河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题-

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高中数学压轴题题型名校模考题汇总

专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。

1、现阶段主要是一元二次函数为主的。

核心思路是转化为“根的分布”。

2、函数单调性是解决问题的入口之一。

3、方程和函数思想。

特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。

如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。

河南省洛阳市2023-2024学年高一上学期10月月考试题数学含解析

洛阳强基联盟高一10月联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A .{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C .0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解3.下列表示错误的是()A.{}{,}a ab ∈ B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.58.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A .|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2D.b a a b<10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<- D.30k -<≤12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．洛阳强基联盟高一10月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{|2}|31M x N x x =<=≥，，则M N ⋂=（）A.{|0x x ≤<B.1{|3x x ≤<C.4|}13{x x ≤< D.{|34}x x ≤<【答案】C【分析】先解不等式，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为{}1{|2}{|04}|31|3M x x x N x x x x ⎧⎫=<=≤<=≥=≥⎨⎬⎩⎭，，所以1{|4}.3M N x x ⋂=≤<故选:C.2.命题“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是（）A.0∀∈-=R a ax 无实数解B.0∃∈-≠R a ax 有实数解C.0∀∈-≠R a ax 有实数解D.0∃∈-=R a ax 无实数解【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“0∀∈-=R a ax 有实数解”的否定是“0∃∈-=R a ax 无实数解”．故选:D ．3.下列表示错误的是()A.{}{,}a a b ∈B.{,}{,}a b b a ⊆ C.{1,1}{1,0,1}-⊆- D.{1,1}∅⊆-【答案】A 【解析】【分析】根据集合间的关系逐项判断即可﹒【详解】A ：集合之间应该是包含或被包含的关系，∈是元素与集合的关系，故A 错误；B ：集合里面的元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，故B 正确；C ：{1,1}-里面的元素都在{1,0,1}-里面，故{1,1}{1,0,1}-⊆-，故C 正确；D ：空集是任何集合的子集，故D 正确﹒故选：A ﹒4.“1a >”是“0a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】因为11a a >⇔<-或1a >，又1a <-时，不能得出0a >；0a >时，不能得出1a <-；所以“1a >”是“0a >”的既不充分也不必要条件.故选:D.5.不等式()()2120--≥x x 的解集为（）A.12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.122xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C.{|0.5x x ≤或}2x ≥ D.12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】直接解一元二次不等式可得答案.【详解】原不等式即为()()2210x x --≤，解得122x ≤≤，故原不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.故选：B.6.已知集合A ={x ∈N|0≤x <m }有8个子集，则实数m 的取值范围为（）A.{m |2<m ≤3}B.{m |2≤m <3}C.{m |2≤m ≤3}D.{m |2<m <3}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A 的元素个数，再求m 的取值范围.【详解】因为A 有8个子集，所以集合A 中含有3个元素，则2<m ≤3.故选:A.7.若12x >，则函数2()21=+-f x x x 的最小值为（）A. B.1+ C.4D.2.5【答案】D 【解析】【分析】由12x >，则210x ->，又()121()212212f x x x =-++-，从而利用均值不等式即可求解.【详解】解：因为12x >，所以210x ->，所以()212115()2121221222f x x x x x =+=-++≥=--，当且仅当()1221221x x -=-，即32x =时等号成立，所以函数2()21=+-f x x x 的最小值为2.5，故选：D.8.定义集合运算：2(,),2x A B x y A B y ⎧⎫⊕=∈∈⎨⎬⎩⎭．若集合{}14A B x x ==∈<<N ，15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭，则()A B C ⊕⋂=（）A.∅B.(){}4,1C.31,2⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D.()24,1,6,3⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】求解集合,A B ，令22x=或3，22y =或3，计算,x y 的值，求解A B ⊕，即可计算结果.【详解】∵{}14A B x x ==∈<<N ，∴{2,3}A B ==，令22x=或3，22y =或3，则4x =或6,1y =或32，则22(4,1),4,,(6,1),6,33A B ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⊕=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，因为15(,)63C x y y x ⎧⎫==-+⎨⎩⎭，故2()(4,1),6,3A B C ⎧⎫⎛⎫⊕⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分.9.已知a <b <0，则下列不等式成立的是（）A.|a |>|b |B.11a b <C.ab <b 2 D.b a a b<【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合不等式的性质逐项分析判断作答.【详解】因0a b <<，则0a b ->->，即||||a b >，A 正确；因0a b <<，即有0ab >，则a bab ab<，即11a b >，B 不正确；因0a b <<，则20ab b >>，C 不正确；由选项A 知，||||0a b >>，则22b a <，又0ab >，于是得22b a ab ab<，即b a a b <，D 正确.故选：AD10.（多选）如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分表示的集合是（）A.()UAB ð B.()U B B⋂ð C.()U A B ⋂ð D.()U A A B ⋂⋂ð【答案】AD 【解析】【分析】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，分析元素x 与集合A 、B 、A B ⋂的关系，可得出结果.【详解】在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x ，则x A ∈且x B ∉，或x A ∈且()x A B ∉故阴影部分区域所表示的集合为()U A B ð或()U A A B ⋂⋂ð.故选：AD.11.“23R,208x kx kx ∀∈+-<”的一个充分不必要条件可能是（）A.0k =B.30k -<<C.31k -<<-D.30k -<≤【答案】ABC 【解析】【分析】求出不等式恒成立时k 的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解.【详解】由23R,208x kx kx ∀∈+-<知，当0k =时，308-<恒成立，则0k =，当0k ≠时，2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<，则30k -<<，因此30k -<≤，显然{0}{|30}k k -<≤，{|30}k k -<<{|30}k k -<≤，{|31}k k -<<-{|30}k k -<≤，ABC正确；而{|30}{|30}k k k k -<≤=-<≤，D 错误.故选：ABC12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则（）A.a 2＋b 2≥12B.ab ≤14C.11a b+≤4 D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：因为()()22221a b a b +≥+=，故可得2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取得最小值，故A 正确；对B ：因为()21144ab a b ≤+=，当且仅当12a b ==时，取得最大值，故B 正确；对C ：0,0a b >>，又()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取得最小值，故C 错误；对D ：0,0a b >>，又22222⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，+≤，当且仅当12a b ==时取得最大值，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的________条件．【答案】充分【解析】【分析】利用充分条件的定义和子集的定义求解.【详解】解：因为A B ⊆，所以当x A ∈时，则x B ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件．故答案为：充分14.若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____．【答案】()25，【解析】【分析】直接利用不等式的性质计算即可.【详解】23a << ，426a ∴<<①，又12b << ，21b ∴-<-<-②，①+②可得225a b <-<即2a b -的取值范围是()25，故答案为：()25，15.深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动．已知高一（1）班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________________．【答案】9【解析】【分析】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，利用韦恩图法可求得结果.【详解】以集合A 、B 分别表示该班参加数学、物理活动的同学组成的集合，U 表示这个班所有的同学构成的集合，如下图所示：由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为()501515119-++=.故答案为：9.16.已知命题:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是________________.【答案】{|0a a ≤或5}a ≥【解析】【分析】根据命题p 为假命题，转化为{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，即可求解.【详解】因为命题“:{11}p m mm ∃∈-≤≤∣，2532a a m -+<+”且命题p 是假命题，可得命题“:{|11}p m m m ⌝∀∈-≤≤，2532a a m -+≥+”为真命题，即{11}m mm ∀∈-≤≤∣，2532a a m -+≥+恒成立，可得2533a a -+≥，即250a a -≥，解得0a ≤或5a ≥，即实数a 的取值范围是{|0a a ≤或5}a ≥.故答案为：{|0a a ≤或5}a ≥.【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{26},{39}A x x B x x =≤<=<<，（1）分别求(),()R R A B B A⋂⋃痧（2）已知{1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围【答案】（1）(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥；（2）[3,8]a ∈.【解析】【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；（2）根据集合的包含关系得到319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】解：（1）因为{36}A B x x ⋂=<<，所以(){R 3A B x x ⋂=≤ð或}6x ≥，因为{R 3B x x =≤ð或}9x ≥，，所以{()6R B A x ⋃=<ð或}9x ≥.（2）因为C B ⊆，所以319a a ≥⎧⎨+≤⎩，解之得38a ≤≤，所以[3,8]a ∈．18.（1）比较22x x -与22x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a b c a c b >--.【答案】（1）2222x x x x ->+-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过做差来比较大小即可；（2）通过做差来证明即可.【详解】（1）()()22222221021x x x x x x x --=-+--+=+>,2222x x x x ∴+-->；（2）()()()()()()()a cb bc a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==------，0c a b >>> ，0,0,0c a c b a b ∴->->->，0a b c a c b ∴->--，即a b c a c b>--，证毕.19.已知集合{}12A x x =-≤≤，()(){}10B x x a x a =---<，a ∈R.（1）若1B ∈，求实数a 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）[]1,1-【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B 中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【小问1详解】若1B ∈，则()10a a --<，解得01a <<，即实数a 的取值范围()0,1【小问2详解】由题知，{}12A x x =-≤≤，()(){}{}101B x x a x a x a x a =---<=<<+，因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集，即112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤.即实数a 的取值范围是[]1,1-.20.设集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2230C x x x =--=.（1）若A B A B = ，求实数a 的值；（2）若∅()A B 且A C ⋂=∅，求实数a 的值.【答案】（1）5（2）3-【解析】【分析】（1）首先求出集合B ，依题意可得A B =，从而得到2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，利用韦达定理计算可得；（2）首先求出集合C ，依题意可得A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即可求出a 的值，再检验即可.【小问1详解】由题可得{}{}25602,3B x x x =-+==，由A B A B = ，得A B =.从而2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根，即2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =.【小问2详解】因为{}2,3B =，{}{}22301,3C x x x =--==-.因为∅()A B ，所以A B ⋂≠∅，又A C ⋂=∅，所以2A ∈，即242190a a -+-=，22150a a --=，解得5a =或3a =-.当5a =时，{}2,3A =，则A C ⋂≠∅，不符合题意；当3a =-时，{}5,2A =-，则∅{}2A B ⋂=且A C ⋂=∅，故3a =-符合题意，综上，实数a 的值为3-.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且2GH EF =），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为236000cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm （宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm ），设cm EF x =.（1）当60x =时，求海报纸（矩形ABCD ）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD 的面积最小）？【答案】（1）900cm（2）选择长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少【解析】【分析】（1）根据宣传栏的面积以及60x =可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形ABCD 的周长；（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.【小问1详解】设阴影部分直角三角形的高为y cm ，所以阴影部分的面积163360002S xy xy =⨯==，所以12000xy =，又60x =，故200y =，由图可知20220AD y =+=cm ，350230AB x =+=cm.海报纸的周长为()2220230900⨯+=cm.故海报纸的周长为900cm.【小问2详解】由（1）知12000xy =，0x >，0y >，()()350203605010003100049000ABCD S x y xy x y xy =++=+++≥++=，当且仅当65x y =，即100x =cm ，120y =cm 时等号成立，此时，350AB =cm ，140AD =cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm ，140cm 的海报纸，可使用纸量最少.22.已知集合(){}121212=,+=2,>0,>0D x x x x x x .（1）求2212x x +的最小值；（2）对任意(),a b D ∈，证明112223+≥++a b a b ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得2212x x +的最小值；（2）分析可知()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，将代数式1122a b a b +++与()()1226a b a b +++⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.【小问1详解】解：因为10x >，20x >且122x x +=，所以，()22221212121224222x x x x x x x x +⎛⎫+=+-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==时，等号成立，故2212x x +的最小值为2.【小问2详解】解：由题意可知0a >，0b >且2a b +=，所以，()()12216a b a b +++=⎡⎤⎣⎦，故()()111112222622a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭122122262263a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当==1a b 时，等号成立，故原不等式得证.。

河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确，对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误，对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误，故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解．解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离．解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离．故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2，即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围．本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2，故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围．解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减．由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。

2022-2023学年河南省许昌市、洛阳市数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
对 D：A 类轮胎行驶的最远里程的方差为
94 1002 96 1002 99 1002 2 105 1002 107 1002 64 ，B 类轮胎行驶的最远里程的方差为
6
3
95 1002 2 98 1002 99 1002 104 1002 109 1002 76 64 ，故 A 类轮胎的性能更加稳定，
（）
A. f cos f cos
B. f sin f cos
C. f cos f sin
D. f sin f sin
5．命题： x Z, x2 2x 1 的否定是（）
A. x Z, x2 2x 1 C. x Z, x2 2x 1 6．函数 y (x 10) lg x 的最小值为（）
13、 2 3
【解析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.
心为
，故 D 正确.
故选：D. 9、C 【解析】由终边相同角的定义判断
【详解】与 600 终边相同角为 k 360 600k Z ，而 k 1时，360 240 240，其它选项都不存在整数
kHale Waihona Puke ，使之成立故选：C10、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.

2021-2022学年河南省洛阳市高一年级上册学期10月第一次考试数学试题【含答案】

2021-2022学年河南省洛阳市高一上学期10月第一次考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（）{}2|0,{|1}M x x x N x x =->=≥M N ⋂=A ．B ．C ．D ．或{|1}x x ≥{|1}x x >Φ{|1x x >0}x <【答案】B【解析】由一元二次不等式求集合A ，根据集合的交运算可得.M N ⋂【详解】由题意知：或，而，{1M x x =0}x <{|1}=≥N x x ∴{|1}M N x x ⋂=>故选：B2．下列说法正确的有（）①；；③；④；⑤1∈N *N 32∈Q 2+R π∈QA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断即可.【详解】1是自然数，故，故①正确；1∈N ，故②错误；*N 是有理数，故，故③正确；3232∈Q是实数，故，故④错误；22+R 是无理数，故，故⑤错误.ππ∉Q 故说法正确的有2个.故选:B.3．用列举法表示集合，正确的是2{(,)|}y x x y y x ⎧=⎨=-⎩A ．，B ．(1,1)-(0,0){(1,1),(0,0)}-C ．D ．{10,1}x y =-=或或0{1,0,1}-【答案】B【分析】解方程组解得，再根据集合的表示方法，列举即可得到答案．x 【详解】解方程组，可得或2y x y x ⎧=⎨=-⎩11x y =-⎧⎨=⎩00x y =⎧⎨=⎩故答案为()(){}1,1,0,0-故选B【点睛】本题主要考查了集合的方法，属于基础题，注意点集的表示方法．4．满足条件的集合的个数是（）{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ⊆⊆M A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合的个数即为的子集个数，求解即可.M {}5,6【详解】因为，{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ⊆⊆所以集合的个数即为的子集个数.M {}5,6因为集合的子集个数为，{}5,6224=所以满足条件的集合的个数是4.M 故选:D.5．设，则“”是“”的,x y R ∈x y ≥2()0x x y -≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】化简不等式，再根据包含关系确定选项.2()0x x y -≥【详解】因为，所以或，2()0x x y -≥0x =00x x y ≠⎧⎨-≥⎩因此“”是“”的充分不必要条件，选A.x y ≥2()0x x y -≥【点睛】本题考查充要关系，考查基本分析判断能力，属基础题.6．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（）x ∀∈R 240x ax a +-≥a A ．B ．160a -≤≤160a -<<C ．D ．40a -≤≤40a -<<【答案】A【分析】根据题意可得方程的判别式小于等于0，求解即可.240x ax a +-=【详解】因为，，x ∀∈R 240x ax a +-≥所以，解得.()22414160a a a a -⨯⨯-=+≤160a -≤≤故实数的取值范围是.a 160a -≤≤故选:A.7．若命题：，，则命题的否定是（）p x ∀∈R 20x >p A ．，B ．，x ∀∈R 20x ≤x ∃∈R 2x ≤C ．，D ．，x ∃∈R 20x >x R ∀∉2x ≤【答案】B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题的否定是：，．p x ∃∈R 20x ≤故选：B ．8．如果，，那么下列不等式中成立的个数是（）0<a 0b >①；③；④.11a b <<22a b <a b>A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】可举例判断②③④，由不等式性质判断①．【详解】，则，①成立，0,0a b <>110ab <<满足题意，此时②③④均不正确，2,2a b =-=故选：B ．9．正实数，满足，则的最小值是（）x y 1x y +=11y x y ++A ．B ．C ．5D ．3+2+112【答案】B【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解.11y x y ++x y +【详解】因为正实数，满足，x y 1x y +=所以1122y x y y x y y xx y x y x y +++++=+=++，22≥+=+当且仅当，即时等号成立.1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩21==x y 故的最小值是11y x y ++2+故选:B.10．已知，关于的一元二次不等式的解集为（）a<0x ()2220ax a x -++>A ．，或B ．{2|x x a <}1x >2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．，或D ．{|1x x <2x a ⎫>⎬⎭2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】由于，可将不等式转化为，即可求得不等式的解集.a<0()()210ax x -+-<【详解】由于，依题意可化为，故不等式的解集为a<0()2220ax a x -++>()()210ax x -+-<.2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：B【点睛】本题考查含参数二次不等式的解法，属于基础题.11．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（）x ∃∈R ()()222240a x a x -+--≥a A ．B ．C ．D ．22a -<<22a -<≤22a -≤≤22a -≤<【答案】B【解析】根据命题为假，得到，”是真命题，分别讨论，x ∀∈R ()()222240a x a x -+--<20a -=两种情况，结合一元二次不等式恒成立的问题求解即可.20a -≠【详解】因为命题“，”是假命题，x ∃∈R ()()222240a x a x -+--≥所以命题“，”是真命题，x ∀∈R ()()222240a x a x -+--<当时，不等式可化为显然恒成立，满足题意；20a -=2a =4<0-当时，只需，解得，20a -≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<综上，.22a -<≤故选：B.12．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）x 220ax ax -+≥x a A ．或B ．a<08a >08a <<C ．D ．或08a ≤≤0a ≤8a >【答案】C【分析】分类讨论的值，由一元二次不等式的解法得出实数的取值范围.a a 【详解】当时，不等式对一切实数都成立.0a =2220ax ax -+=≥x 当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得.0a ≠220ax ax -+≥x 20Δ80a a a >⎧⎨=-≤⎩08a <≤综上，.08a ≤≤故选：C二、填空题13．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.【答案】m ≥3【分析】先化简命题p ，q ，再根据p 是q 的充分不必要条件，由求解.332m +≥【详解】p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则，32m x +<因为p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，所以，332m +≥解得m ≥3.故答案为：m ≥314．设集合，，若，则实数________;2{|20}A x x x =--={}|1B x ax ==B A ⊆=a 【答案】或或01-12【分析】解方程求出集合，再分和两种情况，结合即可求解.A B =∅B ≠∅B A ⊆【详解】，{}()(){}{}2|20=|210=1,2A x x x x x x =--=-+=-当时，，满足，所以符合题意；0a =B =∅B A ⊆0a =当时，0a ≠{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭若，则或，可得或，B A ⊆11a =-12a =1a =-12a =综上所述：实数的值为或或，a 01-12故答案为：或或.01-1215．若实数a >b ，则a 2－ab ____ba －b 2.（填“>”或“<”）【答案】＞【分析】利用作差法比较，即可判断.【详解】因为（a 2－ab ）－（ba －b 2）＝（a －b ）2，又a >b ，所以（a －b ）2>0.故答案为：＞16．设，，，则的最小值为__________.0x >0y >24x y +=(1)(21)x y xy ++【答案】.92【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+值．【详解】由，得，得24x y +=24x y +=≥2xy ≤，(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=等号当且仅当，即时成立．2x y =2,1x y ==故所求的最小值为．92【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题17．已知，且，，且或:p x A ∈{}11A x a x a =-<<+:q x B∈{3B x x =≥}1x ≤(1)若，，求实数a 的值.A B ⋂=∅A B =R (2)若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)(,0][4,)-∞+∞ 【分析】（1）由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定；1113a a -=⎧⎨+=⎩2a =2a =（2）利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到a A B ⊆11a +≤13a -≥的取值范围.【详解】（1）因为，，A B ⋂=∅A B =R 所以由数轴法可得，解得，1113a a -=⎧⎨+=⎩2a =此时，或，满足，，{}13A x x =<<{3B x x =≥}1x ≤A B ⋂=∅A B =R 故.2a =（2）因为p 是q 的充分条件，所以，A B ⊆又因为，{}11A x a x a =-<<+≠∅所以结合数轴可得，或，得或，11a +≤13a -≥0a ≤4a ≥所以满足p 是q 的充分条件的实数的取值范围为.a (,0][4,)-∞+∞ 18．已知集合A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，C ＝{x |}．x a ≤(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ，求a 的取值范围．≠∅【答案】(1) {x |2≤x <10}, {x |7≤x <10};(2) 2a ≥【分析】（1）根据交、并、补集的运算分别求出A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）根据题意和A∩C≠∅，即可得到a 的取值范围．【详解】解：(1)因为A ＝{x |2≤x <7}，B ＝{x |3<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2≤x <10}．因为A ＝{x |2≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <2，或x ≥7}，则(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)因为A ＝{x |2≤x <7}，C ＝{x |}，且A ∩C ≠∅，所以x a ≤2a ≥所以a 的取值范围为．2a ≥【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．19．已知集合，且，求的值.{},,1P a ab ab =-{}0,,Q a b =P Q =2202222022111a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【分析】先根据集合相等求出的值，然后代入计算即可求解.,a b 【详解】因为集合，且，{},,1P a ab ab =-{}0,,Q a b =P Q =所以且，则，即，此时，，0a ≠0b ≠10ab -=1ab ={,0,1}P a ={0,,}Q a b =所以，，则，故，，1a ≠a b a=1,1a b =-=-12a b +=-2212a b +=所以，，，212112n n a b +++=-2212n n a b +=Z n ∈所以.22022220221110a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20．已知函数.2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈（1）求不等式的解集；()0f x <（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.x R ∈()4f x ≥-a 【答案】(1)见解析；(2)[]2,6a ∈-【分析】（1）不等式可化为：，比较与的大小，进而求出解集．()0f x <(2)()0x x a --<a 2（2）恒成立即恒成立，则，进而求得答()4f x ≥-2(2)240x a x a -+++≥2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤案．【详解】解：（1）不等式可化为：，()0f x <(2)()0x x a --<①当时，不等无解；2a =()0f x <②当时，不等式的解集为；2a >()0f x <{}2x x a <<③当时，不等式的解集为.2a <()0f x <{}2x a x <<（2）由可化为：，()4f x ≥-2(2)240x a x a -+++≥必有：，化为，2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤24120a a --≤解得：.[]2,6a ∈-【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题．21．（1）已知，，，求证：；0a >0b >0c >222a b c a b cb c a ++≥++（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c +++【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将两两组合，利用基本不等式即可证明；()222a b c a b c b c a +++++（2）,利用基本不等式即可证明.()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2a b c ≥=++当且仅当时等号成立，a b c ==所以.222a b c a b c b c a ++≥++（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当时等号成立，a b c ==因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>22．已知正实数x ，y 满足．2520x y +=（1）求xy 的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m 的取值范围．21014m mx y +≥+【答案】（1）；（2）.109122m -≤≤【解析】（1）根据的最大值，注意取等条件；25x y +≥xy （2）利用“”的代换结合基本不等式求解出的最小值，再根据求解出1101x y +2min1014m mxy ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭的取值范围.m 【详解】（1），2025x y =+≥10xy ≤当且仅当，取等号，5x =2y =∴最大值为．xy 10（2），1015559104421041041x y y x x x y x y y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=当且仅当，取等号，203x =43y =∴，解得．2944m m +≤9122m -≤≤【点睛】本题考查利用不等式求解最大值以及利用基本不等式解决恒成立问题，其中涉及到“”的1代换求最小值，难度一般.。

河南省洛阳市第一高级中学2018-2019学年高一5月月考数学试题(pdf版)

高一月考数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 012？B ．i >2 012?C ．i ≤2 014?D ．i >2 014?2．某网站对“双十二”网上购物的情况做了一项调查，收回的有效问卷共50 000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下表：已知在购买“家用电器”这一类中抽取了92份问卷，则在购买“服饰鞋帽”这一类中应抽取的问卷份数为( )A ．198B ．116C ．99D ．943．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( ) A ．2 010 B ．－1 C.12 D ．24．一个k 进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k 不可能是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．75. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,86．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 7．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．78．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n 的值为( )A ．100B ．1 000C ．90D ．9009．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,25B ．70,50C ．70,1.04D ．65,2510．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.7811．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差12．自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a (点P ，Q 不与点O 重合)，已知∠AOB ＝π3，a ＝7，则3PQ PO QP QO POQO⋅⋅+的取值范围为( )A ．(12，7]B ．(72，7]C ．(－12，7]D ．(－72，7]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．14．在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ∧＝－3.2 x ＋a ∧(参考公式：回归方程 y ∧＝b ∧x ＋a ∧ ， a ∧＝y －b x )，则a ＝________.15．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．11sin cos ,1631()()=33().y a x b x c y f x f x f x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭= 16.已知图像上有一最低点，若图像上各点纵坐标不变，横坐标缩为原来的倍，再左移个单位得，又的所有根从小到大依次相差个单位，则的解析式为__________ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．18．(本小题满分12分)高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________、________、________、________；(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率．19．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据．(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧=y －-b ∧x －)20．(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0.(1)若a ∈{0，1，2，3}，b ∈{0，1，2}，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率； (2)若a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，求方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率．21. (本小题满分12分)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x 且x ≠2k π＋π2,k ∈Z,且x ≠k π＋π，k ∈Z .①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x2·f (x )与1＋tan 2x2sin x 相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0且A 为常数)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．参考答案：一、CABDC ABABC DD二、13. 0.25；14. 40；15. [)1+∞，；16 ()=2sin 33f x x π+.三、17: 答案 (1)14 (2)1529解析 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.18. （1）1 0.025 0.1 1(2)略(3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315. 解析 (1)随机抽出的人数为120.300＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填440＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1. (2)频率分布直方图如图． (3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.19. 解析 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i 2＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ∧=66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ∧＝y －－b ∧x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨)．20. 解析用(a ，b)表示a ，b 取相应值时所对应的一个一元二次方程．要使x 2＋2ax ＋b ＝0有实根，则(2a)2－4b ≥0，即a ≥b.(1)(a ，b)的所有可能取值有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中满足a ≥b 的有9个．故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为912＝34.(2)设事件A 表示“一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根”，则(a ，b)的所有可能取值构成的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，这是一个长方形区域，面积为2×3＝6；构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，如图中阴影部分，面积为2×3－12×22＝4.故方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率为46＝23.21.【解析】 ①∵1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＝2cos 2x 2－2sin x 2cos x 22sin 2x 2－2sin x 2cosx 2 ＝2cos x 2(cos x 2－sin x 2)－2sin x 2(cos x 2－sin x 2)＝－cos x2sin x 2，同理得1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x ＝－sin x2cos x 2.∴f (x )＝－cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＝－cos 2x 2＋sin 2x 2sin x 2·cos x 2＝－2sin x .且x ≠2k π＋π2，k ∈Z.②若tan x2·f (x )＝1＋tan 2x 2sin x ，则－2tan x 2sin x ＝1＋tan 2x2sin x . ∴2tan x 21＋tan 2x2＝－1，即sin x ＝－1. 此时x ＝2k π＋3π2，(k ∈Z )，即为存在的值．22. 解析 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到 y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]＝6sin(2x ＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈[0，5π24]，所以4x ＋π3∈[π3，7π6]．故g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．（1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案

的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x）．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x）．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
第 3页（共 4页）
18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上．（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC．（1）求证：PC⊥平面 ABCD；（2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若

专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数领军高考数学一轮复习(文理通用)含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．重点难点突破【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ．【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．【题型二】弧度制【典型例题】已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的圆心角的弧度数（） A ．1B ．4C ．1或 4D ．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad ，半径为Rcm ，则，解得α＝1或α＝4．故选：C ．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：因为，所以cos sin，tan1，所以b＜a＜c．故选：A．思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．基础知识训练2,3-，则1．【湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()（）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A 【解析】由任意角的三角函数定义可知：3tan 2θ=-本题正确选项：A2．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P 的坐标为，则sin α的值为（）A ．12B ．1-2C ．2D ．-2【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P的坐标为1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sin α+cos α，tan α）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sin α+cos α，tan α）在第四象限， ∴，由sin α+cosα=（α4π+），得2k π＜α4＜π+2k π+π，k∈Z，即2k π4π-＜α＜2k π34π+π，k∈Z．由tan α＜0，得k π2π+＜α＜k π+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【安徽省示范高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D.7．【宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C ．9．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（） A ．钝角是第二象限角B ．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的范围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的范围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④若，则α与β的终边相同；θ<，则θ是第二或第三象限的角．⑤若cos0其中正确的命题是______．（填序号）【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142，故答案为：0142．13．【河南省平顶山市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）．【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角，故分针转了32π-. 14．【2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P--，则sinα的值为__________．【解析】解：∵点P（1，2）在角α的终边上，∴tanα2=，将原式分子分母除以cosα，则原式故答案为：5．16．【江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3ie-表示的复数在复平面中位于第_______象限.【答案】三【解析】由题e-3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3ie-表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为三17．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad，半径为r，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=．（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l,由题意可得240r l+=，∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =，此时圆心角为2lrα==， ∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由．【答案】（1）平方海里；（2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD ，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P 在圆B 上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}；(2) {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.能力提升训练1．【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A（cos，sin），即A（），且cos（α），sin（α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin（α）cos cos（α）sin，故选：D．∆中，若，那么2．【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC∆是（）ABCA．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A ．3．【河北省邯郸市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角【答案】B 【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.4．【河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P （-3，y ），且y ＜0，cosα=-，则tanα=（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，则x 的值为（） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】∵已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，∴，则2x =-，故选：C ．6．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（）A B C ．12D 【答案】C 【解析】根据题意，，且13π<<，则.故选：C ．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π，故答案为：3π8．【安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【四川省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sin α+cos α的值为___．【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12）， ∴sin α=则sin α+cos α=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。

第2章一元二次函数、方程和不等式高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)解析版

【详解】“ 不是直角三角形”，则 “ ”，所以充分条件成立．
若，则角不为直角，有可能是直角，所以必要条件不成立，“ 不是直角三角形”是“ ”的充分不必要条件
答案选A
【点睛】命题真假的判断也可通过逆否命题进行判断
4．（2020·浙江高一单元测试）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（）
故选：D
8．（2021·浙江）已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】，即
当时，不等式恒成立，；
当时，，则
令，则
即，解得
故选：B
9．（2020·全国高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于的不等式，解出即可.
【详解】 .
若，则，从而无最小值，不合乎题意；
若，则， .
①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，
当且仅当时，等号成立.
所以，
所以实数的取值范围为 .
【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.
22．（2021·全国高一单元测试）已知不等式的解集为．
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R？

2023-2024学年河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若命题p ：∃x ＞0，x 2﹣2x +1＜0，则￢p 为（）A ．∃x ＞0，x 2﹣2x +1≥0B ．∀x ＞0，x 2﹣2x +1≥0C ．∃x ≤0，x 2﹣2x +1＞0D ．∀x ≤0，x 2﹣2x +1＞02．已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝3x +4}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 2}，则M ∩N ＝（）A ．{﹣1，4}B ．{1，4}C ．{（﹣1，1），（4，16）}D ．（﹣1，1），（4，16）3．若幂函数f （x ）＝x m 的图象过点（2，√2），则实数m ＝（）A ．2B ．3C ．﹣1D ．124．已知﹣1＜a ＜2，﹣2＜b ＜3，则下列不等式错误的是（）A ．﹣3＜a +b ＜5B ．﹣4＜a ﹣b ＜4C ．2＜ab ＜6D ．a 2+b 2＜135．已知a =(32)0.1，b =(32)0.2，c =(94)0.04，则a ，b ，c 之间的大小关系为（） A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c6．已知U 为全集，集合A ，B 为U 的两个子集，则“A ⊆∁U B ”的充要条件是（）A ．B ⊆∁U A B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．∁U A ⊆B7．已知a ＞b ＞c ，a ﹣c ＝5，则（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2的最小值为（）A ．25B ．252C ．5D ．528．已知函数 f （x ）＝a x （1﹣2x ）（a ＞0 且a ≠1）是奇函数，则a ＝（）A ．2B ．√2C ．√22D ．12二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省洛阳市高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．直线3x﹣y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）＝lnx+，则f（x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，4]D．（0，2]4．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．6．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图，根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A．甲＜乙，S甲2＞S乙2B．甲＞乙，S甲2＜S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙27．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．489．已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4010．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π11．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（）A．5+2B．3C．5D．712．已知函数，当时，时，则ω的值最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且，则tanα＝．14．若直线x﹣3y+9＝0被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为r，则r＝．15．已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于．16．已知f（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x+x，则不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2的解集是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，求的值．（2）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，求x1+x2的值．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[105，115）中的概率．19．已知△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cosγ，sinγ），且++＝（O为坐标原点）．（1）求∠P1OP2的大小；（2）试判断△P1P2P3的形状．20．已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E，F分別为AD，BC的中点，现将矩形ABCD 沿EF折起，使二面角D'﹣EF﹣B为60°．（1）求证：EF⊥AD'；（2）求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值．21．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数的值域．22．已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．直线3x﹣y+1＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．135°解：直线3x﹣y+1＝0的斜率为k＝＝，∴tanα＝，∴倾斜角是60°．故选：B．2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A．B．C．D．解：某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，甲同学先抽，基本事件总数n＝10，他抽到的出场序号小于4包含的基本事件个数m＝3，则他抽到的出场序号小于4的概率为p＝．故选：D．3．已知函数f（x）＝lnx+，则f（x）的定义域为（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，4]D．（0，2]解：由，得0＜x≤4．∴函数f（x）的定义域为（0，4]．故选：C．4．已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交，所以D不正确；故选：A．5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为．故选：A．6．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图，根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A．甲＜乙，S甲2＞S乙2B．甲＞乙，S甲2＜S乙2C．甲＜乙，S甲2＜S乙2D．甲＞乙，S甲2＞S乙2解：由茎叶图可得甲小组中的20个数据分别为：45，49，51，58，61，63，71，73，76，76，77，77，77，80，82，83，86，86，90，93．＝（45+49+51+58+61+63+71+73+76+76+77+77+77+80+82+83+86+86+90+93）＝72.7．由茎叶图可得乙小组中的20个数据分别为：53，63，66，71，72，74，75，75，75，77，78，78，78，79，81，84，85，86，93，94．（53+63+66+71+72+74+75+75+75+77+78+78+78+79+81+84+85+86+93+94）＝76.85．则甲＜乙，再由茎叶图可知，甲小组的数据比较分散，乙小组的数据集中在茎7上，相对集中，故＞．故选：A．7．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c解：因为正弦在（0°，90°）上单调递增；且sinα＜tanα；又a＝sin33°，b＝cos55°＝sin（90°﹣35°）＝sin35°，c＝tan35°，∴sin33°＜sin35°＜tan35°；即a＜b＜c；故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．已知的△OMN三个顶点为O（0，0），M（6，0），N（8，4），过点（3，5）作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40解：设△OMN的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得．∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2＝4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×4＝20．故选：B．10．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π解：∵AB＝6，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴V O﹣ABC＝S△ABC•OD＝××6×2×OD＝4．∴OD＝2，∵OD＝＝＝2，解得OA＝4，即球O的半径为4，∴O的表面积是4π×42＝64π．故选：C．11．若向量的模均为1，且＝0，则|3|的最大值为（）A．5+2B．3C．5D．7解：∵，∴，且的模均为1，∴设，∴，∴＝＝，其中，∴sin（θ+φ）＝﹣1时，取得最大值7．故选：D．12．已知函数，当时，时，则ω的值最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：因为x∈[0，]，f（x）＝sin（ωx﹣）最大值为，又因为f（x）＝sin（ωx﹣）的最大值小于等于1，所以≤1，即0＜ω≤3，题中已知ω＞0且为正实数，所以ω的可能值为1，2，3，当x∈[0，]时，ωx﹣∈[﹣，﹣]，若﹣≥，即ω≥时，函数f（x）＝sin（ωx﹣）最大值为1，则＝1，即ω＝3，满足题意，若﹣＜，即0＜ω＜时，函数f（x）＝sin（ωx﹣）在[0，]上单调递增，当x＝时，函数f（x）有最大值，此时有＝sin（﹣），满足此方程的正实数ω最多有一个．故ω的值有两个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且，则tanα＝﹣．解：∵，∴sinα＝﹣，∵，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝﹣．故答案为：﹣．14．若直线x﹣3y+9＝0被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为r，则r＝2．解：因为直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝r2截得的弦长为，因为圆心（2，3）到直线的距离d＝＝1，所以r2＝（）2+1，所以r＝2．故答案为：2．15．已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于3．解：∵||＝1，||＝，＝0，⊥＝＝＝|OC|×1×cos30°＝＝1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵＝m+n＝n+m∴，两式相比可得：＝3．故答案为：316．已知f（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x+x，则不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2的解集是[2，+∞）．解：构造函数，那么g（x）是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，h（x）的定义域为R，且，所以h（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以g（x）图象关于（1，0）对称．不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2 等价于f（x）﹣1+f（6﹣3x）﹣1≤0，等价于g（x）+g（6﹣3x）≤0⇒g（x）≤g[2﹣（6﹣3x）]＝g（3x﹣4）结合g（x）单调递增可知，x≤3x﹣4⇒x≥2，所以不等式f（x）+f（6﹣3x）≤2 的解集是[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，求的值．（2）设x1满足2x+lnx＝3，x2满足ln（1﹣x）﹣2x＝1，求x1+x2的值．解：（1）由2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy得，lg（x﹣2y）2＝lg（xy），∴（x﹣2y）2＝xy，∴x2﹣5xy+4y2＝0，∴（x﹣y）（x﹣4y）＝0，∴或4；（2）根据题意，2x1+lnx1＝3，ln（1﹣x2）﹣2x2＝1，令1﹣x2＝t，则2t+lnt＝3，∵f（x）＝2x+lnx在（0，+∞）上单调递增，∴t＝x1，∴x1+x2＝1．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[105，115）中的概率．【解答】（本大题12分）解：（1）由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：＝123.6……………………………………………………………………（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有（10×0.004+10×0.02）×50＝12人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[95，105）有1人，用a表示，分数在[105，115）中的有5人，用b1，b2，b3，b4，b5表示，则基本事件有（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4），（a，b5），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共15个，满足条件的基本事件为（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共10个，所以这两名同学分数均在[105，115）中的概率为：．………………………………………………………………19．已知△P1P2P3三个顶点的坐标分别为P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cosγ，sinγ），且++＝（O为坐标原点）．（1）求∠P1OP2的大小；（2）试判断△P1P2P3的形状．解：（1）由题意可得||＝||＝||＝1，∵+＝﹣，∴（+）2＝2，∴2+2•+2＝2，∴2•＝﹣1，即•＝﹣，∴cos∠P1OP2＝＝﹣，∵∠P1OP2∈（0，π），∴∠P1OP2＝．（2）∵＝﹣，∴||＝＝＝，同理可得，||＝||＝，∴△P1P2P3的形状为等边三角形．20．已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E，F分別为AD，BC的中点，现将矩形ABCD 沿EF折起，使二面角D'﹣EF﹣B为60°．（1）求证：EF⊥AD'；（2）求AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴EF⊥AE，EF⊥D′E，又∵AE∩D′E＝E，∴EF⊥平面AD′E，∵AD′⊂平面AD′E，∴EF⊥AD'．（2）解：取D′E的中点H，连结AH，HC′，由EF⊥平面AD′E可知：AE⊥EF，D′E⊥EF，∴∠D′EA是二面角D′﹣EF﹣B的平面角，∴∠D′EA＝60°，∵AE＝D′E＝1，∴△AD′E是等边三角形，∴AH⊥D’E，由（1）知平面EFC′D⊥平面AD′E，且平面EFC′D′∩平面AD′E＝ED′，∴AH⊥平面EFC′D′，∴∠AC′H为AC′与平面EFC′D′所成角，在Rt△AC′H中，AH＝，AC′＝，∴sin∠AC′H＝＝＝，∴AC'与平面EFC'D'所成角的正弦值为．21．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数的值域．解：（1）由图象知T＝﹣＝，得周期T＝2π，即＝2π，得ω＝1，∵0＜φ＜，∴由五点对应法得×1+φ＝，得φ＝，即f（x）＝A sin（x+），∵f（0）＝A sin＝A＝2，得A＝4，则f（x）＝4sin（x+），将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝4sin （2x+），再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，即g（x）＝4sin[2（x+）+]＝4sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．（2）＝4sin（2x+）﹣4sin（2x+）＝4（sin2x cos+cos2x sin）﹣4cos2x＝2sin2x﹣2cos2x＝4sin（2x﹣），∵x∈[﹣，]时，∴2x﹣∈[﹣，﹣]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，4sin（2x﹣）∈[﹣4，2]，∴y∈[﹣4，2]，即函数的值域为[﹣4，2]．22．已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．解：（1）设M（x，y），由题意知，化简得2（x﹣1）2+2（y﹣1）2＝（x﹣2）2+（y﹣2）2，∴x2+y2＝4，即动点M的轨迹C的方程为x2+y2＝4．（2）记圆C上任意一点P到直线l的距离为d，因为直线PQ与直线l夹角为30°，所以|PQ|＝2d，因为圆心C（0，0）到直线l的距离为，且圆C的半径为2，，即直线l与圆相离，∴，∴．。

2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（3分）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是()A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k - 且0k ≠3．（3分）如图，在一幅长为60cm ，宽为40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是23500cm ，设纸边的宽为()x cm ，则x 满足的方程是()A ．(60)(40)3500x x ++=B ．(602)(402)3500x x ++=C ．(60)(40)3500x x --=D ．(602)(402)3500x x --=4．（3分）把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是()A ．23(3)2y x =+-B ．23(3)2y x =++C ．23(3)2y x =--D ．23(3)2y x =-+5．（3分）下列方程，是一元二次方程的是()①2320x x +=，②22340x xy -+=，③24x x -=，④20x =，⑤230x x -+=．A ．①②B ．①③④⑤C ．①③④D ．①④⑤6．（3分）如图，在ABC ∆中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使得//CC AB '，则(BAB ∠'=)A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒7．（3分）方程2240x x --=的根的情况()A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数2y x m =-+与一次函数1(0)y mx m =-≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．9．（3分）如图，正方形ABCD 中，8AB cm =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1/cm s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为()t s ，OEF ∆的面积为2()s cm ，则2()s cm 与()t s 的函数关系可用图象表示为()A ．B ．C ．D ．10．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点(2,0)-，(2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为．12．（3分）如图，将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是．13．（3分）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(1,0)-，则一元二次方程220ax ax c -+=的根为．14．（3分）已知点1(4,)A y ，(2B ，2)y ，3(2,)C y -都在二次函数2(2)y x m =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为．15．（3分）点(,)P m n 在二次函数22y x x =-的图象上，当03m 时，则n 的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）23210x x --=（2）224(1)0x x --=17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆的顶点都在格点上．（1）将ABC ∆以原点O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，画出旋转后的△111A B C ．（2）画出△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ；（3）ABC ∆和△222A B C 是否关于直线对称？若是，请写出对称轴的解析式；若不是，请说明理由．18．（9分）已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．19．（9分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．20．（9分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上任意一点，以点C 为旋转中心，取旋转角等于90︒，把BDC ∆逆时针旋转．（1）画出旋转后的图形；（2）判断2AD 、2BD 、2CD 的数量关系，并说明理由．21．（10分）某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件．若这种商品的销售量y （件)与销售价格x （元)存在一次函数，请回答下列问题：（1）求出y 与x 的关系式；（2）设商店销售这种商品每天获利w （元)，写出w 关于x 的函数关系式；①当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格定为多少比较合理；②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？22．（10分）如图1，将两个等腰三角形ABC 和DEC 拼合在一起，其中90C ∠=︒，AC BC =，CD CE =．（1）操作发现如图2，固定ABC ∆，把DEC ∆绕着顶点C 旋转，使点D 落在BC 边上．填空：线段AD 与BE 的关系是①位置关系：②数量关系：（2）变式探究当DEC ∆绕点C 旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）解决问题如图4，已知线段5AB =，线段AC =，以BC 为边作一个正方形BCDE ，连接AD ，随着边BC 的变化，线段AD 的长也会发生变化．请直接写出线段AD 的取值范围．23．（11分）如图，抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出QAB ∆为等腰三角形的点Q 共有几个？并求以AB 为底边时，点Q 的坐标．2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．故选：B ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是()A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k - 且0k ≠【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△240b ac =->，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，0k ≠，方程有两个不相等的实数根，所以△0>，△2224(21)4410b ac k k k =-=+-=+>．又方程是一元二次方程，0k ∴≠，14k ∴>-且0k ≠．故选：B ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则0k ≠．3．（3分）如图，在一幅长为60cm ，宽为40cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是23500cm ，设纸边的宽为()x cm ，则x 满足的方程是()A ．(60)(40)3500x x ++=B ．(602)(402)3500x x ++=C ．(60)(40)3500x x --=D ．(602)(402)3500x x --=【分析】如果设纸边的宽为xcm ，那么挂图的长和宽应该为(402)x +和(602)x +，根据总面积即可列出方程．【解答】解：设纸边的宽为xcm ，那么挂图的长和宽应该为(602)x +和(402)x +，根据题意可得出方程为：(602)(402)3500x x ++=，故选：B ．【点评】考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．4．（3分）把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是()A ．23(3)2y x =+-B ．23(3)2y x =++C ．23(3)2y x =--D ．23(3)2y x =-+【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线23y x =先向上平移2个单位，得：232y x =+；再向右平移3个单位，得：23(3)2y x =-+；故选：D ．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．5．（3分）下列方程，是一元二次方程的是()①2320x x +=，②22340x xy -+=，③24x x -=，④20x =，⑤230x x -+=．A ．①②B ．①③④⑤C ．①③④D ．①④⑤【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行分析．【解答】解：①2320x x +=，是一元二次方程；②22340x xy -+=，含有两个未知数，不是一元二次方程；③24x x -=，是一元二次方程；④20x =，是一元二次方程；⑤230x x -+=，是一元二次方程，故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．6．（3分）如图，在ABC ∆中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使得//CC AB '，则(BAB ∠'=)A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【分析】旋转中心为点A ，B 与B '，C 与C '分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BAB CAC ∠'=∠'，AC AC ='，再利用平行线的性质得C CA CAB ∠'=∠，把问题转化到等腰ACC ∆'中，根据内角和定理求CAC ∠'，即可求出BAB ∠'的度数．【解答】解：//CC AB ' ，75CAB ∠=︒，75C CA CAB ∴∠'=∠=︒，又C 、C '为对应点，点A 为旋转中心，AC AC ∴='，即ACC ∆'为等腰三角形，180230BAB CAC C CA ∴∠'=∠'=︒-∠'=︒．故选：A ．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．7．（3分）方程2240x x --=的根的情况()A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△200=>，由此即可得出结论．【解答】解：在方程2240x x --=中，△2(2)41(4)200=--⨯⨯-=>，∴方程2240x x --=有两个不相等的实数根．故选：B ．【点评】本题考查了根的判别式，根据△200=>得出方程有两个不相等的实数根是解题的关键．8．（3分）在同一直角坐标系中，二次函数2y x m =-+与一次函数1(0)y mx m =-≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据抛物线中10a =-<，所以开口向下，排除B 答案；再根据直线中1b =-，与y 轴的负半轴相交，排除D 答案；当过一三象限时，0m >，当过二四象限时，0m <，排除A ．【解答】解：二次函数2y x m =-+，∴开口向下，∴排除B ；一次函数1y mx =-，∴直线与y 轴的负半轴相交，排除D ；由图象直接得出0m >，故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．9．（3分）如图，正方形ABCD 中，8AB cm =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1/cm s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为()t s ，OEF ∆的面积为2()s cm ，则2()s cm 与()t s 的函数关系可用图象表示为()A ．B ．C．D．【分析】由点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1/cm s 的速度沿BC ，CD 运动，得到BE CF t ==，则8CE t =-，再根据正方形的性质得OB OC =，45OBC OCD ∠=∠=︒，然后根据“SAS ”可判断OBE OCF ∆≅∆，所以OBE OCF S S ∆∆=，这样16OBC OECF S S ∆==四边形，于是()11682CEF OECF S S S t t ∆=-=--⋅四边形，然后配方得到21(4)8(08)2S t t =-+ ，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE CF t ==，8CE t =-，四边形ABCD 为正方形，OB OC ∴=，45OBC OCD ∠=∠=︒，在OBE ∆和OCF ∆中OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBE OCF SAS ∴∆≅∆，OBE OCF S S ∆∆∴=，218164OBC OECF S S ∆∴==⨯=四边形，()()22111168416(4)808222CEF OECF S S S t t t t t t ∆∴=-=--⋅=-+=-+四边形，2()s cm ∴与()t s 的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为08t ．故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．10．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：抛物线的开口向下，0a ∴<，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，0c ∴>，对称轴为12b x a=-=，得2a b =-，a ∴、b 异号，即0b >，又0c > ，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴的交点可以看出，当1x =-时，0y <，0a b c ∴-+<，即b a c >+，故②错误；对称轴为12b x a=-=，抛物线与x 轴的正半轴的交点是(3,0)，则当2x =时，函数值是420a b c ++>，故③正确；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故④正确．故选：B ．【点评】考查二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点(2,0)-，(2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为8．【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．【解答】解：如图，过22112y x =--的顶点(0,1)-作平行于x 轴的直线与21112y x =-+围成的阴影，同过点(0,3)-作平行于x 轴的直线与22112y x =--围成的图形形状相同，故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，因此矩形的面积为428⨯=．故填8．【点评】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积．12．（3分）如图，将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是60︒．【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出EAF ∠的度数．【解答】解：将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，∴旋转角为60︒，E ，F 是对应点，则EAF ∠的度数为：60︒．故答案为：60︒．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．13．（3分）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴一个交点的坐标为(1,0)-，则一元二次方程220ax ax c -+=的根为1-，3．【分析】将1x =-，0y =代入抛物线的解析式可得到3c a =-，然后将3c a =-代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【解答】解法一：将1x =-，0y =代入22y ax ax c =-+得：20a a c ++=．解得：3c a =-．将3c a =-代入方程得：2230ax ax a --=．2(23)0a x x ∴--=．(1)(3)0a x x ∴+-=．11x ∴=-，23x =．解法二：已知抛物线的对称轴为(2)12a x a-=-=，又抛物线与x 轴一个交点的坐标为(1,0)-，则根据对称性可知另一个交点坐标为(3,0)；故而220ax ax c -+=的两个根为1-，3故答案为：1-，3．【点评】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，求得a 与c 的关系是解题的关键．14．（3分）已知点1(4,)A y ，B ，2)y ，3(2,)C y -都在二次函数2(2)y x m =--的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为312y y y >>．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线2x =，然后比较三个点离直线2x =的远近得到1y 、2y 、3y 的大小关系．【解答】解：1(4,)A y ，B ，2)y ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，4<，21y y ∴<，∴点A 离直线2x =近，点C 离直线2x =最远，而抛物线开口向上，则31y y >，故312y y y >>，故答案是：312y y y >>．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．15．（3分）点(,)P m n 在二次函数22y x x =-的图象上，当03m 时，则n 的取值范围是13n - ．【分析】将二次函数解析式整理成顶点式形式，然后确定出对称轴，再根据二次函数的增减性求出m 取值范围内的最大值，然后写出n 的取值范围即可．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，所以，对称轴为直线1x =，03m ，10a =>，∴当1m =时，n 有最小值1-，当3m =时，n 有最大值为2323963-⨯=-=，所以，n 的取值范围是13n - ．故答案为：13n - ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性以及最值问题．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）解方程：（1）23210x x --=（2）224(1)0x x --=【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）23210x x --= ，(1)(3)0x x ∴-+=，则10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-；（2）224(1)0x x --= ，(21)(21)0x x x x ∴+--+=，即(31)(1)0x x -+=，则310x -=或10x +=，解得113x =，21x =-．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆的顶点都在格点上．（1）将ABC ∆以原点O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，画出旋转后的△111A B C ．（2）画出△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ；（3）ABC ∆和△222A B C 是否关于直线对称？若是，请写出对称轴的解析式；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 、C 的对应点1A 、1B 、1C ，从而得到△111A B C ；（2）根据关于x 轴对称的点的坐标特征写出点2A 、2B 、2C ，然后描点即可得到△222A B C ；（3）观察点A 与2A ，点B 与2B ，点C 与2C 的坐标，可得到它们分别关于直线y x =-对称，于是可判断ABC ∆和△222A B C 关于直线y x =-对称．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）如图，△222A B C 为所作；（3）ABC ∆和△222A B C 关于直线y x =-对称．【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．18．（9分）已知关于x 的一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m 的值．【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围；（2）找出m 范围中的正整数解确定出m 的值，经检验即可得到满足题意m 的值．【解答】解：（1）一元二次方程22(22)40x m x m +++-=有两个不相等的实数根，∴△2224(22)41(4)8200b ac m m m =-=+-⨯⨯-=+>，∴52m >-；（2）m 为负整数，1m ∴=-或2-，当1m =-时，方程230x -=的根为：1x =2x =，当2m =-时，方程220x x -=的根为10x =，22x =都是整数，符合题意．综上所述2m =-．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．19．（9分）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x 人，则第一轮后共有(1)x +人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有1(1)x x x -+-人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．【解答】解：（1）(1)x +人，（2）设在每轮传染中一人将平均传给x 人根据题意得：1(1)21x x x -+-=整理得：2121x -=解得：1x =，2x =1x ，2x 都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．20．（9分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上任意一点，以点C 为旋转中心，取旋转角等于90︒，把BDC ∆逆时针旋转．（1）画出旋转后的图形；（2）判断2AD 、2BD 、2CD 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由于CA CB =，90ACB ∠=︒，则点B 的对应点为A 点，作EC CD ⊥且EC DC =得到点E ，则ACE ∆满足条件；（2）先判断ACB ∆为等腰直角三角形得到45B CAB ∠=∠=︒，再根据旋转的性质得CE CD =，AE BD =，90DCE ∠=︒，45CAE B ∠=∠=︒，则90EAD ∠=︒，然后利用勾股定理得到22222DE CE CD CD =+=，222AD AE DE +=，于是得到2222AD BD CD +=．【解答】解：（1）如图，CAE ∆为所作；（2）2222AD BD CD +=．理由如下：90C ∠=︒ ，AC BC =，ACB ∴∆为等腰直角三角形，45B CAB ∴∠=∠=︒，BDC ∆ 绕点C 逆时针旋转90︒得到AEC ∆，CE CD ∴=，AE BD =，90DCE ∠=︒，45CAE B ∠=∠=︒，454590EAD CAE CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，在Rt CDE ∆中，22222DE CE CD CD =+=，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE +=，2222AD BD CD ∴+=．【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（10分）某商店购进一种商品，每件商品进价为30元，试销中发现：销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件．若这种商品的销售量y （件)与销售价格x （元)存在一次函数，请回答下列问题：（1）求出y 与x 的关系式；（2）设商店销售这种商品每天获利w （元)，写出w 关于x 的函数关系式；①当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格定为多少比较合理；②销售价格定为多少时，商店获利最大，最大利润是多少元？【分析】（1）设y 与x 的关系式为y kx b =+，根据销售价格为36元/件时，每天销售28件；销售价格为32元/件时，每天销售36件，利用待定系数法即可求出该关系式；（2）根据“利润=（销售单价-进价）⨯销售数量”即可得出w 关于x 的函数关系式；①令150w =，求出x 值，即可得出结论；②利用配方法得出22(40)200w x =--+，利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设y 与x 的关系式为y kx b =+，根据题意得：36283236k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2100k b =-⎧⎨=⎩，y ∴与x 的关系式为2100y x =-+．（2）由已知得：2(30)21603000w y x x x =-=-+-．①令150y =，即221603000150x x -+-=，解得：135x =，245x =．答：当商店销售这种商品每天获利150元，销售价格应定为35或45元．②22216030002(40)200w x x x =-+-=--+ ，∴当40x =时，w 取最大值，最大值为200．答：销售价格定为40元时，商店获利最大，最大利润是200元．【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y 关于x 的函数关系式；（2）根据数量关系找出y 关于x 的函数关系式；①令150y =求出x 值；②根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式是关键．22．（10分）如图1，将两个等腰三角形ABC 和DEC 拼合在一起，其中90C ∠=︒，AC BC =，CD CE =．（1）操作发现如图2，固定ABC∆绕着顶点C旋转，使点D落在BC边上．∆，把DEC填空：线段AD与BE的关系是①位置关系：AD BE⊥②数量关系：（2）变式探究当DEC∆绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）解决问题如图4，已知线段5AB=，线段AC=，以BC为边作一个正方形BCDE，连接AD，随着边BC的变化，线段AD的长也会发生变化．请直接写出线段AD的取值范围．【分析】（1）延长AD交BE于点F．依据SAS证明ACD BCE∆≅∆，由全等三角形的性质可得到AD BE=，然后再由CAD CBE∠=∠，可得到∠=∠，CDA FDB ∠=∠=︒；90DFB DCA（2）如图2所示：记AD与BC的交点为O，BE与AD的交点为F．先证明ACD BCE∠=∠，然后依据SAS证明ACD BCE=，然后由∆≅∆，由全等三角形的性质可得到AD BEACO BFO∠=∠，可证明90∠=∠=︒；∠=∠，AOC BOFCAD CBE（3）过点C作CE AC=，连结BE，先在等腰直角ACE∆中求得AE的长，⊥，取AC CE然后依据三角形的三边关系可求得BE的取值范围，最后依据SAS证明BCE DCA∆≅∆，由全等三角形的性质得到AD BE=，故此可求得AD的取值范围．【解答】解：（1）延长AD交BE于点F．在ACD ∆和BCE ∆中，90CD CE ACD ECB AC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，ACD BCE ∴∆≅∆．AD BE ∴=，CAD CBE ∠=∠．又CDA FDB ∠=∠ ，90DFB DCA ∴∠=∠=︒．AD BE ∴⊥．故答案为：AD BE ⊥，AD BE =．（2）如图2所示：记AD 与BC 的交点为O ，BE 与AD 的交点为F．90ACB ECD ∠=∠=︒ ，ACB BCD ECD BCD ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠．在ACD ∆和BCE ∆中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD BCE ∴∆≅∆．AD BE ∴=，CAD CBE ∠=∠．又AOC BOF ∠=∠ ，90ACO BFO ∴∠=∠=︒．AD BE ∴⊥．（3）如图3所示：过点C 作CE AC ⊥，取AC CE =，连结BE．AC CE == ，90ACE ∠=︒，4AE ∴=．4AE = ，5AB =，19BE ∴<<．90DCB ACE ∠=∠=︒ ，DCB BCA BCA ACE ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠．在BCE ∆和DCA ∆中AC CE BCE ACD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BCE DCA ∴∆≅∆．AD BE ∴=．19AD ∴<<．【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系、等腰三角形的性质，掌握本题中辅助线的作法是解答问题（3）的关键．23．（11分）如图，抛物线2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出QAB ∆为等腰三角形的点Q 共有几个？并求以AB 为底边时，点Q的坐标．【分析】（1）抛物线经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ，可利用两点式法设抛物线的解析式为(1)(6)y a x x =+-，代入(5,6)B -即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形PACB 分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设2(,56)P m m m --，四边形PACB 的面积为S ，用字母m 表示出四边形PACB 的面积S ，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P 的坐标．（3）分三种情况画图：①以A 为圆心，AB 为半径画弧，交对称轴于1Q 和4Q ，有两个符合条件的1Q 和4Q ；②以B 为圆心，以BA 为半径画弧，也有两个符合条件的2Q 和5Q ；③作AB 的垂直平分线交对称轴于一点3Q ，有一个符合条件的3Q ；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出3Q 坐标．【解答】解：（1）设(1)(6)(0)y a x x a =+-≠，把(5,6)B -代入：(51)(56)6a +-=-，1a =，2(1)(6)56y x x x x ∴=+-=--；（2）存在，如图1，分别过P 、B 向x 轴作垂线PM 和BN ，垂足分别为M 、N ，设2(,56)P m m m --，四边形PACB 的面积为S ，则256PM m m =-++，1AM m =+，5MN m =-，651CN =-=，5BN =，AMP BNC PMNB S S S S ∆∆∴=++梯形，22111(56)(1)(656)(5)16222m m m m m m =-++++-++-+⨯⨯，231236m m =-++，23(2)48m =--+，当2m =时，S 有最大值为48，这时2256252612m m --=-⨯-=-，(2,12)P ∴-，（3）这样的Q 点一共有5个，①以A 为圆心，以AB 为半径画弧，交抛物线的对称轴于1Q 、4Q ，则14AQ AQ AB ==，设对称轴交x 轴于E ，2254956(24y x x x =--=--；∴抛物线的对称轴是：52x =，(1,0)A - ，(5,6)B -，AB ∴==，57122AE ∴=+=，由勾股定理得：142Q E Q E ===，15(2Q ∴，45(2Q ，②以B 为圆心，以AB 为半径画弧，交抛物线的对称轴于2Q 、5Q ，25Q E Q E AB ∴===，过B 作15BF Q Q ⊥于F ，则25Q F Q F =，(5,6)B - ，52BF ∴=，由勾股定理得：22Q F ==，512622Q E ∴=+=，55(2Q ∴，122+-，212622Q E -=-= ，25(2Q ∴，③连接3Q A 、3Q B ，因为3Q 在对称轴上，所以设35(2Q ，)y ， △3Q AB 是等腰三角形，且33Q A Q B =，由勾股定理得：222255(1)(5)(6)22y y ++=-++，52y =-，35(2Q ∴，5)2．综上所述，点Q 的坐标为：5(2，2或5(2，2或5(2，12)2-或5(2，12)2-或5(2，5)2．【点评】本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．。

河南省洛阳市2019～2020学年度高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析

河南省洛阳市2019～2020学年度高一第一学期期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12小题)1.若U＝{2,3,4,5},M＝{3,4},N＝{2,3},则(∁U M)∩(∁U N))是()A.3,B.C.4,D.2.函数的定义域为()A. B.且C. D.3.设,则f(f(－1))的值为()A.5B.6C.9D.104.定义运算：,则函数f(x)＝1⊕2x的值域是()A. B. C. D.5.已知a＞0且a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是()A.与B.与C.与D.与6.函数f(x)＝()x－3的零点所在的区间为()A. B. C. D.7.函数的奇偶性为( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数8.已知a＝log20.1,b＝20.1,c＝0.21.1,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.9.函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是()A. B.C. D.10.定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上递增,,则满足f(log8x)＞0的x的取值范围是()A. B. C. D.11.若偶函数是自然对数的底数)的最大值为n,则f(n m)＝()A. B. C.e D.112.已知定义在(0,＋∞)上的单调函数f(x),满足f(f(x)－x2)＝2,则不等式f(x)＞7x－11的解集为()A. B.C.或D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知幂函数y＝f(x)的图象过点＝______.14.某商品进货单价为30元,按40元一个销售,能卖40个；若销售单位每涨1元,销售量减少一个,要获得最大利润时,此商品的售价应该为每个______元.15.函数f(x)＝ln(x＋4)＋ln(1－x)的单调增区间是______.16.已知集合M＝{x|m•4x－2x＋1－1＝0},N＝{x|－1≤x≤1},若M∩N＝∅,则实数m的取值范围为______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知集合A＝{x|3≤3x≤27},B＝{x|log2x＞1}.(1)求A∩B,A∪B；(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a},若C∪A＝A,求实数a的取值范围.18.计算下列各式：(1)；(2).19.若函数,(Ⅰ)在给定的平面直角坐标系中画出函数f(x)图象；(Ⅱ)利用图象写出函数f(x)的值域、单调区间.20.已知函数是定义在R上的奇函数,且.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)在(1,＋∞)上的单调性.21.已知函数的定义域为[,2].(1)若t＝log2x,求t的取值范围；(2)求y＝f(x)的值域.22.已知函数f(x)＝.(1)判断并证明f(x)的奇偶性；(2)当x∈[1,＋∞)时,mf(x)≤2x－2恒成立,求实数m的取值范围.答案和解析1.【参考答案】D【试题分析】解：∵U＝{2,3,4,5},M＝{3,4},N＝{2,3},∴(∁U M)＝{2,5},(∁U N)＝{4,5},则(∁U M)∩(∁U N))＝{5},故选：D.根据集合补集的定义,结合交集进行运算即可.本题主要考查集合的基本运算,结合补集,交集的定义是解决本题的关键.比较基础.2.【参考答案】D【试题分析】解：由题意可得,,解可得,－1＜x≤3,故函数的定义域为(－1,3].故选：D.由题意可得,,解不等式即可求解函数的定义域.本题主要考查了函数定义域的求解,属于基础试题.3.【参考答案】B【试题分析】解：∵,∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2,f(f(－1))＝f(2)＝3×2＝6.故选：B.推导出f(－1)＝(－1)2＋1＝2,从而f(f(－1))＝f(2),由此能求出结果.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.【参考答案】A【试题分析】解：f(x)＝1⊕2x＝.∵当x≤0时,f(x)＝2x∈(0,1]；当x＞0时,f(x)＝1,∴f(x)的值域为(0,1].故选：A.根据新运算法则求解f(x)的解析式和x的范围,由分段函数的性质求解值域.本题考查了函数值域的求法,考查了分类讨论思想,解答此题的关键是理解题意,属基础题. 5.【参考答案】B【试题分析】解：A中y＝定义域为R,而y＝()2定义域为[0,＋∞),定义域不同,不是同一函数；C中y＝定义域[2,＋∞)∪(－∞－2],y＝•定义域为[2,＋∞),定义域不同,不是同一函数；D中y＝log a x2定义域为,(－∞,0)∪(0,＋∞)定义域不同,不是同一函数；所以只有B正确,故选：B.判断函数的定义域与对应法则是否相同,即可判断两个函数是否相同函数.本题考查函数的基本性质,判断两个函数是否相同,需要判断定义域与对应法则是否相同. 6.【参考答案】C【试题分析】解：∵f(x)＝()x－3在定义域内属于单调递增函数,且f(0)＝－2,f(1)＝－,f(2)＝－,f(3)＝,f(4)＝, ∴f(x)的零点区间为(2,3),故选：C.f(x)＝()x－3在定义域内属于单调递增函数,根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解；考查二分法确定函数的零点区间；7.【参考答案】A【试题分析】本题考查了函数的奇偶性,属中档题.先求出定义域为[－2,0)∪(0,2],再根据定义域化简解析式,观察可知为奇函数.【试题答案】解：f(x)＝的定义域为[－2,0)∪(0,2],所以f(x)＝＝,f(－x)＝＝－＝－f(x),所以f(x)为奇函数.故选：A.8.【参考答案】D【试题分析】解：a＝log20.1＜0,b＝20.1＞1,c＝0.21.1∈(0,1).∴b＞c＞a.故选：D.利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9.【参考答案】B【试题分析】解：∵当x＞1时,f(x)＝ln|x－1|＝ln(x－1),其图象为：∵当x＜1时,f(x)＝ln|x－1|＝ln(1－x),其图象为：综合可得,B符合,故选：B.题目中函数解析式中含有绝对值,须对x－1的符号进行讨论,去掉绝对值转化为对数函数考虑,利用对数函数的图象与性质解决.本题考查对数函数的图象与性质,对数函数的图象是对数函数的一种表达形式,形象地显示了函数的性质,为研究它的数量关系提供了“形”的直观性.10.【参考答案】C【试题分析】解：定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)递增,,∴f(x)在(－∞,0)上递增,且f(－)＝0,又∵f(log8x)＞0,∴log8x＞或－＜log8x＜0,解可得,x＞2或,故x的取值范围为()∪(2,＋∞).故选：C.由已知结合奇函数的对称性可得,log8x＞或－＜log8x＜0,解对数不等式即可求解.本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式,解题的关键是灵活利用对称性.11.【参考答案】A【试题分析】解：∵函数是自然对数的底数)的最大值为n,∴当x＝m时,函数是自然对数的底数)的最大值为n＝1,∵f(x)是偶函数,∴f(1)＝f(－1),∴()＝(),∴(1－m)2＝(m＋1)2,1＋m2－2m＝1＋m2＋2m,解得m＝0,∴f(n m)＝f(1)＝e－1＝.故选：A.当x＝m时,函数是自然对数的底数)的最大值为n＝1,再由f(x)是偶函数,求出m＝0,由此能求出f(n m).本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.12.【参考答案】C【试题分析】解：∵f(x)是定义在(0,＋∞)上的单调函数,∴由f(f(x)－x2)＝2得,f(x)＝x2＋c,∴f(c)＝c2＋c＝2,且c＞0,解得c＝1,∴f(x)＝x2＋1,∴由f(x)＞7x－11得,x2＋1＞7x－11,且x＞0,解得0＜x＜3或x＞4,∴原不等式的解集为{x|0＜x＜3或x＞4}.故选：C.根据题意可设f(x)＝x2＋c,从而可得出f(c)＝c2＋c＝2,根据c＞0可解出c＝1,从而得出f(x)＝x2＋1,从而根据原不等式得出x2＋1＞7x－11,且x＞0,解出x的范围即可.本题考查了单调函数的定义,一元二次不等式的解法,考查了推理和计算能力,属于基础题.13.【参考答案】【试题分析】解：设f(x)＝x n,n是有理数,则∵幂函数的图象过点∴＝2n,即2－2＝2n,可得n＝－2∴幂函数表达式为f(x)＝x－2,可得f(3)＝3－2＝故答案为：设f(x)＝x n,n是有理数,根据f(2)＝计算出n＝－2,从而得到函数表达式,求出f(3)的值.本题给出幂函数经过定点,求幂函数表达式,着重考查了幂函数的定义与简单性质等知识,属于基础题. 14.【参考答案】625【试题分析】解：设售价为x元,总利润为W元,则W＝(x－30)[40－1×(x－40)]＝－x2＋110x－2400＝－(x －55)2＋625,∴x＝55时,获得最大利润为625元故答案为：625根据题意,总利润＝销售量×每个利润,设售价为x元,总利润为W元,则销售量为40－1×(x－40),每个利润为(x －30),据此表示总利润,利用配方法可求最值.本小题主要考查函数模型的选择与应用,考查配方法求最值,属于中档题.15.【参考答案】【试题分析】解：函数f(x)＝ln(x＋4)＋ln(1－x),定义域{x|－4＜x＜1},f(x)＝ln(x＋4)＋ln(1－x)＝ln(x＋4)(1－x),令t＝(x＋4)(1－x),当x时单调递增,当x时单调递减,则y＝ln t.为增函数,由复合函数的单调性“同增异减”得：函数f(x)单调递增区间为,单调递减区间为,故答案为：.先求定义域,采用复合函数判断单调性的方法得出结论.本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数函数的定义域,复合函数的单调性规律,属于基础题.16.【参考答案】【试题分析】解：∵M∩N＝∅,∴①m＝0时,M＝∅,满足条件；②m≠0时,△＝4＋4m＜0,即m＜－1时,M＝∅,满足条件；△＝4＋4m≥0,即m≥－1时,设2x＝t,(t＞0),则mt2－2t－1＝0,且或,∴或m＞8,∴综上得,实数m的取值范围为.故答案为：.根据M∩N＝∅,可讨论m：m＝0时,得出M＝∅,满足题意；m≠∅时,根据韦达定理即可判断出方程m•4x－2x＋1－1＝0无解,即得出M＝∅,满足题意,从而得出m的范围为全体实数.本题考查了描述法的定义,交集的定义及运算,空集的定义,韦达定理,考查了计算和推理能力,属于基础题.17.【参考答案】解：(1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3},B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}.则A∩B＝{x|2＜x≤3},A∪B＝{x|x≥1}.(2)若C∪A＝A,则C⊆A,当C＝∅时,则a≤1,满足条件.则C≠∅,则a＞1,则要满足C⊆A,则1＜a≤3,综上a≤3,即实数a的取值范围是a≤3.【试题分析】(1)求出集合的等价条件,结合交集,并集的定义进行求解即可.(2)结合集合关系转化为C⊆A,利用集合关系进行求解即可.本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用,求出集合的等价条件,结合集合关系进行转化是解决本题的关键.比较基础.18.【参考答案】解：(1)＝＋－1＋,＝,＝5；(2),＝2－2－＋,＝－2×3＋1＝－5.【试题分析】(1)结合指数的运算性质即可求解；(2)结合指数与对数的运算性质即可求解.本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.19.【参考答案】解：(Ⅰ)函数图象如图所示；(II)由图象可得函数的值域为(－∞,－1]∪(1,＋∞)单调递减区间为[－1,0]单调递增区间为(－∞,－1)和(0,＋∞)【试题分析】(I)利用指数函数和二次函数图象的画法,分段画出f(x)的图象即可；(II)由图象看,函数的值域即函数图象的纵向分布,函数的单调区间即函数随自变量增大的变化趋势,由图象读出这些信息即可本题主要考查了分段函数函数图象的画法,函数的值域及函数单调性的直观意义,辨清函数概念和性质是解决本题的关键20.【参考答案】解：(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)＝0,且,∴,解得,∴；(2)f(x)在(1,＋∞)上单调递减,证明如下：设x1＞x2＞1,则＝,∵x1＞x2＞1,∴x2－x1＜0,x1x2－1＞0,且,∴,∴f(x1)＜f(x2),∴f(x)在(1,＋∞)上单调递减.【试题分析】(1)根据f(x)是R上的奇函数即可得出f(0)＝b＝0,再根据即可求出a＝1,从而得出；(2),从而可以看出f(x)在(1,＋∞)上单调递减,根据减函数的定义证明：设任意的x1＞x2＞1,然后作差,通分,提取公因式,得出,根据x1＞x2＞1说明f(x1)＜f(x2)即可得出f(x)在(1,＋∞)上单调递减.本题考查了奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,已知函数求值的方法,函数的单调性,减函数的定义,考查了推理和计算能力,属于基础题.21.【参考答案】解：(1)∵,∴t＝log2x∈[－2,1],(2)∵＝(1＋log2x)(2＋2log2x),∴f(t)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝在[－2,]上单调递减,在[－,1]上单调递增,当t＝－即x＝时,函数取得最小值－,当t＝1即x＝2时,函数取得最大值6故函数的值域为[－,6].【试题分析】(1)由,结合对数函数的单调性可求t的范围；(2)先对函数进行化简,然后结合二次函数的单调性即可求解函数的值域.本题主要考查了函数的定义域及值域的求解,解题的关键是二次函数的性质的应用.22.【参考答案】解：(1)f(x)为定义域为R的奇函数,证明如下：∵f(x)＝,∴f(－x)＝＝＝－f(x),∴f(x)为定义域为R的奇函数,(2)由x∈[1,＋∞)时,mf(x)≤2x－2恒成立,可得m≤2x－2,∵x≥1,∴＞0,∴m≤在x≥1恒成立,令t＝2x－1,则t≥1,∴m＝t＋1,设g(t)＝t＋1,则g(t)在[1,＋∞)上单调递增,∴g(t)min＝g(1)＝0,∴m≤0,故m的范围为：(－∞,0].【试题分析】(1)要判断函数的奇偶性,只要检验f(－x)与f(x)的关系即可；(2)由已知及x≥1,可判断＞0,从而原不等式可转化为m≤在x≥1恒成立,构造函数,利用单调性可求.本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,及利用函数的单调性求解函数的最值,体现了转化思想的应用.。

河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷含答案

∵ 当푥 < 1时，푓(푥) = ln|푥−1| = ln(1−푥)，其图象为：
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综合可得，B 符合，故选：B．题目中函数解析式中含有绝对值，须对푥−1的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决．本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：푎 = l(o0g2,01.1)< 0，푏 = 20.1 > 1，푐 = 0.21．.1 ∈
∴ 푏 > 푐 > 푎．
故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解： ∵ 当푥 > 1时，푓(푥) = ln|푥−1| = ln(푥−1)，其图象为：
∴ 当푥 = 푚时，函数푓(푥) = 푒−(푥−푚)2(푒是自然对数的底数)的最大值为푛 = 1，
∵ 푓(푥)是偶函数， ∴ 푓(1) = 푓(−1)，
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∴ (1푒)(1−푚)2= ( 1푒) (−1−푚)2， ∴ (1−푚)2 = (푚 + 1)2， 1 + 푚2−2푚 = 1 + 푚2 +2푚，解得푚 = 0，
푓(푥) > 7푥−11的解集为( )
A. ⌀
B.
{푥|0
<푥
<
7− 7
13或푥
>
7
+ 2
13}
C. {푥|0 < 푥 < 3或푥 > 4}