第一章命题逻辑(1)

定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结 词 , , , , ，将它们组成一个集合， 称 , , , , 为一个联结词集.其中 为一元联结词，其余的都是二元联结词.
例1.4 将下列命题符号化
(1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖不仅用功而且聪明. (3) 吴颖虽然聪明，但不用功. (4) 张辉和王丽都是三好学生.
三、复合命题真假值
通常用1表示真，用0表示假，复合命题的真假值如下表 p q
0 0 0 1 1 0 1 1
p
1 1 0 0
p q
0 0 0 1
p q
0 1 1 1
p q
1 1 0 1
p q
1 0 0 1
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺 ( ), , , , , ，对于同一优先级的联结词， 序： 先出现者先运算.
例 将下列自然语言形式化: （1）如果天不下雨并且不刮风，我就去书店。 （2）小王边走边唱。 （3）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 （4）此时，小纲要么在学习，要么在玩游戏。 （5）如果天不下雨，我们去打篮球，除非班上有会。 解 （1）设p：今天天下雨，q：今天天刮风，r：我去书店。 p q r 则原命题符号化为：
定义1.2 设 p, q 为二命题，复合命题“p 并且 q ” p q p q pq (或“ 与 ”)称为 与 的合取式，记作 ,∧称作合取联结词。并规定 p q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真。
f∧：{00，01，10，11}→{0，1} ， f∧(00)=0， f∧(01)=0， f∧(10)=0， f∧(11)=1
f→：{00，01，10，11}→{0，1}， f→(00)=1， f→(01)=1， f→(10)=0， f→(11)=1
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p →q 1 1 0 1
例 • (1) • • 上。 • (2) •
p：他努力学习。 q：他门门功课90分以上。则 p→q：如果他努力学习，则他门门功课90分以 r：三七二十一。则 p→r：如果他努力学习，则三七二十一。
复合命题与联结词
例 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是 素数；如果2是素数，则3也是素数； 2是素数当且仅 当3也是素数. 全是命题. 上述命题都是通过诸如“或”，“如果，则”等 连词联结而成，这样的命题，称为复合命题.相对地， 构成复合命题的命题称为简单命题.
数理逻辑中，通常通过下列“联结词”来构成复合命题
例 下列语句不是命题：
（1）你能帮助我吗？ （2）这个人个子真高！ （3）请勿吸烟。 （4）x＞7。 (5)我所说的 是假的. （1）、（2）、（3）均不是陈述句，因而不是命题。 （4）是陈述句，但它的真假取决于变量x的取值，例 如取x为4时其值为真，取x为2时其值为假，即其真值 不唯一，因此不是命题。(5)是陈述句，但是悖论，因 而不是命题。
例1.7 令 p：北京比天津人口多.
q：2+2＝4. r：乌鸦是白色的. 求下列复合命题的真值： (1)
p q p q r
(2) q r p r
(3) p r p r
解: p，q，r的真值分别为1，1，0，容易算出(1)，(2)，(3) 的真值分别为1，1，0.
注意： 在使用联结词 时，要特别注意以下几点：
1．在自然语言里，特别是在数学中，q是p的必要条件有 许多不同的叙述方式。例如，“只要p，就q”，“因为p，所 以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”，“除非q， 否则非p”等等。以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都 表达的是q是p的必要条件，因而所用联结词均应符号化为 pq ，上述各种叙述方式都应符号化为 2．在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具 有某种内在联系。而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联系 。 3．在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是 前件p为真，后件q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作 p q 均为真。也 为一种规定，当p为假时，无论q是真是假， 就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题 p q 为假 。
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p q 1 0 0 1
例
(1)p：2+2=4。
q：5是素数。则
p q：2+2=4当且仅当5是素数。
(2)p：∠A=∠B。
q：二角是同位角。则 p q：∠A=∠B当且仅当二角是同位角。
在（1）中的p与q并无内在关系，但因二者均为真，所以 p q的真值为1。 在（2）中由于相等的两角不一定是同位角，所以真值为 0。
由题意可知，(3)中“或”应为排斥或 t. u ， 的联合取值情况 有四种：同真，同假，一真一假(两种情况).如果也符号化为 t u 张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意如何达到只能挑 一个房间的要求呢？可以使用多个联结词，符号化为
u ：张晓静挑选203房间.
t u t u
从上面讨论可以看出，判断一个语句是否是命题的关键是： 1)语句必须是陈述句。 2)陈述句必须具有唯一的真值。要注意两点： ①一个陈述句在客观上能判断真假，而不受人的知识范围的 限制。 ②一个陈述句暂时不能确定真值，但到了一定时候就可以确 定，与一个陈述句的真值不能唯一确定是不同的 以上所讨论的命题均是一些简单陈述句。在语言学中称为简单 句，其结构均具有“主语+谓语”的形式，在数理逻辑中，我 们将这种由简单句构成的命题称为简单命题，或称为原子命题， 用p、q、r、pi、qi、ri等符号表示（必要时亦可用其它小写的 英文字母表示）。如： p： 3是素数。 q：雪是黑色的。 r：《几何原本》的作者是欧几里德。
f∨：{00，01，10，11}→{0，1}， f∨(00)=0， f∨(01)=1， f∨(10)=1， f∨(11)=1
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p ∨q 0 1 1 1
例(1) p：李红喜欢看小说。 (2) p：明天刮风。 q：李红喜欢画画。 q：明天下雨。 p∨q：明天或者刮风或者下雨。 p∨q：李红喜欢看小说或喜欢画画。 注 “∨”的逻辑关系是明确的。即p、q二命题中至少有一个 为真则析取式为真。因而，自然语言中常用的联结词诸如： “或者……或者……”、“可能……可能……”等，都可以符号化为 “∨”。但日常语言中的“或”是具有二义性的，用“或”联 结的命题有时是具有相容性的，如例1.1.6中的二例，我们称 之为可兼或。而有时又具有排斥性，称为不可兼或（异或）， 如： （1）小李明天出差去上海或去广州。 （2）刘昕这次考试可能是全班第一也可能是全班第二。
u 中一个为真，一个为假，它 此复合命题为真当且仅当 t ， 准确地表达了(3)的要求.当t 为真 u 为假时，张晓静得到202 房间，t 为假 u 为真时，张晓静得到203房间，其它情况下， 她得不到任何房间. 可见，相斥或可由相容或表示出来.
定义1.4 设 p ，q 为二命题，复合命题“如果 p ，则 q ”称作p与q的蕴涵式，记作 p q ，称作蕴 涵联结词。并规定 p q 为假当且仅当p为真q为假 。 pq 的逻辑关系表示q是p的必要条件。
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p^q 0 0 0 1
• 例 • (1) p：4是偶数。q：3是素数。则 • p∧q：4是偶数且3是素数。其真 值为1。 • (2) r：煤是白的。则 • p∧r：4是偶数且煤是白的。真 值为0。
定义1.3 设 p ，q 为二命题，复合命题“p 或q pq q p 与 ”称作 的析取式，记作 ，∨称 p p q 为假当且仅当 q 作析取联结词。并规定 与 同时为假。
离 散 数 学
Discrete Math
数理逻辑
离散数学主要内容
集合论 代数结构 图论
数理逻辑
命题逻辑(Chapter I)
谓词逻辑(Chapter II)
第一章 命题逻辑
1.1 命题符号化与联结词
一、命题的概念
数理逻辑是研究推理的数学分支,推理必须包含前提和结 论,前提和结论是由陈述句组成,于是陈述句是推理的基本要
(5) 张辉与王丽是同学.
解: 首先将原子命题符号化： p: 吴颖用功. q: 吴颖聪明. r: 张辉是三好学生. s: 王丽是三好学生. t: 张辉与王丽是同学.
(1)到(4)都是复合命题，它们使用的联结词表面看 来各不相同，但都是合取联结词，都应符号化为∧， p q, p q, q p (1)到(4)分别符号化为 r s 在(5)中，虽然也使用了联结词“与”，但这 个联结词“与”是联结该句主语的，而整个句子仍 是简单陈述句，所以(5)是原子命题，符号化为t.
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例 下列命题不是简单命题： （1）4是偶数且是2的倍数。 （2）北京不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三内角相等。 上面的命题除（3）的真假需由具体情况客观判断外， 余者的真值均为1。但是它们均不是简单命题，分别 用了“且”、“非”、“或”、“如果……则……”、 “当且仅当”等联结词。
例1.1 判断下列句子是否为命题
(1) 4是偶数.
(2)
2 是无理数.
(3)
x 大于 y .
(4) 月球上有冰. (5) 2100年元旦是晴天. (6)
大于
2 吗？
(7) 请不要吸烟！ (8) 这朵花真美丽啊！ (9) 我正在说假话.
例下述各句均为命题：
（1）3是素数。（2）雪是黑色的。 （3）《几何原本》的作者是欧几里德。
例 将下列命题符号化.
(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐. (2) 张晓静只能挑选202或203房间.
(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐.
q ：张晓静爱听音乐.
p ：张晓静爱唱歌.
p 显然(1)中“或”为相容或，即 pq 与 可以同时真，符号化为
q
(2) 张晓静只能挑选202或203房间.
t ：张晓静挑选202房间.
定义1.1 设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定 称作否定联结 ”)称为p的否定式,记作 p，符号 词.并规定 p为真当且仅当p为假.
f :{0,1} {0,1} f (0) 1 f (1) 0

p 0 1
p
1 0
例
(1)p：南京在江苏省。其真值为0。 p ：南京不在江苏省。其真值为1。 (2)q：这些都是学生。 p ：这些不都是学生。 （注：否定联结词使用的原则：将真命题变成假命题， 将假命题变成真命题。但这并不是简单的随意加个不 字就能完成的。例如上例中的（2），q的否定式就不 能写成“这些都不是学生”。事实上严格来讲，“不 是”不一定否定“是”。如阿契贝难题：“本句是六 字句”与“本句不是六字句”均是真命题。） 一般地，自然语言中的“不”、“无”、“没有”、 “并非”等词均可符号化为
•
（4）2190年人类将移居火星。
（5）地球外也有生命存在。 上述命题中（1）、（3）是真命题，（2）是假命题，其中的 （3）可能有人说不出它的真假，但客观上能判断真假。（4） 的结果目前谁也不知道，但到了时候则真假可辨，即其真值是
客观存在的，因而是命题。同样，（5）的真值也是客观存在
的，只是我们地球人尚不知道而已，随着科学技术的发展，其 真值是可以知道的，因而也是命题。
素.但不是所有的陈述句都是推理的要素,数理逻辑中要求的
是能判断真假的陈述句,称这样的陈述句为命题. 作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值， 真值只取两个值：真或假.真值为真的命题称为真命题，真值
为假的命题称为假命题.真命题表达的判断正确，假命题表达
的判断错误.任何命题的真值都是唯一的. 判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它 是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值.
定义1.5 设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q” 称作p与q的等价式，记作 p q ， 称作等价 联结词。并规定 p q为真当且仅当p与q同时为真 或同时为假。 p q 的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。
f
：{00 ，01，10，11}→{0，1}， f (00)=1， f (01)=0， f (10)=0， f (11)=1