5.简单几何体的体积

的几何体.如图所示：
因此 V＝a A(x)dx
－a
＝πab22a (a2－x2)dx＝43πab2. －a
反思与感悟
合理确定被积函数是解题的关键；对于对称性较强的几何体，可以用曲线 的一部分绕轴旋转得到.
跟踪训练2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个 直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个 圆锥体的体积. 解 直角三角形斜边的直线方程为 y＝hrx. 所以所求圆锥体的体积为
.
题型一 简单旋转几何体的体积
例1 求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.
解
Vx＝2πy2dx＝2πx6dx＝
0
0
πx72
7
0
＝1278π.
反思与感悟
求简单旋转几何体的体积要理解“累加”思想，根据图形中曲线交点正确 确定积分的上、下限.
跟踪训练1 求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的 体积. 解 x1＝ y，x2＝y2,0≤y≤1，
Vy＝1(πx21－πx22)dy＝1(πy－πy4)dy
0
0
＝ π2y2－π5y510 ＝π2－π5＝130π.
题型二 旋转体体积的应用 例 2 计算椭圆ax22＋by22＝1 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积. 解 这个旋转体可看作是由上半个椭圆 y＝
b a
a2－x2及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所生成
V＝0hπhr x2dx ＝πhr22 31x3h0 ＝13πhr2.
当堂检测
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1.直线y＝x＋2，x＝0，x＝1以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，所得 圆台的体积为( C )
17π A. 3
19π
20π
B.6π
C. 3
D. 3
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2.由y＝x2，x＝1和y＝0所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积 为( C )
第四章 §3 定积分的简单应用
3.2 简单几何体的体积
学习 目标
1.通过实例，进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用.
知识点 用定积分表示旋转体的体积
旋转体可以看作是由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边
bπ[f(x)]2dx
梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝ a
π
π
π
4π
A.6
B.4
C.5
D. 5
解析Leabharlann Baidu
Vx＝π1y2dx＝π1(x2)2dx＝
0
0
π5x510
＝π5.
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3.由直线y＝x＋2和x＝a(a＞0)以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周， 所得圆台的体积为 56π ，则a的值为_2__.
3
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π 4.由y＝x2，y＝x所围成的图形绕y轴旋转所得到的旋转体的体积V＝__6__. 解析 V＝π01(y－y2)dy＝π6.
课堂小结
1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成. 2.利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、 下限，要理解其中蕴含的定积分思想.