正切值的求法公开课共41页文档
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《正切》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (3)
如图 ,在数轴上表示－5的点与原点的距离是5 , 即－5的绝||对值是5 ,记作|－5|＝5.
议一议 一个数的绝||对值与这个数有 什么关系 ? 例如：|3|＝3 ,|＋7|＝7 一个正数的绝||对值是它本身；
例如：|－3|＝3 ,|－2.3|＝2.3
一个负数的绝||对值是它的相反数；
0的绝||对值是0.
你能明白吗 ?
•想一想 互为相反数的两个数的绝||对 值有什么关系 ?
•一对相反数虽然分别在原点两边 , 但 它们到原点的距离是相等的.
一个数a的绝||对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
一个数的绝||对值就是在这个数的两旁各画一条 竖线 ,如 +2的绝||对值等于2 ,记作| +2|＝2 . 数a的绝||对值记作|a|.
＝ 3. 10
10. 10
＝ 3 10 .
10
∠α余弦的定义 代入数值 化简
［抽象］锐角三角函数的概念从正弦、余弦、正切的定义 知道 ,任意给定一个锐角α ,都有唯一确定的值sinα〔或 cosα ,tanα〕与它对应 ,因此我们把锐角的正弦、余弦和正 切统称为锐角三角函数.
3.探究同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系 sin
1.2.3 绝|| 对 值
观察
上图中 ,单位长度为1米 ,那么小黄狗、大 白兔、小灰狗分别距离原点多远 ?
赶快思考啊 ! ! !
13
-
-
-
0
1
2
3
3
2
1
聪明的同学们一眼就可以看出来了吧 . 小黄狗距离原点3米 大白兔距离原点2米 小灰狗距离原点3米
抽象
总结
在数轴上 ,表示一个数的点与原点的距 离叫做该数的绝||对值〔absolute value) .
议一议 一个数的绝||对值与这个数有 什么关系 ? 例如：|3|＝3 ,|＋7|＝7 一个正数的绝||对值是它本身；
例如：|－3|＝3 ,|－2.3|＝2.3
一个负数的绝||对值是它的相反数；
0的绝||对值是0.
你能明白吗 ?
•想一想 互为相反数的两个数的绝||对 值有什么关系 ?
•一对相反数虽然分别在原点两边 , 但 它们到原点的距离是相等的.
一个数a的绝||对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
一个数的绝||对值就是在这个数的两旁各画一条 竖线 ,如 +2的绝||对值等于2 ,记作| +2|＝2 . 数a的绝||对值记作|a|.
＝ 3. 10
10. 10
＝ 3 10 .
10
∠α余弦的定义 代入数值 化简
［抽象］锐角三角函数的概念从正弦、余弦、正切的定义 知道 ,任意给定一个锐角α ,都有唯一确定的值sinα〔或 cosα ,tanα〕与它对应 ,因此我们把锐角的正弦、余弦和正 切统称为锐角三角函数.
3.探究同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系 sin
1.2.3 绝|| 对 值
观察
上图中 ,单位长度为1米 ,那么小黄狗、大 白兔、小灰狗分别距离原点多远 ?
赶快思考啊 ! ! !
13
-
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0
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3
3
2
1
聪明的同学们一眼就可以看出来了吧 . 小黄狗距离原点3米 大白兔距离原点2米 小灰狗距离原点3米
抽象
总结
在数轴上 ,表示一个数的点与原点的距 离叫做该数的绝||对值〔absolute value) .
正切函数课件
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
方法归纳 求函数 y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法 (1)定义域：由 ωx＋φ≠kπ＋π2 ，k∈Z，求出 x 的取值集合即
为函数的定义域，即xx≠kπ＋ωπ2 －φ，k∈Z.
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
fπ6 ＝_______3________．
π
π
解析：由题意知 x＋ 6 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
π 即 x≠ 3 ＋kπ(k∈Z)．
故定义域为xx≠kπ＋π3 ，k∈
Z，
且 fπ6 ＝tanπ6 ＋π6 ＝ 3.
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
正切函数的图像
求函数 f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
2．y＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：因为 y＝tan(x＋π)＝tan x，所以 y＝tan(x＋π)是奇函 数．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
3．函数 f(x)＝tanx＋π6 的定义域是_x__x_≠__k_π__＋__π3__，__k_∈__Z_，
域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
1．(1)函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－3π2 ，32π上的交点个
数是( A ) A．3
B．4
C．5
D．6
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
解析：(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π
正切的课件
函数的关系
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正切函数与余切函数的关系
互为导数
正切函数和余切函数互为导数， 即它们是互为逆运算的关系。
互补角关系
正切函数和余切函数在角度互补 时相等，即当两个角的和为90度 时，它们的正切值和余切值相等
。
定义域和值域
正切函数的定义域是除了 kπ+π/2以外的所有实数，值域 是所有实数。余切函数的定义域 是除了kπ以外的所有实数，值域
Part
05
正切函数的扩展知识
正切函数的泰勒级数展开
泰勒级数展开
正切函数可以展开为无穷级数，表示为一系列多项式的和， 用于近似计算正切函数值。
收敛性
泰勒级数展开的收敛性取决于x的取值，对于某些x值，级数 可能不收敛。
正切函数的积分
定义与性质
正切函数的积分是指不定积分，表示原函数在某个区间上的面积 。正切函数具有一些特殊的积分性质和公式。
穷大。
正切函数的图像在每一个周期内 都有两个极值点，分别是最小值
和最大值。
正切函数的单调性
01
在每一个周期内，正切函数在开 区间(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)内是单调递增的。
02
在每一个周期内，正切函数在闭 区间[kπ - π/2, kπ) (k ∈ Z)和 (kπ, kπ + π/2] (k ∈ Z)内是单调 递减的。
正切函数在实际应用中通常与其他数学工具结合使用，如微积分、线性代数等，以解决各种实际问题 。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中也有着广泛的应用。例如，在建立物理、工程、经济等领 域的数学模型时，正切函数常常被用作模型中的重要参数或变量。
通过正切函数，可以更好地描述和预测一些自然现象和社会现象，如气候变化、 人口增长、市场供需关系等。同时，正切函数在数学建模中还可以与其他数学工 具结合使用，如微分方程、线性规划等，以建立更加精确和实用的数学模型。
正弦、余弦、正切函数省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
cosB＝ 2 ，则BC旳长为________． 3
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
正弦余弦正切函数PPT课件
2 在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD为斜边AB上的 高,若BC＝4,sinA＝ ,则2 BD的长为______． 3
3 如图,∠α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,
另一边OA上有一点P b,4 ,若sin α＝ ________．
,则4 b＝
5
4 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝6,
2. 作一个50°的∠A 图1-3 ,在角的边上任意取一点B,作 BC丄AC于点C.量出AB , AC,BC的长 精确到1mm ,计 算 BC , AC , BC 的值 精确到0.01 , AB AB AC 并将所得的结果与你的同
伴所得的结果作比较. 通过上面两个实践操作,
你发现了什么
3.如图l-4,B,B1是∠α一边上的任意两点,作BC丄AC于 点C, B1C1丄AC1于点C1判断比值 B C与 B 1C 1,A C与 A C 1,B C与 B 1C 1 A B A B 1 A B A B 1 A C A C 1 是否相等,并说明理由.
A. 3
B. 4
C. 3
D. 5
解析：在R5 t△ABC中,∠5 C＝90°,则4 ∠A＋∠B＝5 90°,
则cos
B＝sin
A＝
4 5
.故选B.
总结
本题考查了互余两角的正弦值、余弦值之间的关 系．或者利用设参数法,也就是设三角形的斜边长是 5k,一条直角边长是4k,利用勾股定理求出另一条直 角边的长度,从而得出结果．
正弦余弦正切函数
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1 课堂讲解 2 课时流程
正弦、余弦、正切函数的定义 正弦、余弦、正切函数的应用 同角三角函数间的关系
3 如图,∠α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,
另一边OA上有一点P b,4 ,若sin α＝ ________．
,则4 b＝
5
4 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝6,
2. 作一个50°的∠A 图1-3 ,在角的边上任意取一点B,作 BC丄AC于点C.量出AB , AC,BC的长 精确到1mm ,计 算 BC , AC , BC 的值 精确到0.01 , AB AB AC 并将所得的结果与你的同
伴所得的结果作比较. 通过上面两个实践操作,
你发现了什么
3.如图l-4,B,B1是∠α一边上的任意两点,作BC丄AC于 点C, B1C1丄AC1于点C1判断比值 B C与 B 1C 1,A C与 A C 1,B C与 B 1C 1 A B A B 1 A B A B 1 A C A C 1 是否相等,并说明理由.
A. 3
B. 4
C. 3
D. 5
解析：在R5 t△ABC中,∠5 C＝90°,则4 ∠A＋∠B＝5 90°,
则cos
B＝sin
A＝
4 5
.故选B.
总结
本题考查了互余两角的正弦值、余弦值之间的关 系．或者利用设参数法,也就是设三角形的斜边长是 5k,一条直角边长是4k,利用勾股定理求出另一条直 角边的长度,从而得出结果．
正弦余弦正切函数
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1 课堂讲解 2 课时流程
正弦、余弦、正切函数的定义 正弦、余弦、正切函数的应用 同角三角函数间的关系
正切函数基础定理公式总结PPT
级数在近似计算中应用
01
近似计算
在实际计算中，可根据需要取泰 勒级数的前几项进行近似计算， 以简化计算过程。
误差估计
02
03
应用领域
通过比较近似值与精确值的差异 ，可对近似计算的误差进行估计 。
正切函数的泰勒级数展开式在三 角函数的计算、数值分析等领域 具有广泛应用。
05 正切函数在解三角形中应用
值域
正切函数的值域是全体实数，即$mathbf{R}$。
周期性及奇偶性
周期性
正切函数是周期函数，其最小正周期 为$pi$，即$tan(x + pi) = tan x$。
奇偶性
正切函数是奇函数，满足$tan(-x) = tan x$。
图像与性质
图像
正切函数的图像是无限多支的曲线，每支曲线都趋近于两条 渐近线$y = pm 1$，并且在每个周期内都有垂直渐近线。
定积分计算方法
定积分定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为 Δxi，任取一点ξi∈[xi-1,xi]，作和式Σf(ξi)Δxi，当n趋于无穷大且最大小区间长度 趋于零时，该和式的极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx 。
06 正切函数与其他三角函数关系
与正弦、余弦函数关系
1 2
正切函数定义
正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即 tanθ=sinθ/cosθ。
互补角关系
正切函数具有互补角关系，即tan(π/2θ)=1/tanθ。
3
周期性与奇偶性
正切函数具有周期性，周期为π，且为奇函数， 即tan(-θ)=-tanθ。
03 正切函数积分及定积分
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
1.讨论主题：学生将围绕“正切在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
正切PPT课件
C．sin2 A＋sin2 B＝1 D ．tan A·tan B＝1
感悟新知
知3－练
2．当45°<∠A<90°时，下列不等式中正确的是 ( D) A．tan A>cos A>sin A B．cos A>tan A>sin A C．sin A>tan A>cos A D．tan A>sin A>cos A
感悟新知
例3
知3－练
求证 tan A =sin A .
1 tan2 A
解题秘方：将 tan A 转化为 sin A ，将 cos 2A + sin2 A
cos A
转化为1，即可将左边化简，得到右边.
感悟新知
sin A
证明： 左边 = cos A sin2 A
1+ cos2 A
右边= sin A，
1 12 1
4
(1 )2
3(
3 )2 2
2 2
2
2
= 1 4 91
44
= 1.
知2－练
感悟新知
归纳
知2－讲
含有特殊角的三角函数的式子的计算方法： 先直接写出三角函数值， 将运算转化为实数的混
合运算，然后根据实数的运算法则计算.
感悟新知
1．下列运算结果正确的是( D )
A．3a3·2a2＝6a6 B．(－2a)2＝－4a2
的 3 倍，则 tan B 的值是( D )
A．13
B．3
C．
2 4
D．2 2
感悟新知
知识点 2 锐角（含特殊角）的正切值及相关计算
如何求tan 30°, tan 60°的值呢?
知2－导
九年级数学《正切》课件
(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更“陡〞．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程 度，因为夹角的正切值越大，那么夹角越大，物体放 置得越“陡〞．
知2－练
1 如图， △ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
B
解： ∵△ABC是等腰三角形，
知2－练
5 【中考·烟台】如图，BD是菱形ABCD的对角线， CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是边AB的 中点，那么tan∠BFE的值是(D ) A. 1 B．22 C. 3 D. 3 3
知识点 3 坡度(坡角)与正切的关系
知3－讲
探究
B
C
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与
水平宽度AE的长度之 A α
解：由勾股定理可知，
AC＝ AB2 BC2 ＝ 2002 552 ≈192.289(m)， ∴tan ∠BAC＝ B C ≈ 5 5 ≈0.286.
A C 1 9 2 .2 8 9
所以，山的坡度大约是0.286.
知3－练
2 如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A. 关 于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，以下表 达正确的选项是C ( ) A．tan A的值越大，梯子越缓 B．tan A的值越小，梯子越陡 C．tan A的值越大，梯子越陡 D．梯子的陡缓程度与∠A的正切值无关
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比
错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测
坡度即为倾斜角的度数．
知3－练
1 如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，点B到 山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度〔结果精确到0.001). B
正切函数ppt课件
21
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k
,
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
π
π
3π
2π
5π
2
2
2
9
10
11
例题分析
12
13
14
例4 求下列函数的值域：
15
小结：正切函数的图像和性质
16
17
18
19
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k
,
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
π
π
3π
2π
5π
2
2
2
9
10
11
例题分析
12
13
14
例4 求下列函数的值域：
15
小结：正切函数的图像和性质
16
17
18
19
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
首先，关于导入新课环节，通过提问方式引导学生思考日常生活中的实际问题时，我发现大部分学生对此表现出浓厚的兴趣。这说明贴近生活的实例能够激发学生的学习兴趣，有助于他们更好地投入课堂学习。在以后的教学中，我将继续寻找更多生活化的例子，让学生感受到数学知识的实用价值。
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
23.1.1 第1课时 正切
学习目标
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系； （重点） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计
算； (重点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实
际问题.（难点）
1
导入新课
回顾与思考 1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB2=__A__C_2_+_B_C__2 __. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=___8___.
A
解: 1tan A BC 62 32 3 3 3.
AC 3
3
6 ┌3
tan B AC
3
3 3. B
C (1)
BC 62 32 3 3 3
提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
19
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)如图(2),BC=3,tanA=
AB AC2 BC2 36 4 2 1（ 0 米）.
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算 题的关键．
16
当堂练习
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出 tanC吗？
B
1.5
┌
A
D
C
解：tan C BD 1.5 1. DC 1.5
17
14
二 坡度、坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水
平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i (即tanα)就
是:
i tan h 60 3 .
l 100 5
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡 面的铅直高度与水平宽度的比称为坡 度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系； （重点） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计
算； (重点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实
际问题.（难点）
1
导入新课
回顾与思考 1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB2=__A__C_2_+_B_C__2 __. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=___8___.
A
解: 1tan A BC 62 32 3 3 3.
AC 3
3
6 ┌3
tan B AC
3
3 3. B
C (1)
BC 62 32 3 3 3
提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
19
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)如图(2),BC=3,tanA=
AB AC2 BC2 36 4 2 1（ 0 米）.
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算 题的关键．
16
当堂练习
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出 tanC吗？
B
1.5
┌
A
D
C
解：tan C BD 1.5 1. DC 1.5
17
14
二 坡度、坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水
平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i (即tanα)就
是:
i tan h 60 3 .
l 100 5
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡 面的铅直高度与水平宽度的比称为坡 度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
6正切课件
5 13
AB，
求sinA,tanB的值。
2.如图,是一个钟摆动的示意图,钟摆动部分的长度为1.5m, 当它向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同, 求精它确摆到至0.0最1高m位) 置时与其摆O至最低位置时的高度之差.(结果
B
C
D
A
再 见！
解: tan30°=
a =
1=
√3 a √3
√3
3A
√3 a
tan60°=
a
= √3
B
2a
60° a
30°
C
√3 a
A
tan45°= a =1
a
a
45°
C aB
特殊角的正弦、余弦、正切值
a sin a cos a
30°
1 2
√3
2
45°
√2
2
√2
2
tan a
√3
1
3
60°in30°+3tan30°+tan245° （2）cos245°+tan60°·cos30°
B
A
50°
C
E
D
正切定义：在直角三角形中，锐角a的对边与 邻边的比叫角a的正切，记作tana,
即tana=角角aa的的邻对边边 。
想一想：现在你会求大树的高度了吗？
B
tan50°=
BC AC
=
BC 10
∴ BC≈10× tan50°≈11.9(m)
A
a C 即 大树的高
E
D
BD=11.9+1.1=13.0(m)
2 在Rt△ABC中, ∠C=90° ， 已知tanB=√3 ，C那么sinA的 A
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