1大学物理第一章质点运动时间空间

,
dx1 dt

v0
v hv0 hl
（2） 令 b x2 x1 为影长
b

l h
x2
v db l dx2 dt h dt
以 dx2 hv0 代入 dt h l
得
v lv0
hl
例1-3：
设质点沿x轴作匀速直线运动，速度 vx ，初位置为x0，
试用积分法求出质点的运动方程。
例2：已知一质点的运动方程为
r

3ti

4t
2
j
式中r以m计，
t以s计，求质点运动的轨道方程、速度和加速度。
例题： P21 习题1－1 ，1－2
例3：已知质点沿双曲线xy=1，某瞬时，质点位于x1=1.20m处， 0.36s后处于x2=1.40m，求质点在轨道上“1”及“2”处的位置矢 量及平均速度。
例5： 路灯距地面高度为h，身高为l 的人以速度v0在路上匀 速行走。求：（1）人影头部的移动速度；（2）影长增长的
速率。
解： （1）
x2 x1 x2 lh
(h l)x2 hx1
两边求导：
(h l) dx2 h dx1 dt dt
h
l
O
x1 x2 x
其中： dx2 v dt
r

M1
r (t) y
O 瞬时速度(速度)
x
v

lim
r

dr
t0 t dt
瞬时速率
v ds
dt

因为
ds dr
，所以质点速度的大小等于速率，即
v
dr
在直角坐标系中
v vxi vy j vzk
dt

dx
i

dy
j

dz
k

v

v(t

t)

v(t)
t
t
z


v2
v1
M1 M2
y
O
瞬时加速度(加速度)
x
a

lim
t 0
v t

dv dt

d
2
r
dt 2
在直角坐标系中
a axi ay j azk

dvx
i

dvy
j

dvz
k
dt dt dt

d2x dt 2
第一章 质点运动 时间 空间
1-1 质点运动的描述之一 1-2 质点运动的描述之二
1-1 质点运动的描述之一
一. 质点的概念
——在运动中可以忽略其线度大小而看作一个点的物体， 或者说，它是一个具有质量的点（与几何点区别，又称它 为物理点）。它保留了物体的两个主要特征：物体的质量 和物体的空间位置。
分量式
x x(t) y y(t)
z z(t)
轨道方程：从运动方程中消去参数 t 得到质点位置坐标之间 的关系式。
f (x, y, z) 0
五. 例题
质点运动学两类基本问题
由质点的运动方程求得质点在任一时刻的速度和 加速度（通过求导计算）；
已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 求质 点速度及其运动方程（通过积分计算）.
例4：已知质点的运动方程为
r

2ti
(19 2t2 ) j
，式中r以m
计，t以s计，
求：（1）轨道方程； （2）t =2s 时质点的位置、速度以及加速度；
例1-1：湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离水面 高h的滑轮拉船靠岸，设绳的原长为l0，人以匀速v0拉 绳，试描述小船的运动。
3.角速度 4.角加速度
线量和角量的关系：
v R
at R
an R 2
Rd

v dr R d R
dt dt
at

dv dt

R
d
dt

R
an
v2 R

R 2
B s
R
A

o
x
例1-4: 一质点沿半径R=1 m的圆周运动，其运动方程
为θ＝a+bt3，式中t以s计， θ以rad计，a=2rad，
b=4rad·s-3.问（1）在t=2 s时，质点法向和切向加速度 各是多少？（2） θ角等于多大时，质点的总加速度 方向和半径成45˚角？
第一章 质点的运动 时间 空间
机械运动
一个物体相对于另一个物体的空间位置 随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相 对于其另一部分的位置随时间而发生变化的 运动。
力学
研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学：
研究物体在空间的位置随时间的变化规 律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发 生机械运动的变化原因。
at

d 2s dt 2

4m /
s2
例7：列车出站时，由静止开始速率均匀增大，其轨道 为半径R=800m的圆弧。已知离开车站一分钟时列车速
率为24km·h-1（公里/小时），求在离开车站2min时的切
向加速度、法向加速度和总加速度。
二. 圆周运动的角量描述
1. 角位置:
角位置的时间函数： (t)
dt dt dt
大小：
vx

dx dt , vy

dy dt , vz

dz dt
v
v
2 x

v
2 y

v
2 z
方向：
cos vx , cos vy , cos vz
v
v
v
4. 加速度
——描述质点速度变化的快慢和速度变化的方向的物理量。
（单位：m·s-2）
平均加速度
a
运动的叠加性：一个运动可以看成由几个各自独立进行的运动 叠加而成，并且描述其中任何分运动的位置矢量、位移、速度、 加速度等物理量的叠加，都满足矢量的平行四边形法则。
四. 运动方程和轨迹方程
运动方程：质点位置矢量随时间变化的函数关系式。
r

r (t
)

x(t)i

y(t)
j

z(t
)k
方向：沿圆轨道的半径指向圆心
大小：
an

v2 R
2. 一般曲线运动
at

dv dt
an

v2

与圆周运动的区别：一般曲线运动中轨道的曲率中心 和曲率半径逐点不同。
不同运动方式的加速度情况： 一般曲线运动：同时具有切向加速度和法向加速度； 直线运动：只有切向加速度，没有法向加速度； 匀速率曲线运动：只有法向加速度，没有切向加速度； 圆周运动：法向加速度始终指向一个固定中心。
例6: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长s按s＝t＋2t2 的规律变化。问它在2 s末的速率、切向加速度和法向加速度各是 多少？
解： 由速率定义，有 v ds 1 4t dt
将t＝2代入上式，得2 s末的速率为
v9 m/s
法向加速度 切向加速度
an

v2 R
81
m/ s2
B
R
A
o
x
2. 角位移：质点转过的角度 ，单位:弧度 rad .
规定： 逆时针转向为正
顺时针转向为负
3. 角速度：描述质点转动快慢和方向的物理量.单位: rad/s .
lim d
t0 t dt
4. 角加速度：单位: rad/s2 .


lim
t 0
点M所在位置的矢量称为质点M的位
置矢量。
x
k
zr
o
y
*M
y
j
直角坐标系中 r xi yj zk
i
x
大小：
r r x2 y2 z2
方向： cos x r
cos y r
cos z r
z

o
x
r *M

y
2. 位移 r
• 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为et
• 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
P
s
et en
s
O
en
Q
et
质点位置： s st
路程： s sQ sP
速度：
v

vet

ds dt
et
P
s
et en
s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
en
Q
；只s 有当质点做单方
x
O
向的直线运动时，路程和位移的大
r(t2 )
y
小才相等。
位移是矢量，路程是标量，恒取正值。
3. 速度
——描述质点位置变化的快慢和位置变化的方向的物理量。
（单位：m·s-1）
平均速度
v

r



r(t t) r(t)
t
t
z
M2 s
r (t t)
et
加速度：
a atet anen
大小：
a at2 an2
方向：
tan(a, v)

an
at
二. 切向加速度和法向加速度
1. 圆周运动
切向加速度:是描述速度大小变化的加速度分量。
方向：A点处圆周的切线方向
大小：
at

lim
t 0
v t

dv dt
法向加速度:是描述速度方向变化的加速度分量。
r (t)
求导 v (t)
求导
a(t)
积分
积分
课本例1-2：已知质点的运动方程是
r

R
cos

ti

R
sin
t
j
式中R 、是常数.
求: 1)质点轨道方程；
2)质点的速度和加速度。
例1：已知一质点的运动方程为
r (t
)

ati

(bt

ct
2
)
j
a,b,c常数，求该质点的轨道方程。
——描述质点空间位置变化的物理量，
同时表示了质点空间位置变化的距离和
方向。（自质点初始位置引向一段时间
间隔后末位置的矢量。）
r r2 r1 M1M 2
x
z

M1 r M2
r1
r2
y
o




r

( x2
x1
)i

( y2
y1 )
j

(z2

z1 )k
xi yj zk
讨论
（1）位移的物理意义
确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质
点的始末位置，是描述状态变化的物理量。
（2）位移与路程 M1M2两点间的路程是不唯一的,可
以是 s或 s,' 而位移r是唯一的.

z s' s
M1 r
M2
一般情况位移大小不等于路程， r (t1)
即
r
实际上所谓质点是一个从实际中抽象出来的理想模型。
可以把运动物体当质点处理的情况： （1）物体作平动。 （2）运动物体的尺度比它运动的空间范围小得很多。
二. 运动描述的相对性
1.参考系:
——描述一物体的运动时，必须选择另一物体或一组 彼此相对静止的物体作参考，选作参考的物体，称为 参考系。
物体运动是绝对的,但运动的描述是相对的。
2.坐标系
——为了定量地确定质点的位置，描述其运动，还要在所选 择的参考系上规定一个坐标系。
常用坐标系： 直角坐标系;自然坐标系;球坐标系;柱坐标系
注意：本书描述物体运动时，凡未特别指明者，都是以地面 为参考系，使用笛卡儿直角坐标系。
三.描述质点运动的物理量
z
1.
位置矢量
r
——由参考系上的坐标原点引向质
任何运动
1.位置矢量 r

2.位移 r 3.速度 v
4.加速度 a
直角坐标系：
v

vxi

vy
j
vz
k
a axi ay j azk
自然坐标系：
v vtet a atet anen
圆周运动
1.角位置
2.角位移
i

d2y dt 2
j

d2z dt 2
k
ax

dvx dt

d2x dt2 , ay

dvy dt

d2y dt2 , az

dvz dt

d2z dt 2
大小： 方向：
a
ax2

a
2 y

az2
cos ax , cos ay , cos az
a
a
a
三. 运动的叠加性
例8： 一飞轮半径为2m，其角量运动方程为＝2+3t-4t3
(SI)，求距轴心1 m处的点在2s末的速率和切向加速度。
解： 因为 d 3 12t 2
dt
d 24t
dt
将t＝2代入，得2 s末的角速度为
2 3 12 22 45 rad / s
2s末的角加速度为
2 24 2 48 rad / s2
在距轴心1 m处的速率为
v2 R2 45 m / s
切向加速度为
at2 R2 48 m / s2
例题： P28 习题1－7 ，1－8 课后作业： P29 习题1－9 ，1－10
小结
一. 一个理想模型 —— 质点 二. 二个方程——运动方程和轨道方程 三. 二类运动学问题——求导和积分 四. 四个描述质点运动的物理量

t

d
dt

d 2
dt2
匀速圆周运动(是恒量)
d dt

t
d dt
0
0
0 t
匀加速圆周运动(α是恒量)
0 t

0
0t

1t2
2
2 02 2 ( 0 )
三. 角量和线量的关系
s R dr ds
设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度ax不随时间变 化，初位置为x0，初速度为 v0x 。 试用积分法求出质
点的速度公式和运动方程。
课后作业： P21 习题1－3 ，1－4
1-2 质点运动的描述之二
一. 自然坐标系
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
P
s
et en
s
O
en
Q
规定：
et