第十一章流体力学.
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斜的。
因此，小车中的左上方处，液体的压强小，而右下方处 液体的压强大。
如果在水下释放一软木球，它将垂直等压面向小车的左 上方运动。
a
ft* ma
mg F合
相对于非惯性系静止的流体…
一匀速转动的水桶，水相对桶静止。求水的自由表面达 到稳定时的形状。 zω
水面 教材思考题11.5。
mg
O
y
Pn
所以 px py pn
Px Δy •Q Δn
x
Δx
表明：静止流体内一点的压强只与该点在液P体y 内的位置
有关，而与面元的方位无关。
静止流体内的压强分布
纵向：沿铅直方向的压强分布 压强梯度 流体中微小圆柱体处于平衡状态，所以有:
p dS ( p dp)dS dy dSg
得到压强梯度 dp g
dy
表明：在重力场中，静止流体 内的压强随流体的高度的增加 而减少，或随流体深度的增加 而增加。
y p+dp
y+dy
y
dS
dmg p
静止流体内的压强分布….
压强梯度 dp g
dy
高度分别为y1和y2的两点的压强差为：
y2
p2 p1 gdy y1
V浸
F gdV gV浸 W排 0
此式亦可用于压缩性影响可以忽略的气体产生的浮力。
Pα h ΔS p
相对于非惯性系静止的流体
如图，加速运动的小车里，车内液体任一质元受到重力
和惯性力两种体积力，它们的合力为 F合 （惯性力和重
力具有相似的特征）。
F合也是体积力，所以液体中的等压面与F合 垂直，是倾
r r (r0 , v0 , t)
微团的运动规律是初位矢、初速度和时间的函数。
将运动学方程对时间求导数，以获得流体微团的速度 和加速度。
这种方法只有了解了所有微团的运动规律后，才能 知道整个流体的运动情况。但由于微团的数量非常巨大， 所以实际上很难做到。
两种方法…
欧拉法（当地法）
把注意力转移到各空间点，观测各个流体微团经过这些 空间点时的流速。如果每一空间点的流速随时间变化的 规律知道了，则整个流体的运动情况就掌握了。
y O
p0 p
静止流体内的压强分布…
深度为h处液体压强
y2
p2 p1 gdy y1
由于液体近于不可压缩，视其密度为恒量，那么有：
p p0 gh
y
式中p0是液面处的压强， h是离液面的深度。
• p0
O
y2
h
•
p y1
阿基米德原理
(Archimedes’ principle) 如图，浸在液体中的物体所受的浮力等于液体作用于所 接触的表面各面元的压力沿竖直方向的分力之和。
对同一流管，横截面小处流线密，流速大；横截面大 处流线疏，流速小。因此流线疏密反映了流速大小。
问： 为什么 水流自 上而下 由粗变 细？
⊿S1
v1⊿V
⊿l
⊿S2
v2
理想流体动力学
1726年，瑞士物理学家、数学家、医学家伯努利通过无 数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快 时。物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力 会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为 “伯努利效应” 。
恒量）。
解：根据 dp dy
得 dp
g 和
p p0
0 gdy
p p0
0
（由初始条件得出）
分离变量，积分得：
p
dp
y
0
gdy
p p0
0 p0
0g y
故有 p p0e p0
y O
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
第十一章 流体力学
(Mechanics of fluids)
内容概要
理想流体 流体静力学 流体运动学
流迹 流线 流管 定常流动 不可压缩流体作定常流动时的连续性方程 流体动力学 伯努利方程 流体的动量和角动量
理想流体
理想流体（ideal fluid）—— 既不可压缩，又无粘性的 流体，是一个理想化模型。 不可压缩流体 液体几乎不可压缩；流动的气体流速不大时，密度几 乎均匀，可认为不可压缩。
(可类比电场：E
E (r, t )
E(x,
y,
z,t)
)
流线（streamline）（可类比电场线）
流线是这样的曲线：其上每一点 的切线方向和位于该处的流体微 团的速度方向一致。其疏密可表 示该处流速大小。
•v
P
基本概念…
几点说明：
一般地，流线是时间的函数，每一时刻的分布都不 相同。即流线分布与一定的瞬时相对应;
y
y2
2
y1
1
O
静止流体内的压强分布…
横向：等高点的压强相等
如图，A、B点等高，半径为无限小的圆柱体两底面分
别经这两点，底面积为ΔS。因为圆柱体处于平衡状态，
所以有： pAΔS = pBΔS，即有 pA= pB
A
pA •
ΔS
B
• pB
等压强的点组成的面叫等压面。在重力场中，静止流 体的等压面是水平面，与重力( 体积力)垂直。
m r 2 rˆ
F
r
流体运动学
研究流体运动的两种方法 例如：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：
（1）在每一辆公交车上设安排记录员，记录每辆车在不 同时刻（站点）上下车人数，此法称为随体法；
（2）在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的 车辆上下车人数，此法称为当地法。
流体力学用以上方法研究流体运动。
静止流体内部不存在阻碍层与层之间发生相对滑动趋势 的阻力（静摩擦力）。这正是流体具有流动性的原因。
流体静力学…
静止流体内的压强
Q点处对应于无限小ΔS面的压强为
lim p
F
S0 S
问：1、压强是标量还是矢量？ 2、压强 p与ΔS所取的方位有没有关系？
正压力 F
Q• ΔS（假想截面）
非粘性流体 流体流动时，流层与流层之间存在内摩擦力（粘滞 力）。当流动性是主要时，可忽略粘滞力，认为流体 是非粘性流体。
管道中，中间流体流速大， 两边流体流速小。
流体静力学
流体静力学——主要研究静止或相对静止流体中压力、 密度、温度等参数的分布以及流体对器壁或物体的作用 的流体力学分支。
静止流体的特点
质点系不存在非保守内力。以下分析质点系外力以及外 力做功情况。
理想流体不存在粘性力。
由于流体微团所受的 侧压力不做功，而微 团运动过程中，后面 的压力做正功，前面 的压力做负功。
p1
a1Δl1 b1
ΔS1
p1 p2
a2 Δl2
b2
p2
h1
h2 ΔS2
伯努利方程…
定常流动中，各空间位置点处的压强不随时间改变，所 以后底经过b1a2段时，后方压力所做的正功，与前底经 过b1a2段时前方压力所做的负功，正好抵消。于是：
伯努利效应的应用举例 飞机机翼、 船吸现象、汽油发动机的汽化器。
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）。开辟 并命名了“流体动力学”学科，十年寒窗 写就《流体动力学》一书。
伯努利效应
在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来 时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就 减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现 明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。
任取一面元ΔS，其深度为h。所受的液体压强为p。那么， 竖直方向上的分力为：
dF pS cos ghS cos gdV
式中dV是面元ΔS上方到液面 的那部分物体的体积。
问：为什么不是 p p0 gh ？
Pα h ΔS p
阿基米德原理…
(Archimedes’ principle) 所以物体所受到的浮力为:
微团线度和它所经过的路径相比非常小，可视为质点。
伯努ຫໍສະໝຸດ Baidu方程…
在理想流体内某一细流管中任取微团ab，自位置1运动 至位置2，在1和2处的长度各为Δl1和Δl2 ，底面积各为 ΔS1和ΔS2 ，质量为 m l1S1 l2S。2
应用质点系功能原理： A外 A非保内 E2 E1
即 v1S1dt v2S2dt
即 v1S1 v2S2 ——ΔS1处的流量 = ΔS2处的流量
或 vS 常量
通过流管各截面的流量相等—— 不可压缩流体作定常流动时的连 续性方程
⊿S1
v1
⊿S2
v2
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程…
v1S1 v2S2
讨论： 对同一流管，横截面积小处，流速大；横截面积大 处， 流速小。
微团经过某个空间点时的流速为：
v
v (r ,
t)
v ( x,
y,
z,
t)
流速是空间点坐标与时间的函数。
在流体力学中，欧拉法比拉格朗日法更有效。
流体运动学的基本概念
流速场（flow velocity field）
每一点都有一定的流速矢量与之相对应的空间。
v v(r ,t) v(x, y, z,t)
⊿V
t0 t 单位： m3 s，L s
⊿S v
⊿l
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程…
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程 因为流体不能穿越流管壁出入流管，故封闭体内流体 质量恒定；且流体不可压缩，故封闭体内流体密度恒
定。因而 dt 时间内：
由ΔS1流入的流体质量 = 由ΔS2流出的流体质量
在Δt 时间间隔内，通过流管某横截面ΔS 的流体体积为
ΔV ， ΔV和Δt 之比当Δt→0时的极限称为该横截面上的
流量。
Q lim V t0 t
若流管很细，可认为形成流管的各条流线平行，且横
截面上各点流速相等，v 表示该横截面上的流速大小，
则流量Q为:
Q lim l S vS
体积力—— 作用在物体全部体积上的力。
如重力、万有引力、电场力等。
p2
面积力—— 只作用在物体表面上的力。p1
如压力、摩擦力等。
h1 h2 G
例题1
例 已知地面的大气压强和空气密度分别为p0和0。若大 气温度不随高度变化，则大气密度 与大气压强p成正比。
试求大气压强p随高度变化的规律（假设重力加速度为一
流迹描述的是同一微团在不同时刻的空间位置和速 度方向（电影）。流线描述的是同一时刻不同微团 的速度情况（相片）;
一般地，流迹与流线不重合;
任意两条流线不相交。
基本概念…
流管（tube of flow） 在流体内部画微小封闭曲线，通过封 闭曲线上各点的流线所围成的细管。
因为流线不相交，所以流管内外的流体都不具有穿过流 管壁面的速度。 定常流动（或稳定流动，steady flow）
静止流体内的压强
推导：如图，在Q点附近取一无限小三棱直角柱体。由
于重力很小，可忽略。可得平衡方程如下：
pxyl pnnl cos 0
Px Δl
Pn pz Δn
pyxl pnnl sin 0
Δy
Q•
因为 n cos y n sin x
pz Δx Py
车名 站名 华师站 岗顶站 1 路车 3上4下 5上3下 2 路车 7上8下 6上9下
站名 车名 1 路车 2 路车 华师站 3上4下 7上8下 岗顶站 5上3下 6上9下
两种方法…
拉格朗日法（随体法）
把流体分成许多无限小的流体微团，并追踪每个微团， 求出它们各自的运动规律。一定微团的运动轨迹叫该微 团的流迹（pathline），其运动学方程为：
伯努利方程
伯努利方程（Bernoulli ’s equation ） 1738年伯努利提出的。研究在惯性系中，理想流体在重 力场中作定常流动时一流线上（或细流管内）的压强、 流速和高度的关系。
参考系——惯性系； 研究对象——重力场中理想流体定常流动时的任一微团 和地球组成的系统。
应用质点系功能原理： A外 A非保内 E2 E1
船吸现象：1912年伯秋天努，利“效奥林应匹…克”号正在大海上航
行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的100米处，有 一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶， 两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前 方。忽然，正在疾驶中的“豪克”号好像被大船吸引似 地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克” 号 闯去。最后，“豪克”号的船头撞在“奥林匹克”号的 船舷 上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。
任意空间点的流速不随时间而变化，这样的流动称为定
常流动。 v v(r ) v(x, y, z)
定常流动的流线和流管都保持固定形状和位置。
流线和流迹重合。定常流动时，流体在固定的流管 中流动，而流管无限变细时就成为流线。所以此时 流迹与流线重合。
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程
流量Q （flow rate）
因此，小车中的左上方处，液体的压强小，而右下方处 液体的压强大。
如果在水下释放一软木球，它将垂直等压面向小车的左 上方运动。
a
ft* ma
mg F合
相对于非惯性系静止的流体…
一匀速转动的水桶，水相对桶静止。求水的自由表面达 到稳定时的形状。 zω
水面 教材思考题11.5。
mg
O
y
Pn
所以 px py pn
Px Δy •Q Δn
x
Δx
表明：静止流体内一点的压强只与该点在液P体y 内的位置
有关，而与面元的方位无关。
静止流体内的压强分布
纵向：沿铅直方向的压强分布 压强梯度 流体中微小圆柱体处于平衡状态，所以有:
p dS ( p dp)dS dy dSg
得到压强梯度 dp g
dy
表明：在重力场中，静止流体 内的压强随流体的高度的增加 而减少，或随流体深度的增加 而增加。
y p+dp
y+dy
y
dS
dmg p
静止流体内的压强分布….
压强梯度 dp g
dy
高度分别为y1和y2的两点的压强差为：
y2
p2 p1 gdy y1
V浸
F gdV gV浸 W排 0
此式亦可用于压缩性影响可以忽略的气体产生的浮力。
Pα h ΔS p
相对于非惯性系静止的流体
如图，加速运动的小车里，车内液体任一质元受到重力
和惯性力两种体积力，它们的合力为 F合 （惯性力和重
力具有相似的特征）。
F合也是体积力，所以液体中的等压面与F合 垂直，是倾
r r (r0 , v0 , t)
微团的运动规律是初位矢、初速度和时间的函数。
将运动学方程对时间求导数，以获得流体微团的速度 和加速度。
这种方法只有了解了所有微团的运动规律后，才能 知道整个流体的运动情况。但由于微团的数量非常巨大， 所以实际上很难做到。
两种方法…
欧拉法（当地法）
把注意力转移到各空间点，观测各个流体微团经过这些 空间点时的流速。如果每一空间点的流速随时间变化的 规律知道了，则整个流体的运动情况就掌握了。
y O
p0 p
静止流体内的压强分布…
深度为h处液体压强
y2
p2 p1 gdy y1
由于液体近于不可压缩，视其密度为恒量，那么有：
p p0 gh
y
式中p0是液面处的压强， h是离液面的深度。
• p0
O
y2
h
•
p y1
阿基米德原理
(Archimedes’ principle) 如图，浸在液体中的物体所受的浮力等于液体作用于所 接触的表面各面元的压力沿竖直方向的分力之和。
对同一流管，横截面小处流线密，流速大；横截面大 处流线疏，流速小。因此流线疏密反映了流速大小。
问： 为什么 水流自 上而下 由粗变 细？
⊿S1
v1⊿V
⊿l
⊿S2
v2
理想流体动力学
1726年，瑞士物理学家、数学家、医学家伯努利通过无 数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快 时。物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力 会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为 “伯努利效应” 。
恒量）。
解：根据 dp dy
得 dp
g 和
p p0
0 gdy
p p0
0
（由初始条件得出）
分离变量，积分得：
p
dp
y
0
gdy
p p0
0 p0
0g y
故有 p p0e p0
y O
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
第十一章 流体力学
(Mechanics of fluids)
内容概要
理想流体 流体静力学 流体运动学
流迹 流线 流管 定常流动 不可压缩流体作定常流动时的连续性方程 流体动力学 伯努利方程 流体的动量和角动量
理想流体
理想流体（ideal fluid）—— 既不可压缩，又无粘性的 流体，是一个理想化模型。 不可压缩流体 液体几乎不可压缩；流动的气体流速不大时，密度几 乎均匀，可认为不可压缩。
(可类比电场：E
E (r, t )
E(x,
y,
z,t)
)
流线（streamline）（可类比电场线）
流线是这样的曲线：其上每一点 的切线方向和位于该处的流体微 团的速度方向一致。其疏密可表 示该处流速大小。
•v
P
基本概念…
几点说明：
一般地，流线是时间的函数，每一时刻的分布都不 相同。即流线分布与一定的瞬时相对应;
y
y2
2
y1
1
O
静止流体内的压强分布…
横向：等高点的压强相等
如图，A、B点等高，半径为无限小的圆柱体两底面分
别经这两点，底面积为ΔS。因为圆柱体处于平衡状态，
所以有： pAΔS = pBΔS，即有 pA= pB
A
pA •
ΔS
B
• pB
等压强的点组成的面叫等压面。在重力场中，静止流 体的等压面是水平面，与重力( 体积力)垂直。
m r 2 rˆ
F
r
流体运动学
研究流体运动的两种方法 例如：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：
（1）在每一辆公交车上设安排记录员，记录每辆车在不 同时刻（站点）上下车人数，此法称为随体法；
（2）在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的 车辆上下车人数，此法称为当地法。
流体力学用以上方法研究流体运动。
静止流体内部不存在阻碍层与层之间发生相对滑动趋势 的阻力（静摩擦力）。这正是流体具有流动性的原因。
流体静力学…
静止流体内的压强
Q点处对应于无限小ΔS面的压强为
lim p
F
S0 S
问：1、压强是标量还是矢量？ 2、压强 p与ΔS所取的方位有没有关系？
正压力 F
Q• ΔS（假想截面）
非粘性流体 流体流动时，流层与流层之间存在内摩擦力（粘滞 力）。当流动性是主要时，可忽略粘滞力，认为流体 是非粘性流体。
管道中，中间流体流速大， 两边流体流速小。
流体静力学
流体静力学——主要研究静止或相对静止流体中压力、 密度、温度等参数的分布以及流体对器壁或物体的作用 的流体力学分支。
静止流体的特点
质点系不存在非保守内力。以下分析质点系外力以及外 力做功情况。
理想流体不存在粘性力。
由于流体微团所受的 侧压力不做功，而微 团运动过程中，后面 的压力做正功，前面 的压力做负功。
p1
a1Δl1 b1
ΔS1
p1 p2
a2 Δl2
b2
p2
h1
h2 ΔS2
伯努利方程…
定常流动中，各空间位置点处的压强不随时间改变，所 以后底经过b1a2段时，后方压力所做的正功，与前底经 过b1a2段时前方压力所做的负功，正好抵消。于是：
伯努利效应的应用举例 飞机机翼、 船吸现象、汽油发动机的汽化器。
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）。开辟 并命名了“流体动力学”学科，十年寒窗 写就《流体动力学》一书。
伯努利效应
在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来 时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就 减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现 明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。
任取一面元ΔS，其深度为h。所受的液体压强为p。那么， 竖直方向上的分力为：
dF pS cos ghS cos gdV
式中dV是面元ΔS上方到液面 的那部分物体的体积。
问：为什么不是 p p0 gh ？
Pα h ΔS p
阿基米德原理…
(Archimedes’ principle) 所以物体所受到的浮力为:
微团线度和它所经过的路径相比非常小，可视为质点。
伯努ຫໍສະໝຸດ Baidu方程…
在理想流体内某一细流管中任取微团ab，自位置1运动 至位置2，在1和2处的长度各为Δl1和Δl2 ，底面积各为 ΔS1和ΔS2 ，质量为 m l1S1 l2S。2
应用质点系功能原理： A外 A非保内 E2 E1
即 v1S1dt v2S2dt
即 v1S1 v2S2 ——ΔS1处的流量 = ΔS2处的流量
或 vS 常量
通过流管各截面的流量相等—— 不可压缩流体作定常流动时的连 续性方程
⊿S1
v1
⊿S2
v2
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程…
v1S1 v2S2
讨论： 对同一流管，横截面积小处，流速大；横截面积大 处， 流速小。
微团经过某个空间点时的流速为：
v
v (r ,
t)
v ( x,
y,
z,
t)
流速是空间点坐标与时间的函数。
在流体力学中，欧拉法比拉格朗日法更有效。
流体运动学的基本概念
流速场（flow velocity field）
每一点都有一定的流速矢量与之相对应的空间。
v v(r ,t) v(x, y, z,t)
⊿V
t0 t 单位： m3 s，L s
⊿S v
⊿l
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程…
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程 因为流体不能穿越流管壁出入流管，故封闭体内流体 质量恒定；且流体不可压缩，故封闭体内流体密度恒
定。因而 dt 时间内：
由ΔS1流入的流体质量 = 由ΔS2流出的流体质量
在Δt 时间间隔内，通过流管某横截面ΔS 的流体体积为
ΔV ， ΔV和Δt 之比当Δt→0时的极限称为该横截面上的
流量。
Q lim V t0 t
若流管很细，可认为形成流管的各条流线平行，且横
截面上各点流速相等，v 表示该横截面上的流速大小，
则流量Q为:
Q lim l S vS
体积力—— 作用在物体全部体积上的力。
如重力、万有引力、电场力等。
p2
面积力—— 只作用在物体表面上的力。p1
如压力、摩擦力等。
h1 h2 G
例题1
例 已知地面的大气压强和空气密度分别为p0和0。若大 气温度不随高度变化，则大气密度 与大气压强p成正比。
试求大气压强p随高度变化的规律（假设重力加速度为一
流迹描述的是同一微团在不同时刻的空间位置和速 度方向（电影）。流线描述的是同一时刻不同微团 的速度情况（相片）;
一般地，流迹与流线不重合;
任意两条流线不相交。
基本概念…
流管（tube of flow） 在流体内部画微小封闭曲线，通过封 闭曲线上各点的流线所围成的细管。
因为流线不相交，所以流管内外的流体都不具有穿过流 管壁面的速度。 定常流动（或稳定流动，steady flow）
静止流体内的压强
推导：如图，在Q点附近取一无限小三棱直角柱体。由
于重力很小，可忽略。可得平衡方程如下：
pxyl pnnl cos 0
Px Δl
Pn pz Δn
pyxl pnnl sin 0
Δy
Q•
因为 n cos y n sin x
pz Δx Py
车名 站名 华师站 岗顶站 1 路车 3上4下 5上3下 2 路车 7上8下 6上9下
站名 车名 1 路车 2 路车 华师站 3上4下 7上8下 岗顶站 5上3下 6上9下
两种方法…
拉格朗日法（随体法）
把流体分成许多无限小的流体微团，并追踪每个微团， 求出它们各自的运动规律。一定微团的运动轨迹叫该微 团的流迹（pathline），其运动学方程为：
伯努利方程
伯努利方程（Bernoulli ’s equation ） 1738年伯努利提出的。研究在惯性系中，理想流体在重 力场中作定常流动时一流线上（或细流管内）的压强、 流速和高度的关系。
参考系——惯性系； 研究对象——重力场中理想流体定常流动时的任一微团 和地球组成的系统。
应用质点系功能原理： A外 A非保内 E2 E1
船吸现象：1912年伯秋天努，利“效奥林应匹…克”号正在大海上航
行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的100米处，有 一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号正在向前疾驶， 两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前 方。忽然，正在疾驶中的“豪克”号好像被大船吸引似 地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克” 号 闯去。最后，“豪克”号的船头撞在“奥林匹克”号的 船舷 上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。
任意空间点的流速不随时间而变化，这样的流动称为定
常流动。 v v(r ) v(x, y, z)
定常流动的流线和流管都保持固定形状和位置。
流线和流迹重合。定常流动时，流体在固定的流管 中流动，而流管无限变细时就成为流线。所以此时 流迹与流线重合。
不可压缩流体作定常流动时的连续性方程
流量Q （flow rate）