高一数学第一学期期末试题
高一数学第一学期期末试卷及答案5套
高一数学第一学期期末试卷及答案5套完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（ ）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（ ） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24xB x =>，则A B ⋂=（ ） A ．R B ．),1(+∞C ．)2,(-∞D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （ ） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（ ） A. -2 B. 2 C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.49、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13[,]34B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（ ）A. 0B. 2C. 6D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上） 13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分） 已知是的三个内角，向量，，且.(1) 求角； (2)若，求．19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。
天津市高一上学期期末数学试题(解析版)
数学试卷一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，那么是（） cos tan 0θθ⋅>θA. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角 【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.cos tan =sin θθθ⋅【详解】由可知同号，即，cos tan 0θθ⋅>cos ,tan θθcos tan =sin 0θθθ⋅>从而为第一、二象限角，故选A .θ故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.2.（ ） 253364a a a ÷=A .B. C. D. 43a 127a 712a 34a 【答案】C 【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】. 235734612253364a aa a a +-==÷故选：C.3. 函数的零点是（ ） ()sin 1f x x =+A.B. ()π2πZ 2k k +∈()3π2πZ 2k k +∈C. D.()ππZ 2k k +∈()πZ k k ∈【答案】B【解析】 【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.()sin 10f x x =+=【详解】令，则，()sin 10f x x =+=sin 1x =-所以， ()3π2πZ 2x k k =+∈所以函数的零点是. ()sin 1f x x =+()3π2πZ 2k k +∈故选：B.4. 已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）120mm 144mm A. 12B. 1.2C. 16D. 1.6【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为，α则，解得.120144α= 1.2α=故选：B . 5. 设，，，则（ ）． 13log 2a =121log 3b =0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. D. a b c <<b<c<a a c b <<b a c <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c 的范围即得解. 【详解】由题得， 1133log 2log 10a =<=， 112211log log 132b =>=， 0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a cb <<故选：C【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）()sin 21y x =+()sin 21y x =-A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得解.【详解】为了得到函数的图象，()()sin 21=sin 211y x x ⎡⎤=++-⎣⎦只需将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度即可.()sin 21y x =-故选：C .7. 设，，都是正数，且，那么（ ）a b c 346a b c ==A. B. C. D. 111c a b =+221c a b =+122c a b =+212c a b=+【答案】B【解析】【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算346a b c M ===法则计算可得.【详解】解：由，，都是正数，令，则，，a b c 346a b c M ===()1M >3log a M =4log b M =，6log c M =所以，，， 1log 3M a =1log 4M b =1log 6M c=对于A ：，故A 错误； 111log 4log 3log 12log 6M M M M a b c+=+=>=对于B ：，22log 6log 36M M c ==()22212log 3log 4log 3log 4log 34log 36M M M M M M a b +=+=+=⨯=，所以，故B 正确； 221c a b=+对于C ：， ()222222log 32log 4log 3log 4log 34log 1442M M M M M M a b+=+=+=⨯=所以，故C 错误； 122c a b≠+对于D ：， ()221log 32log 4log 3log 4log 3824log 4M M M M M M a b +=+=+=⨯=所以，故D 错误； 212c a b≠+故选：B ．8. 函数的图象大致为 2sin ()1||x f x x =-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，D ，取特殊值排除C ，即可得到答案.【详解】的定义域为关于原点对称 2sin ()1||x f x x =-(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ ()()2sin 2sin ()()1||1||x x f x f x x x --==-=----所以函数是奇函数，故排除B ，D()f x 因为，所以排除C 2sin 4(041||4f πππ==>-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.9. 下述四条性质：①最小正周期是，②图象关于直线对称，③图象关于点对称，④在ππ3x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（ ） ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦A. B. πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据条件判断选项中函数的周期性，单调性以及图像的对称性，从而得到结论.【详解】条件① ：的周期为，排除A ； πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π4π12=条件② ：当代入B ，函数取得最大值，满足关于对称；代入C ，函数取得最小值，满足关于π3x =π3x =对称；代入D ，函数值不是最大值也不是最小值，排除D ； π3x =条件③ ：代入B ，函数值为0，满足；代入C ，函数值为0，满足； π12x =条件④ ：在上，代入B ，是增函数；代入C ，单调ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ2622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ-,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]π20π3x +∈，递减，不满足，排除C ；故选：B二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.log (0a y x a =>1a ≠(4,2)=a 【答案】2【解析】【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点代入得，解得 (4,2)log ay=2log 4a =2a =故答案为：2.11. 已知角的终边经过点那么的值是_______.θ1(2tan θ【答案】【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点 θ1(),2所以为第二象限角，，θtan 0θ∴<由三角函数的定义可得，故答案为tan θ==【点睛】本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 12. 函数的定义域为_________.y =【答案】 3{|1}4x x <≤【解析】 【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域. 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩【详解】由函数解析式知：，解得， 0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩314x <≤故答案为：. 3{|1}4x x <≤13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________. ()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ϕ=【答案】π6【解析】 【分析】根据图象可求得，再利用待定系数法求解即可.,A ωϕ【详解】由图可知， 3,π2T A ==所以，所以，2π2πT ω==1ω=所以，()()3sin f x x ϕ=+则，即， ππ3sin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， π2π,Z 6k k ϕ-+=∈π2π,Z 6k k ϕ=+∈又因，所以. π2ϕ<π6ϕ=故答案为：. π614. 函数在的值域是___________. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】[]2,1-【解析】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】因为，所以， π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以， π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在的值域是. π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,1-故答案为：.[]2,1-15. 已知函数的零点个数为___________. ()4223,0274ln ,0x x f x x x x x +⎧-≤=⎨-+->⎩【答案】3【解析】【分析】分和两种情况讨论，时，函数零点的个数，即为函数0x ≤0x >0x >()2274ln f x x x x =-+-图象交点的个数，作出函数的图象，根据函数图象即2274,ln y x x y x =-+=2274,ln y x x y x =-+=可得解.【详解】当时，由，得， 0x ≤()4023x f x +=-=2log 34x =-当时，由，得，0x >()2274ln 0f x x x x =-+-=2274ln x x x -+=则时，函数零点的个数， 0x >()2274ln f x x x x =-+-即为函数图象交点的个数，2274,ln y x x y x =-+=如图，作出函数的图象，2274,ln y x x y x =-+=由图可知，两函数的图象有个交点，2即当时，函数有个零点， 0x >()2274ln f x x x x =-+-2综上所述，函数有个零点.()f x 3故答案为：.3三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 计算：（1）已知，求的值； 1sin 3α=-()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+⎪⎝⎭（2）求的值. 5551log 35log log 1450+--【答案】（1）19（2）2【解析】 【分析】（1）根据诱导公式计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可.【小问1详解】 ()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2sin 1sin cos sin cos 9ααααα=⋅⋅==【小问2详解】5551log 35log log 1450+-. 51log 3550131214⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭17. 已知为第二象限角，为第一象限角，. α3sin ,5αβ=5cos 13β=（1）求的值；()sin αβ+（2）求的值.()tan 2αβ-【答案】（1） 3365-（2） 204253【解析】【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解； cos ,sin αβ（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.tan 2α【小问1详解】因为为第二象限角，为第一象限角，， α3sin ,5αβ=5cos 13β=所以， 412cos ,sin 513αβ=-=所以. ()3541233sin 51351365αβ⎛⎫+=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭【小问2详解】 ， sin 3sin 12tan ,tan cos 4cos 5αβαβαβ==-==所以， 232tan 242tan 291tan 7116ααα-===---所以. ()241220475tan 22412253175αβ---==⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭18. 已知函数 ()()2πcos 2cos2R 3f x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递增区间.()f x 【答案】（1） πT =（2） π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用两角差的余弦公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【小问1详解】()2πcos 2cos23f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13πcos 22cos 22cos 22223x x x x x x ⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭所以；πT =【小问2详解】令， πππ2π22π232k x k -+≤-≤+得， π5πππ1212k x k -+≤≤+所以的单调递增区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦。
高一数学期末考试试题及答案doc
高一数学期末考试试题及答案doc一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 椭圆答案：B2. 函数f(x)=2x^2-4x+3的零点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=-1答案：A3. 集合{1,2,3}与集合{2,3,4}的交集是：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B4. 如果一个角是直角三角形的一个锐角的两倍，那么这个角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+4x-2在x=1处的导数值是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 + n(n-1)/2C. a_n = a_1 + n^2D. a_n = a_1 + n答案：A7. 圆的面积公式是：A. A = πrB. A = πr^2C. A = 2πrD. A = 4πr^2答案：B8. 以下哪个选项是复数的模？A. |z| = √(a^2 + b^2)B. |z| = a + biC. |z| = a - biD. |z| = a * bi答案：A9. 以下哪个选项是向量的点积？A. a·b = |a||b|cosθB. a·b = |a||b|sinθC. a·b = |a||b|tanθD. a·b = |a||b|secθ答案：A10. 以下哪个选项是三角恒等式？A. sin^2x + cos^2x = 1B. sin^2x - cos^2x = 1C. sin^2x - cos^2x = 0D. sin^2x + cos^2x = 0答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 如果一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么它的公差是______。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
广东省高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{1}{1,5}{3}{1,3}【答案】D【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，， {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =所以，则. {}1,2,3U B =ð(){}1,3U A B = ð故选：D.2．“”是“”的（ ） 0x =20x x +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当时，，充分性成立；0x =20x x +=必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件 20x x +=0x ==1x -故选：A3．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式一定成立的是（ ） 0a b c >>>A ． B ．C ．D ． 22a c b c >c c b a >b a c c<11a b b a+>+【答案】D【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a ，b ，c 满足，所以，，，0a b c >>>0a b ->0ab >0a b +>对于A ，，所以，故A 错误；()()220a c b c c a b a b -=+-<22a c b c <对于B ，，所以，故B 错误；()0--=<c a b c c b a abc c b a <对于C ，，所以，故C 错误； 0b a b ac c c --=>b a c c>对于D ，，所以，故D 正确；()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab 11a b b a +>+故选：D.4．已知，则下列结论正确的是（ ）3sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ． B ．4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． D ． 4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭24sin 35πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，，所以A 不正确；4cos 35πθ⎛⎫-==± ⎪⎝⎭对于B ，，3cos =cos =cos =sin 6232335ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以B 不正确；对于C ，由B 知，，所以，3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 65πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭则，所以C 正确；4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭对于D ，. 23sin sin sin sin 33335ππππθπθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以D 不正确. 故选：C. 5．函数，的值域是（ ） ()222x xf x -=[]1,2x ∈-A ． B ．C ．D ．(]8-∞，1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]0,8【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.()[]222,1,g t x x x ∈-=-()g t ()f x 【详解】令，()[]222,1,g t x x x ∈-=-则， ()()min max (1)1,(1)3,g t g g t g ==-=-=所以()[1,3]g t ∈-又在上单调递增，2x y =R 所以()1322f x -≤≤即()182f x ≤≤故选：B.6．设函数，若关于x 的方程有4个不等实根，则a 的取值范围是()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =（ ） A ． B ．C ．D ．(0,2][0,2)(0,2)[0,2]【答案】A【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. ()f x 【详解】函数的图象如图所示，()fx关于x 的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交()f x a =()y f x =y a =点，所以. 02a <≤故选：A.7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为x y ､1110x y +-=0xy >490x y t +-≥t （ ） A ．9 B ．25C ．16D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实x y ､数的最大值.t 【详解】由得，1110x y +-=111x y +=又因为，所以实数均是正数，0xy >x y ､若不等式恒成立，即；490x y t +-≥min (49)t x y≤+， 114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）当且仅当时，等号成立；55,23x y ==所以，，即实数的最大值为25. min (49)25t x y ≤+=t 故选：B.8．函数是定义在R 上的偶函数，且当时，的解()f x 0x ≥()f x =()()1f x x -≥集为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即()()2,R f x x x =∈可.【详解】因为是定义在R 上的偶函数，故当时，()f x 0x <()()f x f x =-=又当时，； 0x ≥()()2f x x ===当时，， 0x <()()2f x x ===故.()()2,R f x x x =∈故即，()()1f x x -≥()()12f x f x -≥结合偶函数性质与的单调性可得，()f x =12x x -≥即，，解得.()()2212x x -≥()()3110x x -+≤11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知函数的图象关于点对称，则（ ）()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π,06⎛⎫⎪⎝⎭A ．π6ϕ=B ．直线是曲线的一条对称轴 5π12x =()y f x =C ．()()πf x f x +=D ．在区间上单调递增()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【详解】依题意，ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，A 选项错误.ππ4π0π,333ϕϕ<<<+<π2ππ,33ϕϕ+==则，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以直线是曲线的一条对称轴，B 选项正确.5π5π2π3πsin sin 112632f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12x =()y f x =的最小正周期，所以，C 选项正确. ()f x 2ππ2T ==()()πf x f x +=由得，所以不是的递增区间，D 选项错误.π02x <<2π2π5π2333x <+<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故选：BC10．下列说法正确的是（ ） A ．任取，都有 x ∈R 43x x >B ．函数的最大值为113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数（且）的图象经过定点()1xf x a =+0a >1a ≠()0,2D ．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称3xy =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A 不成立；B 选项：根据函数0x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求最大值即可；C 选项：将代入到的解析式中验证即可；D 选项：求出函数()0,2()f x 图象关于轴对称后的解析式即可判断D 选项.3x y =x 【详解】A 选项：当时，，故A 错；0x =00431==B 选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩(),0∞-()0,∞+，故B 正确； 0max113y ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：令，则，所以的图象恒过，故C 正确； 0x =()02f =()f x ()0,2D 选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D 错.3xy =x 133xxy ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“，”的否定为“，” x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++>B ．“或”是“”的必要不充分条件 2x ≠3y ≠5x y +≠C ．已知，，则,,a b c ∈R 22ac bc <a b <D ．当时，的最小值是π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +【答案】BC【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，命题“，”的否定为“，”， A 选项错误. x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++≤B 选项，若“或”，如，，则，即“”不成立； 2x ≠3y ≠1x =4y =5x y +=5x y +≠若“”，则“或”，5x y +≠2x ≠3y ≠所以“或”是“”的必要不充分条件，B 选项正确、 2x ≠3y ≠5x y +≠C 选项，由于，，则，所以，C 选项正确. ,,a b c ∈R 22ac bc <20c >a b <D 选项，，，()π0,,sin 0,12x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +≥=但D 选项错误. 2sin ,sin sin x x x==故选：BC12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其()31xf x =-()()()()()22R g x f x m f x m m ⎡⎤=-++∈⎣⎦中正确的有（ ）A ．任意，函数都恰有3个不同的零点 0m >()g xB ．存在，使得函数没有零点 R m ∈()g xC ．任意，函数都恰有1个零点 0m <()g xD ．存在，使得函数有4个不同的零点 R m ∈()g x 【答案】AC【分析】画出函数的图像，利用函数的零点()31xf x =-转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像：()31xf x =-令()()0f x t t =≥所以化为：()()()()()2[]2R g x f x m f x m m =-++∈，()()22h t t m t m =-++令，()0h t =由()222440m m m ∆+-=+>=所以有两个不同的实数根，()220t m t m -++=设为：，12,t t 所以，12122,t t m t t m +=+=由 ()()()12121211110t t t t t t --=-++=-<所以121t t <<选项A ：任意， 则如图所示：0m >有两个交点，即此时原函数有两个零点， 1()y t f x ==有一个交点，即此时原函数有一个零点， 2()y t f x ==所以共3个不同的零点，故A 选项正确； ()g x 当时，，此时， 0m =120t t =122t t +=10t =22t =故此时函数有2个零点当时，由选项A 知有3个不同的零点； 0m >当时，，0m <120t t m =<有，此时函数有1个零点， 120,1t t <>所以函数至少有1个零点，故B 不正确； 由选项B ，可知C 正确；若存在，使得函数有4个不同的零点， R m ∈()g x 如图：则即：1201,01t t <<<<有两个交点，即原函数有两个零点， 1()t f x =有两个交点，即原函数有两个零点， 2()t f x =共4个零点；此时，121202,0t t t t <+<>当时，矛盾； 0m =12122,0t t t t +==当时，矛盾； 0m >122t t +>当时，矛盾， 0m <120t t <故D 选项错误. 故选：AC.三、填空题 13．____________. 5π19πcostan 225sin 36+︒+=【答案】1【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式. π7π11cos tan 45sin113622⎛⎫⎛⎫=-++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：114．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为()nf x x =()2,8()()210f x f x +-<x __________. 【答案】}{1x x <-【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上()n f x x =(2,8)3n =3()f x x =3()f x x =R 是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得()()210f x f x +-<()()21f x f x <-21x x <-，故取值范围为.1x <-}{1x x <-故答案为： }{1x x <-15．下列命题中：①与互为反函数，其图象关于对称; 2x y =2log y x =y x =②函数的单调递减区间是；1y x=(,0)(0,)-∞+∞ ③当，且时，函数必过定点；0a >1a ≠()23x f x a -=-()2,2-④已知，且，则实数.()231a bk k ==≠121a b +=8k =上述命题中的所有正确命题的序号是______. 【答案】①③【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图象关于对称；x y a =log a y x =y x =所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题①正确； 2a =2x y =2log y x =y x =对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；；1y x=(,0),(0,)-∞+∞对于③，因为，所以令，即，则，()23x f x a -=-20x -=2x =()22232f a -=-=-故过定点，故命题③正确；()f x ()2,2-对于④，因为，所以，()231a bk k ==≠23log ,log a k b k ==所以， 231111log 2,log 3log log k k a k b k====故由得，即，即，121a b+=log 22log 31k k +=()2log 231k ⨯=log 181k =所以，故命题④错误. 18k =故答案为：①③16．若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-x的取值范围是__________．【答案】()4,2-【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-设,则()13t y y y =-+-()()2min 36x m x t y +--<又因为,所以.()()()13132t y y y y y =-+-≥---=()min 2t y =所以即()2362x m x +--<()2380x m x +--<设,()()223838g m x m x mx x x =+--=-++-对于任意,,应用一次函数性质可知[]1,1m ∈-()2380g m mx x x =-++-< ()()2213801380g x x x g x x x ⎧=-++-<⎪⎨-=++-<⎪⎩即得,解得 22280480x x x x ⎧+-<⎨+-<⎩2242x x ⎧--<<⎪⎨-<<⎪⎩则实数的取值范围是. x ()4,2-故答案为: .()4,2-四、解答题17．若集合，． {}24A x x =-<<{}0B x x m =-<(1)若，求．3m =A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围． A B A = 【答案】(1) {}23x x -<<(2){}4m m ≥【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【详解】（1）解：当时，，3m ={}3B x x =<因为，所以；{}24A x x =-<<{}23A B x x ⋂=-<<（2）解：由得,A B A = A B ⊆所以m 的取值范围是.{}4m m ≥18．已知. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)化简；()f α(2)若角为第二象限角，且，求的值. α1sin 3α=()f α【答案】(1) 1tan α-(2)()f α=【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．cos αtan α【详解】（1）. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1cos sin (tan )tan αααααα-==---（2）∵，，角为第二象限角， 1sin 3α=22sin cos 1αα+=α∴，∴cos α=tanα=∴()f α=19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102n n -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额） =总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为， ()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11020．已知函数的最小正周期． ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间和对称中心；()f x (2)求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；ωsin y x =（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域． sin y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为的最小正周期， ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π所以，得，故， 2ππω=2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则由得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈由得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以单调递增区间为，对称中心为. ()f x ()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x +≤≤所以，故，即， 1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x -≤≤所以在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦[]1,2-21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()13x f x =-(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，方程有解，求实数的取值范围. []2,8x ∈()()222log 4log 0f x f a x +-=a 【答案】(1)； 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩(2).[]4,5【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和0x <()0,13x x f x -->-=-()f x ()()f x f x =--，即可求出答案.(0)0f =（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用()()222log 4log 0f x f a x +-=()()222log log 4f x f a x =-是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则()f x R 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈2log t x =在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.240t at -+=[]1,3t ∈【详解】（1）当时，则，0x <()0,13x x f x -->∴-=-是奇函数，.()f x ()()13x f x f x -∴=--=-+又当时，0x =(0)0f =. 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-+<⎩（2）由， ()()222log 4log 0f x f a x +-=可得. ()()222log 4log f x f a x =--是奇函数，()f x .()()222log log 4f x f a x ∴=-又是上的单调减函数，()f x R 所以在有解. 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈令，则在有解.[]2log ,2,8t x x =∈[]21,3,40t t at ∈∴-+=[]1,3t ∈即在有解， 4a t t=+[]1,3t ∈设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为 ∴()4,g t t t=+[]4,5.实数的取值范围为∴a []4,522．已知函数与，其中是偶函数． ()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()f x (1)求实数的值及的值域；k ()f x (2)求函数的定义域；()g x (3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)，函数的值域为 12k =-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得k 函数的值域；()f x （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得4203x a a ⋅->a 函数的定义域；()g x（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数20x t =>()()f x g x =t ()241103a t a ---=的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综a a 合可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，()f x ()()f x f x -=所以，，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-所以，， ()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++则，故，所以， 21k =-12k =-()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+-， ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 0x =()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：对于函数，则有. ()g x 4203x a a ⋅->当时，，不合乎题意； 0a =4203x a a ⋅-=当时，，得； 0a >423x >24log 3x >当时，，得. a<0423x <24log 3x <综上所述，当时，函数的定义域为； 0a >()g x 24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的定义域为. a<0()g x 24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 即方程有且只有一个实根， ()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭即方程有且只有一个实根， 142223x x x a a +=⋅-令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意; 1a =34t =-②当时，由得或， 1a ≠()216Δ4109a a =+-=34a =3-若，则不合题意；若，则满足要求. 34a =2t =-3a =-12t =若，可得或. ()2164109a a ∆=+->3a <-34a >则此时方程应有一个正根与一个负根， ()241103a t a ---=所以，，解得，因为或，故. 101a -<-1a >3a <-34a >1a >综上，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)
完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。
(−∞,3)∪(5,+∞)B。
(−∞,3)∪[5,+∞)C。
(−∞,3]∪[5,+∞)D。
(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。
a^3B。
a^3/2C。
a^3/4D。
都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。
e=1与ln1=0B。
8^（1/3）=2与log2^8=3C。
log3^9=2与9=3D。
log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。
x^2B。
x^3C。
e^xD。
1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。
log2B。
−1/lg2C。
lg2D。
−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。
y=−3x^−2B。
y=3^xC。
y=log_3xD。
y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。
高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
A. 的最小正周期为
B. 图象的一个对称中心为
C. 的值域为
D. 图象的一条对称轴方程为
12.定义：实数 满足 则称 比 远离 .已知函数 的定义域为 任取 等于 和 中远离0的那个值则（）
高一数学试卷
试卷120分钟满分：150分
一选择题：本题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数中周期为 的是（）
A. B.
C. D.
2.函数 的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
3.函数 的部分图象如图所示则 可能是（）
A B.
C. D.
4.已知角 的终边在射线 上则 的值为（）
17.已知复数 .
（1）若 是实数求 的值；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限且 求实数 的取值范围.
18 已知 .
（1）若 三点共线求 满足的等量关系；
（2）在（1）条件下求 的最小值.
19.问题：在 中内角A 所对的边分别为a .
（1）求A；
（2）若 的面积为 ________求 .
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在上面的横线上并完成解答.
20.某网红景区拟开辟一个平面示意图如图 五边形 观光步行道 为景点电瓶车专用道 .
（1）求 的长；
（2）请设计一个方案使得折线步行道 最长（即 最大）.
21.如图所示在 中 与 相交于点 . 的延长线与边 交于点 .
（1）试用 表示 ；
（2）设 求 的值.
22.已知 的内角 所对的边分别为 向量 .
高一数学第一学期期末测试题和答案
高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （ ）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（ ）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（ ）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（ ）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分） 已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市七区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
根据分段函数解析式可得 ，
易知 ；所以
即 .
【小问2详解】
①当 时， ，
解得 ，或 （舍）.
②当 时， ，解得 （舍）.
综上可得 .
即实数a的值为
【小问3详解】
画出函数图象如下所示：
所以，单调递增区间 ，单调递减区间 ，
18.已知指数函数 （a＞0，且 ）的图象过点 ．
（1）求a的值；
∴ ，∴ ；
小问2详解】
，
，
∴ ，
，
.
17.已知函数
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）直接写出 的单调区间．
【答案】（1） ；
（2）
（3）单调递增区间 ，单调递减区间 ，
【解析】
【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可；（2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值；（3）画出函数图象即可直接写出单调区间．
【详解】 ，
当且仅当 ,即 时，取得最小值.
故答案为： .
15.有下列命题：
①函数 的定义域为 ；
②不等式 的解集为 ，则实数k的取值范围为 ；
③函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．则当x＜0时， ．
其中正确命题的序号为______（把正确的答案都填上）．
【答案】①③
【解析】
【分析】对①②③逐一判断，①函数的定义域要满足分母不为0，对数函数的真数大于0，②对不等式的二次项系数分类讨论，分别求的满足条件的集合，即可求得实数k的取值范围，③有函数的奇偶性可知 ，又知当当 时函数的解析式，即可求得当 时函数的解析式.
（2）若 ， ，求m＋n的值；
（3）求不等式 的解集．
2024届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题含解析
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
BD1 3 3 【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线 AD1 与 EF 所成角即为∠AD1B ，难度中等 12、 2 【解析】根据直线一般式，两直线平行则有 A1B2 A2B1 0 ，代入即可求解. 【详解】由题意，直线 x y 2 0 与直线 ax 2y 0 平行，
则有1 (2) 1 a 0 a 2 故答案为： 2
3
，
则反射光线所在直线方程 y 3 3 1 x 4 4 1
即： 4x 5y 1 0
故选 A 10、D 【解析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 对应的二次函数设为： f x x2 (m 2)x 2m 1
(m 2)2 42m 1 0 ，解得 m 6 2 7 ，
当 m 6 2 7 时，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 2 7 ，不合题意；
若 m 6 2 7 ，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 7 2 ，符合题意
综上：实数
m
的取值范围为
不一定有对任意 x R ， f x 0 ，所以 A 错误，
对于 B，当函数 y f x 的图像关于原点成中心对称，可知 f (x) f (x) ，函数 f (x) 为奇函数，所以 B 错误，
2023-2024学年广东省深圳中学高一学期期末数学试题及答案
深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一 科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（ ）A.35B. 35-C.45 D. 45-4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（ ）A.B.C.D. 5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分.的其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长10个时段占比的中位数为20.2%7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（ ）A.B.C.D. 8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的的的9. 下列说法中正确的是（ ）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关10. 下列各式中，值是12的是（ ）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为8112. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（ ）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.14. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.15. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一 科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）A 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方法确定正确答案.【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C 2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C. ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈【答案】B 【解析】【分析】AC 项角度与弧度混用，排除AC ；D 项终边在第三象限，排除D.【详解】因为7πrad 3154= ，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4终边相同的角的集合.的{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（ ）A.35B. 35-C.45 D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α===.故选：A4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为21cos 212sin3αα=-=，所以sin α=，因为()0,πα∈，所以sin α=.故选：B .5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出()P t 的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t -≤≤，所以11525()11525P t -≤≤+，即90()140P t ≤≤，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确；因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C6. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%-=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确．故选：C ．7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（ ）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的变换可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可结合正弦函数的对称性得12πt t +=，进而125π6x x +=，即可求解.【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23x t -=，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x -+-=，则125π6x x +=，所以()125πtan tan 6x x +==．故选：B8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.【详解】考虑三角函数的定义域，对于选项A ，当1k =时，sin π,cos π,tan πn n n 对于任意整数n ，都是整数，满足题意；对于B ，当2k =时，2ππtantan n n k =对于整数1，没有意义，不满足题意；同理可得对于C 和D ，当3ππtantan n n k =或4ππtan tan n n k =时，代入验证可知不满足题意；所以可知最大“好整数”为1故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC 【解析】【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.10. 下列各式中，值是12的是（ ）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒【答案】ACD 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒-︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=-︒-︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502-︒-︒-︒===-︒-︒-︒，D 正确.故选：ACD11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为81【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =，所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+-⨯⨯=，解得2413m =，所以D 错误．故选：BC ．12. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（ ）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点【答案】AB 【解析】【分析】利用三角函数的定义求得α，从而得到()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为ππ1sin ,cos 332⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，cos α=，所以5π2π,6k k α∈=+Z ，则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=-=-5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A : 22111cos 22sin 222αα⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈-=⇒=+Z Z ，仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意，即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.【答案】95【解析】【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =.故答案为：9514. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，分别求得()sin ,cos ααβ+，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<，又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()sin αβ+=<，所以π2π3αβ<+<，则()11cos 14αβ+==-，sin α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯+=.故答案为：1215. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.【答案】43【解析】【分析】由函数为奇函数，得0ϕ=，再根据函数图像关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可知43kω=，根据函数的单调性可得04ω<≤，进而得解.【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=-，又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=；又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=，故答案为：43.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--取值范围是_________．【答案】1[4,]2-【解析】【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含cos β的关系式表示y ，再借助二次函数最值求解即得.【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+由sin()[1,1]αϕ+∈-，得(cos 1)(cos 1)y ββ-+≤≤+，令t =，则t ∈，则22t y t ≤≤--，所以221(42y t t ≥-=-+≥-，当且仅当t =，即cos 1β=时取等号，且2211(22y t t ≤-=-+≤，当且仅当t =，即1cos 2β=-时取等号，的所以y 的取值范围为1[4,]2-.故答案为：1[4,]2-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【小问1详解】因为()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅-==-⋅，所以()cos fαα=-.【小问2详解】由诱导公式可知()1sin πsin 5αα-=-=，即1sin 5α=-，又α是第三象限角，所以cos α===所以()cos fαα=-=.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【答案】（1）1300a =，200n = （2）16.6吨 （3）20.64吨【解析】【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯= ，1.300a ∴=用水量在(]9,12频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）【小问2详解】()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=< ，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72-∴+⨯=-（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>，则()16.6316.6570w m =⨯+-⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）[]0,3（2）5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得()f x 的表达式，结合ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定π26x +的范围，即可求得答案；（2）由π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定πππ2[,2666x m +∈-+，根据()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.【小问1详解】由题意得()()2πcos 2cos f x x x x=-+的πcos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,666x +∈-，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；【小问2详解】由题可得π6m >-，当π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2666x m +∈-+，()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=-⎭=，且()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，而sin y x =在π[,2π)6-有且仅有2个零点，分别为0,π，故π5π11ππ22π,61212m m ≤+<∴≤<，即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）选择模型()0,1x y ka k a =>>符合要求，*32323N 2,11,xy x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭ （2）六月份【解析】【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；（2）由（1）结合已知可得3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，再结合已知数据即可得出答案.【小问1详解】函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y pxk p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数()0,1x y kak a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1x y kak a =>>符合要求，根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；【小问2详解】当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =（2）1,1349n λ==【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由对称性求得ϕ得解析式；（2）由图象变换求得()g x ，然后可得()F x 的表达式，令[]sin 1,1t x =∈-，()0F x =化为22210,Δ80t t λλ--==+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，然后分类讨论()0F x =在(0,π)n 上解的个数后得出结论．【小问1详解】由三角函数的周期公式可得()()2π2,sin 2πf x x ωϕ==∴=+，令()π2π2x k k Z ϕ+=+∈，得()ππ422k x k Z ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0π,1k ϕ<<∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++ ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得22210,Δ80t t λλ--==+>，【则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πNn n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =-时，则212t =，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，（iii ）当11t =，则212t =-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意；此时，1122λ-+=，1λ=，综上所述：1,1349n λ==．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．【答案】（1）()2f x x x =+ （2）在()0,∞+上单调递减，值域是()1,+∞．（3）1-【解析】【分析】（1）利用换元法，令1t x =+，代入化简即可求出函数的解析式；（2）可设4231x u =+-，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；（3）由（2）知，()12g =，()12f =，结合()(),f x g x 的单调性可知当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即为()1h x ≥恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，只需不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【小问1详解】由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，有()()22(1)312f t t t t t =-+-+=+，故()2f x x x =+【小问2详解】函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,∞+，且4231x u =+-在()0,∞+上单调递减及2log y u =单调递增所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减．因为()0,x ∞∈+，42231x u =+>-，所以()g x 的值域是()1,∞+【小问3详解】结合（2）结论知()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减且()12g =，又()2f x x x =+在()0,∞+上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f xg x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ⎡⎤⎡⎤≥⇒≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0=t 代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.。
平顶山市2024届高一数学第一学期期末统考试题含解析
平顶山市2024届高一数学第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知圆C ：x 2+y 2+2x =0与过点A （1，0）的直线l 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（） A.33,22⎡-⎢⎣⎦ B.33,33⎡-⎢⎣⎦C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.[]1,1-2．已知函数，则()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则()()11f f --=A.22log 32- B.2log 71-C.2D.2log 63．如果幂函数()a f x x =的图象经过点()2,4，则()f x 在定义域内A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值4．已知(2,5,6)A -，点P 在y 轴上，||7PA =，则点P 的坐标是A.(0,8,0)B.(0,2,0)C.(0,8,0)或(0,2,0)D.(0,8,0)-5．角α的终边经过点()2,1-，则2sin 3cos αα+的值为（）A.55-C.5D.5-6．已知函数1()sin()f x x ωφ=+（0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为A.2,3π B.2, 3π-C.1, 6π D.1, 6π-7．已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-（）.A.2B.2-C.3D.3-8．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则（）A. B.C. D.9．下表是某次测量中两个变量,x y 的一组数据,若将y 表示为关于x 的函数,则最可能的函数模型是x 23456789y0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型10．已知角α满足2cos2cos 04παα⎛⎫=+≠⎪⎝⎭，则sin2α=A .18- B.78-C.18 D.7811．已知角θ为第四象限角，则点()sin ,tan P θθ位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）A.910 B.45C.25 D.12二、填空题（本大题共4小题，共20分）0.258+（1258-）0+323log=_____14．若tan(2,4πα+=则sin cossin cosαααα-=+______15．已知tan3α=，则sin cossin cosαααα+=-___________16．函数212()log()f x x x=-的单调增区间为________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是()2sin(0,0)3f x A x Aπϕϕπ⎛⎫=+>≤<⎪⎝⎭，其中的振幅为2，且经过点()1,2-.（1）求该噪声声波曲线的解析式()f x以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()g x；（2）将函数()f x图象上各点的横坐标变为原来的3π倍，纵坐标不变得到函数()h x的图象.若锐角θ满足()1013hθ=-，求cos2θ的值.18．已知定义域为R的函数()122xxaf xb+-+=+是奇函数.（1）求,a b的值；（2）判断函数()f x的单调性（只写出结论即可）；（3）若对任意的[1,1]t∈-不等式()()2220f t t f k t-+-<恒成立,求实数k的取值范围19．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.20．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，侧棱13AA =，D 是CB 延长线上一点，且BD BC =()1求二面角1B AD B --的正切值；()2求三棱锥11C ABB -的体积21．函数()()2log 21x f x =-（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4x f x m =-有实数解，求实数m 的取值范围22．已知,a b ∈R ,0a ≠，函数()cos )f x x x b =++，1()sin cos 22a g x a x x a =⋅+++（1）若(0,)x π∈，()5f x b =-+，求sin cos x x -的值；（2）若不等式()()f xg x ≤对任意x ∈R 恒成立，求b 的取值范围参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】利用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系直接求解【详解】根据题意得，圆心（﹣1，0），r ＝1，设直线方程为y ﹣0＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k ＝0∴圆心到直线的距离d =≤1，解得33-≤k 33≤故选B【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题2、B 【解析】因为()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，所以()()()()2112617117log 71f f f f --=---=--==-，，故选B.3、C【解析】由幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，得到2()f x x =，由此能求出函数的单调性和最值【详解】解： 幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，()224a f ∴==，解得2a =，2()f x x ∴=，()f x ∴在(],0x ∈-∞递减，在[)0,x ∈+∞递增，有最小值，无最大值故选C【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答4、C【解析】依题意设()0,,0P b ，根据7PA ==，解得2,8b =，所以选C .5、D【解析】根据三角函数定义求解即可.【详解】因为角α的终边经过点()2,1-，所以5sin 5α==，25cos 5α==-，所以2565452sin 3cos 555αα+=-=-.故选：D6、B 【解析】由条件知道：27,36x x ππ==均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin()0,sin()036w w πφπφ+=+=，由图像知道周期是π，故2w =，故47sin()0,sin()033πφπφ+=+=，再根据三角函数的对称中心得到4+=k 3πφπ，故.3πφ=-如果7433k πφπφπ+=⇒=-，根据2πφ<，得到.3πφ=-故答案为B 点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法7、C 【解析】将cos sin cos sin αααα+-分子分母同除以cos α，再将1tan 2α=代入求解.【详解】11cos sin 1tan 231cos sin 1tan 12αααααα+++===---.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8、D【解析】由线性运算的加法法则即可求解.【详解】如图，设交于点，则.故选：D9、D【解析】对于A ，由于x 均匀增加1，而y 值不是均匀递增，∴不是一次函数模型；对于B ，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于C ，x y a =过()0,1,∴不是指数函数模型，故选D.10、B【解析】∵2cos2cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴2222(cos sin )2(cos sin )(cos sin )(cos sin )02αααααααα-=+-=-≠，∴2cos sin 4αα+=，两边平方整理得11+2sin cos 1+sin28ααα==，∴7sin28α=-．选B 11、C 【解析】根据三角函数的定义判断sin θ、tan θ的符号，即可判断.【详解】因为θ是第四象限角，所以sin 0θ<，tan 0θ<，则点(sin ,tan )θθ位于第三象限，故选：C12、A【解析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为2225110C C =，则2名同学中至少有一名男同学的概率是1911010-=.故选：A .二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、5【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.【详解】依题意，原式()1134422122125=⨯++=++=.故答案为：5【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14、12-【解析】sin cos sin cos αααα-=+tan 111tan 12tan()4απαα-=-=-++15、2【解析】将齐次式弦化切即可求解.【详解】解：因为tan 3α=，所以sin cos tan 1312sin cos tan 131+++===---αααααα，故答案为：2.16、1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】结合定义域由复合函数的单调性可解得结果.【详解】由20x x ->得()f x 定义域为()0,1，令2t x x =-，则t 在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递减，又12log y t =在()0,∞+单调递减，所以()f x 的单调递增区间是112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.故答案为：112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）()252sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()252sin 36g x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）123526【解析】（1）利用函数的振幅求得A ，代入()1,2-求得ϕ的值，从而求得函数()f x ，利用对称性求得函数()g x ；（2）利用三角函数图像变换求得()h x ，由()1013h θ=-得5cos 2313πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系式及两角和与差的三角公式求得结果.【小问1详解】解：由()2sin (0,0)3f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+>≤< ⎪⎝⎭振幅为2知2A =，()22sin 3f x x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，代入()1,2-有22sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，272,2326k k πππϕπϕπ∴+=-+∴=-+，而0ϕπ≤<，()525,2sin 636f x x πππϕ⎛⎫∴=∴=+ ⎪⎝⎭而()f x 与()g x 关于x 轴对称，()()252sin 36g x f x x ππ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭【小问2详解】由已知()352sin 26h x f x x ππ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5102sin 22sin 22cos 2623313h ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5cos 2313πθ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭40,22333ππππθθ<<∴<+< ，而514cos 2cos 31323ππθ⎛⎫+=->-= ⎪⎝⎭，故223ππθπ<+<，12sin 2313πθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭cos2cos 233ππθθ⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭51123132132⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭123526-=.18、（1）1a =，2b =；（2）见解析；（3）(2,)+∞.【解析】（1）根据函数奇偶性得()00f =,()()11f f -=-，解得,a b 的值；最后代入验证,（2）可举例比较大小确定单调性,(3)根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为2k t >,再根据恒成立转化为对应函数最值问题,最后根据函数最值得结果.【详解】(1) ()f x 在R 上是奇函数，∴()00f =，∴102a b -+=+，∴1a =，∴()1122x x f x b+-=+，∴()()11f f -=-，∴111214b b --=-++，∴2b =，∴()11222xx f x +-=+，经检验知：()()f x f x -=，∴1a =，2b =（2）由(1)可知，()()()21211221221x x x f x -++==-+++在R 上减函数.（3）()()2220f t t f k t -+-< 对于[]1,1t ∈-恒成立，()()222f t t f k t ∴-<--对于[]1,1t ∈-恒成立， ()f x 在R 上是奇函数，()()222f t t f t k ∴-<-对于[]1,1t ∈-恒成立，又 ()f x 在R 上是减函数，222t t t k ∴->-，即2k t >对于[]1,1t ∈-恒成立，而函数()2g x t =在[]1,1-上的最大值为2，2k ∴>，∴实数k 的取值范围为()2,+∞【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.19、（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]{}1,23,4 ．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）当5a =时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到11f t f t -+≤（）（），恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由21log 50x ＞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得151x +＞，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0得log 2（1x +a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0即log 2（1x +a ）＝log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]，即1x+a ＝（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，①则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1＝0，即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]＝0，②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立当a ＝3时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝﹣1或x 14a =-，若x ＝﹣1是方程①的解，则1x +a ＝a ﹣1＞0，即a ＞1，若x 14a =-是方程①的解，则1x+a ＝2a ﹣4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2综上，若方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a ＝3或a ＝4（3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，由题意得f （t ）﹣f （t +1）≤1，即log 2（1t +a ）﹣log 2（11t ++a ）≤1，即1t +a ≤2（11t ++a ），即a ()12111t t t t t -≥-=++设1﹣t ＝r ，则0≤r 12≤，()()()2111232t r r t t r r r r -==+---+，当r ＝0时，232r r r =-+0，当0＜r 12≤时，212323r r r r r =-++-，∵y ＝r 2r +在（0）上递减，∴r 219422r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--，∴实数a 的取值范围是a 23≥【一题多解】（3）还可采用：当120x x ＜＜时，1211a a x x ++＞，221211log log a a x x ＞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减则函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立因为0a ＞，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭20、（1）2（2）934【解析】()1取BC 中点O，11B C 中点E，连结OE，OA，以O 为原点，OD 为x 轴，OE 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1B AD B --的正切值()2三棱锥11C ABB -的体积1111C ABB A BB C V V --=，由此能求出结果【详解】()1取BC 中点O ，11B C 中点E ，连结OE ，OA ，由正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，侧棱13AA =，D 是CB 延长线上一点，且BD BC=以O 为原点，OD 为x 轴，OE 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则13(,2B 3，0)，(0,A 0，2，9(,2D 0，0)，3(,2B 0，0)，所以9(,2AD = 0，33)2-，13(,2AB = 3，332-，其中平面ABD 的法向量(0,n =1，0)，设平面1ADB 的法向量(,m x = y ，)z ，则19330223333022m AD x z m AB x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，取3z =，得(1,m =1，3)，设二面角1B AD B --的平面角为θ，则1cos 5m n m n θ⋅==⋅，则12sin 155θ=-=，则sin tan 2cos θθθ==，所以二面角1B AD B --的正切值为2()2由（1）可得AO ⊥平面11BB C ，所以AO 是三棱锥11A BB C -的高，且332AO =,所以三棱锥11C ABB -的体积：11111111331933333224C ABB A BB C BB C V V AO S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题21、（1）{}20log 3x x <<（2）1m >【解析】（1）由()1f x <，根据对数的单调性可得212x -<，然后解指数不等式即可.（2）由()()4log 4x f x m =-实数根，化为214x x m -=-有实根，令2x t =，22()210t t m ⋅-⋅+-=有正根即可，对称轴12t =，开口向上，只需0∆≥即可求解.【详解】（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x <<所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4x f x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根，所以21x -=有实根，两边平方整理可得22(2)2210x x m ⋅-⋅+-=令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m >.故实数m 的取值范围1m >.【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题.22、(1)5（2）见解析.【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；（2）作差，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想进行求解.试题解析：(1)依题意得10sin cos 5x x +=，222sin cos 2sin ·cos 5x x x x ∴++=，即32sin ·cos 5x x =-812sin ·cos 5x x ∴-=，即()2228sin cos 2sin ·cos sin cos 5x x x x x x +-=-=由32sin ·cos 05x x =-<，()0,x π∈，得,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos sin cos 0,x x x x ∴>∴-210sin cos ,5x x ∴-=（2）即不等式)1sin cos sin cos 22a b a x x x x a ≤⋅+++++对任意R x ∈恒成立，即)min1sin cos sin cos 22a b a x x x x a ⎡⎤≤⋅++++⎢⎥⎣⎦下求函数)1sin cos sin cos 22a y a x x x x a =⋅+++++的最小值令sin cos ,t x x =+则4t x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭且21sin cos .2t x x -⋅=令())1sin cos sin cos 22a m t y a x x x x a ==⋅+++++()2211122222a t a a t a a-=+++=+++()22221222,022a a t t t a a a a ⎛⎫⎛=+++=++≠ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1°当()201,a m t a⎡-<<<⎣即时在区间上单调递增，()()(min 1.m t m a a ∴==+2°当20a ≤-<，即1a ≥时，()2min 2.m t m a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭3°当()(2101,min a m t m a a a <-≤≤-==+即时4°当()(2110,min .a m t m a a a ->-<<==+即时min 2111,0a y a a a a ≥⎧⎪∴=⎨+<≠⎪⎩，所以当1a ≥时，2b ≤；当0a <或0<1a <时,1.b a a ≤+。
山西省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合,,若,则( ) {}1,21A a =-{},B a b ={}3A B ⋂=a b +=A ．7 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】3在A 中，也在B 中，从而先确定，再确定 a b 【详解】因为,所以,即,从而 {3}A B ⋂=213-=a 2a =3b =所以 5a b +=故选：C2．已知，则（ ）tan 5α=2sin 3cos 3sin 2cos αααα+=-A ．B ．1C ．D ．171335713【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果． 【详解】，2sin 3cos 2tan 325313sin 2cos 3tan 2352αααααα++⨯+===--⨯-故选：B ．3．设x ，y 都是实数，则“且”是“且”的（ ） 1x >>5y 6x y +>5xy >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】由且，必有且； 1x >>5y 6x y +>5xy >当且时，如，不满足，故不一定有且． 6x y +>5xy >12x =12y =1x >1x >>5y 所以“且”是“且”的充分不必要条件． 1x >>5y 6x y +>5xy >故选：A ．4．已知函数，则函数的值域为（ ）()()22log log 88x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()f x A ． B ． C ． D ．[]9,0-[)9,-+∞(],9-∞-[]12,0-【答案】B【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域． ()()22log 9f x x =-【详解】．故的值域为．()()()()2222log 3log 3log 9f x x x x =-+=-()f x [)9,-+∞故选：B ．5．已知函数，则的解集为（ ）||2()32x f x x =++(21)(3)f x f x ->-A ．B ．4(,3-∞4(,)3+∞C ．D ．4(2,)3-4(,2)(,)3-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可()f x [0,)+∞结合奇偶性与单调性解不等式得解集. 【详解】解：因为，则||2()32x f x x =++x ∈R 所以，则为偶函数，||2||2()3()232()x x f x x x f x --=+-+=++=()f x 当时，，又，在上均为增函数，所以在上0x …2()32x f x x =++3x y =22y x =+[0,)+∞()f x [0,)+∞为增函数，所以，即，解得或， (21)(3)f x f x ->-|21||3|x x ->-<2x -43x >所以的解集为(21)(3)f x f x ->-4(,2)(,).3-∞-⋃+∞故选：D.6．已知，则（ ）3cos 5αα=πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．47504750-4150-4150【答案】D【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可.3sin 610πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】，则，3cos 2sin π65ααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭3sin 610πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，241cos 2cos 212sin 36650πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.7．已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是()68,0lg ,0 x m x f x x m x ++≤⎧=⎨+>⎩()f x 123,,x x x 123x x x （ ）A ．B ．C ．D ．4,03⎛⎤- ⎥⎝⎦(],0-∞(),0∞-4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同()f x 123,,x x x ()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩y m =-的交点，借助的图象求解即可.()g x 【详解】设，()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.()f x 123,,x x x ()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩y m =-的图象如图所示.()68,0lg ,0 x x g x x x +≤⎧=⎨>⎩不妨设，所以，123x x x <<()()1234,0,0,1,1,3x x x ∞⎛⎤∈-∈∈+ ⎥⎝⎦所以，即，即，所以，23lg lg x x =23lg lg x x -=23lg lg 0x x +=231x x =所以，12314,03x x x x ⎛⎤=∈- ⎥⎝⎦故选：A.8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得()f x D ()f x D [],()a b D a b ⊆<在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实()f x [],a b [],a b ()y f x =()f x k =数的取值范围是（ ）k A ．B ．C ．D ．11,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦11,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭111,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在()f x ,a b k x +=上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令[)3,x ∈+∞t =230t t k -+-=[)0,t ∈+∞，建立关于的不等式组，解之即可．2()3g t t t k =-+-k【详解】上单调递增，则 ()f x k =[)3,x ∈+∞()()f a k af b k b ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩所以是方程在上的两个不等实根，,a b k x =[)3,x ∈+∞令，则，t =()230x t t =+≥所以在上有两个不等实根， 230t t k -+-=[)0,t ∈+∞令，对称轴， 2()3g t t t k =-+-12t =则，即，解得．(0)0Δ14(3)0g k ≥⎧⎨=-⨯->⎩304110k k -≥⎧⎨->⎩11,34k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B ．二、多选题9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）()f x x α=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．是奇函数23α=-()f x C ．是偶函数 D ．在上单调递增()f x ()f x (),0∞-【答案】ACD【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一()23f x x -==求解.【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以()f x x α=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭184α=232223αα-=⇒-=23α=-，故A 正确：，关于原点对称，所以()23f x x-==()()0,,0+∞⋃-∞()()f x f x -==，所以是偶函数，故B 错误，C 正确：()f x 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，0α<()f x ()0,∞+()f x ()f x (),0∞-故D 正确． 故选：ACD ．10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法()f x R ()0,x ∈+∞()()22log 211f x x =+-正确的是（ ） A ．752f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．当时， (),0x ∈-∞()()212log 21f x x =--+C ．在上单调递增()f x R D ．不等式的解集为()1f x ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】BD【分析】由奇函数的定义可求解A 、B ；用特值法可判断C ；分段求解不等式可判断D.【详解】，故A 错误；27772log 2115222f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，，所以，故(),0x ∈-∞()0,x -∈+∞()()()()222log 21112log 21f x f x x x ⎡⎤=--=--+-=--+⎣⎦B 正确；因为，，又，故C 错()00f =11442212112log 211222f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=⨯+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()114421210,022f f ⎛⎫-- ⎪<> ⎪ ⎪⎝⎭误；当时，，解得； ()0,x ∈+∞()()22log 2111f x x =+-<12x ≥当时，，无解；(),0x ∈-∞()()212log 211f x x =--+<当时，，所以不等式的解集为，故D 正确.0x =()00f =()1f x ≥1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：BD.11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．π3ϕ=-B ．的单调减区间为 ()f x 5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图象的一条对称轴方程为()f x 29π18x =D ．点是图象的一个对称中心 11π,09⎛⎫⎪⎝⎭()f x 【答案】ABC【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合3π3,2T A ==3ω=5π,318⎛⎫⎪⎝⎭()()3sin 3f x x ϕ=+得，得，即可判断A ；根据三角函数的性质可判断B 、C 、D.π2ϕ<π3ϕ=-()33π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】由题可知，所以，解得， π5π3,218183πT A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭223ππT ω==3ω=所以，又在的图象上，所以，()()3sin 3f x x ϕ=+5π,318⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5π33sin 6ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，所以，又，所以，5π2π,62πk k ϕ+=+∈Z π2π,3k k ϕ=-+∈Z π2ϕ<π3ϕ=-所以，故A 正确；()33π3sin f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得， ππ3π2π32π,232k x k k +≤-≤+∈Z 5π2π11π2π,183183k k x k +≤≤+∈Z 所以的单调减区间为，故B 正确； ()f x 5π2π11π2π,,183183k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 令，解得，当时，，故C 正确；ππ3π,32x k k -=+∈Z 5ππ,183k x k =+∈Z 4k =29π18x =令，解得，令，则，故D 错误.3π,π3x k k -=∈Z ππ,93k x k =+∈Z π1π,9391πk k +=∈Z 103k =∉Z 故选：ABC.12．已知函数，则（ ） ()sin cos2f x a x x =-A ．的最小正周期为()f x πB ．函数的图象关于点对称()f x ()π,0C ．当时，函数在上单调递增2a =-()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭D ．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭a ()1,-+∞【答案】CD【分析】利用周期的定义可判断A ；利用对称性的概念可判断B ；利用复合函数的单调性可判断C ；设，可得在上有解，结合函数的单调性即可判断D.sin t x =12a t t=-+()0,1【详解】因为，所以当时，()()()πsin πcos2πsin cos 2f x a x x a x x +=+-+=--0a ≠，故A 错误；()()πf x f x +≠因为，所以函数的图象不关()()()()2πsin 2πcos 22πsin cos 2f x a x x a x x f x ⎡⎤-=---=--≠-⎣⎦()f x 于点对称，故B 错误；()π,0当时，，设，当2a =-()()222132sin 12sin 2sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=---=--=-- ⎪⎝⎭sin t x =时，单调递增且，又函数在上单调递增，由复合ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin t x =1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭213222y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭函数的单调性可知，函数在上单调递增，故C 正确；()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭由，设，则当时，，又在上有解，()22sin sin 1f x x a x =+-sin t x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈()0f x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故方程在上有解，得在上有解，易知在上单调递2210t at +-=()0,112a t t =-+()0,112y t t =-+()0,1减，所以，故D 正确. ()1,a ∈-+∞故选：CD.三、填空题13．__________. sin2025=【答案】 【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值计算即可.【详解】. ()()sin2025sin 5360225sin225sin 18045sin45=⨯+==+=-=故答案为：. 14．已知函数，则__________. ()312133x f x ax bx +=++++()()20222022f f +-=【答案】##83223【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解. ()()20222022f f +-【详解】()()20222022f f +-33202212022122202220221(2022)202213333a b a b +-+=+⋅++++⋅--+++332022120221222022202212022202213333a b a b +-+=+⋅+++-⋅-+++20221202212223333+-+=++++ 2022202320212022223233(33)3-⋅=++++⋅. 22022202282331331++=⋅+=故答案为：.8315．__________.cos12cos18sin60sin18-=【答案】##0.512【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解即可得答案．【详解】 cos12cos18sin60sin78cos18sin60sin18sin18--=sin78cos18sin60sin18-= ()sin 1860cos18sin60sin18+-=sin18cos60cos18sin60cos18sin60sin18+-=， sin18cos601cos60sin182===故答案为：.12四、双空题16．已知函数若关于x 的方程有4个解，分别为，，()()2ln 1,1,21,1,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨++≤⎪⎩()()1f x m m =≠1x 2x ，，其中，则______，的取值范围是______．3x 4x 1234x x x x <<<3411x x +=12341111x x x x +++【答案】 1()5,1,3⎡⎫∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图()f x ()()1f x m m =≠()y f x =(1)y m m =≠象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结12,x x 34,x x 合图象，可得m 的范围，综合分析，即可得答案.【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象()f x ()()1f x m m =≠()y f x =(1)y m m =≠有4个交点，且，如图所示：1234x x x x <<<由图象可知：且 04m <≤1m ≠因为， 1234()()()()f x f x f x f x ===所以，1234112x x x x <-<<<<<由，可得， 34()()f x f x m ==()()34ln 1ln 1x x -=-因为，所以 342x x <<()()34ln 1ln 1x x -=--所以，整理得； ()()34111x x --=34111xx +=当时， 令，可得， 1x ≤221x x m ++=2210x x m ++-=由韦达定理可得 12122,1x x x x m +=-=-所以， 121212112211x x x x x x m m +-+===--因为且，04m <≤1m ≠所以或，则或， 111m <--1113m ≥-2111m +<--25113m +≥-所以 ()12341111251,1,13x x x x m ∞∞⎡⎫+++=+∈--⋃+⎪⎢-⎣⎭故答案为：1，．()5,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再()y f x =(1)y m m =≠结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.五、解答题17．已知集合，非空集合.()(){}=+21<0A x x x -(){}2=2<2+B x x m x m -(1)当时，求；=1m ()R A B ⋃ð(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. x B ∈x A ∈m 【答案】(1)或{|2x x ≤-1}x ≥(2) 24m -<≤【分析】（1）由可得，则，再求补集即可； =1m =B 1{|1}2x x -<<{}=2<<1A B x x ⋃-（2）“”是“”的充分条件可知且，分情况讨论即可.x B ∈x A ∈B A ⊆B ≠∅【详解】（1）当时， =1m {}221B x x x =<+=1{|1}2x x -<<， ()(){}{}21021A x x x x x =+-<=-<<则，{}=2<<1A B x x ⋃-所以.(){}R 21A B x x x ⋃=≤-≥或ð（2），(){}()(){}222210B x x m x m x x m x =<-+=+-<因为“”是“”的充分条件， x B ∈x A ∈所以且，故， B A ⊆B ≠∅2m ≠-当，即时，，12m->2m <-=1<<2m B x x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭因为，{}=2<<1A x x -所以不成立，即不符合题意； B A ⊆2m <-当，即时，，12m-<2m >-=<<12m B x x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭则有解得.2,2,2m m >-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩24m -<≤综上，的取值范围为.m 24m -<≤18．设函数.()2cos (sin cos )1π2f x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； ()f x (2)求在上的最值.()f x π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)；；ππ,Z 122k x k =-+∈ππ,Z 26k k ⎛+∈ ⎝(2)min ()2f x =-+max ()f x =【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；()f x（2）利用函数的单调性求出最值．【详解】（1）因为， ()22sin cos sin22cos 2π6f x x x x x x x ⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭令，解得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称轴方程为， ()f x ππ,Z 122k x k =-+∈令，得， ππ2π,Z 62x k k +=+∈ππ,Z k x k =+∈26可得函数图象的对称中心的坐标为； ()f x π,Z 2π6k k ⎛+∈ ⎝（2）因为，所以， π5π,126x ⎡⎤∈⎢⎣⎦11π266π,3πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，解得， π2π6x +=5π12x =所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π5π,126⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，，故min 5π()212f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π11π2cos 1,2cos 3π1266πf f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max ()f x =19．已知. ()()()22224,f x m x m x m =---+∈R (1)当时，求不等式的解集；3m =()70f x ->(2)已知函数的定义域为，求实数的取值范围.()()2log g x f x =R m 【答案】(1)()(),13,-∞-⋃+∞(2) {26}mm <∣…【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解；(2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可.2m =2m ≠【详解】（1）当时，，3m =22470x x -+->或，()()2230,310,3x x x x x -->-+>>1x <-则的解集为；()70f x ->()(),13,-∞-⋃+∞（2）由题意可知恒成立.()()222240m x m x ---+>①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意；20m -=2m =40>x ∈R 2m ∴=②当，即时，对于任意恒成立，20m -≠2m ≠()()222240m x m x ---+>x ∈R只需， ()()220224240m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤----⨯<⎪⎣⎦⎩解得，所以. 226m m >⎧⎨<<⎩26m <<综合①②可得实数的取值范围是. m {26}mm ≤<∣20．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇MON 2π240,,3ON MON MON ∠∠==P A 形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平PM A OP B ,A B OP 行线，交于点.,OM ON ,D C(1)若，求； π3AOB ∠=AD (2)求四边形的面积的最大值.ABCD【答案】(1)(2)【分析】（1）记与的交点分别为，，求得,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=，进而得cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===可得结果； AD EF OE OF ==-（2）设，仿照（1）的思路，求得，，AOP x ∠=240cos ,240sin OE x AE x ==2480sin AB AE x ==，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数240cos AD x x =-=⋅S AB AD 的性质求得最大值.【详解】（1）连接，记与的交点分别为，， ,OA OB ,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=故，cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===AD EF OE OF ==-==（2）连接，记与的交点分别为，,OA OB ,AB DC OP ,E F 设， ,0,π3AOP x x ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则，，cos 240cos ,sin 240sin OE OA AOP x AE OA AOP x =∠==∠=2480sin AB AE x ==， tan t π33πan DF AE OF x ===，240cos AD EF OE OF x x ==-=-所以四边形的面积 ABCD ()480sin 240cos S AB AD x x x =⋅=-)211cos sin 2cos 222x x x x x ⎫=-=+-⎪⎪⎭1sin 262πx ⎤⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎦因为，， π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，π22π=6x +π6x =max S =21．已知，且，. 22m n +=1m >-0n >(1)求的最小值； 121m n++(2)求的最小值. 224221m n n m +++【答案】(1)3；(2). 45【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基()1213m n ++=121m n ++()1412123m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭本不等式，即可求得的最小值； 121m n ++（2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将9169122m n +-++()()12215m n +++=变形为，展开用基本不等式，即可求得9169122m n +-++()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭-的最小值. 224221m n n m +++【详解】（1）因为，， 123m n ++=()1213m n ++=所以 ()14121214121123m n m n m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭+=+=++，24(1)141233n m m n +++++=≥=当且仅当，且，即，时等号成立， ()41212m n m n+=+22m n +=0m =1n =则的最小值为3. 121m n ++（2） ()()()()222222222212422122111n m n m m n n m n m n m ----+=+=+++++++ ()()()()2221818161911n n m m n m +-+++-++=+++ ()892181611n m n m =++-+++-++ 98911m n =+-++， 9169122m n =+-++因为，所以， 1225m n +++=()()12215m n +++=所以原式 ()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭=-，()()92216191612295n m m n +++++++=- 9≥494955=-=当且仅当，且，即，时等号成立， ()()922161122n m m n ++=++22m n +=87m =37n =则的最小值为. 224221m n n m +++4522．已知函数，其中，若将的图象向左平移个()()cos π2πf x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭06ω<<()f x π6单位长度，得到的图象，且函数为奇函数.()y g x =()y g x =(1)求函数的解析式；()f x (2)若关于的方程在区间上有三个不相等的实数根，求实数的取值x ()()2[]20f x mf x --=π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭m 范围.【答案】(1) ()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(2)1m -<< 【分析】（1）化简，利用图象平移规律得，由()in 3π2s f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2sin π6π3g x x ωω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭结合求得，即可得解；()00g =06ω<<ω（2）令，方程可化为，令，，问题转化πsin 43t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2210t mt +-=()221h t t mt =+-1t <≤为关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另t ()0h t =⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝一实根在区间上，分类讨论求解即可.⎫⎪⎪⎭【详解】（1）， ()sin 2sin 3πf x x x x ωωω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭. ()2sin 2sin π63π6π3πg x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又是奇函数，所以，有，()g x ()()g x g x -=-()00g =可得， ()02sin 0π3π6g ω⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭整理得， ππ,63πk k ω∴+=∈Z 26,k k ω=-+∈Z 由，有，得， 06ω<<0626k <-<1433k <<由，可得，，经检验符合题意，k ∈Z 1k =4ω∴=. ()π2sin 43f x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）知方程()()2[]20f x mf x --=可化为，可得 24sin 42sin 420ππ33x m x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 4sin 410π3π3x m x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，方程可化为，令， πsin 43t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2210t mt +-=()221h t t mt =+-由，可得，可得， π04x <<3ππ4π433x <+<1t <≤若关于的方程在区间上有三个不相等的实根，可知关于的方程x ()()2[]20f x mf x --=π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭t 在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间()0h t =⎫⎪⎪⎭⎛⎝上，⎫⎪⎪⎭①关于的方程在和上分别有一个实根时，t ()0h t =⎫⎪⎪⎭⎛⎝，解得()310231021210 h h h m ⎧⎛=->⎪⎪⎝⎪⎪=-<⎨⎪⎪=+->⎪⎪⎩1m -<<②关于的方程，可得t ()0h t =102h ==m =此时可化为，所得 ()0h t=2210t -=t =t =-③关于的方程的一个根为1时，，可得，此时有t ()0h t =()1210h m =+-=1m =-()0h t =，解得或，由，不合题意， 2210t t --=1t =12t =-12⎫-∉⎪⎪⎭由上知1m -<<。
浙江省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）． U M N M N A ．B ．C ．D ．()U N M ⋂ð()U M N ð()()U U M N ⋂ððM N ⋂【答案】B【分析】根据题目给出的全集是，，是全集的子集，是的真子集画出集合图形，由图U M N M N 形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合，，的关系如图， U M N由图形看出，只有是空集．()U N M I ð故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2．下列命题为真命题的是（ ）A ．B ． 2,30x x ∀∈+<R 2,1x x ∀∈≥NC ．D ．5,1x x ∃∈<Z 2,5x x ∃∈=Q 【答案】C【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【详解】对于A ，因为，所以，A 错误；20x ≥2,33x x ∀∈+≥R 对于B ，当时，，B 错误；0x =21x <对于C ，当时，，C 正确；0x =51<x由可得均为无理数，故D 错误，25x =x =3．若函数则（ ） ()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，…()2f f -=⎡⎤⎣⎦A ．B ．2C ．D ．32-3-【答案】D【分析】首先计算，再计算的值.()2f -()2f f -⎡⎤⎣⎦【详解】，. ()()22(2)228f -=--⨯-=()()228log 83f f f ⎡⎤-===⎣⎦故选：D.4．若函数为奇函数，且当时，，则（ ）()f x 0x >2()log f x x x =-(8)f -=A ．B ．C ．5D ．65-6-【答案】C【分析】根据奇函数的定义和对数运算求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，()f x 2(8)(8)(log 88)5f f -=-=--=故选:C. 5．函数在上的大致图象为（ ） ()2e e 1x xf x x --=+[]3,3-A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性，可排除B ；由时，可排除选项CD ，可得出正确答案()21f >【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B ， ()()2e e 1x xf x f x x ---==-+()y f x =又，排除选项CD ， ()22e e 215f --=>6．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的C A h ⋅t h I A 经验公式，其中为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流n C I t =⋅32log 2n ==10A I 时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）56h t =15A I =A ．B ．C ．D ． 28h 28.5h 29h 29.5h 【答案】A【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.15A I =【详解】由，得时，，即； 32log 2C I t =10I =56t =32log 21056C ⋅=时，；， 15I =32log 215C t =⋅3322log 2log 2105615t ∴⋅=⋅. 3322log 2log 2123156562565628322t --⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅=⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题7．已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x []0,a 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a （ ）A ．B ．C ．D ． 3π23π43π53π【答案】BC【分析】根据已知求出的范围即可.a 【详解】，因为，所以 ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0,x a ∈,333a x πππ+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦又因为的值域是，所以 ()f x 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,33a πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+可知的取值范围是. a 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BC.三、单选题8．已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递R ()f x ()g x ()f x ()()f x f x -=[)0,∞+减，函数满足且在上单调递减，设函数()g x ()()11g x g x -=+()1,+∞，则对任意，均有（ ） ()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦x R ∈A ．B ． ()()11F x F x -≥+()()11F x F x -≤+C ．D ．()()2211F x F x -≥+()()2211F x F x -≤+【答案】C【分析】根据已知关系式和单调性可知为偶函数且在上单调递增，关于对称()f x (],0-∞()g x 1x =且在上单调递增；分段讨论可得解析式；分别在恒成立、恒(),1∞-()F x ()()f x g x ≤()()f x g x ≥成立和二者均存在的情况下，根据函数图象可确定函数值的大小关系，从而得到结果.【详解】 为偶函数()()f x f x -= ()f x \又在上单调递减 在上单调递增()f x [)0,∞+()f x \(],0-∞ 关于对称()()11g x g x -=+ ()g x ∴1x =又在上单调递减 在上单调递增()g x ()1,+∞()g x ∴(),1∞-当时， ()()f x g x ≥()()()()()()12F x f x g x f x g x f x =++-=⎡⎤⎣⎦当时， ()()f x g x ≤()()()()()()12F x f x g x g x f x g x =++-=⎡⎤⎣⎦①若恒成立，则，可知关于对称()()f x g x ≤()()F x g x =()F x 1x =又与关于对称；与关于对称1x -1x +1x =21x -21x +1x =，()()11F x F x ∴-=+()()2211F x F x -=+②若恒成立，则，可知关于轴对称()()f x g x ≥()()F x f x =()F x y 当时，；当时，11x x -≥+()()11F x F x -≤+11x x -≤+()()11F x F x -≥+可排除,A B 当，即时， 210x -≥201x ≤≤22011x x ≤-<+()()2211F x F x ∴-≥+当，即时，210x -≤21x ≥()()()222111F x F x F x -=-≥+若，则，可排除∴()()F x f x =()()2211F x F x -≥+D③若与均存在，则可得示意图如下：()()f x g x ≥()()f x g x ≤()Fx与关于对称且21x - 21x +1x =2211x x -≤+()()2211F x F x ∴-≥+综上所述： ()()2211F xF x -≥+故选 C 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数奇偶性和单调性的关系、函数对称性的应用、分段函数图象的应用等知识；关键是能够通过分类讨论得到不同情况下函数的解析式，进而确定函数的大致图象，根据单调性和对称性得到函数值的大小关系.四、多选题9．下面命题正确的是（ ）A ．若，则“”是“”的充要条件,R a b ∈22a b >ln ln a b >B ．“”是“一元二次方程有一正一负两个实数根”的充要条件0ac <20ax bx c ++=C ．设，则“”是“且”的充分不必要条件,R x y ∈4x y +>2x ≥2y ≥D ．“”是“”的充分不必要条件 π03θ<<0sin θ<<【答案】BD【分析】AC 选项，可举出反例；B 选项，根据根的判别式及韦达定理得到，B 正确；D 选0ac <项，先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，D 正确.【详解】A 选项，若，满足，但无意义，故A 错误；1,0a b ==22a b >ln b B 选项，当时，即时，一元二次方程有一正一负两个实数2Δ400b ac c a⎧=->⎪⎨<⎪⎩0ac <20ax bx c ++=根，故“”是“一元二次方程有一正一负两个实数根”的充要条件，B 正确； 0ac <20ax bx c ++=C 选项，若，满足，但不满足且，故充分性不成立，C 错误；1,5x y ==4x y +>2x ≥2y ≥D 选项，时，因为在上单调递增，故，充分性成立， π03θ<<sin y x =π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭0sin θ<<当时，也满足，故必要性不成立，D 正确. 2ππ3θ<<0sin θ<<故选：BD10．已知，则（ ）tan 3α=A ．B ． sin α=3sin 25α=C ． D ． 4cos 25α=-π1tan 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】A 选项，利用同角三角函数关系，求出正弦值；BC 选项，利用倍角公式，化弦为切，代入求值；D 选项，利用诱导公式计算即可.【详解】A 选项，因为，所以，即， tan 3α=sin 3cos αα=sin cos 3αα=因为，所以，解得A 错误； 22sin cos 1αα+=210sin 19α=sin α=B 选项，，B 正确； 2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα=====+++C 选项，，C 正确； 22222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 915sin cos tan 1ααααααααα-+--=-====-++D 选项，，D 错误. πsin πcos 112tan π2sin tan 3cos 2αααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭故选：BC11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） ()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x πB ．为偶函数 6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．在区间内的最小值为1 ()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．的图象关于直线对称 ()f x 23x π=-【答案】AC【分析】由图知，的最小正周期为，结论A 正确；()f x T π=求出，从而不是偶函数，结论B 错误； 2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22sin 263f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，则在区间内的最小值为1，结论C 正确； (0)f =14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π因为为的零点，不是最值点，结论D 错误. 23x π=-()f x 【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A 正确； ()f x 23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯因为，，则．因为为在内的最小零点，则22T πω==2A =()2sin(2)f x x ϕ=+3x π=()f x (0,)+∞，得，所以，从而23πϕπ⨯+=3πϕ=2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，结论B 错误； 22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，，结合图像可得在区间内的(0)2sin 3f π==2sin 2cos 14233f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π最小值为1，结论C 正确；因为，则为的零点，不是最值点，结论D 错242sin 2sin()0333f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23x π=-()f x 误.故选：AC ．12．已知函数若关于的方程恰有5个不()14sin ,012,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩x ()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦同的实数解，则下列说法正确的是（ ）A ．时方程有两个不相等的实数解0m =B ．时方程至少有3个不相等的实数解0m >C ．时方程至少有3个不相等的实数解0m <D ．若方程恰有5个不相等的实数解，则实数的取值集合为m ()3,1--【答案】ACD【分析】根据函数解析式，作出函数图象，利用函数与方程的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，结合数形结合的思想，可得答案.【详解】作出函数的大致图象，如图所示，()f x令，则可化为， ()t f x =()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=则或，则关于的方程的实数解等价于的图11t =21t m =-x ()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦()t f x =象与直线，的交点个数，1=t t 2=t t 对于A ，当时，则，此时有两个不相等的实数解，故A 正确； 0m =121t t ==()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦对于B ，时，取，则或，因为的值域为，故方程只有2个不相0m >2m =11t =21t =-()f x [)0,∞+等的实数解，故B 错误；对于C ，时，，与函数图象至少有1个交点，故C 正确；0m <211t m =->2y t =对于D ，若关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的x ()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦()t f x =图象与直线，的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点1=t t 2=t t ()t f x =1=t t 个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得()t f x =2=t t 214m <-<，故D 正确，3<1m -<-故选：ACD.【点睛】对于根据方程解的个数求参数的题目，常常利用函数与方程的关系，结合数形结合的思想，解决问题.五、填空题13．已知函数是定义域上的奇函数，则______. ()2sin 21x x a f x x +=+-=a 【答案】1【分析】根据奇函数的定义运算求解.【详解】∵函数是定义域上的奇函数， ()2sin ,021x x a f x x x +=+≠-则，即， ()()0f x f x +-=()22sin sin 02121x x x x a a x x --+++++-=--则，即， 212sin sin 02112x x x x a a x x ++⋅++-=--212102121x xx x a a a ++⋅-=-=--∴.1a =故答案为：1.14．已知，则________. π1sin 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】##120.5【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】. 22πππ11cos 2cos 212sin 1236622ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.1215．已知，且，则的最小值为_________. 0,0a b >>1ab =112a b +【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由得，所以，当且仅当 ，即1ab =1b a =11122b a b b +=+≥=12b b =b =等号，所以 112a b+16．已知函数有三个零点，且的图像关于直线对称，则32()32f x x x ax a =-+-+()y f x =x b =的取值范围为_______.a b +【答案】(),4-∞【分析】,则有即可求得，323()32(1)(3)(1)f x x x ax a x a x =-+-+=-+--(1)(1),f x f x -+=+1b =再由可得有2个根且都不等于32()|(1)(3)(1)||(1)(22)|,f x x a x x x x a =-+--=---+2220x x a --+=1，利用判别式可得，即可求解.3a <【详解】，323()32(1)(3)(1)f x x x ax a x a x =-+-+=-+--则，定义域为，3(1)(3)f x x a x +=+-R33(1)|()(3)()||(3)|(1),f x x a x x a x f x -+=-+-⋅-=+-=+所以的图像关于直线对称，所以，()y f x =1x =1b =32()|(1)(3)(1)||(1)(22)|,f x x a x x x x a =-+--=---+显然为函数的一个零点，1x =()f x 故有2个不相等的根，且都不等于1，2220x x a --+=所以解得， Δ44(2)030a a =-->⎧⎨-+≠⎩3a <所以，4a b +<故答案为:.(),4-∞六、解答题17．（1），求实数a 的取值范围;2,230x x ax a ∀∈++->R （2），求实数a 的取值范围.2,230x x ax a ∃∈++-<R 【答案】(1) ;(2) 或.26a <<2a <6a >【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义求解.【详解】(1)因为，2,230x x ax a ∀∈++->R 所以，即，24(23)0a a ∆=--<28120a a -+<解得.26a <<(2)因为，2,230x x ax a ∃∈++-<R 所以，即，24(23)0a a ∆=-->28120a a -+>解得或.2a <6a >18．已知函数且. 11()(0, 12x f x a a =+>-1)a ≠(1)讨论函数的奇偶性;()f x (2)当时，判断在的单调性并加以证明；01a <<()f x (0,)+∞(3)解关于的不等式.x ()(2)f x f x >【答案】(1)奇函数(2)增函数，证明见解析(3)当时，解集为，当时，解集为. 01a <<(),0∞-1a >()0,∞+【分析】(1)根据奇函数的定义证明； (2)根基单调性的定义证明； (3)利用单调性和奇偶性解不等式.【详解】（1）由可得，所以的定义域为，10x a -≠0x ≠()f x ()(),00,∞-+∞U 又因为， ()11111()122211x x x x x f x a a a a a =+==⋅-++--所以，1111()()11121221x x x x x x a f a a x f x a a a --+⋅++-=⋅==-⋅=----所以函数为奇函数.()f x （2）判断：在的单调递增，证明如下，()f x (0,)+∞1212,(0,),,x x x x ∀∈+∞<，()()2112121211()1111()()x x x x x x f f x f x a a x a a a a -=--=-=---因为，所以， 01a <<12,x x <21x x a a <且12121,1,10,10,x x x x a a a a <<-<-<所以所以， ()()21120,11x x x x a a a a -<--12()()f x f x <所以在的单调递增.()f x (0,)+∞（3）由(2)可知，当时，在的单调递增， 01a <<()f x (0,)+∞且函数为奇函数，所以在的单调递增， ()f x ()f x (),0∞-又因为同号，所以由可得解得， ,2x x ()(2)f x f x >2x x >0x <当时，以下先证明在的单调递减，1a >()f x (0,)+∞1212,(0,),,x x x x ∀∈+∞<，()()2112121211()1111()()x x x x x x f f x f x a a x a a a a -=--=-=---因为，所以， 1a >12,x x <21x x a a >且12121,1,10,10,x x x x a a a a >>->->所以所以， ()()21120,11x x x x a a a a ->--12()()f x f x >所以在的单调递减.()f x (0,)+∞且函数为奇函数，所以在的单调递减， ()f x ()f x (),0∞-又因为同号，所以由可得解得， ,2x x ()(2)f x f x >2x x <0x >综上，当时，解集为，当时，解集为.01a <<(),0∞-1a >()0,∞+19．已知函数，的图象关于对称，且.π()3sin()||2f x x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x π3x =3(0)2f =-(1)求满足条件的最小正数及此时的解析式; ω()f x (2)若将问题（1）中的的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的()f x π6()g x ()g x π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦值域.【答案】(1)最小正数为2，此时ωπ()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据得，由为对称轴可得，即可求解，3(0)2f =-π6ϕ=-π3x ==2+3,k k Z ω∈（2）根据平移可得，由余弦函数的性质即可求解值域.()π(3cos 26g f x x x -=-=【详解】（1）由得，由得，又的图象3(0)2f =-31()3sin sin 22f x ϕϕ==-⇒=-π||2ϕ<π6ϕ=-()f x 关于对称，所以,解得, π3x =ππππππ3sin 3π,Z 336362f k k ωω⎛⎫⎛⎫=-=±⇒-=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2+3,k k Z ω∈当时，取到最小的正数2，此时0k =ωπ()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）的图象向右平移个单位得到函数，()f x π6()πππ(3sin 23cos 2636f g x x x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭=当时，，，所以，π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π4π2,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦33cos 2,32x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故在上的值域为 ()g x π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和ABCD 构成的面积为的十字型地狱，计划在正方形上建一座花坛，造价为元EFGH 2200m MNPQ 4200/m 2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为元/m 2，再在四个角上铺草210坪，造价为元/m 2.设总造价为元，AD 的长为.80S m x(1)试建立关于的函数；S x (2)当取何值时，最小，并求出这个最小值.x S【答案】(1)，22400000380004000S x x =++0x <<(2)当时，最小，最小值为元 x =S 118000【分析】（1）设，根据面积得到，再计算总造价得到解析式.DQ ym =22004x y x -=（2）利用均值不等式计算得到最值.【详解】（1）设，则，所以， DQ y =24200x xy +=22004x y x -=所以，222240000042002104802380004000S x xy y x x =+⋅+⋅=++0x <<（2）， 2240000038000400038000118000S x x =++≥+=当且仅当，即时，上式等号成立. 224000004000x x =x =所以当最小，最小值为元.x =S 11800021．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，12l l A A 1l 2l A 1l 2l 1h 2h B 是直线上的一动点，作，且使与直线交于点．设．2l AC AB ⊥AC 1l C ABD β∠=（1）写出面积关于角的函数解析式； ABC A S β()S β（2）求的最小值． ()S β【答案】（1），（2） ()120sin 22h h S πβββ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭12h h【解析】（1）在直角三角形中运用三角函数求出的表达式,同理求出的表达式,运用直ADB AB AC 角三角形面积公式求出面积关于角的函数解析式.S β()S β（2）结合（1）中的面积关于角的函数解析式,运用求出三角函数最值,就可以求出面积的S β()S β最小值.【详解】（1）根据题可得,在直角三角形中, ,则,同理,在直角三角形ADB 2sin h ABβ=2sin h AB β=AEC中可得,则在直角三角形中, 1cos h AC β=ABC ()21122sin cos h h S AB AC βββ=⨯=即 ()211202sin cos sin 22h h h hS πβββββ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭（2）由（1）得,要求的最小值,即求的最大值,()211202sin cos sin 22h h h hS πβββββ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭()S βsin 2β即当时,的最大值为14πβ=sin 2β因此()12min 4S S h h πβ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了运用三角函数模型来解决问题在解决问题中能熟练运用三角函数关系进行求值和化简,并能求出三角函数最值问题.熟练掌握各公式并灵活运用. 22．已知函数. 2()(),()ln f x x mx m g x x =-∈=-R (1)当时，解方程;1m =()()f x g x =(2)若对任意的都有恒成立，试求m 的取值范围;12,[1,1],x x ∈-()()122f x f x -≤(3)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小者，设函数，讨论关于x 的1()min (),()(0)4h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭方程的实数解的个数. ()0h x =【答案】(1)1x =(2) 22⎡--+⎣(3)或时，有1个实数解， 1m <54m >()0h x =或时，有2个实数解; 1m =54m =()0h x =时，有3个实数解. 514m <<()0h x =【分析】(1)根据函数的单调性解方程； (2)讨论二次函数在给定区间的最值求解；(3)分类讨论，利用数形结合的思想，转化为讨论函数图象的交点个数.【详解】（1）当时，函数， 1m =2(),()ln f x x x g x x =-=-当时，， 01x <<2()(1)0,()ln 0f x x x x x g x x =-=-<=->此时方程无解，()()f x g x =当时，单调递增，单调递减， 1x ≥2()f x x x =-()ln g x x =-且单调递增，，(1)0f =(1)0g =所以此时方程有唯一的解为， ()()f x g x =1x =综上，方程的解为.()()f x g x =1x =（2）等价于，()()122f x f x -≤max min ()()2f x f x -≤的对称轴为， ()f x 2mx =若，即时，在上单调递增， 2m ≤-12m≤-()y f x =[]1,1-从而 max min ()(1)1,()(1)1,f x f m f x f m ==-=-=+所以，得与矛盾，舍去; 1(1)2m m --+≤1m ≥-2m ≤-若，即时， 22m -<<112m-<<在上单调递减，上单调递增，()y f x =1,2m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故2min()(,24m m f x f ==-()()(){}max max 1,1,f x f f =-当时， 20m -<≤max ()(1)1,f x f m ==-则，解得2124m m -+≤22m -≤≤+所以，20m -≤≤当时， 02m <<max ()(1)1,f x f m =-=+则，解得2124m m ++≤22m --≤≤-+则， 02m <≤-+若，即时，在上单调递减， 2m ≥12m≥()y f x =[]1,1-从而 max min ()(1)1,()(1)1,f x f m f x f m =-=+==-所以得与矛盾，舍去.1(1)2,m m +--≤1m £2m ≥综上，的取值范围为.m 22⎡--+⎣（3）当时, ,则， (1,)x ∈+∞()ln 0g x x =-<()()0h x g x ≤<故在上没有实数解; ()0h x =(1,)+∞当时，. 1x =15(1),(1)044f mg +=-=若时,则则不是的实数解，54m >1(1)0,(1)0,4f h +<<1x =()0h x =若时，则,54m ≤()()()()()1110,1min 1,11044f h f g g ⎧⎫+≥∴=+==⎨⎬⎩⎭则是的实数解，1x =()0h x =当时，，故只需讨论在(0,1)的实数解的个数， 01x <<()ln 0g x x =->1()04f x +=则得,2104x mx -+=14m x x =+即问题等价于直线与函数图象的交点个数. y m =1,(0,1)4y x x x=+∈由于在单调递减，在上单调递增，1,4y x x =+10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫⎪⎝⎭结合在的图象可知， 1,4y x x=+()0,1当时，直线与函数图象没有交点，即没有实数解; 1m <y m =1,(0,1)4y x x x=+∈()0h x =当或时，在有1个实数解; 1m =54m ≥()0h x =()0,1当时，在有2个实数解; 514m <<()0h x =()0,1综上，或时，有1个实数解， 1m <54m >()0h x =或时，有2个实数解; 1m =54m =()0h x =时，有3个实数解. 514m <<()0h x =【点睛】关键点点睛：本题第二问解决的关键在于分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值，要结合对称轴与区间的位置关系；第三问解决的关键是在不同范1()min (),()(0)4h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭围内取得的不同的最小值,数形结合的思想分类讨论求解.。
高一数学第一学期期末考试试卷(共5套,含参考答案)
高一第一学期期末考试数学试卷 满分：150分 时间: 120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则AB 的元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( ) A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α⊂3.方程的1xe x =的根所在的区间是（ ）． A.)21,0( B.)1,21( C.)23,1( D.)2,23(4.函数y=x （x 2-1）的大致图象是( )5.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（ ） A.90°B.60°C.45°D.30°6.长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =3AD =，则 长方体1111ABCD A B C D - 的外接球的直径为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.57.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°8.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( ) A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1角为60°9.若方程1ln 02xx a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有两个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞10.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是（ ）A.65B.6C.2D.511.已知函数()22log f x x x =+，则不等式()()120f x f +-<的解集为（ ）A. ()(),13,-∞-⋃+∞B. ()(),31,-∞-⋃+∞C. ()()3,11,1--⋃-D. ()()1,11,3-⋃12.已知()()()2,log 0,1x a f x ag x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知不等式062<-+px x 的解集为{|32}x x -<<，则p = .14.2lg 2＝ _________15.函数()lg 21y x =+的定义域是______________________. 16.函数x21f x =-log x+23⎛⎫⎪⎝⎭（）（）在区间[－1,1]上的最大值为________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）全集R U =，函数()lg(3)f x x =+-的定义域为集合A ，集合{}02<-=a x x B ．（1）求U A ð； （2）若A B A = ,求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=)0(,1)1(log )0(,2)21()(2x x x x f x（1）求)(x f 的零点； （2）求不等式()0f x >的解集.19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠A ＝90°，BD ⊥DC ，将△ABD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面BDC. (1) 求证:平面EBD ⊥平面EDC ； (2) 求ED 与BC 所成的角．20．(1２分)一块边长为10 cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．(1)试把容器的容积V 表示为x 的函数； (2)若x ＝6，求图2的正视图的面积．21.（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，1AB =，1AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB .（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥； （Ⅱ）若OA OC =，求点1B 到平面ABC 的距离.1A A1B B1C COD22．（本小题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++(k ∈R )，且满足(1)(1)f f -=． （1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求a 的取值范围； （3）若函数1()2()421f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.高一第一学期期末考试 数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 1 14. 2 15. 16. 316.解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.答案：3三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：(1)∵⎩⎨⎧>->+0302x x ∴23x -<<…………………………………3分∴A=(-2,3) ∴(][)23u C A =-∞-+∞，，……………………………5分 （2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A = ……………………………6分当0>a 时，)(a a B ，-= ∵AB A = ∴A B ⊆[]∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-32a a ， ∴40≤<a ……………………………9分 综上所述：实数a 的范围是4≤a ……………………………………10分18.解：（1）由0)(=x f 得，⎪⎩⎪⎨⎧=-≤02)21(0x x 或⎩⎨⎧=-+>01)1(log 02x x ，解得1-=x 或1=x .所以，函数)(x f 的零点是—1，1..................................6分（2）由()0f x >得，01()202xx ≤⎧⎪⎨->⎪⎩或20log (1)10x x >⎧⎨+->⎩，解得1x <-或1x >.所以，不等式1)(>x f 的解集是{x |1x <-或1x >}.................................12分19.(1) 证明：∵平面EBD ⊥平面BDC ，且平面EBD ∩平面BDC ＝BD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面EBD ， ∵CD 平面EDC ，∴平面EBD ⊥平面EDC.……………………………6分 (2) 解：如答图，连接EA ，取BD 的中点M ，连接AM ，EM ， ∵AD ∥BC ，∴∠EDA 即为ED 与BC 所成的角． 又∵AD ＝AB ，∴ED ＝EB. ∴EM ⊥BD ，∴EM ⊥平面ABCD.设AB ＝a ，则ED ＝AD ＝a ，EM ＝MA ， ∴AE ＝a ，∴∠EDA ＝60°.即ED 与BC 所成的角为60°……………………………１２分20.(12分)解 (1)设所截等腰三角形的底边边长为x cm. 在Rt △EOF 中，EF ＝5 cm ，OF ＝12x cm ，所以EO ＝25－14x 2.于是V ＝13x225－14x 2(cm 3)．依题意函数的定义域为{x|0<x<10}．……………………………６分(2)正视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长＝AB ＝6， 底边上的高为四棱锥的高＝EO ＝25－14x 2＝4，S ＝4×62＝12(cm 2)．……………………………１２分21.解：(1),由 得又即又又BD 与CO 交于O 点，又……………………………６分(2),,又AB=1，可得，由得……………………………１２分22．解析：（1）(1)(1)f f -=，即144log (41)log (41)k k -+-=++444512log log 5log 144k ∴=-==- ∴12k =- ………………………………………………………………………… ………5分（2）由题意知方程411log (41)22x x x a +-=+即方程4=log (41)x a x +-无解, 令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点444411()log 41)log log (1)44x x x xg x x +=+-==+（ 任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，121144x x ∴>. 12124411()()log 1log 1044x x g x g x ⎛⎫⎛⎫∴-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数.1114x +>， 41()log 104xg x ⎛⎫∴=+> ⎪⎝⎭. ∴a 的取值范围是(],0.-∞ ……………………………………………………………… 9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分。
高一数学期末考试试题及答案
高一数学期末考试试题及答案高一期末考试试题一、选择题1.已知集合M={x∈N/x=8-m,m∈N}，则集合M中的元素的个数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B。
解析：当m=1时，x=7；当m=2时，x=6；当m=3时，x=5；当m=4时，x=4；当m=5时，x=3；当m=6时，x=2；当m=7时，x=1；当m=8时，x=0.因此，集合M中的元素的个数为8.2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB=26，则实数x的值是（）A.−3或4 B.6或2 C.3或−4 D.6或−2答案：C。
解析：根据勾股定理，AB=√[(x-2)²+(1-3)²+(2-4)²]=√[(x-2)²+4]。
因为AB=26，所以√[(x-2)²+4]=26，解得x=3或-7.但是题目中说了点A的横坐标为实数，所以x=3.3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:81答案：B。
解析：设两个球的半径分别为r1和r2，则它们的表面积之比为4πr1²:4πr2²=1:9，化简得.4.圆x+y=1上的动点P到直线3x−4y−10=0的距离的最小值为（）A.2 B.1 C.3 D.4答案：A。
解析：首先求出直线3x−4y−10=0与圆x+y=1的交点Q，解得Q(2,-1)，然后求出点P到直线的距离d，设P(x,y)，则d=|(3x-4y-10)/5|，根据点到直线的距离公式。
将P点的坐标代入d中，得到d的表达式为d=|(3x-4y-16)/5|。
将d表示成x和y的函数，即d=f(x,y)=(3x-4y-16)/5，然后求出f(x,y)的最小值。
由于f(x,y)的系数3和-4的比值为3:4，所以f(x,y)的最小值为f(2,-1)=-2/5，即P点到直线的最小距离为2/5，取整后为2.5.直线x−y+4=0被圆x²+y²+4x−4y+6=0截得的弦长等于（）A.12B.22C.32D.42答案：B。
黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2023年度（上学期）高一期末考试（数学）一，单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题四个选项中,仅有一项正确)1. 已知集合{}1,0,1,2A =-,{}21B x x =≤,则A B = （ ）．A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【结果】A 【思路】【思路】解一圆二次不等式求集合B ,再利用集合地交运算求A B .【详解】由题设,{}11=-≤≤B x x ,而{}1,0,1,2A =-,∴A B = {}1,0,1-.故选：A2. cos 24cos36sin 24cos54⋅-⋅= （ ）A. 12-B. 0C.12D.【结果】C 【思路】【思路】利用两角和地正弦公式可求得所求代数式地值.【详解】解：原式1cos 24sin 54sin 24cos54sin(5424)sin 302=⋅-⋅=-==,故选：C.3. 设0.212131log 2,,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A. b a c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a b c<<【结果】D 【思路】【思路】由指数函数，对数函数地单调性,并与0,1比较可得结果【详解】由指数，对数函数地性质可知：1133log 2log 10a =<=,0.210()12b <=<,1231c =>所以有a b c <<.故选：D ．4. 已知函数()221()1m m f x m m x +-=--是幂函数,且在(0,)+∞上是减函数,则实数m 地值是（）．A 1-或2B. 2C. 1- D. 1【结果】C 【思路】【思路】由函数是幂函数可得211m m --=,解得1m =-或2,再讨论单调性即可得出.【详解】()f x 是幂函数,211m m ∴--=,解得1m =-或2,当1m =-时,1()f x x -=在(0,)+∞上是减函数,符合题意,当2m =时,5()f x x =在(0,)+∞上是增函数,不符合题意,1m ∴=-.故选：C.5. 已知角α地终边在第三象限,则点(tan ,cos )P αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【结果】D 【思路】【思路】依据角地终边所在象限,确定其正切值和余弦值地符号,即可得出结果.【详解】角α地终边在第三象限,则tan 0α>,cos 0α<,点P 在第四象限．故选：D.6.已知sin cos αα-=则1tan tan αα+地值为（ ）A. －4B. 4C. －8D. 8【结果】C 【思路】思路】由已知款件,结合同角正余弦地三角关系可得1sin cos 8αα=-,再将目标式由切化弦即可求值.【详解】由题意知：25(sin cos )4αα-=,即512sin sin cos 4α-=,.【∴1sin cos 8αα=-,而1sin cos tan tan cos sin cos 18sin αααααααα+=+==-.故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系,应用了22sin cos 1αα+=以及切弦互化求值,属于基础题.7. 函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠ ）图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上,其中00m n >>，,则mn 地最大值为A.12B.14C.18D.116【结果】D 【思路】【详解】∵由31x -=得4x =,∴函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠ ）地图像恒过定点()41A ，,∵点A 在直线10mx ny +-=上,∴41m n +=,∵4m n +≥,当且仅当14=2m n =,即11=82m n =，时取等号,∴116mn ≤,∴mn 最大值为116,故选D ．【名师点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立地三个款件,就是“一正——各项均为正。
高一数学(第一学期)期末测试题
高一数学(第一学期)期末测试题一、填空题。
(31分)和20中间的数是( )。
2.16个位上就是( )，则表示( )个( );十位上就是( )，则表示( )个( )。
3.1个十和8个一组成的数是( )。
4.最轻的一位数就是( )，最小的两位数就是( )。
5.在○里填上“<”“>”或“=”。
7.打听规律。
(1)2、4、6、8、( )、( )(2)20、15、( )、5、( )(3)▲○ ▲▲○ ▲▲▲○ ____ ____ ____ ____ ____二、算是一算。
(12分后)7+8= 9+3= 5+7= 6+8= 8+3=三、在○里填入>、<或=。
9+6=15 8+6>13 16<8+10 12=6+6四、看看谁算是得又对又慢。
(26分后)1.口算。
(12分)9+7= 0+0== 4+8= 3+4+6=2.填一填。
(4分)( )+5=11 2+( )=126+7=9+( ) ( )-3=7+83.列式排序。
(10分后)□○□=□ □○□=□□○□○□=□ □○□○□=□五、解决问题。
(23分)1.(4分后)顽皮看看一本书《故事书》，已经看看了9页，还剩4页一看，这本书一共存有多少页?□○□=□(页)2.(5分后) 树上存有18只鸟，第一次飞走了8只，第二次飞走的和第一次的同样多，两次一共飞走了都多少只鸟?□○□=□(只)3.(5分后)小利、小明和小军在玩玩拍摄皮球，他们共拍摄了10之下。
□○□○□=□(下)4.(9分后)挤公交车。
(1)上一站是( )，到动物园还要坐( )站的路程。
(2)终点站就是火车站，上车3人，公园东站上车4人，上车2人，现在车上存有( )人。
□○□○□=□(人)参考答案一、1. 15 16 02.193. 6， 6 一;1， 1 十4.185. 0 206.=;<;>;=;>;=7.(1)10、12 (2)10、0 (3)▲▲▲▲○8.(1)10 (2)4 (3)9 89. ; ; ; ;6二、7+8=15 9+3=12 5+7=12 6+8=14 8+3=11三、1.2. 4;3;3;2四、1.16;0;12;13;10;9;19;9;14;11;15;132.6;10;4;18五、1.9+4=13 2.8+8=16。
高一数学期末试题及答案
高一数学期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. 1/2D. 1/33. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 函数f(x) = |x|的图象是：A. 直线B. 抛物线C. V形D. U形6. 等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值是：A. 11B. 13C. 15D. 177. 向量a = (3, -4)与向量b = (-2, 5)的点积是：A. 13B. -13C. 3D. -38. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)10. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的顶点坐标是：A. (3, 0)B. (-3, 0)C. (3, 9)D. (-3, 9)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b3的值是________。
12. 函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标是________。
13. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。
14. 向量a = (1, 2)与向量b = (-2, 4)的向量积是________。
15. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点是________。
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保亭中学2014-2015学年度第一学期高一数学
期 末 测 试 题 （第I 卷）
班级：_______ 考号：____ 姓名：_______ 得分： _____
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
A.2()y x =
B.33y x =
C.2y x =
D.2
x y x
=
2. 在空间内，可以确定一个平面的条件是
（A ）两两相交的三条直线 ，且有三个不同的交点 （B ）三个点 （C ）三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交 （D ）两条直线
3.方程x 2-px+6=0的解集为M,方程x 2+6x-q=0的解集为N,且M ∩N={2},那么p+q 等于
A.21
B.8
C.6
D.7
4. 异面直线是指
（A ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （B ）平面内的一条直线与平面外的一条直线 （C ）空间中两条不相交的直线 （D ）不同在任何一个平面内的两条直线
5. 点P 在平面ABC 的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是ABC 的 (A).内心 (B).外心 (C).垂心 (D).重心
6.函数3log (0)
()2(0)
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则
1()9f f ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值是 A.14-
B. 14
C.4-
D.13
7.如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是 异面直线的一个图是
8. 在下列关于直线,l m 于平面,的命题中正确的是
（A ）若l 且，则l
（B ）若l
且//，则l
（C ）若l
且
，则//l （D ）若m 且//l m ，则//
l
9.直线a 与直线b 垂直，直线b 垂直于平面α，则a 与α的位置关系（ ） A 、a⊥α B 、a∥α C 、a ⊂α D 、a ⊂α或a∥α
10.若两球的体积之比是8 ：27，则它们的表面积之比是
A 、64 ：729
B 、4 ：9
C 、2 ：3
D 、16 ：54 11.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=a x +b 的图象不经过:（ ） A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限
12．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，
3
2//,,EF AB EF
EF 与面ABCD 的距离为2，则多面体的体积是 (A)4.5 (B)5 (B)6 (B)7.5
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．函数2
()31
x m f x +=
+是奇函数，则常数m 的值为______。
14．,,a b c 是三条直线，是平面，若,,,c
a c
b a b
，且_________（填上一个条件
即可），则有c 。
15．已知函数
21(3)
21(3)
n n
f n
n n 其中n N ，则f (8)等于 。
16．正方体与其内切球的体积比是 _____________。
三、解答题：（本大题共6小题，共74）
17．(12) 设全集U 为R,已知16A X X ,24B X X X 或,
求：（1）A B ；（2）()()U U C A C B
D
E C
B A
F
2
18. (12分)证明：函数
1()(0)f x x
x x
，在区间(1,
)上为增函数。
19、(12分)已知正三棱锥的侧棱长为2，底面周长为9
，求这个棱锥的高及体积。
（注：正三棱锥是指底面是正三角形且顶点在底面上的射影为ABC 的中心）
20、(12分)设,,x y z
R ,且2x =3y =6z ，求证：
111x y z。
21. (12分)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()(1)f x x x ，求当0x 时
函数()f x 的解析式。
22. (14分)如图，PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA 的中点。
（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：平面MND 平面PCD 。
A
S
C
O。