第三章空间力系

力对轴之矩是代数量， 正负由右手定则判断。 力与轴相交或与轴平行 即力与轴在同一平面内 力对该轴的矩为零。
力对轴之矩的解析式
M（ （ M （ M z （Fz） z F）＝M z Fx） z Fy）
M（ （ M（ M z （Fz） x F）＝M x Fx） x Fy） ＝－z Fy y Fz M（ （ M（ M y （Fz） y F）＝M y Fx） y Fy）
rF
大小为 r F F r sin Fh M（ O F）
方位为OAB平面的法向，指向为右手定则。
M（ r F O F）
矢径r x i yj zk 力矢F Fx i Fy j Fzk
//MO b 、 FR
结果为力螺旋，力螺旋中心轴过简化中心。 力螺旋是静力学的两个基本要素力和力偶 组成的最简单的力系，不能再进一步合成。 钻孔时的钻头对工件的作用以及拧木螺钉 时螺丝刀对螺钉的作用都是力螺旋。
、MO 即不平行也不垂直 c 、 FR
M FR O MO MO sin
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
一、力在直角坐标轴上的投影 1、直接（一次）投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
2、间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
x y z x y z
F 0 F 0 F 0
x y z
M M M
x y z
0 0 0
F 0 F 0 M 0
x y O
1、若空间力系各力作用线都平行于某一固定平面，
则其独立方程最多有 个。若空间力系各力作用线 都垂直于某一固定平面，则其独立方程最多有 个。 2、力F作用在三棱柱的侧面OABC 面内，如图所示。则该力F在z轴上投 为 ，对z轴的力矩大小为 。 3、图示长方形刚体，受两个力偶 作用，已知力偶矩满足M1 - M 2 , 则长方体（）。 （A）一定平衡 （B）一定不平衡 （C）平衡与否无法判断
＝－y Fx x Fy 0
＝－z Fx x Fz
[M（ ]x＝－z Fy y Fz O F） 力对点之矩 [M （ ]y＝－z Fx x Fz O F）
在轴的投影
[M（ ]z＝－y Fx x Fy O F）
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
力对点O的矩 M（ 在三个坐标轴上的投影为 O F） [M（ ]x＝－z Fy y Fz O F） [M（ ]y＝－z Fx x Fz O F） [M（ ]z＝－y Fx x Fy O F）
2、力对轴的矩
M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
0 MO 0 FR
五、空间任意力系的平衡方程 1、空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、
主矢 主矩
主矩分别为零。 Fx i Fy j Fz k FR MO M x i M y j Mzk
M（ M （ （ （ O F）＝ x F）i M y F）j M z F）k
三、空间力偶
1、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢
空间 力偶 的三 要素
大小：力与力偶臂的乘积 方向：转动方向 作用面：力偶作用面
力偶矩矢 rBA F rBA sin F Fd
[M（ ]x＝－z Fy y Fz M（ O F） x F） [M（ ]y＝－z Fx x Fz M （ O F） y F） [M（ ]z＝－y Fx x Fy M （ O F） z F）
力对点的矩矢在过该点的某轴上的 投影，等于力对该轴的矩。 力对点矩的解析表达式矢
0 FR （3 ） MO 0 0 FR （4） MO 0
（1） FR 0
MO 0
结果为一个合力偶。 此时与简化中心无关。
0 MO 0 （2） FR
结果为一合力 合力作用点过简化中心。
0 MO 0 （3） FR MO a 、 FR
例题3-2 正方形板由六根直杆支持于水平位置，直 杆两端各用球铰链与板和地面连接。在D处作用一 铅垂力F，板自重不计。求各杆的内力。
F2 wk.baidu.comF3 F5 0 F 1 -F F 4 F F 6 -F
例题3-3 无重曲杆 ABCD有两个直角， 且平面ABC与平面 BCD垂直。D端为球 铰链，A处为轴承支 持。在曲杆的AB， BC和CD上作用三个 力偶，力偶所在的平 面分别垂直于AB， BC和CD三线段。已 知力偶矩M2和M3， 求使曲杆处于平衡的 力偶矩M1和支座约 束力。
例题3-1 传动轴上齿轮D的直径D1=160mm，圆周力 F1=66N，径向力F2=24N；带轮C的直径 D2=240mm，胶带拉力T1=2T2，胶带1和胶带 2与铅垂线间的夹角均为60o。 求胶带拉力和轴承约束力。
T1 88N
T2 44N
FAx -191.7N
FAz -21N FBx 11.3N FBz 23.1N
力偶矩矢与矩心无关， 自由矢量。 力偶矩矢大小Fd，方位垂 直力偶作用面，指向与力 偶转向服从右手定则。
2、空间力偶的性质
定位矢量--力矩矢 滑移矢量—力矢 自由矢量--力偶矩矢
只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平 面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变。
只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂 的长短，对刚体的作用效果不变。
Fi Fi
Mi M（ O F i）
主矢 F 2 Fn F FR 1 F 1 F 2 F n F i 与简化中心无关 解析表达式
Fx i Fy j Fz k FR
） M M（FR，FR
M rBA FR rBA （F1 F2） rBA F1 rBA F2 M1 M 2 M Mi 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和
四、空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩 1、空间任意力系向一点的简化
对于力偶
FR FR -FR
d
MO FR
最后结果为一合力，合力作用线距简化中心
MO 距离为 d 。 FR
FR FR -FR
MO d FR
MO M（ M（ O F R） O F i）
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点 之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
主矩 MO M（ ） M（ ） M（ M（ O F 1 O F 2 O F n） O F i） 一般与简化中心有关 解析表达式
MO Mx i My j Mz k
2、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
0 FR （1） MO 0 0 FR （2） MO 0
M Osin M O d FR FR
结果为力螺旋，力螺旋中心轴距简化 中心为
M Osin d FR
小 结
空 间 任 意 力 系
合力 且 F MO 0 MO 0 F R R 0 MO 0 合力偶 FR 0 MO 0 且主矢与主矩不垂直 力螺旋 F R 0 MO 0 平衡 FR
M（ M O M（ M（ O F，F ） O F） O F） rA F rB F rA F - rB F （ rA - rB） F rBA F M
空间任意力系的平衡方程
F 0 F 0 F 0 M 0 M 0 M 0
x y z x y z
空间任意力系平衡的充要条件：所有
各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数 和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩
的代数和也等于零。
空间任意力系的平衡方程的基本形式为三个 投影方程和三个力矩方程，还可有四矩式、五矩 式、六矩式。一般力矩方程比较灵活，一个方程 含一个未知量。
Fz F cos
力在轴上投影是代数量，在平面上投影仍是矢量。
二、力对点的矩和力对轴的矩 1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力与矩心构成的平面 空间力对点之矩处理为矢量表示，即力矩矢。
力矩矢：大小F×h，方位与力矩作用面的法线相同，指向 从矢量末端看，该力所引起的转动是逆时针转动。力矩矢 是定位矢量，通过矩心。
结论：力偶矩矢相等的力偶等效。
3、空间力偶系的合成
M1，M2
AB为两力偶作用面的交线，使之成为两力偶的力偶臂。 ） F1 -F1 M1 M（F1，F1 ） M2 M（F2，F2 F2 -F2 M2 rBA F2 M1 rBA F1 合成力偶 F 2 FR -FR FR FR F 1F 1F 2
M（ rF （x i y j zk） （Fx i Fy j Fz k） O F） i j k x y z Fx Fy Fz （yF （zFx - xFz） j （xFy - yF z - zF y） i x）k
内容提要
一、力在直角坐标轴上的投影
二、力对点的矩和力对轴的矩 三、空间力偶
四、空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
五、空间任意力系的平衡方程 六、重心
MOx M Oy MOz —俯仰力矩
FRx F Ry F Rz
—有效推进力 —有效升力 —侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩
2、其它力系的平衡方程 由空间任意力系的普遍平衡规律，可导出 特殊情况的平衡规律，如空间汇交力系、空间 平行力系、空间力偶系和平面任意力系等平衡 方程。
F 0 F 0 F 0 M 0 M 0 M 0
x y z x y z
F 0 M
z
x
0
M
y
0
F 0 F 0 F 0 M 0 M 0 M 0
c b M1 M 3 M 2 a a M M FAz 2 FDy - 3 a a
M3 FAy a M FDz - 2 a
例题3-4 边长为1m的均质等 边三角形板ABC，由铅垂杆 CD支持，与水平面间夹角为 45o。 板的A处为球铰链，B 处为向心轴承，CD杆两端各 用球铰链与板和地面连接。 板的重量P=300kN，在板的 平面内作用一力偶 M=100kN· m。CD杆自重不计。 求A、B、C处约束力。