山东省淄博市高一上学期数学期中联考试卷
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R ，集合M ＝{x |﹣1＜x ≤3}，则∁R M ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3} B ．{x |x ≤﹣1或x ＞3}C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．{x |x ≤﹣1或x ≥3}2．函数f （x ）=√4−x 2x−1的定义域为（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，3）C ．[﹣2，1）∪（1，2]D ．（﹣2，1）∪（1，2）3．已知函数f （x ）={f(x −1)，x ＞−2x 2+2x −3，x ≤−2，则f （f （1））＝（ ）A ．5B ．0C ．﹣3D ．﹣44．不等式﹣3x 2+7x ﹣2＜0的解集为（ ） A ．{x|13＜x ＜2} B ．{x|x ＜13或x ＞2} C ．{x|−12＜x ＜−13}D ．{x |x ＞2}5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a≤cb；②若ac ﹣3＞bc ﹣3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞b k；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac−a＞b c−b．其中真命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2xD ．以上都不对8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）B ．（﹣∞，﹣3）C ．[﹣4，0）D ．（﹣4，0）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ）A ．f(x)=x 3x 与g （x ）＝x 2B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 210．下列说法中正确的有（ ）A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y≥8B ．当x ≥2时，不等式x +4x+1的最小值为3C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立D ．存在实数a ，使得不等式a +1a≤2成立 12．已知函数f(x)=xx+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为RC ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)的值为40452三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 ．14．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．（1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？ 19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12＜x ＜−13}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +10000x−9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式； （2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．（1）求f （x ）的值域； （2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x，求a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=ax−b1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，则∁R M＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x≤﹣1或x≥3}解：因为全集U＝R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，所以∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞3}．故选：B．2．函数f（x）=√4−x2x−1的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，3）C．[﹣2，1）∪（1，2]D．（﹣2，1）∪（1，2）解：要使函数有意义，须满足{4−x 2≥0x−1≠0，解得﹣2≤x≤2，且x≠1，故函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]，故选：C．3．已知函数f（x）={f(x−1)，x＞−2x2+2x−3，x≤−2，则f（f（1））＝（）A．5B．0C．﹣3D．﹣4解：∵函数f（x）={f(x−1)，x＞−2 x2+2x−3，x≤−2，∴f（1）＝f（0）＝f（﹣1）＝f（﹣2）＝﹣3，∴f（f（1））＝f（﹣3）＝0．故选：B．4．不等式﹣3x2+7x﹣2＜0的解集为（）A．{x|13＜x＜2}B．{x|x＜13或x＞2}C．{x|−12＜x＜−13}D．{x|x＞2}解：由﹣3x2+7x﹣2＜0，得3x2﹣7x+2＞0，即（3x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＜13或x＞2，所以该不等式的解集为{x|x＜13或x＞2}．故选：B．5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为f （x ）是偶函数，所以f （﹣4）＝f （4）．由f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数，则f （﹣2）＜f （﹣4），即f （﹣2）＜f （4）； 反之，对于函数f(x)={x ，x ＞21|x|，−2≤x ≤2，且x ≠0−x ，x ＜−2，显然，f （x ）是偶函数，且f(−2)=12＜f （4）＝4，但是f （x ）不是（﹣∞，0）上的减函数． 故“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的充分不必要条件． 故选：A ．6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a ≤cb；②若ac ﹣3＞bc ﹣3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞b k ；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac−a＞b c−b．其中真命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：①中，因为a ＜b ，c ＜0，因为a ，b 的符号不定，所以1a，1b的大小关系不定， 所以ca，cb 的大小关系不定，所以①错；②中，ac ﹣3＞bc ﹣3，若c ＜0，则a ＜b ，所以②错；③中，若a ＞b 且k ∈N +，例如：a ＝﹣2，b ＝﹣3，k ＝2，此时a k ＜b k ，所以③错； ④中，若c ＞a ＞b ＞0，则0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，1c−a＞1c−b＞0，又a ＞b ＞0，所以ac−a＞b c−b，所以④正确．所以只有1个命题正确． 故选：A ．7．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2xD ．以上都不对解：根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣[（﹣x ）2﹣2（﹣x ）]＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ．8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）B ．（﹣∞，﹣3）C ．[﹣4，0）D ．（﹣4，0）解：根据题意，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则f （x ）在R 上为减函数，又由函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，则有{ a ＜01a ≤1a +3＜0a −2−a ≤a +3−1，解可得﹣4≤a ＜﹣3，即a 的取值范围为[﹣4，﹣3）． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ） A ．f(x)=x 3x与g （x ）＝x 2 B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 2解：对于A ，f(x)=x 3x的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝x 2的定义域为R ，故错误；对于B ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，g(x)=√x 2=|x|的定义域为R ，故正确； 对于C ，f （x ）＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝1的定义域为R ，故错误； 对于D ，f(x)=√1+x ×√1−x =√1−x 2定义域为[﹣1，1]， g(x)=√1−x 2定义域为[﹣1，1]，故正确． 故选：BD ．10．下列说法中正确的有（ ）A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 解：对于A ，命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0，故A 正确；对于B ，|x |＞|y |不能推出x ＞y ，例如|﹣2|＞|1|，但﹣2＜1；x ＞y 也不能推出|x |＞|y |，例如2＞﹣3，而|2|所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件，故B 错误； 对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，故C 错误；对于D ，关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根⇔{4−4m ＞0m ＜0⇔⇔m ＜0，所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件，故D 正确． 故选：AD ．11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x +1y≥8B ．当x ≥2时，不等式x +4x+1的最小值为3C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立D ．存在实数a ，使得不等式a +1a≤2成立 解：对于A ，若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y =(2x+1y)⋅(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时等号成立，故A 正确；对于B ，x ≥2时，x +1≥3，则有x +4x+1=x +1+4x+1−1≥2√(x +1)⋅4x+1−1=3， 当且仅当x +1=4x+1时，即x ＝1时等号成立，所以不等式x +4x+1的最小值不为3，故B 错误； 对于C ，不等式a +b ≥2√ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，比如取a ＝﹣1，b ＝﹣1时，不等式不成立，故C 错误；对于D ，取a ＝﹣1，不等式显然成立，故D 正确． 故选：AD ．12．已知函数f(x)=xx+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为RC ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)的值为40452解：对于A ，由x +1≠0，得函数f(x)=x 的定义域为{x |x ≠﹣1}，A 正确；对于B ，由f(x)=x x+1=1−1x+1，得f （x ）≠1，即f （x ）的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），B 错误； 对于C ，f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，C 正确；对于D ，f(x)+f(1x )=x x+1+1x 1x +1=x x+1+1x+1=1，又f(1)=12，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)=40452，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ {2＜x ＜3或7≤x ＜10} ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 a ≥7 ．解：∵A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }， ∴∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，∴（∁R A ）∩B ＝{2＜x ＜3或7≤x ＜10}， ∵A ⊆C ，∴a 的范围是a ≥7，故答案为：{2＜x ＜3或7≤x ＜10}；a ≥714．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 （﹣16，0] ． 解：不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立， 当a ＝0时，﹣2＜0恒成立；当a ≠0时，要使不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则{2a ＜0Δ=a 2+16a ＜0，解得﹣16＜a ＜0，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣16，0]． 故答案为：（﹣16，0]．15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 （﹣∞，﹣3] ．解：函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增， 则有−(m−1)2≥2，解得m ≤﹣3，则m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]． 故答案为：（﹣∞，﹣3]．16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） ．解：因为函数f （x ）是R 上的奇函数，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝0， 又因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以当0＜x ＜3时，f （x ）＜f （3）＝0，当x ＞3时，f （x ）＞f （3）＝0， 注意到函数f （x ）是R 上的奇函数，所以当x ＜﹣3时，有﹣x ＞3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＞f （3）＝0，此时f （x ）＜0， 当﹣3＜x ＜0时，有0＜﹣x ＜3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＜f （3）＝0，此时f （x ）＞0， x ，f （x ），xf （x ）的符号随x 的变化情况如下表所示：由上表可知不等式xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝3时，可得集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |4≤x ≤5}， ∴∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}， ∴（∁R A ）∪B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥4}； （2）由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，①当B ＝∅时，可得m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；②当B ≠∅时，则满足{m +1≤2m −1m +1＞−22m −1＜5，解得2≤m ＜3，综上实数m 的取值范围是（﹣∞，3）．18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？解：（1）由x 2﹣4x ﹣12≤0得﹣2≤x ≤6，故集合A ＝{x |﹣2≤x ≤6}， 由x 2﹣2x +1﹣m 2＝0得x 1＝1﹣m ，x 2＝1+m ， 因为m ＞0，故集合B ＝{x |1﹣m ≤x ≤1+m }； （2）若选择条件①，即x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，集合A 是集合B 的真子集， 则有{1−m ≤−21+m ≥6，解得m ≥5，所以，实数m 的取值范围是[5，+∞）．若选择条件②，即x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件，集合B 是集合A 的真子集， 则有{1−m ≥−21+m ≤6，解得0＜m ≤3，所以，实数m 的取值范围是（0，3]．若选择条件③，即x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件，则集合A 等于集合B ， 则有{1−m =−21+m =6，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数m19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12＜x ＜−13}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．解：（1）不等式2ax 2+ax ＞2x +1可化为2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0， 由题意知−12和−13是方程2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＝0的两个根， 所以−12a=（−12）×（−13），解得a ＝﹣3．（2）不等式2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0可化为（2x +1）（ax ﹣1）＞0． ①当a ＝0时，原不等式可化为2x +1＜0，解得x ＜−12．②当a ＞0时，原不等式可化为(2x +1)(x −1a)＞0，解得x ＞1a或x ＜−12． ③当a ＜0时，原不等式化为(2x +1)(x −1a )＜0． 若1a ＜−12，则﹣2＜a ＜0，解得1a＜x ＜−12，当1a =−12，即﹣2＝a ，解得无解，当1a＞−12，即a ＜﹣2，解得−12＜x ＜1a ，综上，a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＜−12}；a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞1a 或x ＜−12}；﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|1a ＜x ＜−12}；a ＝﹣2时，不等式的解集为∅；a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|−12＜x ＜1a }．20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +10000x −9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式；（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜50时，w （x ）＝700x ﹣（10x 2+100x ）﹣300＝﹣10x 2+600x ﹣300，当x ≥50时，w(x)=700x −(701x +10000x −9450)−300=−(x +10000x)+9150， ∴w(x)={−10x 2+600x −300，0＜x ＜50−(x +10000x )+9150，x ≥50； （2）若0＜x ＜50，w （x ）＝﹣10（x ﹣30）2+8700，当x ＝30时，w （x ）max ＝8700万元，若x ≥50，w(x)=−(x +10000x )+9150≤9150−2√x ⋅10000x =8950， 当且仅当x =10000x时，即x ＝100时，w （x ）max ＝8950万元， 因为8950＞8700，∴2020年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求f （x ）的值域；（2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x ，求a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m ﹣1为幂函数，所以（m ﹣1）2＝1，即m ＝0或m ＝2，当m ＝0时，f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，+∞）上单调递增，符合题意，故函数的值域为R ；（2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x ，则x ≥2−a 2x ， 即a ≥4x ﹣2x 2在x ＞0时恒成立，故a ≥（4x ﹣2x 2）max ，根据二次函数的性质可知，当x ＝1时，4x ﹣2x 2取得最大值2，故a ≥2，所以a 的取值范围为{a |a ≥2}．22．（12分）已知函数f(x)=ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．解：（1）函数f(x)=ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数， f （﹣x ）＝﹣f （x ）；−ax−b 1+x 2=−ax−b 1+x 2，解得b ＝0， ∴f(x)=ax 1+x 2，而f （1）＝﹣1，解得a ＝﹣2， ∴f(x)=−2x 1+x 2，x ∈[﹣1，1]． （2）函数f(x)=−2x 1+x 2在[﹣1，1]上为减函数； 证明如下：任意x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−2x 11+x 12−−2x 21+x 22=−2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22) 因为x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，又因为x 1，x 2∈[﹣1，1]，所以1﹣x 1x 2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x 1）＞f （x 2）在[﹣1，1]上为减函数．（3）由题意，f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0），又f （0）＝0，所以f （t ﹣1）+f （t 2）＞0， 即解不等式f （t 2）＞﹣f （t ﹣1），所以f （t 2）＞f （1﹣t ），所以{−1≤t 2≤1−1≤t −1≤1t 2＜1−t，解得0≤t ＜√5−12，所以该不等式的解集为[0，√5−12）．。
山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题8．已知函数()2,01,0x a x f x x ax x --³ì=í++<î，则下列说法不正确的是（ ）A ．若()()12f f =-，则6a =B ．若1a £-，则()f x 的值域为RC ．若()f x 是R 上的减函数，则a 的范围是0a £D ．若4a =-，则()2f x =有三个解9．已知M ，N 为全集U 的真子集，若()UM N Ç=Æð，则（ ）A ．M N Ç=ÆB ．M N MÈ=C ．()U N M =ÆI ðD ．()UN M U=U ð三、填空题六、应用题18．设某水库的最大储水量为380000m，泄水闸每天泄水量为128000m，原有储水量3八、问答题20．已知二次函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且该函数的图象过点()1,3-，在x 轴上截得的线段长为2．(1)求函数()f x 的解析式；(2)对于每个实数x ，设()g x 取()y f x =，2y x =两个函数值中的最大值，用分段函数的形式写出()g x 的解析式,并求出()g x 的值域．九、证明题21．设矩形ABCD （其中AB BC >）的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折。
山东省淄博市淄博十一中、淄博一中2025届高三上学期期中学习质量检测数学试题
但是当 x > 0 时， x + y ³ x + 0 = x > 0 一定成立，即 x > 0 能推出 x + y > 0 ，
所以“ x + y > 0 ”是“ x > 0 ”的必要不充分条件，错误；
对于
D，已知
a,
b
Î
R
，当
a
=
b
=
0
时，满足
a
-
3b
=
0
，但是不满足
a b
=
3
，
反之，当
a b
=
3
时，则
有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】解：由函数
f
(x)
=
ìï- x 2 í
+
1 2
x, x
<
0 ，若
y
=
f
( x) - kx
有且只有 3 个零点，
ïîln ( x +1), x ³ 0
当 x = 0 时，可得 f (0) = ln1 = 0 ，可得 x = 0 是 y = f ( x) - kx 的一个零点，
(1)若 y
=
f
(
x
)
+
32 9
x在x
= 1 处取得极值，求 k
的值；
(2)讨论函数 f ( x) 的单调性.
16．V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2a + b = 2ccosB ．
(1)求角 C ； (2)若角 C 的平分线 CD 交 AB 于点 D, AD = 3 13, DB = 13 ，求 CD 的长．
山东省淄博市高一上学期数学期中考试试卷
山东省淄博市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）集合，，则集合为（）A .B .C .D .2. （1分）若函数，则（）A .B . 3C .D . 43. （1分）下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是（）A . y=B . y=+1C . y=+1D . y=+14. （1分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .5. （1分）下列角中与终边相同的角是（）A .B .C .D .6. （1分）给定函数①，②，③，④，其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④7. （1分） (2019高一上·台州期中) 若函数，，则函数的值域（）A . ［4，5］B . ［4，］C . ［，5］D . ［1，3］8. （1分） (2016高一上·大名期中) 若函数y=loga（2﹣ax）在x∈[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，2）D . （1，+∞）9. （1分）幂函数y=（m2﹣2m﹣2）•xm﹣2 ，当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（）A . m=3B . m=﹣1或m=3C .D . m=﹣110. （1分） (2016高一下·定州开学考) 设函数f（x）的定义域为R，f（x）= ，且对任意的x∈R都有f（x+1）=﹣，若在区间[﹣5，1]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围是（）A . [﹣，﹣）B . （﹣，﹣ ]C . （﹣，0]D . （﹣，﹣ ]11. （1分）已知等差数列中，为其前n项和，若，则当取到最小值时n的值为（）A . 5B . 7C . 8D . 7或812. （1分） (2016高二下·汕头期末) 已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2，且f（﹣5）=3，则f（5）+f（﹣5）的值为（）A . 0B . 4C . 6D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·镇海期中) 函数的定义域是________，值域是________．14. （1分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（， 2），则k+α=________15. （1分） (2016高一上·南城期中) 函数y= （x2﹣3x）的单调递减区间是________．16. （1分）(2020·重庆模拟) 已知函数 ,若的值域为，则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共15分)17. （2分）(2019高一上·仁寿期中) 已知集合或，，（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.18. （3分）已知函数f（x）=x2+2ax+2．（1）若函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），求函数在x∈[﹣5，5]的最大值和最小值；（2）若函数f（x）有两个正的零点，求a的取值范围；（3）求f（x）在x∈[﹣5，5]的最小值．19. （3分） (2018高一下·吉林期中) 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程解的集合；（3）求不等式的解集.20. （2分）某市在“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点c处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．（1）设A，C两处的距离为x，试将y表示为x的函数；（2）若a=1时，y在x=6处取最小值，试求b的值．21. （2分） (2019高一上·闵行月考) 如图，在边长为6的正方形中，弧的圆心为，过弧上的点作弧的切线，与、分别相交于点、，的延长线交边于点 .（1）设，，求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当时，求的长.22. （3分） (2016高一上·嘉兴期末) 已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共15分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2023-2024学年山东省淄博实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博实验中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分1．已知集合P ＝{x ||x ﹣1|≤1}，Q ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}，则P ∩（∁R Q ）＝（ ） A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |0≤x ＜1} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}2．命题“∀a ∈R ，a +1a≥2”的否定是（ ） A ．∀a ∈R ，a +1a ＜2 B ．∃a ∈R ，a +1a ＜2C ．∀a ∈R ，a +1a≤2 D ．∃a ∈R ，a +1a≤2 3．已知函数f （x ﹣1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝1，则实数a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a ∈R ，则“1a＜1”是“a ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于实数a ，b 下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ab 2＞b 3C ．若a 2＞b 2，则a ＞bD ．若a ＞|b |，则a 2＞b 26．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣m ﹣1）x m﹣1是定义域上的奇函数，则m ＝（ ） A ．13B ．−13C ．23D ．−237．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜−√3或 x ＞√3} B ．{x |﹣3＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |x ＜﹣3或 x ＞1}8．函数f （x ）定义域为R ，对任意的x 1≠x 2∈R 都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称函数y ＝f （x ）为“H 函数”，已知函数g(x)=2023x −2023−x +log 2023(√x 2+1+x)是“H 函数”，则关于x 的不等式g （2x +1）+g （x +2）＞0的解集为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣1）二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分9．已知10α＝5，10β＝4，则下列式子的值为整数的是（ ）A ．10α2 B ．10β2C ．10α﹣βD ．10α+β210．下列运算中正确的是（ ） A ．2log 510+log 50.25＝2 B ．log 427×log 258×log 95=89C ．log 449+log 23=1D ．e ln 2+ln 3＝611．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y ＞0，x +y ＝2，则2x +2y 的最大值为4B ．1x +1y=1，则x +y 的最小值是4C ．当0＜x ＜1，x （3﹣3x ）取得最大值34D ．y =x 2+5√x 2+4的最小值为5212．下列命题正确的是（ ）A ．若函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]B ．f(x)=(12)−3x2+2的最小值为14C ．f(x)=x−2x+2的图象关于（﹣2，1）成中心对称D ．f(x)=log 2(x 2−4x −5)的递减区间是（﹣∞，2） 三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13．已知f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，则f （3）＝ ．14．已知函数f(x)={(2a −1)x −3a +1，x ≤1log a x −13，x ＞1，且对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是 ． 15．若f(x)=a+1e x +1−1为奇函数，则g （x ）＝ln [（x ﹣3）（x ﹣a ）]的单调递减区间是 ． 16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f （x ）＝ ． ①定义域为R ，值域为[﹣1，+∞） ②y ＝f （x ）在定义域内是偶函数 ③y ＝f （x ）有3个零点 四、解答题：共6大题，共70分17．（10分）已知集合A ={x|x−1x+1＜0}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．（1）当m ＝﹣1时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）设函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1．（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，求m 的取值范围；（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y ＝kx +b （k ＞0）；②y ＝k •1.2x +b （k ＞0）；③y =klog 2(x15+2)+n(k ＞0)． （1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）．20．（12分）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本C （x ）万元，已知C (x)={ax 2+49x ，0＜x ≤5051x +144002x+1−870，50＜x ≤100，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润＝销售额﹣成本）为L （x ）万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．(√2≈1.41)（1）年利润L （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 21．（12分）已知函数f(x)=log a 1−mxx−1是奇函数（a ＞0且a ≠1）． （1）求m 的值．（2）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性．（3）当a =12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立，求b 的取值范围． 22．（12分）已知f （x ）＝log 3（m x +1）﹣x （m ＞0，且m ≠1）是偶函数． （1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ≤0在R 上有解，求实数a 的最大整数值．2023-2024学年山东省淄博实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分1．已知集合P＝{x||x﹣1|≤1}，Q＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则P∩（∁R Q）＝（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}解：因为P＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}＝{x|0≤x≤2}，Q＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，所以∁R Q＝{x|x＜1或x＞2}，所以P∩（∁R Q）{x|0≤x＜1}．故选：B．2．命题“∀a∈R，a+1a≥2”的否定是（）A．∀a∈R，a+1a＜2B．∃a∈R，a+1a＜2C．∀a∈R，a+1a≤2D．∃a∈R，a+1a≤2解：命题“∀a∈R，a+1a≥2”为全称量词命题，所以命题“∀a∈R，a+1a≥2”的否定是：∃a∈R，a+1a＜2．故选：B．3．已知函数f（x﹣1）＝3x﹣2，且f（a）＝1，则实数a等于（）A．0B．1C．2D．3解：因为函数f（x﹣1）＝3x﹣2＝3（x﹣1）+1，可得f（x）＝3x+1，又因为f（a）＝1，所以3a+1＝1，解得a＝0．故选：A．4．已知a∈R，则“1a＜1”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当1a ＜1时，1a−1=1−aa＜0，即a（a﹣1）＞0，解得a＜0或a＞1，故不充分；当a＞1时，1a −1=1−aa＜0，即1a＜1，故必要．即“1a＜1”是“a＞1”的必要不充分条件．故选：B ．5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于实数a ，b 下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ab 2＞b 3C ．若a 2＞b 2，则a ＞bD ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解：A ：若a ＝1＞b ＝﹣1，此时1a＞1b，与题意不相符，故A 错误； B ：若a ＞0，b ＝0，则ab 2＝b 3，与题意不相符，故B 错误；C ：若a ＝﹣3，b ＝2，则a 2＞b 2，但是a ＜b ，与题意不相符，故C 错误；D ：若a ＞|b |，两边平方，则a 2＞b 2，与题意相符，故D 正确． 故选：D ．6．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣m ﹣1）x m﹣1是定义域上的奇函数，则m ＝（ ） A ．13B ．−13C ．23D ．−23解：因为函数f （x ）为幂函数，可得3m 2﹣m ﹣1＝1，解得m =−23或m ＝1， 当m =−23时，可得f(x)=x −53，此时函数为奇函数，符合题意； 当m ＝1时，可得f （x ）＝x 0，此时函数为偶函数，不符合题意，舍去， 所以m =−23． 故选：D ．7．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜−√3或 x ＞√3} B ．{x |﹣3＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |x ＜﹣3或 x ＞1}解：∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}， ∴﹣2和1是方程ax 2+bx +c ＝0，且a ＜0， ∴﹣2+1=−b a ，﹣2=ca ，∴a ＝b ，c ＝﹣2a ， ∴ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0，等价于ax 2+2ax ﹣3a ＜0，∵a ＜0，∴ax 2+2ax ﹣3a ＜0等价于x 2+2x ﹣3＞0，解得x ＜﹣3或x ＞1， ∴不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为{x |x ＜﹣3或x ＞1}． 故选：D ．8．函数f（x）定义域为R，对任意的x1≠x2∈R都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y ＝f（x）为“H函数”，已知函数g(x)=2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)是“H函数”，则关于x的不等式g（2x+1）+g（x+2）＞0的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）解：对任意的x1≠x2∈R都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），合并同类项得（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即“H函数”是在R上单调递增的函数．由已知g（x）是“H函数”，所以g（x）为R上的递增函数．又函数g(x)=2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)的定义域为R，g(−x)=2023−x−2023−(−x)+log2023[√(−x)2+1+(−x)]=2023−x−2023x+log√2√2√x2+1+x=2023−x−2023x+log2023(√x2+1+x)−1=−[2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)]=−g(x)，所以g（x）为奇函数．因为g（2x+1）+g（x+2）＞0，即g（2x+1）＞﹣g（x+2），即g（2x+1）＞g（﹣x﹣2），所以2x+1＞﹣x﹣2，即x＞﹣1．关于x的不等式g（2x+1）+g（x+2）＞0的解集为（﹣1，+∞）．故选：A．二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分9．已知10α＝5，10β＝4，则下列式子的值为整数的是（）A．10α2B．10β2C．10α﹣βD．10α+β2解：因为10α＝5，10β＝4，所以10α2=(10α)12=√5，10β2=(10β)12=412=2，10α−β=10α10β=54，10α+β2=10α×10β2=10，所以值为整数的式子是10β2和10α+β2．故选：BD．10．下列运算中正确的是（）A．2log510+log50.25＝2B．log427×log258×log95=89C．log449+log23=1D．e ln2+ln3＝6解：对于选项A：2log510+log50.25=log5(102×0.25)=log552=2，故选项A正确；对于选项B ：log 427×log 258×log 95=lg33lg22×lg23lg52×lg5lg32=3×32×2×2=98，故选项B 错误； 对于选项C ：log 449+log 23=log 22(23)2+log 23=22log 223+log 23=log 2(23×3)=log 22=1，故选项C 正确；对于选项D ：e ln 2+ln 3＝e ln 6＝6，所以选项D 正确． 故选：ACD ．11．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y ＞0，x +y ＝2，则2x +2y 的最大值为4B ．1x +1y=1，则x +y 的最小值是4C ．当0＜x ＜1，x （3﹣3x ）取得最大值34D ．y =2√x 2+4的最小值为52解：由2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y =2√22=4， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以A 错误； 若x =−1，b =12，满足1x+1y=1，可得x +y =−12，所以B 不正确；当0＜x ＜1，可得x(3−3x)=3x(1−x)≤3⋅(x+1−x 2)2=34， 当且仅当x ＝1﹣x 时，即x =12，等号成立，所以C 正确； 由y =x 2+5√x 2+4=√x 2+41√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=1√x 2+4取等号，即x 2+4＝1，显然该方程无实根，对勾函数最小值取√x 2+4=2，代入可得最小为52，所以D 正确． 故选：CD ．12．下列命题正确的是（ ）A ．若函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]B ．f(x)=(12)−3x2+2的最小值为14C ．f(x)=x−2x+2的图象关于（﹣2，1）成中心对称D ．f(x)=log 2(x 2−4x −5)的递减区间是（﹣∞，2） 解：根据题意，依次分析选项：对于A ：函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，所以1﹣x ∈[﹣1，1]，令2x ﹣1∈[﹣1，1]，解得x ∈[0，1]，所以函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]，A 正确； 对于B ：令t ＝﹣3x 2+2≤2，则y =(12)t ，因为t ≤2，且y =(12)t 在定义域内递减， 所以(12)t ≥(12)2=14，所以y =(12)−3x2+2的最小值为14，所以B 正确；对于C ：因为y =x−2x+2=1−4x+2，所以y =x−2x+2可看成反比例函数y =−4x 向左平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度得到的，因为y =−4x的对称中心为（0，0）， 所以y =x−2x+2的对称中心为（﹣2，1），所以C 正确；对于D ：由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）， 令t ＝x 2﹣4x ﹣5，则y ＝log 2t ，因为t ＝x 2﹣4x ﹣5在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增， 且y ＝log 2t 在（0，+∞）上单调递增，所以f(x)=log 2(x 2−4x −5)在（﹣∞，﹣1）上递减，在（5，+∞）上递增，所以D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13．已知f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，则f （3）＝ 7 ．解：由函数f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，可得f(3)=f(7)+1=f(11)+2=f(15)+3=log 216+3=log 224+3=7． 故答案为：7．14．已知函数f(x)={(2a −1)x −3a +1，x ≤1log a x −13，x ＞1，且对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是 (0，13] ． 解：因为对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减， 所以{ a −1＜00＜a ＜1(2a −1)−3a +1≥log a 1−13，解得0＜a ≤13，即实数a的取值范围为(0，13 ]．故答案为：(0，13 ]．15．若f(x)=a+1e x+1−1为奇函数，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣a）]的单调递减区间是（﹣∞，1）．解：由f(x)=a+1e x+1−1，x∈R为奇函数，则f(0)=a+12−1=0，解得a＝1，当a＝1时，f(x)=2e x+1−1=1−e xe x+1，则f(−x)=1−e−xe−x+1=e x−11+e x=−f(x)，满足题意．当a＝1时，g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣1）]，由（x﹣3）（x﹣1）＞0解得x＜1或x＞3，令t＝（x﹣3）（x﹣1），当x＜1时，t＝（x﹣3）（x﹣1）单调递减，y＝lnt单调递增，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣2）]单调递减；当x＞3时，t＝（x﹣3）（x﹣1）单调递增，y＝lnt单调递增，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣1）]单调递增；则g（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f（x）＝x2﹣2|x|（答案不唯一）．①定义域为R，值域为[﹣1，+∞）②y＝f（x）在定义域内是偶函数③y＝f（x）有3个零点解：根据题意，取函数f（x）＝x2﹣2|x|，可得函数f（x）＝x2﹣2|x|＝（|x|﹣1）2﹣1的定义域为R，值域为[﹣1，+∞），故①符合；因为f（﹣x）＝x2﹣2|x|＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故②符合；令f（x）＝x2﹣2|x|＝0，解得x＝0或x＝±2，所以y＝f（x）的图象与x轴有三个零点，所以③符合；综上，所以函数f（x）＝x2﹣2|x|符合题意．故答案为：x2﹣2|x|．四、解答题：共6大题，共70分17．（10分）已知集合A={x|x−1x+1＜0}，B={x|2m−1≤x≤m+1}．（1）当m＝﹣1时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．解：（1）由题意，A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤0}， 所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤0}； （2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，①B ＝∅，∴m +1＜2m ﹣1，解得m ＞2， ②B ≠∅，∴{m +1≥2m −1m +1＜12m −1＞−1，无解，综上，m ∈（2，+∞）．18．（12分）设函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1．（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，求m 的取值范围；（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，则∀x ∈R ，f （x ）≤0是真命题， 即mx 2﹣mx ﹣1≤0在R 上恒成立， 当m ＝0时，﹣1＜0，符合题意； 当m ≠0时，需满足{m ＜0Δ=m 2+4m ≤0，解得﹣4≤m ＜0；综上所述，m 的取值范围为[﹣4，0]．（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，即存在x ∈（﹣4，0）使得m ≥−x −4x成立，故只需m ≥(−x −4x)min ，x ∈（﹣4，0）， 因为x ∈（﹣4，0），所以﹣x ∈（0，4），则−x −4x =(−x)+4−x ≥2√(−x)⋅4−x =4， 当且仅当−x =4−x ，即x ＝﹣2时取等号， 所以m 的范围为{m |m ≥4}．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y ＝kx +b （k ＞0）；②y ＝k •1.2x +b （k ＞0）；③y =klog 2(x 15+2)+n(k ＞0)．（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）．解：（1）对于模型①，y ＝kx +b ，不满足同时过（0，0），（30，3），（90，6）三个点，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点（0，0），（30，3）， 则{klog 22+n =0klog 2(3015+2)+n =3，解得k ＝3，n ＝﹣3， 故所求函数为y =3log 2(x15+2)−3，经检验，点（90，6）符合上式， 综上所述，函数的解析式为y =3log 2(x15+2)−3． （3）∵学校要求每天的分数不少于4.5分， ∴3log 2(x15+2)−3≥4.5，即log 2(x 15+2)≥2.5， ∴x 15+2≥22.5=4×20.5=4√2，∴x ≥60√2−30≈55， ∴每天至少运动55分钟．20．（12分）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本C （x ）万元，已知C (x)={ax 2+49x ，0＜x ≤5051x +144002x+1−870，50＜x ≤100，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润＝销售额﹣成本）为L （x ）万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．(√2≈1.41)（1）年利润L （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 解：（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为1600a +49×40+250万元，利润为50×40﹣（1600a +49×40+250）＝190，解得a =−14，则L （x ）={14x 2+x −250，0＜x ≤50−x −144002x+1+620，50＜x ≤100． （2）当x ∈（0，50]，y =−14x 2+x −250，对称轴为x ＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上单调递增，故当x ＝50时，y max ＝425， 当x ∈（50，100]时，y =−x −144002x+1+620=−(x +144002x+1)+620=620.5−(2x+12+144002x+1)≤620.5−120√2≈451.3， 当且仅当2x+12=144002x+1，即x =60√2−12≈84.1时取等号， 因为425＜451.3，所以当年产量为84.1时，所获年利润最大，最大年利润是451.3． 21．（12分）已知函数f(x)=log a1−mxx−1是奇函数（a ＞0且a ≠1）． （1）求m 的值．（2）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性．（3）当a =12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立，求b 的取值范围． 解：（1）f(x)=log a1−mxx−1是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）在其定义域内恒成立，即log a ，1+mx −x−1=−log a1−mx x−1，∴1﹣m 2x 2＝1﹣x 2恒成立，∴m ＝﹣1或m ＝1（舍去），即m ＝﹣1． （2）由（1）得f(x)=log a 1+xx−1(a ＞0，a ≠1)， 令μ=x+1x−1=1+2x−1，则μ在（1，+∞）上为减函数， ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数； 当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立， 则f(x)−(12)x ＞b 在[3，4]上恒成立， 令g(x)=f(x)−(12)x ，由（2）知，g （x ）在[3，4]上是单调递增函数， 所以b ＜g(x)min =g(3)=−98，即b 的取值范围是(−∞，−98)．22．（12分）已知f （x ）＝log 3（m x +1）﹣x （m ＞0，且m ≠1）是偶函数． （1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ≤0在R 上有解，求实数a 的最大整数值．解：（1）函数f （x ）定义域为R ，由函数为偶函数，有f （x ）＝f （﹣x ）， 即log 3(m x +1)−x =log 3(m −x +1)+x ， 则有log 3(m x +1)−log 3(1m x+1)=2x ， 即log 3m x =xlog 3m =2x ，得log 3m ＝2，所以m ＝9． （2）由（1）可知，f(x)=log 3(9x +1)−x ， 则3f(x)=3log 3(9x −1)−x=3log 3(9x+1)3x=9x+13x =3x +3﹣x =[(√3)x +(√3)−x ]2−2，设g （x ）=12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a =12[(√3)x +(√3)−x ]2−1−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ， 依题意有g （x ）min ≤0，由基本不等式(√3)x +(√3)−x ≥2√(√3)x ⋅(√3)−x =2， 当且仅当(√3)x =(√3)−x ，即x ＝0时等号成立，令(√3)x +(√3)−x =t 则ℎ(t)=12t 2−3t +a −1(t ≥2)，有h （t ）min ≤0， 由二次函数的性质可知h （t ）在[2，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增， ℎ(t)min =ℎ(3)=92−9+a −1=a −112， 则有a −112≤0得a ≤112， 所以实数a 的最大整数值为5．。
最新版山东省淄博市高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高一数学期中考试题（试卷总分150分，考试时间120分钟）一：选择题：（共15个，每题4分）1.与函数y=x 表示同一个函数是( ) A.y=2x B.y=a x a log C.y=x x22.函数()lg(2)f x x =+的定义域为( )A.(2,1]-B.(2,1)-C.[2,1)-D.[2,1]--3.设集合A={x|1x e e > }，B={x|log 2x<0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |x<-1或x>1}B ．{x|-1<x<1}C ．{x|0<x<1}D ．{x|x>1}4.下列函数中，是奇函数且在区间(,0)-∞上为增函数的是( )A. ()lg f x x =B. 3x y = C. 1-=x y D.x y e =5.设()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()3f f -⎡⎤⎣⎦= ( )A. 1B. 2C. 4D. 86.函数)1,0(11≠>+=-a a a y x 的图象过定点（ ）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，1）D.（1，2）7.定义在R 上的奇函数f (x )，当x <0时，13)(2--=x x x f ，那么x >0时，f (x )=（）A ．132--x x B.132-+x x C.231x x -++ D.231x x --+8.151log 225lg lg 2lg5100+++= ( )A. 6B. -7C. 14D. 19.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在区间是（ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)1,1(e D ．)3,(e10.幂函数322)1()(-+--=m m x m m x f 在),0(+∞时是减函数，则实数m 的值为( ) (A) 2或1- (B) 1-(C) 2 (D) 2-或1 11函数f （x ）=log 2x 与g （x ）=（）x +1在同一直角坐标系中的图象是（ ）A B CD ．12.设0.20.32,ln 2,log 2a b c ===则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<13.已知函数f(x) =2x -2,则函数y=|f(x)|的图象可能是()14.若函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在（﹣∞，0]上满足1212()()0f x f x x x --<，且f （1）=0，则使得()f x x＜0的x 的取值范围是( ) A ．（﹣∞，1） B ． （﹣∞，﹣1）∪(1, +∞)C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣1，1）15.二次函数2()2f x ax a =+是2,a a ⎡⎤-⎣⎦上的偶函数又()(1)g x f x =-，则3(0),(),(3)2g g g 的大小为( ) A ．3()(0)(3)2g g g << B ．3(0)()(3)2g g g <<C ．3()(3)(0)2g g g << D ． 3(3)()(0)2g g g <<二：填空题（共5个，每题4分）16.若函数)(x f 的图像与3x y =的图像关于y=x 对称,则(9)f 的值为 _____17.223y x ax =-++在区间[2,6]上为减函数.则a 的取值范围为 _____2l o g (32)y x =-18.函数的零点为______ 19.已知3x =2y =12，则+=20若()()12f m f -<，则实数m 的取值范围是_________ 三;解答题：21（15分）（1）求函数f(x)＝2x －2x ＋2.在区间[12，3]上的最大值和最小值；（2）、已知3()4f x ax bx =+-，若f(2) =6，求f(-2) 的值（3）计算41320.753440.0081(4)16---++-3log 43+的值.22（12分）（1）已知集合},013|{2R a x ax x A ∈=+-=，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围。
2022-2023学年山东省淄博市淄博高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 {}{21}2101A x x B =-<≤=--∣，，，，， 则 A B =（ ）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{}2,1,0--【答案】B【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{21}2101A xx B =-<≤=--∣，，，，， 则 A B ={1,0,1}-. 故选：B.2．已知命题2:,32>0p x x x ∀∈--R ，则p ⌝为（ ） A ．2,320x x x ∀∈--≤R B ．2,320x x x ∃∉--≤R C ．2,320x x x ∃∈--≤R D ．2,32>0x x x ∃∈--R【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题这一性质进行修改即可.【详解】由于全称命题的否定是特称命题，故p ⌝为，2,320x x x ∃∈--≤R . 故选：C3．设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件【答案】B【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<， 因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 4．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，【答案】D【分析】由题意当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，由于11x x +-的最小值等于3，可得3a ≤，从而求得答案．【详解】当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立， 11a x x ∴≤+-对1x >均成立． 由于111121311x x x x +=-++≥+=--， 当且仅当2x =时取等号， 故11x x +-的最小值等于3， 3a ∴≤，则实数a 的取值范围是(]3-∞，． 故选：D ．5．设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【分析】由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩，解方程即可得出答案.【详解】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩， 解得2x =-. 故选：A ．6．函数y = ） A ．{}24x x ≤≤ B ．{}02x x ≤≤C ．{}28x x ≤≤D ．{}08x x ≤≤【答案】C【分析】利用二次根式被开方数非负可求得原函数的定义域.【详解】对于函数y 210160x x -+-≥，即210160x x -+≤，解得28x ≤≤.所以，函数y {}28x x ≤≤. 故选：C.7．已知a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0c b a ->C ．cb ca <D ．()0ac a c -<【答案】C【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为c b a <<且0ac <，则0a >，0c <，b 的符号不确定， 对于A 选项，由不等式的基本性质可得ab ac >，A 中的不等式一定成立； 对于B 选项，0b a -<，则()0c b a ->，B 中的不等式一定成立； 对于C 选项，由不等式的性质可得cb ca >，C 中的不等式一定不成立；对于D 选项，0a c ->，由不等式的基本性质可得()0ac a c -<，D 中的不等式一定成立. 故选：C. 8．已知4()f x x x=+，2()1g x x ax =-+，若对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞【答案】B【分析】将对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥转化为214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解. 【详解】∵4()f x x x=+，[1,3]x ∈∴4()4f x x x =+≥，当且仅当4x x =，即2x =时取等号.∴当[1,3]x ∈时，min ()4f x =.∴对1[1,3]x ∀∈，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥等价于()4g x ≤对于任意[1,3]x ∈恒成立，即214x ax -+≤对于任意[1,3]x ∈恒成立∴3a x x≥-对任意[1,3]x ∈恒成立∵函数3y x x =-在[1,3]上为增函数∴max 3312a x x ⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭，即2a ≥.故选：B.二、多选题9．已知集合{}21,3,A m =，{}1,B m =．若A B A ⋃=，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-3D ．3【答案】AD【分析】根据并集结果得到B A ⊆，从而讨论得到0m =或1m =或3m =，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果.【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．因为{}21,3,A m =，{}1,B m =，所以2m m =或3m =，解得0m =或1m =或3m =；当0m =时，{}1,3,0A =，{}1,0B =，符合题意；当1m =时，集合A 不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当3m =时，{}1,3,9A =，{}1,3B =，符合题意； 综上，0m =或3. 故选：AD10．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，1f x x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 有3个单调区间B ．当0x >时，()()1f x x x =-C ．函数()f x 有最小值14-D ．不等式()0f x <的解集是()1,1-【答案】BC【分析】利用奇偶性求出()y f x =的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.【详解】解：当0x >时，0x -<，因为0x ≤时，1f x x x所以1fx xx ，又因为()y f x =是定义在R 上的偶函数所以0x >时，21f x x x x x即()()()2200x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩如图所示：对A ，由图知，函数()f x 有4个单调区间，故A 错误；对B ，由上述分析知，当0x >时，()2f x x x =-，故B 正确；对C ，由图知，当11212x =-=-⨯或11212x -=-=⨯时，函数()f x 取得最小值()111224min f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故C 正确；对D ，由图知，不等式()0f x <的解集是()()1,00,1-，故D 错误.故选：BC.11．已知函数()2+10,1=1,>1x kx x f x k x x -≤-⎧⎪⎨⎪⎩是R 上的减函数，则实数k 的可能的取值有（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】ABC【分析】根据题意可得121>01+101k k k k ≥--≥-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解之即可得解.【详解】因为函数()f x 是R 上的减函数，所以121>01+101k k k k ≥--≥-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得26k ≤≤. 故ABC 正确，D 错误 故选：ABC.12．已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ） A ．()34xf x x+=- B ．()f x =C ．()25243f x x x =-+D ．()f x x =【答案】BC【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可. 【详解】对于A ，()()47371444x x f x x x x--++===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-， 所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令24u x =-，则0u ≥，()f u =0x =时，u 取得最大值4，所以[]0,4u ∈，所以()[]0,2f x ∈，故存在正数2，使得()2f x ≤成立.对于C ，令()22243211u x x x =-+=-+，则()5f u u =，易得1u ≥，所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =则0t ≥，24x t =-，则()()221174024f t t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，易得()174f x ≤，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立. 故选：BC三、填空题13．设()2421f x x x +=+，则()3f =________．【答案】6【分析】先求出()f x 的解析式，再将3x =代入求解即可． 【详解】∵()()()224242222121111f x x x x x x x x +=+=++--=+-+令21t x =+（1t ≥），∴()2f t t t =-（1t ≥），即()2f x x x =-（1x ≥）当3x =时，()23336f =-=故答案为：6．14．已知0x >，则423x x--的最大值是_________【答案】2-2-【分析】直接利用基本不等式求最大值.【详解】0x，则44232322⎛⎫--=-+≤-=- ⎪⎝⎭x x x x当且仅当43x x =即x =故答案为：2-15．对任意R x ∈，给定()()25,(1)f x x g x x =-+=+，记函数()()(){}max ,M x f x g x =，例如，()()(){}{}2max 2,2max 3,99M f g ===，则()M x 的最小值是__________.【答案】4【分析】根据题意求()M x 的解析式，根据分段函数的性质先求每个部分的最小值，再求整个函数的最小值.【详解】若()()f x g x ≥，即25(1)x x -+≥+，解得41x -≤≤ 若()()f x g x <，即25(1)x x -+<+，解得1x >或4x <-∴()()(){}()()()[]2+1,,41,+=max ,=+5,4,1x x M x f x g x x x ∈-∞-⋃∞-∈-⎧⎪⎨⎪⎩当()(),41,x ∈-∞-+∞时，则()()()2114M x x M =+>=当[]4,1x ∈-时，则()()514M x x M =-+≥= ∴()M x 的最小值是4. 故答案为：4.16．若正数a ，b 满足46ab a b =++，则a b +的最小值是______． 【答案】3【分析】由基本不等式和条件可得()246ab a b a b =++≤+，然后解出此不等式可得答案.【详解】由基本不等式可得()24a b ab +≤，所以()246ab a b a b =++≤+，即()()260a b a b +-+-≥， 解得3a b +≥或2a b +≤-（舍），当且仅当32a b ==时等号成立， 所以a b +的最小值是3， 故答案为：3.四、解答题17．已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤． (1)若3a =，求R ()P Q ⋂；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R ()[2,4)P Q =- (2)[0,2]【分析】（1）由交集，补集的概念求解， （2）转化为集合间关系后列式求解，【详解】（1）当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则R (,4)(7,)P =-∞+∞,R ()[2,4)P Q =-， （2）由题意得P 是Q 的真子集，而P 是非空集合，则12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤， 故a 的取值范围是[0,2]18．已知幂函数()23()39m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减.(1)求m 的值；(2)若(21)(2)m m a a ->+，求a 的取值范围. 【答案】(1)2m =- (2)111,,3322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)由幂函数的定义可得2391m m --=，解出m 的值，然后再验证其单调性. (2) 由（1）,即(21)(2)m m a a ->+,由其定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）因为()f x 是幂函数，所以2391m m --=， 所以23100m m --=，即(2)(5)0m m +-=， 解得2m =-或5m =.因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以30m -<，即3m <，则2m =-. （2）由（1）可知2m =-，则(21)(2)m m a a ->+等价于2211(21)(2)a a >-+，所以22(21)(2)21020a a a a ⎧-<+⎪-≠⎨⎪+≠⎩，即23830122a a a a ⎧--<⎪⎪≠⎨⎪≠-⎪⎩，解得1132a -<<或132a <<. 故a 的取值范围是111,,3322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/h ）与汽车的平均速度()/v km h 之间的函数关系式为()22400201600vy v v v =>++．（I ）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/h ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（II ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？【答案】（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于80/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/h ）． 【分析】（I ）直接列出关于汽车的平均速度()/v km h 的不等式求解即可；（II ）2240240160020160020v y v v v v==++++，根据基本不等式求解即可.【详解】（I ）由条件得22402201600vv v >++，整理得到210016000v v -+<，即()()20800v v --<，解得2080v <<．（II）由题知，22402402402.4160020160010020v y v v v v==≤==++++. 当且仅当1600v v=即40v =时等号成成立． 所以max 2.4y =（千辆/h ）．答：（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/h ，则汽车的平均速度应该大于20/km h 且小于80/km h ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/h ）． 20．已知关于x 的不等式2730ax x -+>的解集为{<x x b 或}>3x . (1)求a ，b 的值；(2)求关于x 的不等式()21202ax c b x c -++<的解集.【答案】(1)12,2a b ==； (2)答案见解析【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a ，b 的值；（2）在（1）的前提下，对不等式变形为()()10x c x --<，对c 分类讨论，求解不等式的解集. 【详解】（1）易知0a ≠，由题意得b ，3是关于x 的方程2730ax x -+=的两个不相等的实数根，所以237?3+3=07+3=a b a -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得：=21=2a b ⎧⎪⎨⎪⎩， 所以12,2a b ==. （2）由（1）得()()()2110x c x c x c x -++=--<，当=1c 时，不等式无解；当1c <时，解得：1c x <<；当1c >时，解得：1x c <<.综上，当=1c 时，不等式的解集为∅；当1c <时，不等式的解集为{}|1x c x <<；当1c >时，不等式的解集为{}|1x x c <<.21．函数()29ax b f x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，且()118f =． (1)确定()f x 的解析式；(2)判断()f x 在()3,3-上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t 的不等式()()10f t f t -+<．【答案】(1)()29x f x x =- (2)增函数，证明见解析 (3)12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据(0)=0f ，1(1)8f =得到,a b 的方程，解之即可求得；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性先去f ，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．【详解】（1）解：()2=9ax b f x x --是定义在()3,3-上的奇函数， ()0==09bf -∴，=0b ∴，又由()1188a f ==， =1a ∴∴ ()2=9x f x x -． 2()()9x f x f x x --==--， ∴()f x 奇函数，故1,0a b ==符合题意，为所求解．（2）解：()2=9xf x x -在区间()3,3-上为增函数．证明：设123<<<3x x -．而()()()()()()12121212222212129+==9999x x x x x x f x f x x x x x -------， 由123<<<3x x -，得221212129+>0,9>0,9>0,<0x x x x x x ---，()()()()121222129+<099x x x x x x -∴--，即()()12<0f x f x -，()()12<f x f x ∴．故函数()f x 在()3,3-上为增函数．（3）解：由函数为奇函数且在()3,3-上为增函数知： ()()()()1+<01<f t f t f t f t -⇒--，3<1<33<<31<t t t t --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩， 解得：12<<2t -． 故不等式的解集为12,2-⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题的难点在（2）中判断1()f x 与2()f x 的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域．22．已知a 0>，若函数()21f x ax x =--在区间[1，2]上的最小值为()g a(1)求()g a 的函数表达式；(2)若11,,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()g a 的最大值. 【答案】(1)()12,21111,442143,04a a g a a aa a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩； (2)32-.【分析】（1）利用二次函数的性质分类讨论即得；（2）利用函数的单调性即得.【详解】（1）∵()22111124f x ax x a x a a ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，0a >， ∴当1012a <<，即12a >时，函数()f x 在[]1,2上单调递增， 当1x =时，函数()f x 有最小值()12f a =-，即()2g a a =-， 当1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，当12x a =时，函数()f x 有最小值11124f a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()114g a a =--， 当112a>，即102a <<时，函数()f x 在[]1,2上单调递减， ∴当2x =时，函数()f x 有最小值()243f a =-，即()43g a a =-，综上，()12,21111,442143,04a a g a a aa a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩； （2）∵()12,21111,442143,04a a g a a aa a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩， 当11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1312,42g a a ⎡⎤=--∈--⎢⎥⎣⎦，故()g a 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32-.。
山东省淄博市淄博十一中、淄博一中2025届高三上学期期中学习质量检测数学试题(含答案)
山东省淄博市淄博十一中、淄博一中2025届高三上学期期中学习质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N∣−1<x <4},B ={x ∈R∣x ≥3}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A. {x∣−1≤x <3}B. {x∣−1<x <3}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}2.若cos(π3−2x)=−78，则sin (x +π3)的值为( )．A. 14B. 78C. ±14D. ±783.已知a,b ∈R ，下列命题正确的是( )A. 若ab =1，则a +b ≥2 B. 若1a <1b ，则a >bC. 若a >b ，则ln(a−b )>0D. 若a >b >0，则a +1b >b +1a4.下面命题正确的是( )A. 已知x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的充要条件B. 命题“若∃x 0≥1，使得x 20<2”的否定是“∀x <1,x 2≥2”C. 已知x,y ∈R ，则“|x |+|y |>0”是“x >0”的既不充分也不必要条件D. 已知a,b ∈R ，则“a−3b =0”是“ab =3”的必要不充分条件5.已知函数f(x)=log 12(2x 2−ax +1)在(−∞,−1)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−3,+∞)B. [−4,+∞)C. (−∞,−4]D. (−∞,−3]6.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，有[f (x 1)−f (x 2)](x 1−x 2)>0，且f(xy)=f(x)+f(y)，f(4)=23，则不等式f(2x)−f(x−3)>1的解集为( )．A. (0,4)B. (0,+∞)C. (3,4)D. (2,3)7.已知函数f(x)={−x 2+12x(x <0)ln (x +1)(x ≥0)，若函数y =f(x)−kx 有3个零点，则实数k 的取值范围为( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,+∞)D. (14,1)8.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (13π3)=2.将f (x )图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)=9，x 1，x 2∈[0,4π]，则x 2−x 1的最大值为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
山东省淄博第一中学2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题
山东省淄博第一中学2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________3x>9（3）解不等式()f lnx >0.21．已知函数()()()2log 424,x x f x b g x x =+×+=.（1）当=5b -时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围.22．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ³时，()21,0122,1xx x f x x ì-+£<=í-³î．（1）求当0x <时，()f x 的解析式；（2）若对任意的[]1,x m m Î-，不等式()()2f x f x m -£+恒成立，求实数m 的取值范围．()()()()12120f x f x f x f x +-=->，即()()12f x f x >，故函数()f x 为R 上的减函数，()f x \在[],m n 上的最大值为()f m ，选项B ，C 错误；()10f x ->等价于()()10f x f ->，又()f x 为R 上的减函数，故10x -<，解得1x <，选项D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现()f x -()f x 的关系，因此有令y x =-这个操作．13．(1,2)【详解】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>¹＝－，恒过定点(1,2).14．1-或16【分析】分0,0a a >£两种情况分别求出()f a 的表达式，得到关于a 的方程，解方程即可.【详解】当0a >时，由题意知，()2log 4f a a ==，解得16a =符合题意；当0a £时，由题意知，()234f a a a =-=，解得4a =（舍），1a =-符合题意；综上可知，实数a 的值为16或1-.故答案为: 16或1-.。
2024-2025学年山东省淄博市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
一、单选题1. 已知集合2{|lg()}2A x y y x --==2024-2025学年山东省淄博市高一上学期期中数学质量检测试卷，{|B x y ==，则A B = （ ）A. (1,2)- B. [3,+)2∞ C. (0,)+∞ D. R【答案】D 【解析】【分析】根据对数型函数求值域得A ，根据二次函数求得函数定义域得B ，根据交集运算得解.【详解】2{|lg()}2A x y y x --==为函数2(2)lg y x x --=的值域，令2202t x x x =-->⇒>或1x <-，(0,)lg R y t t y ∈+∞⇒=⇒∈，{|B x y ==为函数y =即y =，因为2177(244x -+≥，所以函数y =R ，故R A B = ，故选：D.2. 已知命题2:0,40p x x ax ∀>-+≥，命题2:,10q x x ax ∃∈++=R ，若命题,p q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 24a ≤≤B. 22a -≤≤ C. 2a ≤-或24a ≤≤ D. 2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】命题p 可利用参变分离法将原问题转化为min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，结合基本不等式即可求得a 的范围，命题q 直接利用判别式即可求得a 的范围，取交集即可得答案.【详解】∵愿明天即命题4:0,p x x a x∀>+≥为真命题，min 4a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，又40,4x x x >∴+≥= ，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∵命题2:,10q x x ax ∃∈++=R ，为真命题，240,2a a ∴∆=-≥∴≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，2∴≤-a 或24a ≤≤．故选：C 3. 命题“213R,022x x x a ∃∈+--<”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A. 0a ≥ B. 1a ≥C. 2a >- D. 3a ≥-【答案】D 【解析】【分析】先由存在量词命题为真求得a 的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.【详解】由213R,022x x x a ∃∈+--<，可得21322a x x >+-在R 上能成立，因22131(1)22222x x x +-=+-≥-，故得2a >-.由题意知，()2,-+∞是选项的范围的真子集即可.故选：D.4.函数()f x =的定义域为（ ）A. [0，+∞）B. （﹣∞，2]C. [0，2]D. [0，2）【答案】D 【解析】【分析】由表达式有意义的条件列不等式组，由此可得函数的定义域.【详解】由题意可得520ln(52)0e 10x x x ->⎧⎪->⎨⎪-≥⎩,解得02x ≤<,故选：D .5. 已知3log 2a =，1215b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b<<【解析】【分析】利用中间变量法得到a b >，利用构造函数法得到c b <即可.【详解】因为331log 2log 2a =>=，121152b ⎛⎫== ⎪⎝<⎭，所以a b >，而112411525b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故我们构造指数函数1()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1()4b f =，1(3c f =由指数函数性质得()f x 在R 上单调递减，因为1143<，所以c b <，综上可得c b a <<，故C 正确.故选：C6. 若函数()()20.5log f x ax x =-在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. [)2,0- C. [)2,+∞ D. (],2-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.【详解】由于0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，令2t x ax =-+，()1,0x ∈-，因为0.5log y t =为减函数，又()()20.5log f x ax x=-在区间()1,0-上单调递增，由复合函数的单调性法则可知，2t x ax =-+在()1,0-上单调递减，且20t x ax =-+>在()1,0-上恒成立，因为2t x ax =-+为二次函数，开口向下，对称轴为2a x =，由2t x ax =-+在()1,0-上单调递减，可得12a≤-，解得2a ≤-，由20t x ax =-+>在()1,0-上恒成立，即2ax x >，()1,0x ∈-，可得a x <在()1,0-上恒成立，则1a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(],2.∞--的7. 已知0,0x y >>，且3x y +=，若()2111m x yy x m +≤++-对任意的0,0x y >>恒成立，则实数m 的取值是（ ）A. (),1-∞ B. [)5,+∞C. ()[),15,-∞⋃+∞ D. (]1,5【答案】C 【解析】【分析】根据题意，问题可转化为()211111m y x y m x y x y++≤=+-++对任意的0,0x y >>恒成立，由题设条件得到(1)4x y ++=，进而得到1111144y y x x y x y ++=++++，接着结合基本不等式求得11y x y++最小值得到514m m ≤-即可求实数m 的取值范围.【详解】因为()2111m x y y x m +≤++-对任意的0,0x y >>恒成立，可得()211111m y x y m x y x y++≤=+-++对任意的0,0x y >>恒成立，又因为3x y +=，可得(1)4x y ++=，则()11111511414444x y y yy x x y x y x y ++++=+=++≥=+++，当且仅当114y x x y +=+即54,33x y ==时等号成立，所以11y x y ++最小值54，所以514m m ≤-，可得()5041m m -≤-，即()5041m m -≥-，所以()()51010m m m ⎧--≥⎨-≠⎩，解得5m ≥或1m <，所以实数m 的取值范围为()[),15,∞∞-⋃+.故选：C.8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有为()()12211f x f x x x -<-，则不等式()()2553f x f x x --<-的解集为（ ）A. 5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】令()()g x f x x =+，由已知不等式和等式可求得()g x 的奇偶性和单调性，将所求不等式化为()()25g x g x <-，由单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.【详解】不妨令210x x >≥，则由()()12211f x f x x x -<-得：()()1122f x x f x x +<+，令()()g x f x x =+，则()g x 在[)0,∞+上单调递增；()()0f x f x +-= ，()()()()0g x g x f x x f x x ∴+-=++--=，()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()g x ∴在R 上单调递增；由()()2553f x f x x --<-得：()()2255f x x f x x +<-+-，即()()25g x g x <-，25x x ∴<-，解得：53x <，即不等式()()2553f x f x x --<-的解集为5,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9. 下列运算结果正确的有（ ）A. ()()14380.06415ππ6--++=-B. ()()21lg5lg8lg1000lg lg0.616++++=C. 32=D. )12123170.027214579--⎛⎫⎛⎫--+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算以及对数运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，原式4213116π365535π55=-++-=-+，故A 错误；对于B ，原式()()2lg 53lg 233lg 2lg 6lg 0.6=++-+()()20.613lg 5lg 23lg 53lg 2lg3lg 2lg 5lg 23lg 5lg 610=⋅+++=+++()3lg 23lg 513lg 2lg 512=+-=+-=，故B 错误；对于C，原式11142243lg 3lg 9lg 3lg 313lglg1013lg 322lg 3+-=+=+=+=，故C 正确；对于D ，原式()112323251050.37149145933⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：CD10. 对任意两个实数,a b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()()224,f x x g x x =-=，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ）A. ()()111F F =-=B. 方程()0F x =有三个解C. 当()0F x >时，有()2,2x ∈-D. 函数()F x 有最大值为2，无最小值【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求出函数()2224,,4,x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩.【详解】当224x x -≤，即x ≤或x ≥时，()24F x x =-，当224x x ->，即x <<时，()2F x x =，则()2224,,4,x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩对于A ，()()11,11F F =-=，故A 正确；对于B，当x ≤或x ≥时，令()240F x x =-=，解得2x =±，当x <<时，令()20F x x ==，解得0x =，方程()0F x =有三个解，故B 正确；对于C，当x ≤或x ≥时，令()240F x x =->，解得2x -<≤2x ≤<，当x <<时，令()20F x x =>，解得0x <<或0x <综上所述，当()0F x >时，有()()2,00,2x ∈- ，故C 错误；对于D，当x ≤或x ≥时，令()242F x x =-≤，无最小值，当x <<时，()202F x x ≤=≤，综上，函数()F x 有最大值2，无最小值，故D 正确.故选：ABD.11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（ ）A. 函数()f x 满足：()()f x f x -=B. 函数()f x 的值域是[]0,1C. 对于任意的x ∈R ，都有()()1ff x =D. 在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形【答案】AC 【解析】【分析】利用R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A ，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A ，B 和C 的正误，选项D ，通过取特殊点()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.为【详解】由于R 1,Q ()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A ，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B ，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C ，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x ff x f ===，当Q x ∈Rð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D ，取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭，此时AB AC BC ===，得到ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC ．三、填空题12. 已知函数3()23f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()230f m f n f +-=，则29m n+最小值是______.【答案】323##2103【解析】【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，再求出,m n 的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】函数3()23f x x x =+定义域为R ，3()2()3()()f x x x f x -=-+-=-，因此函数()f x 是R 上的奇函数，且在R 上单调递增，由()()()230f m f n f +-=，得()(23)(32)f m f n f n =--=-，则23m n +=，所以29129193234132()()(20(2033m n m n m n n m m n +=+=++≥+=+，当且仅当94m n n m =，即39,48m n ==时取等号，所以29m n +最小值是323.故答案为：32313. 已知函数()34f x ax bx =++，若()20242f -=，则()2024f =________．【答案】6【解析】【分析】先证得()g x 为奇函数，所以()20242g -=-，再由奇函数的性质可求出()2024f .【详解】解：令()3g x ax bx =+，()()()()()33g x a x b x ax bx g x -=-+-=-+=-，所以()g x 为奇函数，所以()()2024202442f g -=-+=，所以()20242g -=-，所以()20242g =，所以()()2024202446f g =+=．故答案为：6.14. 已知函数()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，给出下列四个结论：①对任意实数a ，函数()f x 总存在零点；②存在实数a ，使得函数()f x 恒大于0；③对任意实数a ，函数()f x 一定存在最小值；④存在实数a ，使得函数()f x 在(),a -∞上始终单调递减.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】根据二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解①，根据0a ≤时，当02x <<时，()220f x x x =-<，以及0a <时，由于()00f =，即可判断②，根据12a ≤<，结合二次函数的性质即可求解③，根据0a ≤时，对数函数的性质即可判断④.【详解】令220x x -=，则0x =或2x =，令()2log 10x +=，则0x =，且22y x x =-和()2log 1y x =+的图象分别如下所示：当2a <时，()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩的零点有0x =和2x =，当2a ≥时，()()222,log 1,x x x af x x x a ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩的零点有0x =，故①正确，对于②,当0a <时，当02x <<时，()220f x x x =-<，不满足题意，当0a ≥时，由于()00f =，不满足()f x 恒大于0；故不存在实数a ，使得函数()f x 恒大于0，②错误，对于③,当12a ≤<时，()f x 的图象如下所示：此时()f x 不存在最小值；故③错误对于④，当0a ≤，()f x 图象如下：函数()f x 在(),a ∞-上始终单调递减.故④正确故答案为：①④四、解答题15. 设集合{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈（1）是否存在实数a ，使x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若A C C = ，求实数a的取值范围．【答案】（1）存在，2a ≥（2）1a ≤【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件列不等式，由此求得a 的取值范围.（2）根据集合A 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a 取值范围.【小问1详解】()2440x x x x -=-≤，解得04x ≤≤，所以{}|04B x x =≤≤，假定存在实数a ，使x B ∈足x A ∈的充分不必要条件，则B A ，A ≠∅，则21220124a a a a -≤+⎧⎪-≤⎨⎪+>⎩或21220124a a a a -≤+⎧⎪-<⎨⎪+≥⎩，解得2a ≥或2a >，因此2a ≥，所以存在实数a ，使x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，2a ≥．【小问2详解】当04x ≤≤时，16125x ≤+≤，15≤≤，则{}15C x x =≤≤，由A C C = ，得A C ⊆，当212a a ->+，即13a <时，A =∅，满足A C ⊆，符合题意，则13a <；当212a a -≤+，由A C ⊆，得12125a a ≤-≤+≤，解得113a ≤≤，因此1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤．16. 已知函数()()()211,f x ax a x b a b R =-++-∈.（1）若1a =，关于x 的不等式()2f x x ≥在区间[]3,10上恒成立，求b 的取值范围；（2）若0b =，解关于x 的不等式()0f x <.【答案】（1）2b ≤-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）1a =时不等式化为求241b x x ≤-+在[]3,10x ∈上的最小值可得答案；（2）0b =时不等式为()2110ax a x -++<，讨论0a = 、0a <、0a >时解不等式可得答案.的【详解】（1）1a =，不等式化为2212x x b x-+-≥，[]3,10x ∈，所以()224123b x x x ≤-+=--在[]3,10恒成立，即求()223y x =--在[]3,10x ∈上的最小值为2-，所以2b ≤-.（2）0b =，不等式为()2110ax a x -++<，①当0a =时，10x -+<，1x >不等式解集为()1,+∞；当0a ≠时不等式转化为()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，②当0a <时，不等式()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；③当0a >时，不等式()0f x <化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，若1a =，不等式解集为∅；若1a >，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；若01a <<，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述：①当0a <时，不等式解集为()11,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，；②当0a =时，不等式解集为()1,+∞；③当01a <<时，不等式解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④当1a =时，不等式解集∅；⑤当1a >时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量()H t （单位：ng /mL ）与一天中的时间t （单位：小时，以午夜0点为为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：●在夜间()06t ≤<，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数()H t a =．●在早晨()612t ≤≤，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为()()6H t b t a =-+，当12t =时，分泌量达到最大值maxH ●在下午和晚上()1224t <≤，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即()()12max e c t H t H --=⋅．已知午夜时荷尔蒙分泌量为5ng /mL ，峰值分泌量为20ng /mL（1）求参数a ，b 和c 的值以及函数()H t 的解析式；（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于10ng /mL 的时长．【答案】（1）5a =， 2.5b =，ln26c =，()()()ln 21265,062.565,61220e ,1224t t H t t t t --⎧≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⋅<≤⎩（2）10个小时【解析】【分析】（1）根据()05H =求出a ，再根据()1220H =和()245H =分别求出,b c ，即可得出函数解析式；（2）分612t ≤≤和1224t <≤两种情况解不等式()10H t ≥即可.【小问1详解】根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量()05H =，5a ∴=，在早晨()612t ≤≤，荷尔蒙分泌量满足关系式：()()6H t b t a =-+，当12t =时，分泌量达到峰值即max 20H =，即()()1212620H b a =-+=，解得：15 2.56b ==，因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为()()()2.565612H t t t =-+≤≤，在下午和晚上()1224t <≤时段，荷尔蒙分泌量满足：()()1220e c t H t --=⋅，所以()()24122420e 5c H --=⋅=，解得ln26c =，所以荷尔蒙分泌量为()()()ln 212620e 1224t H t t --=⋅<≤，综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为()())ln 21265,062.565,61220e ,1224t t H t t t t --⎧≤<⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪⋅<≤⎩；【小问2详解】①当612t ≤≤时，()()2.56510H t t =-+≥，解得8t ≥，所以812t ≤≤，②当1224t <≤时，()()1220e 10c t H t --=⋅≥，()ln 2112ln 621e e 2t --∴≥=，()ln2112ln ln262t ∴--≥=-，126,18t t ∴-≤≤，1218t ∴<≤，综上所述818t ≤≤，该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于10ng /ml 的时长为10个小时.18. 已知定义在R 上的奇函数3()31x x m f x -+=+，m ∈R .（1）求m ；（2）判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性.（3）若实数a 满足()22122a a f +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析（3）()(),20,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，则有()00f =，得出m 后再代回检验即可得；（2）由312()13131x x x f x -+==-+++可判断()f x 为R 上的单调递减函数，结合单调性定义证明即可；（3）结合函数单调性与奇偶性应用即可得.【小问1详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，解得1m =，当1m =时，()3131x x f x -+=+，3131()()3131x x x x f x f x ---+-+-==-=-++，()3131x x f x -+=+是奇函数，故1m =.【小问2详解】()f x 是R 上的单调递减函数，证明如下：任取1x 、2x 且12x x <，则()()()()()1221211221233131313131313x x x x x x x x f x f x --+-+-=-=++++，因21x x >，故12330x x -<，从而有()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】由()112f =-，故()()221212a a f f +<-=，即()()2221a a f f +<，由()f x 在R 上单调递减，可得2221a a +>，即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-⋃+∞.19. 已知函数()2xf x =（x ∈R ）．（1）解不等式()()21692xf x f x ->-⨯；（2）若函数ℎ(x )为()f x 的反函数，()26h x ax -+在()2,5上单调，求a 的取值范围；（3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数，ℎ(x )为偶函数，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(1,3)（2）(],4∞-（3）17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题意可得2221692x x x ->-⨯，换元法求解即可；（2）由题意可得()()222log 66h x ax x ax --=++在()2,5上单调，则260x ax -+>在()2,5上恒成立，且26y x ax =-+在()2,5上单调，结合二次函数分析求解；（3）由函数的奇偶性先求出()g x ，()h x 的解析式，可得111(2(40224x x x x a -++≥，再由换元法与参变分离运算求解.【小问1详解】因为()()21692x f x f x ->-⨯，且()2x f x =，则2221692x x x ->-⨯，设2x t =，则不等式可化为2169t t t ->-，解得28t <<，即228x <<，则13x <<，故原不等式的解集为(1,3).【小问2详解】若函数()h x 为()f x 的反函数，则()2log h x x =，因为()()222log 66h x ax x ax --=++在()2,5上单调，则260x ax -+>在()2,5上恒成立，即6x a x +>，因为6x x +≥=，当且仅当6x x =，即()2,5x =时，等号成立，可得a <，且26y x ax =-+在()2,5上单调，则22a ≤或52a ≥，解得4a ≤或10a ≥；综上所述：a 的取值范围(],4∞-.【小问3详解】由题意得2()()x g x h x =+，则1()()()()2xg x h x g x h x =-+-=-+，即()()21()()2x x g x h x g x h x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得11()(2)2211()(222x x x x h x g x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，若不等式()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，即111(2(40224xx x x a -++≥，可得2111(2)220222x x x x a ⎡⎤⎛⎫-+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令122xx k =-，且12,2xx y y ==-在[]1,2内单调递增，则122x x k =-在[]1,2内单调递增，且当1x =时，32k =；当2x =时，154k =；可知13152,224x x k ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为21(2)02ak k ++≥对315[,]24k ∈恒成立，可得22k a k +≥-，315[,24k ∈，且32>，由对勾函数性质可知2y k k =+在315[,]24内单调递增，可知当32k =时，2y k k =+取到最小值176，则1726a ≥-，解得1712a ≥-，所以实数a 的取值范围是17,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x >恒成立(即()max a f x >可)或()a f x <恒成立（即()min a f x <可）；② 数形结合(()y f x =图象在 ()y g x =上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
2024—2025学年山东省淄博市高青县多校高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年山东省淄博市高青县多校高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 命题“”的否定为（）A．B．C．D．(★★) 3. “”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 4. 已知，则（）A． 1B． 0C．D．(★★) 5. 设，则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知函数，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 若幂函数在上单调递增，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（）A．有最大值为B．有最小值为C．有最小值为D．有最大值为(★★★) 11. 下列说法正确的是（）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数在上的值域为C．函数的值域为D．函数的值域为三、填空题(★★) 12. __________ .(★★) 13. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ________ ．(★★) 14. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ______ ．四、解答题(★★★) 15. 已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求的取值范围.(★★★) 16. （1）已知函数，求函数的解析式；（2）解不等式．(★★★) 17. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.则(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？(2)每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损(★★★) 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求a，b值；(2)用定义证明：在上单调递减；(3)解关于t的不等式．(★★★★) 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；(2)已知函数.①函数是在上的“美好函数”，求的值；②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.。
山东省淄博市高一上学期数学期中联考试卷
山东省淄博市高一上学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）(2018·武邑模拟) 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .2. （1分） (2018高一上·上海期中) 下列各组函数与表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与3. （1分） (2019高一上·临河月考) 下列函数为偶函数的是（）A .B .C .D .4. （1分） (2017高一上·吉林月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .5. （1分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （1分）下列命题中的真命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （1分）(2016·绵阳模拟) 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A . （﹣2，+∞）B . （0，+∞）C . （1，+∞）D . （4，+∞）8. （1分）已知函数，则函数y=f（1﹣x）的大致图象（）A .B .C .D .9. （1分）已知f（x）=为偶函数，则y=loga（x2﹣4x﹣5）的单调递增区间为（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣∞，2）C . （2，+∞）D . （5，+∞）10. （1分）(2018·凯里模拟) 已知函数，函数，则函数的零点个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2017高一上·扬州期中) 已知4a=2，lgx=a，则x=________12. （1分） (2016高一上·迁西期中) 已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（8）=________．13. （1分） (2019高一上·九台月考) 已知函数f（x）=2x–3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为________．14. （1分） (2019高一上·兰州期中) 设函数 , ，则函数的递减区间是________．15. （1分） (2018高一上·台州月考) 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“ ”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数m的取值范围是________16. （1分） (2016高一上·兴国期中) 已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）+f（﹣x）=0，在（﹣∞，0）上，且f（5）=0，则使f（x）＜0的x取值范围是________17. （1分） (2017高二下·安徽期中) 设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共4题；共7分)18. （1分） (2018高一上·邢台月考) 已知集合，，若，且求实数的值。
2024-2025学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,1,2,3}，集合B ={y|y =x 2,x ∈A}，则集合B 的子集个数为( )A. 7B. 8C. 16D. 322.已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“(a +i )2=2i ”是“a 2=1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在(0,2π)内使sin x >|cos x|的x 的取值范围是( )A. (π4,3π4)B. (π4,π2]∪(5π4，3π2]C. (π4,π2)D. (5π4,7π4)4.设a =(23)0.5，b =(32)0.3，c =log 2(log 23)，则( )A. c <b <aB. a <b <cC. a <c <bD. c <a <b5.在等比数列{a n }中，若a 1⋅a 5⋅a 12为一确定的常数，记数列{a n }的前n 项积为T n ，则下列各数为常数的是( )A. T 6B. T 8C. T 10D. T 116.在△ABC 中，已知sin 2A +sin 2C +cos 2B =sinCsinA +1，且满足|AB|AB |AC |AC ||= 3，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7.若正数x ，y 满足xy−2x−y =0，则x +y 2的最小值是( )A. 2B. 2 2C. 4D. 4 28.设函数f(x)={ax−1,x ∈(0,1)2ax−1,x ∈[1,+∞),g(x)=lnx ，若对任意实数x ∈(0,+∞)，f(x)⋅g(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. φB. (−∞,12]∪[1,+∞)C. [12,1) D. [12,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024—2025学年山东省淄博市实验中学高一上学期期中模拟数学试卷
2024—2025学年山东省淄博市实验中学高一上学期期中模拟数学试卷一、单选题(★★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．(★★★) 3. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．(★★) 4. 函数的定义域为（）A． [0， +∞）B．（﹣∞， 2]C． [0， 2]D． [0， 2）(★★★) 5. 已知，，，则实数的大小关系正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列运算结果正确的有（）A．B．C．D．(★★★) 10. 对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（）A．B．方程有三个解C．当时，有D．函数有最大值为，无最小值(★★★) 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（）A．函数满足：B．函数的值域是C．对于任意的，都有D．在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形三、填空题(★★★) 12. 已知函数，若，，且，则最小值是 ______ .(★★★) 13. 已知函数，若，则 ________ ．(★★★) 14. 已知函数，给出下列四个结论：①对任意实数，函数总存在零点；②存在实数，使得函数恒大于0；③对任意实数，函数一定存在最小值；④存在实数，使得函数在上始终单调递减.其中所有正确结论的序号是 ______ .四、解答题(★★★) 15. 设集合(1)是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)若，求实数的取值范围．(★★★) 16. 已知函数.（1）若，关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围；（2）若，解关于的不等式.(★★★) 17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性．．增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为(1)求参数，和的值以及函数的解析式；(2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．(★★★) 18. 已知定义在上的奇函数，.(1)求；(2)判断并证明在定义域上的单调性.(3)若实数满足，求的取值范围.(★★★★) 19. 已知函数（）．(1)解不等式；(2)若函数为的反函数，在上单调，求a的取值范围；(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．。
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山东省淄博市高一上学期数学期中联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）设集合，若，则（）
A . {3,0}
B . {3,0,1}
C . {3,0,2}
D . {3,0,1,2}
2. （2分） (2019高一上·上饶月考) 在下列四组函数中, 表示同一函数的是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高一上·临渭期中) 函数的图象恒过定点，则点的坐标（）
A . (2,3)
B . (2,4)
C . (0,3)
D . (3,0)
4. （2分）设偶函数f(x)的定义域为R，当时f(x)是增函数，则的大小关系是..（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）设,则a,b,c的大小关系是
A . a<b<c
B . b<c<a
C . c<b<a
D . b<a<c
6. （2分） (2020高三上·台州期末) 函数的图象是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2015高三上·潍坊期中) 函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）
A . （0，）
B . （，）
C . （，）
D . （，1）
8. （2分） (2017高一上·焦作期末) 函数y=e|x|﹣x3的大致图象是（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）
A . y=2x+1
B . y=2x﹣1
C . y=2x
D . y=2x
10. （2分）已知函数是奇函数且是R上的增函数，若x,y满足不等式，则
的最大值是（）
A .
B .
C . 8
D . 12
二、多选题 (共3题；共9分)
11. （3分） (2020高一上·汕头月考) 设全集为U，若B⊆A，则（）
A . A∪B=A
B .
C . A∩B=B
D . （）∩B=∅
12. （3分） (2020高二上·大名月考) 下列命题中正确的是（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
13. （3分） (2020高三上·湖北月考) 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（）
A . 当时，有3个零点
B . 当时，有2个零点
C . 当时，有4个零点
D . 当时，有1个零点
三、填空题 (共3题；共3分)
14. （1分） (2020高一上·舒城期末) 已知函数为奇函数，则 ________.
15. （1分）函数f（x）=xα的图象过点（2，4），则f（﹣1）=________
16. （1分） (2019高二下·涟水月考) 设，是集合的两个不同子集，若使得不是的子集，也不是的子集，则不同的有序集合对的组数为________.
四、双空题 (共1题；共1分)
17. （1分） (2016高一上·启东期末) 设函数f（x）= ，则f（f（2））=________．
五、解答题 (共6题；共75分)
18. （10分） (2019高一上·温州期中) 计算
（Ⅰ）
（Ⅱ）
19. （15分） (2020高一上·北海期末)
（1）计算：；
（2）已知集合，，且，求a的取值范围.
20. （15分） (2019高一上·上海月考) 某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
21. （10分）(2017·来宾模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1．
（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．
22. （15分）(2020·绍兴模拟) 已知函数 .
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点 .
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： .（其中为的极小值点）
23. （10分） (2020高一下·忻州月考) 已知函数，其中为实数．（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．
（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
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答案：3-1、
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答案：4-1、考点：
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答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
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答案：7-1、考点：
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答案：8-1、考点：
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答案：9-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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二、多选题 (共3题；共9分)答案：11-1、
考点：
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答案：12-1、
考点：
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答案：13-1、
考点：
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三、填空题 (共3题；共3分)
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
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四、双空题 (共1题；共1分)答案：17-1、
考点：
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五、解答题 (共6题；共75分)
答案：18-1、
考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
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答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
考点：
解析：
答案：23-1、
答案：23-2、考点：
解析：。