大学高等数学函数

3、函数的单调性
单调 性 ：设函数 f (x)的定义域为 D, 区间I D, 如果对于x1, x2 I ,当x1 x2时, 恒有
记作 U( x0 , ) { x || x x0 | } { x x0 x x0 }.
x0
x0
x0
x
去心邻域：
0
点x0的去心的 邻域, 记作U (x0 , ).
0
U (x0, ) {x 0 x x0 } (x0 , x0 ) (x0 , x0 ).
其中( x0 , x0 )称为 x0 的左邻域,
值域为Z( f )＝Z.
阶梯曲线
可以证明：对于任何实数x, 有不等式 [x] ≤x < [x] + 1.
（4）分段函数：在自变量的不同变化范围中,对 应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函 数. 注意：
(1) 分段函数的定义域是其各段定义域的并集；
(2) 分段函数在其整个定义域上是一个函数, 而不 是几个函数.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
说明： （1）周期函数的图形在每一个周期长度的区间上 有相同的形状； （2）并非每个周期函数都有基本周期.
例如，函数 f(x) = C是周期函数，但它没有基本周期；
例：设函数 f (x) 是周期为T 的周期函数，试求函 数 f (ax+b) 的周期，其中a，b为常数，且 a > 0.
2.实际应用 时间，高度，热度等等
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
x
x x
x0 x0
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝[0, +∞).
y
y x
o
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
其定义域为D( f )＝(－∞,+∞), 值域为Z( f )＝{－1, 0, 1}. 可以证明：对于任何实数 x, 下列关系成立:
ln
1
ln(x 1 x2 )
x 1 x2
= -f (x)
∴f (x)是奇函数.
2、函数的周期性
设函数f (x)的定义域为 D，如果存在一个不为零 的 数 T，使得对于 x D, (x T ) D且 f (x T ) f (x)恒 成立. 则称f (x)为周期函数，T 称为f (x)的周期.
考核及要求
1. 期末总评成绩的计算
期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。
平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。
2. 考勤
不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。
3. 作业
要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹
潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取
消该次成绩。
4. 答疑
时间：
地点：四教西305
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
例 判断下列函数的奇偶性：
f (x) ln(x 1 x2 );
解：(1) ∵函数的定义域为(－∞, +∞), 且
f ( x) ln[ x 1 ( x)2 ] ln( x 1 x2 )
( x 1 x2 )(x 1 x2 ) ln
x 1 x2
oa
b
x
{x a x b} 记作 (a,b]
oa
b
x
◆区间长度
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 区间的划分：1.有限区间 2.无限区间
{x x b} 记作(,b)
ob
x
4、邻域 设x0与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x x0 }称为点x0的 邻域 , 点x0叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
( x0 , x0 )称为 x0 的右邻域。
函数概念
若x与y是两个变量，D是一个非空的实数集合。设有一个 对应规则 f，使每一个 x D,都有一个确定的实数 y与之对 应，则称这个对应法则 f 为定义在 D上的一个函数关系， 或称y是x的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
定义域：数集D叫做这个函数的定义域, 记作 D( f )
二.函数的基本特性
1、函数的奇偶性
设D关于原点对称，若对于 x D, 且
f (x) f (x)
则称 f (x)为偶函数 ；
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
设D关于原点对称, 若对于x D, 有
f (x) f (x)
则称 f ( x)为Βιβλιοθήκη Baidu函数.
-x f (x)
高等数学Ⅲ
微积分
自我介绍
姓 名：张智勇 地 点：四教西305室 E-mail : zzy@ncut.edu.cn
课程介绍
课程名称：微积分 学 分：4 学分 学 时：64 学时（1周-16周） 课程内容：1. 函数、极限与连续
2. 导数与微分 3. 中值定理与导数应用 4. 不定积分 5. 定积分及其应用
值 域：函数值全体组成的数集, 即 {y | y f (x), x D( f )}，记作Z或者Z( f ).
(1)、函数的定义域
1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数值, 这种定义域称为函 数的自然定义域.
大体分为以下几种： a)偶次方根号 b)分式的分母 c)对数的真数 d)三角函数（正切余切）和反三角函数， e)以上情况的复合等
课程特点与学习方法
特点：1. 课堂大 2. 时间长 3. 进度快
方法: 1. 课前预习 2.重点听讲 3. 简记笔记 4. 整理咀嚼 5. 后作练习 6. 答疑
第一章 函 数
函数的概念及基本特性 预备知识
1、数的扩张：
自负然整数数整 分
数有 数
理
数实数复
数
无 理数
虚 数
2、数的几何表示：数轴
实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。
3、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b. ◆开区间： {x a x b} 记作 (a,b)
oa
b
x
◆闭区间： {x a x b} 记作[a,b]
oa
b
x
◆半开区间：
{x a x b} 记作 [a,b)
x sgn x x
(3) 取整函数
设 x 为任一实数, 不超过x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 [x]. 即
y 14
3
y = [x] = n, n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1,± 2, … 其定义域为D( f )＝(－∞,+∞),
2
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 4 5 x -2 -3 -4