概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答
概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答
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即得 Cn 2Cn 3Cn nCn n2
1 2 3 n
n 1
(2)在上式中令 x=-1 即得 Cn 2Cn 3Cn (1)
1 2 3 n 1 n nCn 0
(3)要原式有意义,必须 0 r a 。由于 Cab Cab , Cb Cb
m
~m
这个公式的证明思路是,把 n 个不同的元素编号为1,2, ,n,再把重复组合的每一组中 数从小到大排列,每个数依次加上 0,1,, m 1 ,则这一组数就变成了从 1,2,, n m 1 共
m
m
3 10 7 6 15 9 207 . 25 25 25 25 25 25 625
14.由盛有号码 1,2, ,N 的球的箱子中有放回地摸了 n 次球,依次记下其号码,试求这些 号码按严格上升次序排列的概率。 解:若取出的号码是按严格上升次序排列,则 n 个号码必然全不相同, n N 。N 个不同号 码可产生 n ! 种不同的排列,其中只有一个是按严格上升次序的排列,也就是说,一种组 合对应一种严格上升排列, 所以共有 C N 种按严格上升次序的排列。 总可能场合数为 N n , 故题中欲求的概率为 P
解: (1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。
(2) ABC A BC A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C B 成立。 (4)A=B 及 A C A B C ,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体,也就不是 运动员的学生全体时成立。也可表述为:当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生,并 且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5.用摸球模型造一例,指出样本空间及各种事件运算。 解: 设袋中有三个球,编号为 1,2,3,每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点(1) , ( 2) , 1,2, B 1,3, C 3, (3)设 A 则 A {3}, A B 1,2,3, A B 1 , A B {2},
概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习
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第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C +C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P A B P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B =I B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -=U B .()A B B A -⊃UC .()A B B A -⊂UD .()A B B A -=U8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC U U 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=,P (B )=,P (C )=,则P A B C -=U ()( ).A .B .C .D .17掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。
概率论答案 - 李贤平版 - 第四章
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第四章 数字特征与特征函数1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中p A P =)(,再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1,试求ηE 及ηD 。
2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1 =,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。
3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。
4、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望及方差。
5、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞=≥=1}{k k P E ξξ。
6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x ex p x λμλ0>λ。
试求ξE ,ξD 。
7、若21,ξξ相互独立,均服从),(2σa N ,试证πσξξ+=a E ),max(21。
8、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求n S 。
10、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体质重量,试说明这样做的道理。
11、若ξ的密度函数是偶函数,且2E ξ<∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。
12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。
13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。
李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案.doc
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第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ<∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。
2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >,1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。
4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值?6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:(1)1{2}2kk P X =±=; (2)(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-;(3)11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。
7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,证明这时对{}k ξ大数定律成立。
8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明对{}k ξ成立大数定律。
9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n nηξξ=++,11()n n a E E nξξ=++,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。
10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而0mn→时, 22211~2nmn n e n m n π-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭。
12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率。
13、求证,在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt ex x-∞--≤≤+⎰。
概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习
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第一章 随机事件及其概率一、选择题:1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( )A .AB AC + B .()A B C +C .ABCD .A B C ++2.设B A ⊂ 则 ( )A .()P AB I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=-C . P(B|A) = P(B)D .(|)()P A B P A =3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一定独立A .()()()P AB P A P B =I B .P (A|B )=0C .P (A|B )= P (B )D .P (A|B )= ()P A4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( )A .a-bB .c-bC .a(1-b)D .b-a5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 互不独立D .A 与B 互不相容6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ⊃,则一定成立的关系式是( )A .P (A|B )=1 B .P(B|A)=1C .(|A)1p B =D .(A|)1p B =7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )A .()AB B A -=U B .()A B B A -⊃UC .()A B B A -⊂UD .()A B B A -=U8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0C .A 与B 互不相容D .A+B 是必然事件9.设事件A 与B 独立,则有 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (AB )=0D .P (A+B )=110.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( )A .P (AB )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B )C .P (A|B )=P (A )D .P (AB )=P (A )P (B|A )11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( )A .A 与B 互斥 B .AB 是不可能事件C .P (A )=0或P (B )=0D .AB 未必是不可能事件12.若事件A 、B 满足A B ⊂,则 ( )A .A 与B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生C .B 发生时则A 必发生D .A 不发生则B 总不发生13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( )A . ()()PB P AB - B .()()()P A P B P AB -+C .()()P A P AB -D .()()()P A P B P AB --14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC U U 表示 ( )A .A 、B 、C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个C .A 、B 、C 至多发生两个D .A 、B 、C 至多发生一个15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( )A .A 与B 互不相容 B .A 与B 相互独立C .A 与B 相互对立D .A 与B 互不独立16.设随机实际A 、B 、C 两两互斥,且P (A )=,P (B )=,P (C )=,则P A B C -=U ()( ).A .B .C .D .17掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率为 ( )A .1/2B .1/3C .1/4D .3/418.一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 1p ,第二道工序的废品率为2p ,则该零件加工的成品率为 ( )A .121p p --B .121p p -C .12121p p p p --+D .122p p --19.每次试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败一次概率为( )。
概率论答案-李贤平版-第三章
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第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点,每经一个单位时间,它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格,若该质点在时刻0从原点出发,而且每次移动是相互独立的,试用随机变量来描述这质点的运动(以n S 表示时间n 时质点的位置)。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长,试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布:(1);,,2,1,)(N k Nck f ==(2),,2,1,!)( ==k k ck f kλ 0>λ。
4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。
5、若ξ的分布函数为N (10,4),求ξ落在下列范围的概率:(1)(6,9);(2)(7,12);(3)(13,15)。
6、若ξ的分布函数为N (5,4),求a 使:(1)90.0}{=<a P ξ;(2)01.0}|5{|=>-a P ξ。
7、设}{)(x P x F ≤=ξ,试证)(x F 具有下列性质:(1)非降;(2)右连续;(3),0)(=-∞F1)(=+∞F 。
8、试证:若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ,则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。
9、设随机变量ξ取值于[0,1],若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关(对一切10≤≤≤y x ),试证ξ服从[0,1]均匀分布。
10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ,使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ,则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。
证明(1)正态分布),(20σm N ,已知0m ,关于参数σ;(2)正态分布),(200σm N ,已知0σ,关于参数m ;(3)普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。
但],0[θ上的均匀分布,关于θ不是一个单参数的指数族。
概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)
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第一章 事件与概率1、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A =U U ;(3)C AB ⊂;(4)BC A ⊂.2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和.3、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式:(1)1321232−=++++n n n n n n n nC C C C L ; (2)0)1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ; (3)∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C0.5、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。
7、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。
现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码L ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列L ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:n m x x x x <<<<<L L 21,试求M x m =的概率,这里N M ≤≤1。
概率论答案 - 李贤平版 - 第二章-13页文档资料
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第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少?2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。
5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少?7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少?8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。
以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。
试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
李贤平《概率论基础》第五章答案
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1第5章 极限定理解答1.证:对任意0x >,11{}()()()axayaxaxy xy xy xP x dF y e dF y e dF y eeξ≥≥≥≥==≤⎰⎰⎰1()ay axa axe dF y eE eeξ∞-≤=⎰2、证:()h ξ为非负随机变量,所以对0c >有1{()}()()h h x cx cP h c dF x xdF x cξ≥≥≥=≤⎰⎰11()()h xdF x E h ccξ∞≤=⎰。
4、解:现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=⎛⎫→ ⎪⎝⎭∑,2211022k E k k ξ=-=,2221122sssk D kkkξ=+=。
若12s <,这时210s -<,利用k ξ间的独立性可得222122211110()sn nss k k k n n D knn n n n ξ-==⋅⎛⎫=≤=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑。
若12s ≥,则 222211111110()2n nnsk k k k n D kk n n nnnξ===+⎛⎫=≥=→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。
所以当时,大数定律可用于独立随机变量序列。
6、证:(1)0k EX =,()()221122422kkk D X k =⋅+-⋅=,11222221111144440()1433n n n nk k k k D X D X n n n nnn++==-⎛⎫==⨯=-→→∞ ⎪-⎝⎭∑∑。
不满足马尔可夫条件。
(2)()()222121110,22122kkk k k k E X D X ++==⋅+-⋅=,2211110()n k k D X n n n n n =⎛⎫=⋅=→→∞ ⎪⎝⎭∑。
满足马尔可夫条件。
(3)()32221122110,22k k EX D X k k k k k ==⋅+-⋅=,23222221111111(1)1()22n nnk k k k n n D X kkn n n nn===+⎛⎫=≥=⋅→→∞ ⎪⎝⎭∑∑∑。
李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
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李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案第1章 事件与概率2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A = ;(3)C AB ⊂;(4)BC A ⊂.3、试把nA AA 21表示成n 个两两互不相容事件的和.6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n nn n n nn nC C C C;(2)0)1(321321=-+-+--nn n n n nnC C C C;(3)∑-=-++=ra k ra ba kb r k a C C C.9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。
11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m mm m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。
现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码 ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列 ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:nm x x x x <<<<< 21,试求Mxm=的概率,这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有39、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,,求()AB P 及()B A P 。
概率论基础第2版李贤平全部习题解答.pdf
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A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)= A1 A2 A1 An A1 A2 An1 .
4.在某班学生中任选一个同学以事件 A 表示选到的是男同学,事件 B 表示选到的人不喜欢
唱歌,事件 C 表示选到的人是运动员。(1)表述 ABC 及 ABC ;(2)什么条件下成立
同时发生。
(2) A B C A B C A B A且C A ,B 发生或 C 发生,均导致 A 发生。
(3) AB C A与 B 同时发生必导致 C 发生。 (4) A BC A B C ,A 发生,则 B 与 C 至少有一不发生。
3.试把 A1 A2 An 表示成 n 个两两互不相容事件的和.
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解:
(1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2) ABC A BC A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C B 成立。
0.73 0.14 0.03 0.90 . (6)P{不订任何报纸的} 1 0.90 0.10 .
2.若 A,B,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1) ABC A ;(2) A B C A ;
(3) AB C ;(4) A BC .
解:
(1)ABC A BC A(ABC A显然) B A且C A ,若 A 发生,则 B 与 C 必
概率论基础(第 2 版)李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中,公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中,订阅 A 的占 45%,订阅 B 的占 35%,订阅 C 的占 30%,同时订阅 A 及 B 的占 10%,同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率:(1)只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的;(3)只订阅一种报纸的;(4)正好订阅两种报纸的;(5)至少订阅一种报纸的;(6) 不订阅报纸的。 解:
李贤平-概率论基础-Chap2
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三.全概率公式
若 A1 , A2 , 两两互不相容,且 Ai , 则称
i 1
A1 , A2 , 为 的一个分割, 亦称完备事件组。
A1
An
A2
A3
An 1
全概率公式:若事件 A1, A2 ,„ 是样本空间的一
组分割,且 P(Ai)>0,则 B BAi , i 1
用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2)
例2.波利亚(Polya)坛子模型 坛子中有b只黑球及r只红球, 随机取出一只, 把原 球放回, 并加进与抽出球同色的球c只, 再摸第二次, 这样下去共摸了n次,问前面的n1次出现黑球,后面 的n2=n-n1次出现红球的概率是多少? 解: Ak表示第k次摸出黑球这一事件,需要计算交事 件的概率 P( A 1A 2 A n1 A n1 1 A n ). 则
i 1 i 1
P(B) P( BAi ) P( Ai ) P( B | Ai ).
Remark:
全概率公式用于求复杂事件的概率.公式中的B是较复 杂事件, Ai是引起B发生的各原因、情况或途径。
使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割” 样本空间.
全空间可以由有限个Ai来分割,即A1,A2 ,„,An
P( B) P( Ai ) P( B Ai ) 0.4825
i 1 4
四.贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率; 全概率公式是求“结果”的概率; 贝叶斯公式是已知“结果” ,求“原因”的概率.
贝叶斯(Bayes)公式:若事件 A1, A2 ,„ 是样本空
间的一组分割,且 P(B)>0,则
李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案word精品文档19页
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第5章 极限定理1、ξ为非负随机变量,若(0)a Eea ξ<∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。
2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 4、{}k ξ各以12概率取值s k 和sk -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξ的算术平均值?6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:(1)1{2}2kk P X =±=; (2)(21)2{2}2,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)11221{2},{0}12kk k P X k P X k --=±===-。
7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,证明这时对{}k ξ大数定律成立。
8、已知随机变量序列12,,ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明对{}k ξ成立大数定律。
9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n ηξξ=++,11()n n a E E nξξ=++,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫-=⎨⎬+-⎩⎭。
10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而0mn→时, 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试求有10个或更多终端在使用的概率。
13、求证,在x o >时有不等式222111222211t x x x x e e dt e x x-∞--≤≤+⎰。
14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明:在贝努里试验中,01p <<,则不管k 是如何大的常数,总有{||}0()n P np k n μ-<→→∞。
李贤平 《概率论与数理统计 第二章》答案
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第2章 条件概率与统计独立性1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少?2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。
5、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。
6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少?7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少?9、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。
10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。
以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。
试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。
11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
概率论答案-李贤平版-第二章
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第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少?2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。
3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。
4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。
5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。
6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少?7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少?8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。
9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。
以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。
试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。
10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。
若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。
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0.45 0.1. 0.08 0.03 0.30
(2) P{只订购 A 及 B 的} PAB C} P AB P ABC 0.10 0.03 0.07
(3) P{只订购 A 的} 0.30
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
(5)若 E2 ,则必有 E1 或 E3 之一发生,由此得
E6 , E0
E2 E3
E2 E1 E2 E3 E2 。
概率论基础(第 2 版)李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中,公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中,订阅 A 的占 45%,订阅 B 的占 35%,订阅 C 的占 30%,同时订阅 A 及 B 的占 10%,同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率:(1)只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的;(3)只订阅一种报纸的;(4)正好订阅两种报纸的;(5)至少订阅一种报纸的;(6) 不订阅报纸的。 解:
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解:
(1) ABC ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};
ABC ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2) ABC A BC A ,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时, C B 成立。
解:
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)= A1 A2 A1 An A1 A2 An1 .
4.在某班学生中任选一个同学以事件 A 表示选到的是男同学,事件 B 表示选到的人不喜欢
唱歌,事件 C 表示选到的人是运动员。(1)表述 ABC 及 ABC ;(2)什么条件下成立
P{只订购 B 的} P{B (A C)} 0.35 0.10 0.05 0.03 0.23
P{只订购 C 的} P{C (A B)} 0.30 0.05 0.08 0.03 0.20
故 P{只订购一种报纸的} P{只订购 A}+P{只订购 B}+P{只订购 C}
.
0 . 3 0 0 . 23 0 .2 0 0 . 7 3
解:(1){至少发生一个}= A B C D . (2){恰发生两个}= ABCD AC BD ADBC BC AD CD AB BD AC .
(3){A,B 都发生而 C,D 都不发生}= ABC D .
(4){都不发生}= ABC D A B C D .
(5){至多发生一个}= ABCD ABCD B ACD C ABD DABC
(1) E6 为不可能事件。 (2)若 E5 ,则 Ei (i 1,2,3,4) ,即 E5 Ei 。 (3)若 E4 ,则 E2 , E3 。 (4)若 E3 ,则必有 E2 或 E1 之一发生,但
E1E2 。由此得 E3E1 E3E2 E3, , E1E2 E3 。
同时发生。
(2) A B C A B C A B A且C A ,B 发生或 C 发生,均导致 A 发生。
(3) AB C A与 B 同时发生必导致 C 发生。 (4) A BC A B C ,A 发生,则 B 与 C 至少有一不发生。
3.试把 A1 A2 An 表示成 n 个两两互不相容事件的和.
(3)设 A 1,2, B 1,3, C 3, 则 A {3}, A B 1,2,3, A B 1, A B {2}, A C 1,2,3。
6.若 A,B,C,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一 个:(2)A,B 都发生而 C,D 都不发生;(3)这 4 个事件至少发生一个;(4)这 4 个事件都 不发生;(5)这 4 个事件中至多发生一个。
0.73 0.14 0.03 0.90 . (6)P{不订任何报纸的} 1 0.90 0.10 .
2.若 A,B,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1) ABC A ;(2) A B C A ;
(3) AB C ;(4) A BC .
解:
(1)ABC A BCB 与 C 必
(4)A=B 及 A C A B C ,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体,也就不是
运动员的学生全体时成立。也可表述为:当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生,并 且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5.用摸球模型造一例,指出样本空间及各种事件运算。 解:
设袋中有三个球,编号为 1,2,3,每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点(1),(2),
(4)P{正好订购两种报纸的}
=P{AB C AC B BC A}
PAB ABC P AC ABC P BC ABC
0.1 0.03 0.08 0.03 .0.05 0.03 0.07 0.05 0.02 0.14 .
(5)P{至少订购一种报纸的}= P{只订一种的}+ P{恰订两种的}+ P{恰订三种的}
AB AC AD BC BD CD
7.从 0,1,2,。。。,9 中随机地抽取出 5 个数(可重复),以 Ei 记某些数正好出现 i 次这一
事件(例如 52353,既属于, E1 也属于 E2 及 E0 )试用文图表示 E0,E1,..., E6 的关系。
解 : 分 析 一 下 Ei 之 间 的 关 系 。 先 依 次 设 样 本 点 Ei , 再 分 析 此 是 否 属 于 E j ( j i), E j Ek ( j i, k i) 等。