中考复习之——蚂蚁爬行的最短路径问题

蚂蚁爬行的最短路径问题

I•专题精讲：

当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题

n.典型例题剖析：

一•两点之间，线段最短与勾股定理相结合

台阶问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台

阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物•请你想一想，这只蚂蚁从

的最短距离_____________

2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处

吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ .

3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？

通过阅读以上信息，解决下列问题：

（1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？

（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？

B点, 最短线路是

1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到

A

圆柱（锥）问题

第1题

4.

如图，底面半径为1,母线长为4的

圆锥，一只小蚂蚁若从

A 点出发，绕侧面一周又回到 A

点，它爬行的最短路线长是 ______________ .

5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为

的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是

6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂

蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示•若沿0A 剪开，则得到

的圆锥侧面展开图为

2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点

的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ .

3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为

C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( )

(长)方体问题

如图，边长为 1. 距离是

1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点

B 的最短

2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥

A 出发，经过3个面爬到点

B •如果它运动

R

第5题

A.

B.

C. D.

第2题

4.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C i处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为_____________ .

5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧

面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______________ .

变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm .如果从点A开始经过4个侧面

缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要 _________ cm .

6. （1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC = 3cm、AB = 4cm、AA i = 5cm，盒子的

内部顶点C i处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）•假设昆虫甲在顶点C i处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C i处的最短路程•并画出其最短路径，简要说明画法.

（2）如果（i）问中的长方体的棱长分别为AB = BC = 6cm, AA i= i4cm，如图②，假设昆虫甲

从盒内顶点C i以i厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C i C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以

3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？

研究课题：蚂蚁怎样爬最近？

研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为A6= .AC2+CC I2= 102+52= 5：...；5cm .这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点

间距离最短问题.

研究实践：(1)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 6处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为_______________________ .

(2)如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且/ AOA1=120°, 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长.

(3)如图5,没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为

32cm，点A距离下底面3cm.-

只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.请求出蚂蚁需要爬行的最短

路程的长.