材料力学-切应力计算

第四章弹性杆横截面上的切应力分析

§ 4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力

梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应力

对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面

上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1.矩形截面梁

对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q。现分析距中性轴z为y的横线aa1 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa1两端的剪应力必与截面两侧边相切，

即与剪力F Q的方向一致。由于对称的关系，横线aa i中点处的剪应力也必与F Q的方向相同。

根据这三点剪应力的方向，可以设想aa i线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q。又因截面高度h大于宽度b,切应力的数值沿横线aa i不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：

1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj力F Q。

2）切应力沿截面宽度均匀分布。

图4-15 图4-16

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx

微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中性

轴z为y的横线aa1处的切应力。过aa1用平行于中性层的纵截面aa2C1自dx微段中截出

一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中

y 1dA 。

A *

由微块沿x 方向的平衡条件

这样，式（4-32）可写成

N 1

I

dA

A *

My

1

dA Ms ；

z

A * I

z

(4-29)

N 2

II

dA (M dM)y 1dA

A *

A *

I z

(M dM)。

*

^n^Sz

(4-30)

式中，A 为微块的侧面面积，

（ii ）为面积 A 中距中性轴为

y i 处的正应力，

将式 N 1 N 2 （4-29）和式（4-30）代入式 dM *

nr S z

bdx 0

4-31)，得

bdx 0 dM S ；

dx bI z (4-31)

因

F Q , dx ，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力

* F Q S Z bn (4-32)

式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中， F Q 为截面上的剪力;

I z 为整个截面

对中性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度; S y 为面积A *对中性轴的静矩。

对于矩形截面梁（图4-17），可取dA bdy i ，于是 *

S z

y i dA

A

2(h

y 2)

电(

h!

y 2)

上式表明，沿截面高度剪应力 4-17 ）。

按抛物线规律变化（图

在截面上、下边缘处，y= ± h

, =0；在中性轴上，y=0， 2 切应力值最大，其值为

■

1

1 r

尸蛰

T *17

A"

y

图 4-17

* S z

0,得

max

3 F Q

2 A (4-33) 式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的 32倍 2.圆形截面梁

在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线 端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于 此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应 力的方向皆平行于剪力 F Q ,设为均匀分布，其值为最大。由式 求得

aa 1两 y 轴上的c 点。 (4-32) max

4Q 3 A (4-34) 因 图 4-18 d

式中A 2

4d

，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的

43倍。 3.工字形截面梁

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（ 4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小， 在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图 4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其 值为 F Q (S Z ) max max dI z

式中（S z ） max 为中性轴一侧截面面积对中性轴 的静矩。对于轧制的工字钢,

可以从型钢表中查得。 式中的 计算结果表明，腹板承担的剪力约为 （0.95〜0.97） F Q ,因此也可用下式计算 max 的 近似值 max

F Q h 1d

.

f l 式中h 1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。

图 4-19