关于数轴上的距离公式和中点公式课件

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平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
2 2 S3 计算 d＝ d x dy
；
S4 给出两点的距离d．
求两点之间的距离：
（1）A（6，2），B（－2，5）；（2）C（2，－4），D（7，2）．

1-数轴上的距离公式与中点公式

作
教材 P67 练习 A 组第 1 题．
学生标记作业．
业
教材 P67 练习 B 组第 3 题(选做)．
针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．
变的，特别是竖直放置的数轴上的距离问题，为下节解决平面直角坐标系中两点间的距离公式打下基础．
试求两个图中点 A 与 B 之间的距离．
3. 数轴上的中点公式
探究三
根据下图回答问题：
C
A
D
●
●●
－3 －2 －1 0 1 2 x
（1）点 A(－1)，C(－3)的中点坐标是多少？中点坐标与 A，C 两点的坐标有怎样的关系？
设计意图
师：人类早期用石子来记
通过引入激发
数，但是石子记数不能移动，无学生学习的兴趣．
法携带，于是人们又想到了用结
绳等方法记数．我国古书《易经》
上记载有“结绳记数”的历史，
即在一根长绳上打上结表示
数．随着社会的进步，记数的方
法也越来越准确、科学．到了
17 世纪，法国数学家笛卡儿发
明了用直线和直线上的点来表
探究二使学生
都是水平放置的，如果数轴不是水平尝试解决．
理解到非水平放置
放置的(如下图所示)，数轴上的距离
的数轴上的两点间
公式成立吗？
师：不管数轴在平面上怎么的距离公式是不改
x
B ●3 4
2
1
0
A
－1 ●－2
－3
－4
y
4 B ●3
2 1 0 －1 A ●－2 －3 －4
放置，两点间的距离公式是不变的．
学生在尝试解决问题 (3)
与两个点坐标之间的关系吗？

课件1：§2.1　坐标法

题型四坐标法的应用状元随笔 1.如何建立平面直角坐标系？ [提示] (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴； (3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴． 2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？ [提示] 不影响．
跟踪训练 4 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
解析：如图所示，以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设 B，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．因为点 M 是 BC 的中点，故点 M 的坐标为0＋2 b，0＋2 c，即b2，2c. 由两点距离公式得
A．4
B．－4 或 2
C．－2 D．－2 或 4
解析： a－12＋6－22)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为________．
解析：由题意|AB|＝ 17，|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，显然△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形
例 4 在△ABC 中，D 为 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC 为( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
【解析】如图所示，作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．设 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又因为 d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|OB|＝|OC|. 又 AO⊥BC，故△ABC 为等腰三角形．【答案】 A

数轴上的距离公式和中点公式

填空：已知数轴上点A表示的数是a, 点B表示的数是b，点A,B的中点C表示的数是c, AB表示A，B两点的距离：
a b
两点距离AB= |a－b|或 |b－a| ，中点C表示的数c= 2
;
（1）若a=3,b=7，AB= 4
，中点C表示的数c= 5
;
（2）若a=3,b= —7，AB= 10 ，中点C表示的数c= —2 ;
2：如果中点是2？或－2？或－1呢？请同学们自己试试看！
－4 －3 －2 －1 0 1
23
4
x
1．数轴上两点间的距离公式．
|AB|＝|a－b|= |b－a|
两点距离怎么找，右减左来大减小，如果分不清大小，套绝对值错不了。
2．数轴上两点的中点公式．
X ab 2
我在它俩中间住，就是它倆平均数。
;
（1）若a=3, AB=2,则b= 1或5 ，中点C表示的数c= 2或4 ;
（2）若a=3,b= 6，中点C表示的数c= 4.5 ;
（3）若a=—7,中点C表示的数c=—4，b= —1
;
（4）若b=—5,中点C表示的数c=1，则a= 7
;
谈谈收获
• 熟悉了两点间距离公式和中点公式，； • 数形结合，有图有真相；
两点距离怎么找，右减左来大减小，如果分不清大小，套绝对值错不了。
A(a)
B(b)
X
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
x
X =?
A，B的中点X的值是多少?
如图：
C
A
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点对应的数与 A、C 两数有什么关系？

数轴上的距离公式和中点公式通用课件

利用中点公式，可以确定数轴上任意两点间的距离。
求解线段的中点
对于任意一条线段AB，其的中点D的坐标等于A 、B两点坐标的平均值。
3
用于函数图像的绘制
在绘制一些函数图像时，可以利用中点公式来找到函数的对称点，从而绘制出完整的函数图像。
中点公式的证明
• 使用勾股定理证明：根据勾股定理，可以得到中点公式的证明。假设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，AB的长度为|AB|，则D为AB的中点，CD为AB的垂直平分线，则|AD| = |DB|，从而得到中点公式的证明。
公式
设两点为 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) ，则两点之间的距离 d = |x2-x1| 或 |y2-y1|。
距离公式的应用
求解两点的距离
利用距离公式可以直接求解数轴上任意两点的距离。
判断数轴上点的位置关系
通过比较两点之间的距离与零的大小关系，可以判断两点间的位置关系，如相离、相切、相交等。
确定位置关系
在地理学中，可以比较两个地点之间的距离，来确定它们之间的位置关系。
中点公式的实际应用案例
求两点之间的中点
在几何学中，可以求出两点之间的中点，通过中点公式可以计算出这个中点的坐标。
Hale Waihona Puke VS确定位置关系在地理学中，可以比较两个地点之间的中点，来确定它们之间的位置关系。
结合实际案例进行讲解
复杂性
数轴上的距离公式的计算过程相对简单，而中点公式的计算过程可能涉及到分数和小数的计算，相对较复杂。
04
数轴上的距离公式和中点公式的扩展
向量距离公式
总结词
向量距离是指两个向量在数轴上的差距，可以通过公式计算。

数轴上两点间中点公式

数轴上两点间中点公式
（a+b）/2。

如果这两点的坐标分别为a和b，中点坐标是：（a+b）/2。

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，在数学中有着广泛的运用。

两根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成平面直角坐标系；三根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成空间直角坐标系，以确定物体的位置。

具体如下：
数轴上两点的中点公式
中点表示的数值：(a+b)/2
简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。

则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2
当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。

所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。

我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2
(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2
这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。

还有其它一些变形，例如a+b=2x，a=2x-b等等也是经常用到。

数轴上两点间的距离公式及中点公式

x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点对应的数与 A、C 两点对应的数有怎样的关系？
（2）线段AD的中点对应的数是多少？中点对应的数与 A、D 两点对应的数有怎样的关系？
数轴上两点的中点公式
A(a)
B(b)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，A对应的数为a，B对应的数为b，则AB中点对应的数x满足关系式
若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）|
它的几何意义：在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3
∴有最小值，最小值是4.
如下图：
CA
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
假设：数轴上点A、B表示的数分别是a、b. 用|AB|表示点A和点B之间的距离若a＞b（A在B的右边)，则|AB|=a-b 若a＜b（A在B的左边)，则|AB|=b-a
以上规律能统一吗？你能用一个式子表示吗？
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝对值。即A,B两点之间的距离为|AB|= |a-b|
规律：数轴上的点，向正方向移动就加上移动的单位，向负方向移动，就减去移动的单位
练习：若b= - 3,把B点向正方向移动2个单位，再向左运动5个单位后表示的数是 ——，
练习：若a= - 3, 点A和点B之间的距离为4,则B表示的数是 ————
若b= 2019, 点A和点B之间的距离为3,则A 表示的数是 ————
a b
X=－3，点B对应的数为5，求：（1）|AB|；（2）A，B 两点的中点对应的数x．

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

如图所示．设 M(x，y) 是 A(x1，y1) ，B(x2，y2) 的中点．
y
B2
B
M2 M
A A2
A1 O M1 B1 x
过 A，B，M 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1， MM1，垂足分别为 A1， B1 ，M1 ；
过 A，B，M 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2， MM2，垂足分别为A2， B2 ，M2 ．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 2 y2 35 1Βιβλιοθήκη 202 122
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x=
x1
2
x2
．
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
（1）以上四个垂足 A1，B1，A2，B2 的坐标分别是多少？
B
（2）|AC| 与 |A1B1| 关系如何？如何求 |A1B1| ？
C （3）|BC| 等于多少？
B1 x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？（5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y
A(x2 ，y2) O
B(x2，y2)

【高职数学课件】向量的长度公式和中点公式

关于坐标原点成中心对称．
证明设 P 与P 的对称中心为(x0，y0)，则 x (x)
x0 2 0,
y0
y ( y) 2
0.
所以坐标原点为 P 与 P 的对称中心．
1、向量的长度公式
(x2 x1)2 ( y y2 .
2
a
a12 a22
如果已知平面上两点 (x1, y1), (x2, y2 ) ，则
(x2 x1, y2 y1)
从而
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
这是平面上两点间的距离公式。
例题讲解
例1：
已知a
(4,3),b
(6,8),求
a
,
b
,
a
b
,
a
b.
例2：
已知两点 3,9,(2,4), 求,之间的距离.
随堂练习已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ．
2、中点公式
一般地，已知点 A(x1, y1)和点B(x2, y2 ),点M (x, y)是线段AB的中点, 由中点的向量表达式
OM 1 (OA OB).
2
容易得到线段AB的中点M的坐标是
( x1 x2 2
,
y1 y2 ). 2
2
课后作业
课本p67 4、5
即
x x1 x2 , y y1 y2 .
2
2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.
例题讲解：例3：
已知点A(1,3),点B(5,11), 求线段AB的中点坐标.
随堂练习
求证：任意一点 P(x，y) 与点 P (－x，－y)
关于坐标原点成中心对称．
随堂练习
求证：任意一点 P(x，y) 与点 P (－x，－y)

关于数轴上的距离公式和中点公式课件

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

1-数轴上的距离公式与中点公式

课件1：§2.1 坐标法

数轴上的距离公式和中点公式

数轴上的距离公式和中点公式通用课件

数轴上两点间中点公式

数轴上两点间的距离公式及中点公式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

【高职数学课件】向量的长度公式和中点公式

课件1：§2.1　坐标法