自动控制原理__第3学时 线性系统的稳定性分析_
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自动控制原理 自动控制原理 第三章3：线性定常系统的稳定误差计算P
∞ v R00 ess = K 0
ν =0 ν =1 ν ≥2
13
e ss
∞ R v 00 = K 0
ν = 0 ν = 1 ν ≥ 2
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入 Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入,但存在一个稳态位置误差 型系统能跟踪斜坡输入, Ⅱ 型及 Ⅱ 型以上系统 , 稳态时能准确跟踪斜坡输入 型及Ⅱ型以上系统, 信号,不存在位置误差. 信号,不存在位置误差.
( 3 66 )
K p : 静态位置误差系数
K G (s)H (s) = s
20102010-7-11
ν
∏1 i= ∏1 j=
n ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K
p
K ,ν = 0 = ∞ ,ν ≥ 1
10
第三章 线性系统的时域分析法
K
p
K ,ν = 0 = ∞ ,ν ≥ 1
2 s→ 0
K s v2
s→ 0
20102010-7-11
第三章 线性系统的时域分析法
17
误差系数 类型
静态位置误 差系数
Kp
静态速度误差 系数
Kv
静态加速度误 差系数
K
a
0型
K
∞ ∞
0
0
Ⅰ型
K
∞
0 K
Ⅱ型
20102010-7-11
第三章 线性系统的时域分析法
18
输入
类型
r(t ) = R0
R0 1+ K
e
ss
ν 与 K R (s)
系统型别 开环增益有关 输入信号
《自动控制原理》第三章 3-4 稳定性分析
a1 a0 0 0 n 0 0 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 an an 1 an 2 0 0 0 0 0 0 0 0 an
第三章 线性系统的时域分析法
赫尔维茨稳定判据: 线性系统稳定的充要条件: i 0, i 1,2, n
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
15
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据…
例3 2 s 4 s 3 3s 2 5s 10 0
1 5 4 0 1 0 2
系统不稳定
0 5 3
0 0 0 10
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
11
1. 稳定性的基本概念
稳定性：扰动作用 偏离平衡状态 产生初始偏差 扰动消失 恢复到原平衡状态
例1. 单摆 例2. 曲面坡
大范围稳定 小范围稳定
稳定平衡点 不稳定平衡点
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
12
2. 线性系统稳定的充要条件
第三章 线性系统的时域分析法
3
重点回顾
R(s) E(s)
1
n s(s 2n )
2
C(s)
Td s
n s(s 2n )
2
R(s)
E (s )
C(s)
Kt s
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
4
重点回顾
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴 最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭 环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极 点在系统响应过程中起主导作用，这样的 闭环极点称为主导极点 非主导极点：除主导极点外的其他闭环极点
第三章 线性系统的时域分析法
赫尔维茨稳定判据: 线性系统稳定的充要条件: i 0, i 1,2, n
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第三章 线性系统的时域分析法
15
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据…
例3 2 s 4 s 3 3s 2 5s 10 0
1 5 4 0 1 0 2
系统不稳定
0 5 3
0 0 0 10
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第三章 线性系统的时域分析法
11
1. 稳定性的基本概念
稳定性：扰动作用 偏离平衡状态 产生初始偏差 扰动消失 恢复到原平衡状态
例1. 单摆 例2. 曲面坡
大范围稳定 小范围稳定
稳定平衡点 不稳定平衡点
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第三章 线性系统的时域分析法
12
2. 线性系统稳定的充要条件
第三章 线性系统的时域分析法
3
重点回顾
R(s) E(s)
1
n s(s 2n )
2
C(s)
Td s
n s(s 2n )
2
R(s)
E (s )
C(s)
Kt s
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第三章 线性系统的时域分析法
4
重点回顾
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴 最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭 环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极 点在系统响应过程中起主导作用，这样的 闭环极点称为主导极点 非主导极点：除主导极点外的其他闭环极点
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
设系统处于某一平衡状态，若此系统在干 扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰 动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这 就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
自动控制原理稳定性判据知识点总结
自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。
在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。
本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。
一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。
2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。
2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。
在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。
2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。
常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。
这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。
2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。
常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。
2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。
其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。
2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。
3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。
3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。
自动控制原理第3章
自动控制原理
17
调量越小， 响应的振荡 越弱，系统 的平稳性越 好,灵敏性？
越大，超
自动控制原理
18
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
一定时 ，瞬态分 量衰减速 度取 n e 决于 n 故 衰减系数
自动控制原理
19
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）等幅振荡型
h(t ) 0 1 e nt 1
c (s)
自动控制原理
12
3-3-1 二阶系统的数学模型
开环传递函数
K G(s) s(Tm s 1)
c ( s) K ( s) r ( s ) Tm s 2 s K
R(S) C(S)
闭环传递函数
二阶系统微分方程 系统的闭环传递函数的标准形式：
2 n ( s) 2 2 s 2 n s n
自动控制原理
4
3-1 系统的时域性能指标
动态性能指标
在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能指标 因为阶跃输入可以表征系统受到的最严峻的工作状态 （1）延迟时间
td
h ()
（2）上升时间
（3）峰值时间 （4）调节时间
tr
tp
0.9h() 0.5h() 0.1h()
td
ts
tr
ts
tp
5
误差带：±5%， ±2%
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) n t e n p sin( d t p ) 0 dt t t p 1 2
则 sin( d t p ) 0
d t p 0, ,2 , d t p
自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据
项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数 下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
自动控制原理第三次实验报告-线性系统的频率响应分析&离散系统的稳定性分析
该方法在时域曲线窗口将信号源和被测系统的响应曲线显示出来，直接测量对象输出与信号源的相位差及幅值衰减情况，就可得到对象的频率特性。
间接频率特性的测量
用来测量闭环系统的开环特性，因为有些线性系统的开环时域响应曲线发散，幅值不易测量，可将其构成闭环负反馈稳定系统后，通过测量信号源、反馈信号、误差信号的关系，从而推导出对象的开环频率特性。
六、数据处理
1.直接测量方法 (测对象的闭环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
2．间接测量方法：(测对象的开环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
七、分析讨论
(1) 测量过程中要去除运放本身的反相的作用，即保持两路测量点的相位关系与运放无关，所以在测量过程中可能要适当加入反相器，滤除由运放所导致的相位问题。
③ 理论依据
④ 测量方式：实验中采用间接方式，只须用两路表笔CH1和CH2来测量图 3.1-1 中的反馈测量点和误差测量点，通过移动游标，确定两路信号和输入信号之间的相位和幅值关系，即可间接得出积分环节的波特图。
(2) 直接频率特性测量方法
只要环节的时域响应曲线收敛就不用构成闭环系统而采用直接测量法直接测量输入、输出信号的幅值和相位关系，就可得出环节的频率特性。
④ 测量方式：实验中选择直接测量方式，用 CH1 路表笔测输出测量端，通过移动游标，测得输出与信号源的幅值和相位关系，直接得出一阶惯性环节的频率特性。
三、仪器设备
PC 机一台，TD-ACC+(或 TD-ACS)教学实验系统一套。
四、线路示图( 见模拟电路图 )
五、内容步骤
（一）．实验内容
间接频率特性的测量
用来测量闭环系统的开环特性，因为有些线性系统的开环时域响应曲线发散，幅值不易测量，可将其构成闭环负反馈稳定系统后，通过测量信号源、反馈信号、误差信号的关系，从而推导出对象的开环频率特性。
六、数据处理
1.直接测量方法 (测对象的闭环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
2．间接测量方法：(测对象的开环频率特性)
测各参数下时域波形（部分）
测得波特图如下：
测得对象的闭环极坐标图：
七、分析讨论
(1) 测量过程中要去除运放本身的反相的作用，即保持两路测量点的相位关系与运放无关，所以在测量过程中可能要适当加入反相器，滤除由运放所导致的相位问题。
③ 理论依据
④ 测量方式：实验中采用间接方式，只须用两路表笔CH1和CH2来测量图 3.1-1 中的反馈测量点和误差测量点，通过移动游标，确定两路信号和输入信号之间的相位和幅值关系，即可间接得出积分环节的波特图。
(2) 直接频率特性测量方法
只要环节的时域响应曲线收敛就不用构成闭环系统而采用直接测量法直接测量输入、输出信号的幅值和相位关系，就可得出环节的频率特性。
④ 测量方式：实验中选择直接测量方式，用 CH1 路表笔测输出测量端，通过移动游标，测得输出与信号源的幅值和相位关系，直接得出一阶惯性环节的频率特性。
三、仪器设备
PC 机一台，TD-ACC+(或 TD-ACS)教学实验系统一套。
四、线路示图( 见模拟电路图 )
五、内容步骤
（一）．实验内容
自动控制原理第三章3_劳斯公式
替 s 3 行，可继续排列劳斯阵如下：
ai 0, (i 0 ~ 5)
的根。求解如下：
3 s 因为 行全为零，所以特征方程必有特殊
s 2 12 23 s1 10 0 s 0 23 0
令Q( s) 0, 有( s 2 23)(s 2 1) 0， s1, 2 j 23, s3, 4 j1
由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳 定
(s p)(s 4 24s 2 23) 0 ，整理得： 设剩余的一个根为-p。则：
s5 ps4 24s3 24 ps2 23s 23p 0
比较系数得：-p= -2 极点分布如下：
j 23
注意： 劳斯判据实际上只能判断代数方 程的根是在s平面左半闭平面还是 在右半开平面。对于虚轴上的根 要用辅助方程求出。
利用实部最大的特征方程的根 p（若稳定的话，它离虚轴最 近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。 若p处于虚轴上，则 0 ，表示稳定裕量为0。 作 s 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该 越大，稳定程度越高。可用 系统具有 的稳定裕度。一般说， s z 代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有 的稳定裕度。
s 5 1 24 23 s 4 2 48 46 s3 0 0 0
s5 1 s4 1 s3 1 24 23 24 23 12 0 0 0 0
s 3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：
Q(s) 2s 4 48s 2 46 或 Q(s) s 4 24s 2 23 (s) 4s3 48s 将 4,48 或 1,12 代 Q 其导数为：
充要条件说明
3自动控制原理第三章02
2）当特征根为复根时：
pi = σi ± jωi
σit
lim(ae i
t →∞
(σi + jωi )t
+ ai+1e
(σi − jωi )t
)
lim(ae sin(ωit +ϕi )) =
t →∞
∞ ai 0
σi > 0 σi = 0 σi < 0
特征根实部全 为负值， 为负值，响应 才收敛为零， 才收敛为零， 系统稳定； 系统稳定；
二、线性定常系统的稳定性
线性定常系统
C(s) bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 G(s) = = n , n≥m n−1 R(s) s + an−1s +La1s + a0
设系统的n个特征根互异
si = pi = σi + jωi , i = 1,2,L, n
则系统的单位脉冲响应表为单极点形式 C(s) = 展开为部分分式 时间响应
例3－6 已知系统的闭环特征方程为 －
s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 作劳斯表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 2×5 − 0×1 2×3 − 4×1 2 1 b2 = =5 b1 = =1 s 5 2 2 s1 -6 s0 5 第一列中有负值出现，不全部大于零， 负值出现 第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不 稳定。 稳定
1、劳斯（Routh）判据 、劳斯（ ） 特征方程 D(s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0 = 0 作劳斯表如下， 作劳斯表如下，将方程的各系数间隔填入前两行 sn an a n- 2 an-4 …… sn-1 an-1 a n- 3 an-5 …… sn-2 b1 b2 b3 …… sn-3 c1 c2 c3 …… sn-4 …… …… …… …… …… …… s2 e1 e2 s1 f1 计算以下各行。 计算以下各行。 s0 g1
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
自动控制原理(第3章new)讲解
g(t) 25 e3t sin 4t 4
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制（PD）
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s
2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中： arctg(
1 2
)
或
1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te
nt
当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响
应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当 t
时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出，此时，系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为：
G(s)
2 n
(1
Td
s)
K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中： K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制（PD）
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s
2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中： arctg(
1 2
)
或
1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te
nt
当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响
应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当 t
时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出，此时，系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为：
G(s)
2 n
(1
Td
s)
K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中： K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)
自动控制原理01系统的稳定性分析课件
0
8*162*0 16 8
F (s) 2s4 12s2 16 0 即： (s2 2)(s2 4) 0
解之得： s1,2 j 2
s3,4 j2
3.1.3 稳定判据
（3）劳斯稳定判据的应用
例3-4 某单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
K
s(s 1)(s 5)
求取使系统稳定时的K的取值范围。
F (s) 2s4 12s2 16 0 F(s) 8s3 24s ds
s4 1612 2
2
s3 08
结论：第一列没有变号， 说明系统不含正实部根； 系统不稳定，出现纯虚根
s2 8*122*246 8
s 1 6*248*168 63
s0 16
8
12
4016 12 2
0 24
20 16
16
0
320 16 2
分析系统稳定性。 解：用方法①
结论：系统不稳定， 有2个正实部极点
s4
1
s3
4
s 2 4*11*4 0 4
s1
4* 4*1 0
s0
1
11Biblioteka 404*11*0 1 4
3.1.3 稳定判据
例3-2：用方法②，将特征方程乘以s+1，得：
s5 5s4 5s3 5s2 5s 1 0
用此式构建劳斯表：
q
C(t)
Aje pjt
j 1
dk k 1 k 2
r
[ Bk ekkt
k 1
c osdk t
Ck
dk
ekk t
sin dkt]
系统稳定的条件： ① 系统的实数极点一定为负数
② 系统的复数极点一定具有负实部
自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性
解：列劳斯表为
s5
1
2
1
s4
2
4
1
s3
0
1
2
s2 4 1 1 1
s1
1
2
s0
1
劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 s 6 s 5 6 s 4 5 s 3 9 s 2 4 s 4 0
劳斯判据的特殊情况1 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。
例3-9：考虑系统特征方程如下：
( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
试分析系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s5
1
2
s4
2
4
s3
12
s2
41
1
s1 (2 1 2 2 ) (4 1) 0
3.3.1 稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的
推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。
3.3.2 线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设系统的运动方程为
s4 1
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
1 4 -2 5 1
6
s0 5
35 40 5 0
符号改变一次 符号改变一次
Rout阵 h 列第一列符号 次,改变二 故有两个实部为 。正的
例 3-8 已知系统的特征方程 s34s260 ，
s5
1
2
1
s4
2
4
1
s3
0
1
2
s2 4 1 1 1
s1
1
2
s0
1
劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 s 6 s 5 6 s 4 5 s 3 9 s 2 4 s 4 0
劳斯判据的特殊情况1 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。
例3-9：考虑系统特征方程如下：
( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
试分析系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s5
1
2
s4
2
4
s3
12
s2
41
1
s1 (2 1 2 2 ) (4 1) 0
3.3.1 稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的
推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。
3.3.2 线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设系统的运动方程为
s4 1
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
1 4 -2 5 1
6
s0 5
35 40 5 0
符号改变一次 符号改变一次
Rout阵 h 列第一列符号 次,改变二 故有两个实部为 。正的
例 3-8 已知系统的特征方程 s34s260 ，
自动控制原理 教学日历
03. 教学日历第一周（4学时）1-1 引言1-2 自动控制系统的基本概念1-3 自动控制系统的分类及组成1-4 对控制系统的性能要求2-1 引言2-2 控制系统的时域数学模型第二周（4学时）2-2 控制系统的时域数学模型2-3 拉普拉斯变化2-4 控制系统的复数域数学模型第三周（4学时）2-5 控制系统的结构图与信号流图第四周（4学时）3-1 引言3-2 线性系统的时域性能指标3-3 线性系统的稳定性分析第五周（4学时）3-4 线性系统的快速性分析3-5线性系统的准确性分析第六周（4学时）3-6 线性系统的时域法校正第七周（4学时）4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则第八周（4学时）4-3广义根轨迹-参数根轨迹4-4 广义根轨迹-零度根轨迹4-5 系统性能的分析第九周（4学时）5-1 频率特性5-2典型环节与开环系统频率特性第十周（4学时）5-3频率稳定判据5-4 频率稳定裕度第十一周（4学时）5-5 闭环系统的频率性能指标5-6 线性系统的校正方法第十二周（4学时）5-6 线性系统的频域法校正第十三周（1+3学时）6-1 离散系统基本概念6-2 信号采样与保持第十四周（4学时）6-3 Z变换理论6-4 离散系统的数学模型第十五周（4学时）6-5 离散系统的稳定性、稳态误差及动态性能分析7-1 非线性控制系统概述及常见非线性特性对系统的影响7-2 描述函数法第十六周（4学时）总复习。
实验三控制系统的稳定性分析
实验三控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性是指系统在受到外部扰动或内部变化时，是否能保持原有的稳态或稳定的性能。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，它直接影响系统的性能和可靠性。
本实验将介绍控制系统稳定性的分析方法和稳定性判据。
一.控制系统的稳定性分析方法1.传递函数法：传递函数是表示控制系统输入与输出之间关系的数学表达式，通过分析和求解传递函数的特征根，可以判断系统的稳定性。
在传递函数中，特征根的实部和虚部分别代表了系统的衰减和振荡性能，根据特征根的位置可以得到稳定、不稳定和临界稳定等几种情况。
2.极点分布法：极点分布是指控制系统的特征根在复平面上的位置分布。
通过绘制极点图可以直观地判断系统的稳定性。
一般来说，稳定系统的极点都位于左半复平面，而不稳定系统的极点则位于右半复平面。
3. Nyquist稳定性判据：Nyquist稳定性判据是通过绘制Nyquist曲线来判断系统的稳定性。
Nyquist曲线是将控制系统的特征根的位置映射到复平面上形成的闭合曲线，通过分析Nyquist曲线的形状和位置可以判断系统的稳定性。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：Routh-Hurwitz稳定性判据是基于特征多项式的系数和正负性进行判断的方法。
通过构造一个特征方程的判别矩阵，可以判断系统的稳定性。
如果判别矩阵的所有元素都大于0，则系统是稳定的。
二.控制系统的稳定性判据1.传递函数法：通过求解传递函数的特征根，判断特征根的实部和虚部是否满足系统稳定的条件。
特征根的实部必须小于0，而虚部可以等于0。
2.极点分布法：绘制控制系统的极点图，判断极点是否位于左半复平面。
如果所有极点都在左半平面，则系统是稳定的。
3. Nyquist稳定性判据：绘制Nyquist曲线，通过分析曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
如果曲线不经过原点或环绕原点的次数为0，则系统是稳定的。
4. Routh-Hurwitz稳定性判据：构造特征方程的判别矩阵，通过判别矩阵的元素是否都大于0来判断系统的稳定性。
自动控制原理第三章2线性定常系统的稳定性
的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。
令闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点:
i 1 G ( s ) ( s ) q r 2 2 ( S P ( S 2 ) j) k nS k nk j 1 k 1
K ( S Z i)
m
( 3 53 )
r r p t 2 2 t tk j k nk k n 0 j k nk k k nk k j 1 k 1 k 1 q
K ( s z i)
m
C ( t ) A A e B e sin 1 t C e cos 1 t t 0 ( 3 4 )
q
18.03.2019
第三章 线性系统的时域分析法
6
3.5.2 线性系统稳定的充要条件
g(t) 0 lim t
充要条件
系统稳定
闭环特征方程式的根须都位 于S的左半平面
不稳定系统
有一个正实根或一对实部为正的复数根 发散
18.03.2019
第三章 线性系统的时域分析法
7
稳 定 实 际
18.03.2019
第三章 线性系统的时域分析法
5
C ( s ) G ( s ) R ( s ) q
K ( s z i)
i 1 r 2 j k nk 2 nk
m
( s p ) ( s 2 s ) q+2r=n
j 1 k 1
( 3 53 )
G ( s ) 2 2 S P S 2 S j 1 k 1 j k nk nk
稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系
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。 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围 内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大 范围不稳定的情况。
线性控制系统
的定义如下：
若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过
渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则
称系统为稳定。反之，则为不稳定。
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而 与输入信号无关。
1
1
s2 2
2
s1
0
0
s0 ：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征
方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数 根）。对此情况，可作如下处理：
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1 s2 2
1
2
F(s) = 2s2+ 2
的右边？
解：1) s3 2
13
s2 10
4
s1 12.2
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s0 4
2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为 2s13+ 4s12 s1 1 = 0
第三讲 线性系统的时域分析法
第3学时
----控制系统的稳定性分析
3.5 线性系统的稳定性分析
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差
有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复
到初始平衡状态，则这种系统称为
；
如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小 于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡 状态，否则就可以导出，系统特征根都具有负实部的必要 条件为：
aiaj> 0 ( i, j =1,2, , n) 即，闭环特征方程各项同号且不缺项。
如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上 式仅是必要条件。下面给出系统稳定的充分必要条件。
1. 劳斯判据 该方程式的全部系数为正，
首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环
特征方程为
n
0)()(
01221
)0( 0a
i1
式中，si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极点。根据代 数方程的基本理论，下列关系式成立：
n
1a
1
a s i i
0
n
2a
1
a s si
0
j1
i j
j i
n 1
n an )1(
a s i i
根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数K(t)。如果
当 t→∞时， K(t)收敛到原来的平衡点，即有
0 ) ( lim
t
tK
那么，线性系统是稳定的。
不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为
(s) M(s) bmsm bm1sm1 b1sb0
D(s)
ansn an1sn1 a1sa0
q
r
K(t) Aie pit B ek kkt sin(dkt k)
且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正 的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特 征方程式位于右半s平面上根的个数。
sn sn−1 sn−2 ┋ s1 s0
a a2 a a3 c c2 ┋ …
cn(an)
a4 … a5 … c3 …
1 ci2,1 cij
c c i1,1 i1,1
R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3+ 3s2+ 2s + K = 0
s3
1
s2
3
2 要使系统稳定，劳斯表中第
K 一列元素均大于零。
s1 (6 K)/3
0< K < 6
s0
K
（3）确定系统的相对稳定性
例3-7 检验多项式
2s3+ 10s2+ 13s + 4 = 0
是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1
①用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项，从而使劳 斯表继续下去。
②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数， 再对新的特征方程应用劳斯判据。
s3 1
3
s2 0(ε) 2
s1
b1 23
s0
2
∵ε→0+时，b1< 0，劳斯表 中第一列元素符号改变了两 次
∴系统有两个正根，不稳定。
（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：
D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s27s + 6 = 0
s4
1
3 6
s3
3
7
s2 2/3
6
s1
20
s0
6
例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为
D(s) = s4 + s33s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。
解: 该系统的劳斯表如下
s4
1
3 2
s3
解：劳斯表 s4
1
35
s3
2
4
s2
15
s1 6
s0
5
第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平 面有2个根。
例3-4 系统的特征方程为
D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为
s3 1 3
：劳斯表中某
s2 0 2
s1
∞
s0
行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理：
i
k
(t 0)
：闭环系统特征方程的 所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均 位于s左半平面（不包括虚轴）。
注意：根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必
须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则 立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的 工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左 半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
s1 4
F(s)= 4s
s0 2
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统 有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅
助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1
和 s4= 2 。
（2）分析参数变化对稳定性的影响
例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。
ci2, j1 ci1, j1
( i 3, j = 1, 2, )
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。
2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
2. 劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-3 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3+ 3s2+ 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。
线性控制系统
的定义如下：
若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过
渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则
称系统为稳定。反之，则为不稳定。
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而 与输入信号无关。
1
1
s2 2
2
s1
0
0
s0 ：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征
方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数 根）。对此情况，可作如下处理：
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1 s2 2
1
2
F(s) = 2s2+ 2
的右边？
解：1) s3 2
13
s2 10
4
s1 12.2
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s0 4
2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为 2s13+ 4s12 s1 1 = 0
第三讲 线性系统的时域分析法
第3学时
----控制系统的稳定性分析
3.5 线性系统的稳定性分析
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差
有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复
到初始平衡状态，则这种系统称为
；
如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小 于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡 状态，否则就可以导出，系统特征根都具有负实部的必要 条件为：
aiaj> 0 ( i, j =1,2, , n) 即，闭环特征方程各项同号且不缺项。
如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上 式仅是必要条件。下面给出系统稳定的充分必要条件。
1. 劳斯判据 该方程式的全部系数为正，
首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环
特征方程为
n
0)()(
01221
)0( 0a
i1
式中，si（i =1,2 , , n）是系统的n个闭环极点。根据代 数方程的基本理论，下列关系式成立：
n
1a
1
a s i i
0
n
2a
1
a s si
0
j1
i j
j i
n 1
n an )1(
a s i i
根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数K(t)。如果
当 t→∞时， K(t)收敛到原来的平衡点，即有
0 ) ( lim
t
tK
那么，线性系统是稳定的。
不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为
(s) M(s) bmsm bm1sm1 b1sb0
D(s)
ansn an1sn1 a1sa0
q
r
K(t) Aie pit B ek kkt sin(dkt k)
且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正 的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特 征方程式位于右半s平面上根的个数。
sn sn−1 sn−2 ┋ s1 s0
a a2 a a3 c c2 ┋ …
cn(an)
a4 … a5 … c3 …
1 ci2,1 cij
c c i1,1 i1,1
R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3+ 3s2+ 2s + K = 0
s3
1
s2
3
2 要使系统稳定，劳斯表中第
K 一列元素均大于零。
s1 (6 K)/3
0< K < 6
s0
K
（3）确定系统的相对稳定性
例3-7 检验多项式
2s3+ 10s2+ 13s + 4 = 0
是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1
①用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项，从而使劳 斯表继续下去。
②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数， 再对新的特征方程应用劳斯判据。
s3 1
3
s2 0(ε) 2
s1
b1 23
s0
2
∵ε→0+时，b1< 0，劳斯表 中第一列元素符号改变了两 次
∴系统有两个正根，不稳定。
（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：
D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s27s + 6 = 0
s4
1
3 6
s3
3
7
s2 2/3
6
s1
20
s0
6
例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为
D(s) = s4 + s33s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。
解: 该系统的劳斯表如下
s4
1
3 2
s3
解：劳斯表 s4
1
35
s3
2
4
s2
15
s1 6
s0
5
第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平 面有2个根。
例3-4 系统的特征方程为
D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为
s3 1 3
：劳斯表中某
s2 0 2
s1
∞
s0
行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理：
i
k
(t 0)
：闭环系统特征方程的 所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均 位于s左半平面（不包括虚轴）。
注意：根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必
须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则 立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的 工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左 半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。
s1 4
F(s)= 4s
s0 2
由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统 有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅
助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1
和 s4= 2 。
（2）分析参数变化对稳定性的影响
例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。
ci2, j1 ci1, j1
( i 3, j = 1, 2, )
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。
2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
2. 劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-3 设有下列特征方程D(s) = s4 +2s3+ 3s2+ 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。