圆锥曲线答题模板
圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板总结
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板
总结
圆锥曲线历来都是高中数学必考的大考点！大部分要冲刺高分的学生都会再圆锥曲线丢分！其实圆锥曲线再怎么变形题目，都少不了基础的巩固和突破！
其中最需要巩固就算基础性质的总结！能够吃透好课本上每一个圆锥曲线的基础知识点，能灵活运用起来就能够很快掌握相关题型的考点考法，从而进行轻松解题！
而题型的总结是圆锥曲线最快的提升的方法，特别是这13种典型的圆锥曲线常见大题考法的题型！对其中的大题的考题的得分规律和解题的思维一定要多吃透一下，能够举一反三下来，就基本上突破好圆锥曲线了！
下面是洪老师高考必备资料库，高中数学圆锥曲线13种常见大题题型及解题模板总结！
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32个经典圆锥曲线问题
圆锥曲线32题1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．3. 已知椭圆的离心率为在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；（2）当的面积等于时，求的值．8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．11. 已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由．12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3是一个定值．25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．35. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．36. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．圆锥曲线32题答案1. （1）由题设知：，即．将点代入椭圆方程得，解得．所以，故椭圆方程为．（2）由（）知，，所以，所以所在直线方程为，由得，设，，则，所以所以2. （1）因为椭圆的离心率为，所以．解得，故椭圆的方程可设为，则椭圆的左焦点坐标为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为：．设直线与椭圆的交点为，，由消去，得，解得，．因为，解得．故椭圆的方程为．（2）①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得消去并整理，得．因为直线和椭圆有且只有一个交点，所以．化简并整理，得．因为直线与垂直，所以直线的方程为．联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时，此时或，符合式．③当切线的斜率不存在时，此时或符合式．综上所述，点的轨迹方程为．3. （1）由题意得解得，．所以的方程为．（2）设直线（，），，，．将代入，得．故，．于是直线的斜率所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. （1）因为，且通过原点，所以所在直线的方程为．由得，两点坐标分别是，．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．（2）设所在直线的方程为，由得．因为，两点在椭圆上，所以，即．设，两点坐标分别为，，则，且，．所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以．当时，边最长．（显然）．所以，所在直线的方程为．5. （1）由题意，知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，由题意，知，，又，则，所以椭圆方程为．（2）设，，由题意，知直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立，即消去，得，，由根与系数的关系，知又，即有，所以．则所以．整理，得，又时等式不成立，所以，得，此时．所以的取值范围为．6. （1）抛物线的准线为，所以，所以抛物线方程为．（2）由（1）知点的坐标是，由题意得，．又因为，所以．因为，所以所以的方程为的方程为由联立得所以的坐标为．7. （1）设圆心的坐标为，由题意，知圆心到定点和直线的距离相等，故圆心的轨迹的方程为．（2）由方程组消去，并整理得．设，，则设直线与轴交于点，则．所以因为，所以，解得．经检验，均符合题意，所以．8. （1）因为，所以设点的坐标为，点的坐标为由得则则，解得．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由得，得，则．由得，解得，代入上式得：，则，，当且仅当时取等号，此时，又则，解得．所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．9. （1）由题意可得，抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义，即．（2）由（1）得，抛物线方程为，，可设，，．因为不垂直于轴，可设直线：，由消去得，故又直线的斜率为的斜为．从而得直线：，直线：．所以设，由，，三点共线得，于是所以或．经检验，或满足题意．综上，点的横坐标的取值范围是．10. （1）因为，所以．又点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为．由得，设，的坐标分别为，，的中点为，则因为是等腰的底边，所以．所以的斜率．此时方程为，解得，，所以，所以．此时，点到直线的距离，所以的面积11. （1）因为椭圆的离心率为，所以，．因为，解得，，所以椭圆的方程为．（2）法1：因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．设直线的斜率为，则直线的斜率为所以直线的方程为，直线的方程为．设点，，由消去，得因为点在椭圆上，所以是方程的一个根，则．所以．同理．所以．又．所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值，该值为法2：设点，，则直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即因为点，在椭圆上，所以由得，得同理由得由得，化简得由得得．得，得所以直线的斜率为为定值．法3：设直线的方程为，点，，则，，直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即化简得．把，代入上式，并化简得由消去得则，，代入得，整理得，所以或．若，可得方程的一个根为，不合题意．若时，合题意．所以直线的斜率为定值，该值为．12. （1）由题意可知：，又，，所以，，所以椭圆的方程为：．（2）①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为．②若直线的斜率存在，设其方程为，，将直线方程与椭圆方程联立可得即，可得设，则，，由可知，解得或，将结果代入验证，舍掉．此时，直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．13. （1）根据及题设知，．将代入，解得或故的离心率为（2）由题意，得原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由得设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得．解得，，故，．14. （1）据题意，为点到直线的距离，连接，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以所以点的轨迹是抛物线，焦点为，准线为直线所以曲线的方程为．（2）据题意，，过点的切线斜率存在，设为，则切线方程为：，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切，可得，即因为，所以方程存在两个不等实根，设为，，因为，，由方程可知，所以切线，所以，结论得证．15. （1）由题意设双曲线方程为．由已知得，，再由，得．故双曲线的方程为．（2）设，，将代入，得．由题意知解得．所以的取值范围为．16. （1）因为抛物线上的点到轴的距离等于，所以点到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即解得，所以抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由，得，又，解得，由椭圆的定义得，所以，又，得，所以椭圆的方程为．（2）显然，，由消去，得，由题意知，得，由消去，得，其中，化简得，又，得，解得，设，，则，由所以的取值范围是．17. （1）由题意可得：，又，解得．所以椭圆的方程为：．（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，由，解得．设，，，所以，，则直线的方程为：，令，可得所以直线与轴的交点为．18. （1）依题意，设抛物线的方程为．由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为．（2）因为所以，所以，所以直线与的倾斜角互补，所以．依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得．设，则，，所以．以替换点坐标中的，得．所以所以直线的斜率为19. （1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以．（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足为定值，所以．20. （1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，所以．由面积可得即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．（2）设，，，则切线，的方程分别为，．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，由解得因此，直线过定点21. （1）由题意可得：直线的斜率存在，设方程为：，设，，动点，由可得．可得．；；由可得即点的轨迹方程为（2）设直线的方程为：（且），由可得，可得，因为直线与抛物线相切，所以，可得，可得，又由可得可得，所以以线段为直径的圆过点．22. （1）由题意可知：，，椭圆的离心率，则，所以椭圆的标准方程：．（2）设直线的方程为．消去整理得：．设，，则，，所以为定值．23. （1）过，两点作准线的垂线，垂足分别为，，易知，，因为所以，所以为的中点，又是的中点，所以是的中位线，所以而，所以所以，，所以，而，所以；（2）因为为的中点，是的中点，所以，所以，所以，所以抛物线的方程为．24. （1）双曲线的，，可得双曲线的渐近线方程为，即为．（2）令可得，解得，（负的舍去），设，，由为的中点，可得，，解得，，即有，可得的斜率为，则直线的方程为，即为．（3）设，即有，设，，由为的中点，可得，，解得，，则为定值．25. （1）设所在直线的方程为，抛物线方程为，联立两方程消去得．设，，则．由题意知，，且，所以，所求抛物线的方程为．（2）由点为抛物线上的点，得．由题意知直线，的斜率均存在，且不为，设直线的方程为，则直线的方程为．由得，因而由得，因而从而直线的斜率26. （1）由题意可知：，，所以椭圆的标准方程：，设直线的方程，则整理得：，解得：，，则点坐标，故直线的斜率，直线的斜率所以所以；（2）由（Ⅰ）可知：四边形的面积，则三角形，，由，整理得：，则，所以，的最小值．27. （1）设，，由题知抛物线焦点为，设焦点弦方程为，代入抛物线方程得，有，解之得，由韦达定理：，所以中点横坐标：，代入直线方程，中点纵坐标：为，消参数，得其方程为：，当线段的斜率不存在时，线段中点为焦点，满足此式，故动点的轨迹方程为：．（2）设，代入，得，，联立，得，同理，，所以，又因为，故与的面积比为．28. （1）因为过点，所以，解得所以抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线为（2）设过点的直线方程为，，所以直线为，直线为：，由题意知，，由可得，所以，，所以，所以为线段的中点．29. （1）由题意可知：椭圆的离心率，则椭圆的准线方程，由由解得：，，则，所以椭圆的标准方程：．（2）方法一：设，时，与相交于点，与题设不符，当时，则直线的斜率的方程，直线的斜率，则直线的斜率，直线的方程，联立解得：则，由，在椭圆上，，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则或，所以或，则解得：则或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．方法二：设，由在第一象限，则，，当时，不存在，解得：与重合，不满足题意，当时，，，由，，则，，直线的方程的方程联立解得：，则，由在椭圆方程，由对称性可得：，即，或，由，在椭圆方程，解得：或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．30. （1）设中点为，中点为，以，所在的直线分别为轴，轴，为原点建立直角坐标系．因为，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其长、短半轴的长分别为，，半焦距为，则，，，所以曲线的方程为：．（2）直线的方程为，设，，由方程组得方程，，，故．35. （1）设，由题意知，点一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得，，解得，，所以的标准方程为．设，依题意知，点在抛物线上，代入抛物线的方程，得，所以的标准方程为．（2）设，，，由知，故直线的方程为，即，代入椭圆的方程，整理得，，，，所以设点到直线的距离为，则所以当且仅当时，取等号，此时满足．综上，面积的最大值为．36. （1）由题意，得，，则椭圆为．由得．因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）得．因为直线与轴交于，所以当直线与轴垂直时，，所以当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由，依题意得，，且，所以所以，因为，所以．综上所述，的取值范围是．。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线大题答题模板
高考解析几何大题答题模板圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题.下面整理了几类常考问题答题模板. 一、圆锥曲线中的最值和范围问题【典例1】已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与过点M (a,0)(a >0)的直线l 交于A ，B 两点，且总有OA ⊥OB ．(1)确定p 与a 的数量关系；(2)若|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，求λ的取值范围． [解] (1)设l ：ty ＝x －a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，ty ＝x －a 消去x 得y 2－2pty －2pa ＝0. ∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－2pa ，由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即(y 1y 2)24p 2＋y 1y 2＝0，∴a 2－2pa ＝0.∵a >0，∴a ＝2p .(2)由(1)可得|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝2p 1＋t 2·t 2＋4.|AM |·|MB |＝AM →·MB →＝(a －x 1)(x 2－a )－y 1y 2＝－x 1x 2＋a (x 1＋x 2)－a 2－y 1y 2＝a ·y 21＋y 222p－a 2＝4p 2(1＋t 2)． ∵|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，∴a ·2p 1＋t 2t 2＋4＝λ·4p 2(1＋t2)，∴λ＝4＋t 21＋t 2＝1＋31＋t 2. ∵t 2≥0，∴λ∈(1,2]．【典例2】 (2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． [解] (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程，得 ⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.【典例3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1构成一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． [解] (1)由条件得b ＝3，且2a ＋2c2·3＝33， ∴a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线AB 的斜率不能为0.设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x 得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.∵直线AB 过椭圆内的点F 1，∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交， 又y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1). 令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋19t，易知t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，函数f (t )单调递减，t ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，函数f (x )单调递增， ∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )min ＝109，S △F 2AB 取得最大值3.二、圆锥曲线中的证明问题【典例1】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .解题思路 (1)根据离心率、△ABC 面积的最大值及a 2＝b 2＋c 2列方程组求a ，b ，得椭圆E 的方程． (2)求直线DF 的斜率，推出直线MN 的斜率→点差法求直线OP 的斜率(P 为线段MN 的中点)→由直线k OP ＝k OD 得O ，P ，D 三点共线，从而证明直线OD 平分线段MN .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )， 线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， 由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－(－1)＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN . 当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵点M ，N 在椭圆E 上，∴⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，整理得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0，又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， ∴y 0x 0＝－n4， 直线OP 的斜率为k OP ＝－n 4，∵直线OD 的斜率为k OD ＝－n4.∴直线OD 平分线段MN .【典例2】已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解题思路 (1)判断△ABD 的形状→求|FD |，|AB |→由△ABD 的面积为1，列方程→求p ，得抛物线的方程．(2)将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，消去y 并整理→结合韦达定理用k ，p 表示M ，N 的坐标→求k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．[解](1)∵AB ∥l ，∴△ABD 为等腰三角形，且FD ⊥AB ，又∵|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p2，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线的斜率k ′＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．三、圆锥曲线中定点、定值问题【典例1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . [解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)， 由NP →＝2NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上， 所以x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明：由题意知F (－1,0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t)，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )， 由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →， 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【典例2】如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点为F ，右顶点为E ，P 为直线x ＝54a上的任意一点，且(PF →＋PE →)·EF →＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且垂直于x 轴的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，动直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且M ，N 位于直线AB 的两侧，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ，求证：直线MN 的斜率为定值．[解] (1)设P ⎝⎛⎭⎫54a ，m ，F (c,0)，E (a,0)， 则PF →＝⎝⎛⎭⎫c －54a ，－m ，PE →＝⎝⎛⎭⎫－a 4，－m ，EF →＝(c －a,0)， 所以(2c －3a )(c －a )＝4，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 从而椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A ⎝⎛⎭⎫1，32， 设MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.又M ，N 是椭圆上位于直线AB 两侧的动点，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ， 则k AM ＋k AN ＝0，即y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝0， ⎝⎛⎭⎫kx 1＋m －32(x 2－1)＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋m －32(x 1－1)＝0，即(2k －1)(2m ＋2k －3)＝0，得k ＝12.故直线MN 的斜率为定值12.四、圆锥曲线中的探索性问题【典例1】已知直线l ：y ＝x ＋1，圆O ：x 2＋y 2＝32，直线l 被圆截得的弦长与椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长相等，椭圆的离心率e ＝22. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M ⎝⎛⎭⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)由题设可知b ＝1，又e ＝22，∴a 2－1a 2＝12，∴a 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2＋y 2＝1.① 若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． 事实上，点T(0,1)就是所求的定点．证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为x 2＋y 2＝1，过点T(0,1)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －13，代入椭圆方程，并整理，得(18k 2＋9)x 2－12kx－16＝0.设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9.∵TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，∴TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169＝－16k 2－16－16k 2＋32k 2＋1618k 2＋9＝0.∴TA →⊥TB →，即以AB 为直径的圆恒过定点T(0,1)． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件．【典例2】已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－23)，(－2,0)，(4，－4)，⎝⎛⎭⎫2，22. (1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N 且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．解题思路 (1)根据图形的形状和已知四点的位置，确定C 1和C 2分别过哪两个点→求出C 1，C 2的标准方程．(2)①分类讨论：分直线l 斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况；②转化：OM →⊥ON →转化为M ，N 两点坐标满足的关系式；③计算：直线l 的方程与C 1的方程联立，消去y 整理，由韦达定理和M ，N 两点坐标满足的关系式列方程求直线l 的斜率，写出方程．[解] (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)， 则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，易得，抛物线C 2的标准方程为C 2：y 2＝4x ； 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎫2，22代入可得a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可得抛物线C 2的焦点为F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 直线l 交椭圆C 1于点M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32， OM →·ON →≠0，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝－3k 21＋4k 2，①由OM →⊥ON →，得OM →·ON →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.② 将①代入②式，得4(k2－1) 1＋4k2－3k21＋4k2＝k2－41＋4k2＝0，解得k＝±2.经检验，k＝±2都符合题意．所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
8.圆锥曲线中探索性问题答题模板
1 2
.过F1的直线交椭圆于A、B
两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的 圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
【第审（题2规）范问】第２步：审结论，明解题方向
【第审（题1规）范问】第３步：建联系c2
4a
8,
c a
1 2
可得a b2 3
2, 代入 得E的方程 椭圆方程
x2 4
y2 3
1
［教你快速规范审题流程汇总］
【第审（题1规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件：
椭圆定义及 离心率公式
【第审（题1规）范问】第２步：审结论，明解题方向
［教你快速规范审题］
【典例】（2012福建高考 ·满分13分）
1 如图，椭圆E：
x2 a2
y2 b2
(a＞b＞0)的左焦点为F1，
右焦点为F2，离心率e＝
1 2
.过F1的直线交椭圆于A、B
两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的 圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的 圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
(完整版)圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳,推荐文档
（2）焦点弦长问题：（2 法）椭圆和双曲线：（公式一）左焦点弦长：
--------------------------------；图示： ----------------------------；图示：
;右焦点弦长：---;公式一适用于：
;（公式二）--------------------------------；其中：
;适用于：
; 抛物线：形式一：
;公
式一：
;图示：
;公式一适用于：
;焦点弦公式二：
;公式 2 适用于：
; STEP2:除了这三种特殊弦长以外，其余弦长求解都用
【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】3 类型：【类 1】
;
;
;适用于：
;【类
2】
;
;
;适用于：
于：
;【类 3】
;
;
;
;适用
5.圆锥曲线题题型二：中点问题的固定套路：【2 法】首选方法：中点弦公式；次选：中点 公式+韦达定理：-------------------------；--------------------------；-------------------------；---------； 6. 圆锥曲线题题型三：垂直问题的固定套路：首先看是否是 2 种特殊的垂
；结论二：【任意
点对称】
；（2）轴对称问题：结论一：【x 轴对称】
；结论二：【y 轴对称】
；结论四【y=b 对称】：
；结论三【x=a 对称】------------------------------------------
；结论 5【y=x 对称】：
；结论 6【y=-x 对称】：
；结论 7【y=x+c 对称】：
高考数学(理)一轮复习答题模板：专题22 圆锥曲线的离心率
为坐标原
点），则双曲线 的离心率为（ ）
A. 2 13 3
【答案】D
B. 2 13 5
C. 13 5
D. 13 3
【点拨】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查双曲线的概念与基本性质，考查圆的概念与几何
性质.由于圆和双曲线的渐近线相交，故先求出渐近线的方程，根据三角形 ABC 为等腰直角三角形和半径， 可求得三边的长度，再根据向量的数量关系求得 OB 的值，利用余弦定理建立方程，求解出 a 的值，再利 用点 到直线距离公式求得 c 的值，进而求得离心率.
意义，函数与方程的思想等.
【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是求解圆锥曲线的离心率；一种利用
离心率考查参数的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意找到 a,b, c 的关系，
得出方程或者不等式即可处理该问题.
【答题模板】解答本类题目，以 2017 年试题为例，一般考虑如下两步：
结合离心率的定义求解圆锥曲线的离心率即可.
【方法总结】
1、离心率公式： e c （其中 c 为圆锥曲线的半焦距） a
（1）椭圆： e 0,1
（2）双曲线： e 1, +
2、圆锥曲线中 a, b, c 的几何性质及联系
（1）椭圆： a2 b2 c2 ，
① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和： PF1 PF2 2a ② 2b ：短轴长 ③ 2c : 椭圆的焦距
专题二十二 圆锥曲线的离心率
【椭圆】 椭圆的第一定义：
平面内与两个定点为 F1，F2 的距离的和等于常数（大于
）的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的
焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。特别地，当常数等于
圆锥曲线的解题框架
圆锥曲线的解题框架
解题圆锥曲线问题时，我们可以采取以下框架：
1. 确定问题类型，首先，我们需要确定所给问题是关于圆锥曲
线的哪一类，比如圆、椭圆、双曲线或抛物线。
2. 理解曲线方程，接着，我们要理解所给曲线的方程形式，这
可以帮助我们确定曲线的性质和特征。
3. 确定曲线性质，根据曲线的方程，我们可以确定曲线的性质，比如焦点、直角坐标轴交点、离心率等。
4. 求解曲线参数，如果问题需要求解曲线的参数，比如焦点坐标、离心率、焦距等，我们可以利用曲线方程中的参数进行计算。
5. 解决具体问题，最后，根据所给问题的具体要求，我们可以
运用所学的知识和方法，结合曲线的性质和参数，解决具体的问题。
通过以上框架，我们可以系统地解决圆锥曲线相关的问题，确
保全面、完整地回答问题。
高考数学答题模板第5讲 圆锥曲线的常规 含解析
第5讲圆锥曲线的常规问题例6 已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉1，b〉0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b),且点（1,0）到直线l的距离与点(－1,0）到直线l 的距离之和s≥错误!c,求双曲线的离心率e的取值范围．审题破题用a，b表示s可得关于a,b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．解设直线l的方程为错误!＋错误!＝1,即bx＋ay－ab＝0。
由点到直线的距离公式，且a〉1，得到点(1，0)到直线l的距离d1＝错误!,同理可得点（－1，0）到直线l的距离为d2＝错误!,于是s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝错误!。
由s≥错误!c，得错误!≥错误!c，即5a错误!≥2c2，可得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得错误!≤e2≤5。
由于e>1，故所求e的取值范围是错误!。
构建答题模板第一步:提取．从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式,得到不等式的解集；第三步:下结论．根据不等式的解集,并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a,b，c的大小关系等．对点训练6 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2,离心率为错误!，直线l与y轴交于点P（0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且错误!＝3错误!。
(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围．解（1)设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0)，设c>0，c2＝a2－b2,由题意，知2b＝2，错误!＝错误!,所以a＝1，b＝c＝错误!.故椭圆C的方程为y2＋错误!＝1，即y2＋2x2＝1.(2）设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由错误!得(k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2)〉0,(*）x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。
强烈推荐高中数学圆锥曲线精选解题技巧与模板
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
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圆锥曲线模板
模板一：当题目中出现圆锥曲线与直线相交、相切、相离、弦长、面积等问题时。
1.椭圆
解：由题可设直线方程为：y=kx+m,椭圆方程为：122
22=+b
y a x )0b y 0x (>>>>a b a 轴上时，在轴上时当在
则：⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b
y a x m
kx y 消y 得：（ ）x 2
+ ( ) x+( )=0 △≧0,可得：
=+x
2
1
x =+y 2
1
y
=•x
2
1
x =•y 2
1
y
根据题意建立关于、、
x 2
1
x y 、2
1
y 的关系式再进一步化简求解。
解：由题可设直线方程为：y=kx+m,椭圆方程为：122
22=+b
y a x )0b y 0x (>>>>a b a 轴上时，在轴上时当在
则：⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b
y
a x m
kx y 消y 得： 0)(2)22
222222b =-+++b m a a x k a x km （ △≧0,可得：
02
2
2
2
b
>-+m k
a
=+x
2
1x
k a km
2
2
2
b a 22-+
=+y
2
1y
k a m
2
2
2
b b 22+
=•x 2
1
x k a b m 22
2
2
2
b a 2)(+- =•y 2
1
y k
a k a m 2
2
2
22
2
b b 2)(+- 根据题意建立关于、、x 2
1x y 、2
1y 的关系式再进一步化简求解。
2.双曲线
解：由题可知：设直线方程为：y=kx+m,双曲线方程为：1-22
22=b
y a x
则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=1-2222
b
y a x m
kx y
联立得：（ ）x 2
+ ( ) x+( )=0 △≧0,可得：
=+x
2
1
x =+y 2
1
y
=•x
2
1
x =•y 2
1
y
根据题意建立关于
、、
x 2
1
x y 、2
1
y 的关系式再进一步化简求解。
解：由题可知：设直线方程为：y=kx+m,双曲线方程为：1-22
22=b
y a x
则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=1-222
2
b
y a x m
kx y
联立得： 0)(-2-)22
22222
2
-b =+b m a a x k
a x km （
△≧0,可得：
0-2
2
2
2
b
>+m k
a
=+x
2
1x
k a km
2
2
2
-b a 22
=+y
2
1
y
k a m
2
2
2
-b b 2
2
=•x 2
1
x k a b m 22
2
2
2
-b a -2)(+ =•y 2
1
y k
a k a m 2
2
2
2
2
2
-b b 2)(- 根据题意建立关于
、、x 2
1x y 、2
1y 的关系式再进一步化简求解。
3.抛物线
解：由题可知：设直线方程为：y=kx+m,抛物线方程为：
)0(2y
2
>=p px
则：⎪⎩⎪⎨⎧>=+=)0(2y
2p px m kx y
联立得：（ ）x 2
+ ( ) x+( )=0
△≧0,可得：
=+x
2
1
x =+y 2
1
y
=•x
2
1
x =•y 2
1
y
根据题意建立关于、、
x 2
1
x y 、2
1
y 的关系式再进一步化简求解。
解：解：由题可知：设直线方程为：y=kx+m,抛物线方程为：
)0(2y
2
>=p px
则：⎪⎩⎪⎨⎧>=+=)0(2y
2p px m
kx y
联立得：
0)p 2-2km 2
2
2=++m x
k x （
△≧0,可得：
02p 2
>-km
=+x 21x
k
km
2
2p 2-
=+y
2
1y
k
p
2 =•x 21x k
m 22
=
•y 2
1
y k
2pm
根据题意建立关于
、、
x 2
1
x y 、2
1
y 的关系式再进一步化简求解。