n3 = cos(z z)
y
L2
L3
x L1 x
对于平面坐标系，OP从x − y转换到x − y
u = u cosα − v sin α
y
yv
v = u sin α + v cosα
w=w
u v w
=
cosα sin α
0
{δ }= [T ]{δ }
0
u
j
v
j
θ j
0 0
0
0 sin a
cosα
0v
j
0 00
0
1θ j
P
α
α
u
u cosα
x
u x
v sinα
简化为
{ } δ
e
=
δ i
δ j
=
[t ]
0
=
[t ]

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

各单元类型的单元刚度矩阵

最新7.4-单元刚度矩阵组装及整体分析

单元刚度矩阵(整体坐标系)[详细]

optistruct 单元刚度矩阵

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析

第2章5_用整体坐标表示单元刚度矩阵

11.3 单元刚度矩阵(整体座标系)

结构力学11.2 单元刚度矩阵

结构力学11.3 单元刚度矩阵的坐标变换)

§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)

单元刚度矩阵组装及整体分析

刚架的整体刚度矩阵[详细]

§9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)解析

11-11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵

9-3单元刚度矩阵(整体坐标系)

(完整)7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析

内容回顾_整体刚度矩阵

4-5单元刚度矩阵坐标变换