哈工大集合论习题
哈工大集合论习题课第六章树及割集习题课(学生)
第六章树及割集习题课 1讲堂例题例1 设 T 是一棵树， T 有 3 个度为 3 极点， 1 个 2 度极点，其余均是 1 度极点。
则（ 1）求 T 有几个 1 度极点？（ 2）画出知足上述要求的不一样构的两棵树。
剖析：关于任一棵树 T ，其极点数 p 和边数 q 的关系是：q p 1且pdeg(v i )2q ，依据这些性质简单求解。
i 1解：（1）设该树T的极点数为p，边数为q，并设树T中有x个 1 度极点。
于是pdeg(v i ) 3 3 1 2 x 2q 且 p 3 1 x， q p 1，得x 5 。
i 1（ 2）知足上述要求的两棵不一样构的无向树，如图 1 所示。
图1例 2 设 G 是一棵树且(G ) k ，证明G中起码有k个度为1极点。
证：设T 中有 p 个极点，s个树叶，则 T 中其余 p s 个极点的度数均大于等于 2，且起码有一个极点的度大于等于k 。
由握手定理可得：ps ，有s k 。
2q 2 p 2deg( v i ) 2( p s 1) ki 1所以 T 中起码有 k 个树叶。
习题例1 若无向图G中有p个极点，p 1条边，则G为树。
这个命题正确吗？为何？解：不正确。
K 3与平庸图构成的非连通图中有四个极点三条边，明显它不是树。
例2 设树T中有2n个度为 1 的极点，有3n个度为 2 的极点，有n个度为 3 的极点，则这棵树有多少个极点和多少条边？解：设 T 有 p 个极点， q 条边，则q p 12n 3n n 1 6n 1。
由deg(v) 2q 有： 1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1)12n 2 ，解得： n =2。
v V故 q 11, p12 。
例 3 证明恰有两个极点度数为 1 的树必为一条通路。
证：设 T 是一棵拥有两个极点度数为 1 的( p,q)树，则q p 1且p2( p 1) 。
deg(v i ) 2qi 1又 T 除两个极点度数为 1 外，其余极点度均大于等于 2，故p p 22( p 1) ，即deg(v i )2deg(v i )i 1i 1p22) 。
集合论试题
一、 填空 20% （每空 2分）1、 如果有限集合A 有n 个元素，则|2A |= 。
某集合有101个元素，则有 个子集的元素为奇数。
2、设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= 。
B A = 。
3、 设|A|=3，则A 上有 个二元关系。
4、 A={1，2，3}上关系R= 时，R 既是对称的又是反对称的。
5、 偏序集><≤R A ,的哈斯图为，则≤R = 。
6、某人有三个儿子，组成集合A={S 1,S 2,S 3}，在A 上的兄弟关系具有 性质。
7、设}1,0{=A ，N 为自然数集，⎩⎨⎧=是偶数。
，是奇数，，x x x f 10)(若A A f →：，则f 是 射的，若A N f →：，则f 是 射的。
二、选择 20% （每小题 2分）1、 集合}}}{,{},{,{ΦΦΦΦ=B 的幂集为（ ）。
A 、}},},{{},{{ΦΦΦΦ；B 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}}},{,{{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；C 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}},{,{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；D 、},}}},{,{},{{}}},{{,{}},{,}{{{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ，2、下列结果正确的是（ ）。
A 、B A B A =-⋃)(；B 、Φ=-⋂A B A )(；C 、A B B A =⋃-)(；D 、Φ=Φ⋃Φ}{3、下面函数（ B ）是单射而非满射。
A 、12)(,:2-+-=→x x x f R R f ； B 、x x f R Z f ln )(,:=→+； C 、的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,:=→；D 、12)(,:+=→x x f R R f 。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题答案
[证] 因 g o f
则 y ∈ Y 且g ( y ) = g ( f ( x ) ) = Σ 。因此， g 是一个满射。 四、 1.设 X = {1, 2,3} ， y {1, 2} ， Y X = { f f : X → Y } 在 Y X 上害义二无关系 ≅ ： ∀f , g ∈ Y X ， f ≅ g 当且仅当 f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = g (1) + g ( 2 ) + g ( 3) （1）证明 ≅ 是等价关系。 （2）求等价类的个数。
[证] Ⅰ（1）Q f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) ，故 ≅ 是自反的。
（2）若 f ≅ g , 则 f (i ) =
i=1
3 2
3 g (i), 但 3 g (i) = 3 f (i), 故 g ≅ 2 2 2
i=1 i=1 i=1
故当 p ≥ 11 时 qc > 3 p − 6 ， Gc 不是平面图。 八、1.用数学归纳法证明每个比赛图中必有有向哈密顿路。 [证]设 D 是 p 个顶点的比赛图。施归纳于 p： 当 p=1，2 时结论显然成立。假设 当 p ≥ 2 时结论成立，往证对 p+1 个顶点的比赛图 D 也成立。从 D 中去掉一个顶点
6
i=1 3
有四个等价类。 2.设 R 为 X 上的二元关系，试证： R 是传递的当且仅当 R o R ⊆ R 。
哈工大集合论习题
第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A === 4.设{,{}}S φφ=，试求2S5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立（1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\A B C A B C =（3）\()()\A B C A B B =16．下列命题哪个为真a)对任何集合A,B,C ，若A B B C =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A B A B =。
d)对任何集合A,B ，222A BA B =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。
f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R S T R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()R S T R S R T ∆⊇∆18．设A 为任一集，{}I B ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()I I A B A B ξξξξ∈∈= 19．填空：设A,B 是两个集合。
哈工大离散数学期末
《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
计算从X 到Y 的映射的个数。
（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。
（答案： ）3.设X 为集合且X n =。
计算X 到X 的双射的个数。
（答案： ）4.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。
（答案： ）5.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个二元运算。
（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集无向图的个数。
（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的有向图的个数。
（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的比赛图的个数。
（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。
请找出正确的答案并将其号码添在括号中。
11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。
（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论与图论2009f
哈工大 2009 年 秋季学期 集合论与图论试题题号一 二 三 四 五 总分 分数学号 姓名本试卷满分90分-参考答案（计算机科学与技术学院08级）一、填空（本题满分20分，每空各1分）1．设B A ,为集合，若B B A B B A \)()\( =，则B 等于什么？ （B φ= ）2．设X A Y X f ⊆→,:，则))((1A f f -与A 有何关系？ ())((1A f f -A ⊇ )3．给定集合{}12345S =，，，，，找出S 上的等价的关系R ，此关系R 能产生划分{}{}{}{}12345，，，，。
（)}4,5(),5,4(),5,5(),4,4(),3,3(),1,2(),2,1(),2,2(),1,1{(） 4．设,,R I N 分别表示实数，整数，自然数集（包括0），定义映射321,,f f f ， 试确定它们的性质（单射、满射、双射）。
（1）11:,()2x f R R f x →=； （1f 是单射 ）（2）22:,()f I N f x x →= ； （2f 是满射 ）（3）2)(,:33+=→x x f R R f 。
（3f 是双射 ）5．在集合}12,11,,2,1{ =A 上定义的整除关系“|” 是A 上的偏序关系，则 极大元有几个？（ 6个 ）6．设X 是一个集合，X ＝n ，求X 上对称的二元关系有多少？（222n n + ）7．设R 是集合X 上的一个二元关系，则（1）R 是传递的充分必要条件是什么？ （R R ⊆2 ）（2）R 是对称的充分必要条件是什么？ （1-=R R ）8．设G 是有p 个顶点的K -正则偶图，则p 至少是多少？ （2p K ≥ ）9．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药 箱中，则（1）每个药箱里有多少种药？ （ 1-n ）（2）n 个药箱里共有多少种药？ （ 2/)1(-n n ）10. 设G 是无向图，有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，则G 至少有多少个顶点？ （ 9 ）11．设T 是有p )3(≥p 个顶点的无向树且T 的最大度为)(T ∆，则（1）)(T ∆的范围为多少？ （1)(2-≤∆≤p T ）（2）若2)(=∆T ，则T 中最长路的长度为多少？ （ 1-p ）12．设G 是有8个顶点的极大平面图，则G 的面数f 为多少？ （ 12 ）13．设G 是),(q p 图，若1-<p q ，则G 的顶点连通度)(G k 为多少？（ 0 ）14．设T 为任一棵正则二元树，q 为边数，)2(≥t t 为树叶数，则q 等于什么？（)1(2-=t q ）15．设,p q 为正整数，则,p q 为何值时q p K ,为欧拉图？ （,p q 为偶数）二、简答下列各题（本题满分10分）1．设C B A ,,是三个任意集合，且)()(C B A C B A =，则A 与C 应满足什么关系？说明理由。
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题
哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。
一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。
（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。
（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。
（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。
（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。
（）6．欧拉图中没有割点。
（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。
（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。
（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。
（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。
（）二、（20分，每小题2分）计算题。
对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。
（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。
（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。
（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。
D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。
确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。
已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
哈工大集合论习题课-第五章 图的基本概念习题课(学生)
第五章 图的基本概念习 题 课 11. 画出具有 6、8、10、…、2n 个顶点的三次图；是否有7个顶点的三次图？2. 无向图G 有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的度数均为2，求G 的顶点数p 。
解：设图的顶点为p ，根据握手定理：1deg()2pi i v q ==∑，有212)12(2312⨯=-⨯+⨯p ，得15302==p p ，。
3. 下列各无向图中有几个顶点？（1）16条边，每个顶点的度为2；（2）21条边，3个4度顶点，其余的都为3度数顶点；（3）24条边，各顶点的度数相同。
解： 设图的顶点为p ，根据握手定理：（1）1deg()2p i i v q ==∑，即2221632p q ==⨯=；所以16p =，即有16个顶点。
（2）1deg()2p i i v q ==∑，即433(3)222142p q ⨯+⨯-==⨯=，所以13p =。
（3）各点的度数为k ，则1deg()2i pi v q ==∑，即222448k p q ⨯==⨯=，于是① 若1k =，48p =； ② 若2k =，24p =；③ 若3k =，16p =； ④ 若4k =，12p =；⑤ 若6k =，8p =；⑥ 若8k =，16p =； ⑦ 若12k =，4p =；⑧ 若16k =，3p =； ⑨ 若24k =，2p =； ⑩ 若48k =，1p =。
4．设图G 中9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。
证明G 中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证：由握手定理的推论可知，G 中5度顶点数只能是0，2，6，8五种情况，此时6度顶点数分别为9，7，5，3，1个。
以上五种情况都满足至少5个6度顶点或至少6个5度顶点的情况。
5．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多少种药？[就是求一个完全图n K 的边数(1)(2)/2q p p =--g ]6.设G 是有p 个顶点，q 条边的无向图，各顶点的度数均为3。
离散数学集合论哈工大答案
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。 若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。 若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。 证明： （1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。 （2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时） 。那么对 于 S1 （ S1 k 1 ） ， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的 集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ， 亦即命题在 n k 1 时也成立。 由（1） 、 （2） ，可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章 集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。 解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。 同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？
集合论习题解答
集合论习题解答1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
2）假。
例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A∈C。
集合论习题课答案
5.集合的证明
a)证明 (A∩B)∪C=A∩(B∪C) iff CA
证明；充分性 已知CA (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) =A∩(B∪C) (∵ CA ∴ A∪C=A) 必要性 已知(A∩B)∪C=A∩(B∪C) x∈C ， x∈C x∈(A∩B)∪C x∈A∩(B∪C) x∈A 所以 CA
b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B x： x∈(A-B)-C x∈(A-B)∧xC (x∈A∧xB)∧xC (x∈A∧xC)∧xB x∈(A-C)∧xB x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C=(A-C)-B
c)证明以下各式彼此等价： A∪B=U, ~AB, ~BA A∪B=U x(x∈A∪B x∈U) x(x∈A∪B) (x∈U为T) x(x∈A∨x∈B) x(xAx∈B) x(x∈~Ax∈B) ~AB 同理A∪B=U ... x(x∈A∨x∈B) x(xBx∈A) x(x∈~Bx∈A) ~BA 所以A∪B=U ~AB ~BA.
c) AB iff ρ(A) ρ(B) 证明： 必要性：若AB证明ρ(A) ρ(B) S ：Sρ(A ) 即 SA ∵ AB ∴ SB 即 Sρ(B) ∴ ρ(A) ρ(B) 充分性：若ρ(A) ρ(B)证明AB x ： xA 必S，SA，使得xS ∵ ρ(A) ρ(B) ∴ 由SA即Sρ(A )可得到Sρ(B ) 也就是说SB ∴ xB ∴ AB 综上所述： AB iff ρ(A) ρ(B)
4.集合的基数 A,B是有限集合,已知|A|=3,|ρ(B)|=64,|ρ(A∪B)|=256, 则 |B|=( ), |A∩B|=( ),|A-B|=( ),|AB|=( ) 解： 由|ρ(B)|=64=26，得 |B|=6 由|ρ(A∪B)|=256＝28，得|A∪B|=8 由容斥原理得 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| |A∩B| = |A|+|B|-|A∪B|=3+6-8=1， 所以 |A∩B|＝1 |A-B|=|A|－|A∩B|=3-1=2 |AB|=|A∪B|－|A∩B|=8-1=7
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G 是一个p(p ≥3)个顶点的图。
哈工大集合论习题课-树及割集习题课
第六章树及割集习题课1课堂例题例1设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点,其余均是1度顶点.那么(1)求T有几个1度顶点(2)画出满足上述要求的不同构的两棵树.分析：对于任一棵树T ,其顶点数p和边数q的关系是：q p 1且pdeg(v) 2q ,根据这些性质容易求解.i 1解：(1)设该树T的顶点数为p,边数为q,并设树T中有x个1 度顶点.于是pdeg(v) 3 3 12 x 2q 且p 3 1 x, q p1,得x 5.i 1(2)满足上述要求的两棵不同构的无向树,如图1所示.图1例2设G是一棵树且(G) k ,证实G中至少有k个度为1项电c 证：设T 中有p个顶点,s个树叶,那么T中其余p s个顶点的度数均大于等于2,且至少有一个顶点的度大于等于k.由握手定理可得：p2q 2 p 2deg(v i) 2( p s 1) k s,有s k.i 1所以T中至少有k个树叶.习题例1假设无向图G中有p个顶点,p 1条边,那么G为树.这个命题正确吗为什么解：不正确.K3与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边,显然它不是树.例2设树T中有2n个度为1的顶点,有3n个度为2的顶点,有n个度为3的顶点,那么这棵树有多少个顶点和多少条边解：设T 有p 个顶点,q 条边,那么q p 1 2n 3n n 1 6n 1deg(v) 2q 有：1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1) 12n 2,解得：n =2. v V故 q 11, p 12.例3证实恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路.证：设T 是一棵具有两个顶点度数为1的(p,q)树,那么q p 1且p deg(V i ) 2q 2( p 1). i 1又T 除两个顶点度数为1外,其他顶点度均大于等于2,故pp 2deg(V i ) 2deg(v . 2( p 1),即i 1i 1p 2 deg(V i ) 2( p 2).1 1因此p 2个分支点的度数都恰为2,即T 为一条通路.例4画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树.解：4个顶点的非同构的无向树有两棵,如图 21(a),(b)所示;5个顶点的非同构的无向树有3棵,如图21(c),(d),(e)所示.（a ） (b)(c)(d)(e)图26个顶点的非同构的无向树有6棵,如图3所示图37个顶点的非同构的无向树有11棵,如图4所示.所画出的树具有6条边,因而七个顶点的度数之和应为12.由于每个顶点的度数均大于等于1,因而可产生以下七种度数序列 (d 1,d 2,L ,d 7)：(1) 1111116；⑵ 1111125； (3) 1111134; (4) 1111224; (5) 1111233；（b ） 1112223； 〔7〕 1122222.在〔1〕中只有一个星形图,因而只能产生 1棵树T 1.在〔2〕, 〔3〕中有两个星形图,因而也只能各产生1棵非同构的 树,分别设为T 2,T 3.在〔4〕, 〔5〕中有三个星形图,但三个星形图是各有两个是同构 的,因而各可产生两棵非同构的树,分别设为T 4,T 5和丁6,丁7.在〔6〕中,有四个星形图,有三个是同构的,考虑到不同的排列情况,共可产生三棵非同构的树,设为 T 8,T 9,T 10O在〔7〕中,有五个星形图,都是同构的,因而可产生1棵树,设为T 11.七个顶点的所有非同构的树T 1：T 11如图2所示.例5设无向图G 是由k 〔k 边才能使G 成为一棵树解：设G 中的k 个连通分支为：T 1,T 2,L ,T k , V i T i , i 1,2,L ,k .在G 中添加边{M,v-} , i 1,2,L ,k 1 ,设所得新图为T ,那么T 连通且无回路, 因而T 为树.故所加边的条数k 1是使得G 为树的最小数目. 例6证实：任意一棵非平凡树都是偶图.分析：假设考虑一下数据结构中树〔即有向树〕的定义,那么可以很 简单地将树中的顶点按层次分类, 偶数层顶点归于顶点集V .,奇数层 顶点归于顶点集V 1 ,图G 中每条边的端点一个属于V o ,另一个属于V 1 , 而不可能存在关联同一个顶点集的边.同理,对于无向树,可以从任 何一个顶点V 出发,给该树的顶点标记奇偶性,例如,v 标记0,与v 相邻的顶点标记1,再给与标记为1的所有相邻的顶点标记0,依次类 推,直到把所有的顶点标记完为止.最后,根据树的性质证实,任何 边只可能关联V 1 〔标记为1的顶点集〕和V o 〔标记为0的顶点集〕之 间的顶点.T 2 T 3 T 4T 7 2〕棵树构成的森林,至少在G 中添加多少条T 1 T 9图4证1从任何一个顶点V出发,给该树的顶点做标记,v标记0,与V相邻的顶点标记1,然后再给与标记为1的所有顶点相邻的顶点标记0,……,依次类推,直到把所有的顶点标记完为止.下面证实：对于任何边只能关联V i (标记为1的顶点集)和V.(标记为0的顶点集)之间的顶点.不妨假设,假设某条边e关联V1中的两个顶点,设为V1和V2,又由于根据上述的标记法那么,有必至八的路P和V2至卜的路P2.设P1与P2离V1和v2最近的顶点为u ,所以,树中存在回路：V1PuP2V2eV) ,与树中无回路的性质矛盾.所以,任意边只能关联S (标记为1的顶点集)和V.(标记为0的顶点集)之间的顶点.所以,任意一棵非平凡树都是偶图.证2设T是任一棵非平凡树,那么T无回路,即T中所有回路长都是零.而零是偶数,故由偶图的判定定理可知T是偶图.例7(1) 一棵无向树有n个度数为i的顶点,i 1,2,L ,k.r)2,n3,L ,、均为数,问?应为多少(2)在(1)中,假设n,(3 r k)未知,n j(j r)均为数,问n r 应为多少k 解：(1)设T为有p个顶点,q条边无向树,那么q p 1, p R.i 1由握手定理：PPkdegV i 2q , 有degV i in i 2q 2p 2 , 即i 1i 1i 1kkin i 2p 2 2 n i 2o①i 1i 1由式①可知：kkkn〔n 2n i 2 (i 2)5 2.i 2i 2i 2(2)对于r 3,由①可知：1 k ,n r ——(2 i)n i 2 .r 2 i 1 i r例8证实：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶.证：设T为一棵非平凡的无向树,L V1V2L V k为T中最长的路,假设端点V1和V k中至少有一个不是树叶,不妨设V k不是树叶,即有deg(V k) 2 ,那么V k除与L上的顶点V k1相邻外,必存在V k1与V k相邻,而V k1 不在L上,否那么将产生回路.于是ML VM 1仍为T的一条比L更长的路, 这与L为最长的路矛盾.故V k必为树叶.同理,V1也是树叶.例9设无向图G中有p个顶点,q 1条边,那么G为连通图当且仅当G中无回路.证：必要性：由于G中有p个顶点,边数q p 1,又由于G是连通的,由定理可知G为树,因而G中无回路.充分性：由于G中无回路,又边数q p 1,由定理可知G为树, 所以G是连通的.例10设G是一个(p,g)图,证实：假设g p,那么G中必有回路.证：(1)设G是连通的,那么假设G中无回路,那么G是树,故q p 1与q p矛盾.故G中必有回路.(2)设G不连通,那么G中有k(k 2)个分支,G1,G2,L,G k.假设G中无回路,那么G的各个分支G(i 1,2,L ,k)中也无回路,于是各个分支都是树,所以有：q p i 1 , i 1,2,L , k.相加得：q p k(k 2) 与q p矛盾,故G中必有回路.综上所述,图G中必有回路. p例11设d1,d2,L ,d p是p个正整数,p 2,且d 2p 2.证实存在一棵顶点度数为d1&,L ,d p的树.i1证：对顶点p进行归纳证实.当p 2时,d〔d2 2 2 2 2,那么d〔d2 1 ,故以d1, d2为度数的树存在,即为一条边.p1设对任意p 1个正整数d1,d2,L a1,只要d i 2(p 1) 2,那么存i 1在一棵顶点度数为d1,d2,L ,d p1的树.p对p个正整数d；d,L ,d p ,假设有d； 2P 2 ,那么d；,d2,L ,d p中必有i1一个数为1,必有一个数大于等于2;不妨设d1 1,d p 2,因此对p 1p1个正整数d2,d3,L ,d p 1,d p 1,有d i' (d p 1) 2( p 1) 2 ,故存在一棵顶i2点度数为d2,d3,L ,d p 1,d p 1的树T.设T中u的度数为d p 1,在丁中增加一个顶点V及边{u,v},得到一个图T ,那么T为树.又T的顶点度数为d；,d2,L ,d p,故由归纳法知原命题成立例题例1 G的一条边e不包含在G的任一回路中当且仅当e是G的桥.分析：这个题给出了判断桥的充要条件,应该记住.证：必要性：设e 是连通图G 的桥,e 关联的两个顶点是u 和v . 假设e 包含在G 的一个回路中,那么除边e uv 外还有一条分别以u 和v 为端点的路,所以删去边e 后,G 仍是连通的,这与e 是桥相矛盾.充分性：假设边e 不包含在G 的任意回路中,那么连接顶点u 和v 只有 边e,而不会有其它连接u 和v 的路.由于假设连接u 和v 还有不同于边e 的路,此路与边e 就组成了一条包含边e 的回路,从而导致矛盾.所 以,删去边e 后,u 和v 就不连通了,故边e 是桥.例2设G 是连通图,满足下面条件之一的边应具有什么性质(1)在G 的任何生成树中；(2)不在G 的任何生成树中.解：(1)在G 的任何生成树中的边应为G 中的桥.(2)不在G 的任何生成树中的边应为G 中的环.例3非平凡无向连通图G 是树当且仅当的G 的每条边都是桥.证：必要性：假设T 中存在边e VM 不是桥,那么G e 仍连通,因而v,v j 之间必另有一,条(不通过e)的路.设此路为：v »向1耳2021 年刈v j , 于是G 中有回路v i e ji v i2e j2L v j ev ,这与G 是树矛盾,故G 的每条边都是 桥.充分性：只要证实G 中无回路即可.假设G 中有回路C ,那么C 中任何边都不是桥,与题设中每条边都是 桥矛盾.例4图1给出的带权图表示7个城市a,b,c,d,e, f ,g 及架起城市间直接 通信线路的预测造价,试给出一个设计方案使得各城市间能够通信且 总造价最小,要求计算出最小总造价.图1图2图3解：该题就是求图的最小生成树问题.因此,图的最小生成树即 为所求的通信线路图,如图2所示.其权即是最小总造价,其权为： (T) 1 3 4 8 9 23 48 o例7设T 是一棵树,p 2,那么(1) p 个顶点的树T 至多有多少个割点； bb 2023 15 23g3628 1617(2)p个顶点的树T有多少个桥解：(1)树的度为1的顶点(叶子)不是割点,而树至少有2 个顶点的度为1,故树至多有p 2个顶点为割点.(2)树的每一条边都是桥,故p个顶点的树有p 1个桥.例8证实或否认断言：连通图G的任意边是G的某一棵生成树的弦.答：错误.假设e是桥,那么不成立.。
黑龙江省哈尔滨工大学附中高考数学一轮复习 集合与逻辑单元精品练习
哈尔滨工程大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：集合与逻辑本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；C ．命题“01,2<-+∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2>-+∈∀x x R x 均有”；D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题；【答案】D2．下列命题中的假命题是( )A ．x ∀∈R 120x -,>B ．x ∀∈N 2(1)0x *,->C ．0x ∃∈R,lg 01x <D ．0x ∃∈R,tan 02x =【答案】B3．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5},{2,3,5}A B ==，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,2,4}B ．{4}C ．{3,5}D ．∅【答案】A4．如果命题“非p 为真”，命题“p 且q 为假”，那么下列选项一定正确的是( )A ．q 为真B ．q 为假C ．p 或q 为真D ．p 或q 不一定为真【答案】D5．“220a b +=”是“0a =或0b =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A6． 2>x ”是“0)2)(1(>-+x x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．命题“若x=1，则x 2-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B8．集合}20{，M =，}|{M x x P ∈=，则下列关系中，正确的是( ) A ．MP B ．P M C ． M P = D ． M P ⊆ 【答案】D9．已知集合{1,0,1},{|cos ,}M N y y x x M =-==∈，则集合N 的真子集个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B10．已知命题p ：:若x ＋y ≠3，则x ≠1或y ≠2；命题q ：若b 2＝ac ，则a,b,c 成等比数列，下列选项中为真命题的是( )A ． pB ． qC ． p ∧qD ．（⌝p ）∨q【答案】A11．设集合A={x|y=x 2-1}，B={y|y=x 2-1}，C={(x,y)|y=x 2-1}，则下列关系错误．．的是( ) A ．B ∩C=Ф B ．A ∩C=ФC ．A ∩B=BD ．A ∪B=C 【答案】D12．下列说法正确的是( )A ． *N ϕ∈B ． Z ∈-2C ． Φ∈0D ．Q ⊆2【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列说法及计算不正确的是 。
哈工大《离散数学》教科书习题答案
教材习题解答第一章 集合及其运算8P 习题3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}- 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A ===证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。
同理可得：134n A A A A ====因此123n A A A A ====6.设{,{}}S φφ=，试求2S解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。
（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。
那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。
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第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===4.设{,{}}S φφ=，试求2S？5.设S 恰有n 个元素，证明2S有2n个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立？ （1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\AB C A B C =（3）\()()\A B C A B B = 16．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C ，若AB BC =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A BA B =。
d)对任何集合A,B ，222A B AB =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A BA B =。
f)对任何集合A,B ，222A BAB∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T ST ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆； （3）()()()()()R S R T R ST R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()RS T RS R T ∆⊇∆ 18．设A 为任一集，{}IB ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()IIA B A B ξξξξ∈∈=19．填空：设A,B 是两个集合。
(a)x A B ∈⇔__________________； (b)x AB ∈⇔__________________；(c)\x A B ∈⇔___________________； (d)x A B ∈∆⇔___________________；20．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C（e ）()()AB A C21.．设A,B,C 为集合，并且AB AC =，则下列断言哪个成立？ （1）B C = （2）A B A C =（3）CCA B A C = （4）CCA B A C =〕22．设A,B,C 为任意集合，化简()()()()()()()C C C CCC C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C23．证明：（1）()()C C A B A B A B ∆=；（2）()()()C CC A B A B A B ∆=；（3）()()()C CC A B AB AB ∆=24．设12,,M M 和12,,N N 是集合S 的子集的两个序列，对,,1,2,i j i j ≠=，有i j N N φ=。
令1111,(),2,3,n C n nk k Q M Q M M n -====。
试证： 1()nn n i i i N Q N M =∆⊆∆。
25．设X 是一个非空集合，1,,1,2,3,n n n A X A A n +⊆⊆=试证：n ∀，有1()c n mm mm nm nA A AA ∞∞+===。
6．设V 是任一集合，证明：,,2VS T W ∀∈有S T W ⊆⊆当且仅且S T S W ∆⊆∆且S W ⊆。
27．设12,,A A 为一集序列，记A 为这样的元素的全体形成的集合：x A ∈当且仅当在序列12,,A A 中有无穷多项n A 含有x 。
集合A 称为集序列12,,A A 的上极限，记为lim nn A →∞，即lim n n A A→∞=。
又记A 为这样的元素全体形成的集合；序列12,,A A 中只有有限项不含有这样的元素。
称A 为序列12,,A A 的下极限，并记lim n n A A→∞=。
证明；（1）1lim n kn k nn A A ∞∞==→∞=；（2）1lim n kn n k nA A ∞∞→∞===。
28．证明：lim lim n nn n A A →∞→∞⊆lim lim n nn n A A →∞→∞⊆。
29．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。
求2,,,A B B A A C A B ⨯⨯⨯⨯。
30．设A,B 为集合，试证：A×B ＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立： （1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。
31．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：()()()()A B CD A C B D ⨯=⨯⨯32．设1234,,,E E E E 为任意集合，试证：1234132124()\()((\))((\))E E E E E E E E E E ⨯⨯=⨯⨯33．设,A X B Y ⊆⊆，试证：()()()()C C C C CA B A B A B A B ⨯=⨯⨯⨯ 34．设A,B,C 为集合，证明：()()()A B C A B A C ⨯∆=⨯∆⨯35．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？ （1）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈且y B ∈ （2）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈或y B ∈（3）222A BA B ⨯=⨯（4）若A C B C ⨯=⨯，则A B =。
（5）若,A C B C C φ⨯=⨯≠，则A B =。
36．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？37．设A,B 为集合，B φ≠，试证：若A×B ＝B×B ，则A=B 。
38.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。
问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？39．求1到250之间不能被2，3，5，7中任一数整除的数的个数。
40．设A,B 是两个有限集，试求22?A B⨯=41．马大哈写n 封信，n 个信封，把n 封信放入到n 个信封中，求全部装错的概率是多少？42．毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。
同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。
证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。
第二章 习 题1.设A ，B 是有穷集，,A m B n ==（1）计算BA（2）从A 到A 有多少个双射？2.设X 是一个有穷集合，证明：从X 到X 的部分映射共有(1)XX +个。
3..证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
4.证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
5.设:f X Y →，,C D Y ⊆，证明11(\)()f C D f D --= 6. 设:, A,B X f X Y →⊆，证明（1）()()()f A B f A f B = （2）()()()f AB f A f B ⊆（3）()\()(\)f A f B f A B ⊆7.设:,,f X Y A X B Y →⊆⊆。
以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。
（1）（a ）若()()f x f A ∈，则x 未必在A 中 （b ）若()()f x f A ∈，则x A ∈ （c ）若()()f x f A ∈，则x A ∈（d ）若()()f x f A ∈，则c x A ∈（2）（a ）1(())f f B B -= （b ）1(())f f B B -⊆ （c ）1(())f f B B -⊇ （d ）1(())c f f B B -= （3）（a ）1(())f f A A -= （b ）1(())f f A A -⊆ （c ）1(())f f A A -⊇ （d ）上面三个均不对 （4）（a ）()f A ≠∅ （b ）()f B ≠∅（c ）若1,()y Y f y x -∈∈则 （d ）若1,()y Y fy x -∈⊆则8.设:,,f X Y A X →⊆则(())()ccf A f A ⊆成立吗？9.设X 是一个无穷集合，:f X Y →。
证明：存在X 的一个真子集E 使得()f E E =。
10.设:f A B →，证明2BT ∀∈，都有1(())()f fT Tf A -=11..设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0X a b c Y Z f X Y f a f b ===→==，()1;:f c g Y =→Z ，(0)2,(1)3g g ==，试求g f 。
12.设1212345123454321532514σσ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，＝，求11122112,,,σσσσσσ--。
13.将置换123456789791652348⎛⎫⎪⎝⎭分解成对换的乘积。
14.设σ是任一n 次置换，试证：σ与1σ-的奇偶性相同。
第三章 习 题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立： a )若R 与S 是自反的，则,R S R S 分别也是自反的。
b ) 若R 与S 是对称的，则,R S RS 分别对称的c ) 若R 与S 是传递的，则RS 也是传递的d ) 若R 与S 不是自反的，则R S 也不是自反的e ) 若R 与S 是反自反的，则,R S R S 也是反自反的f ) 若R 是自反的，则cR 也是反自反的。