系统开环频率特性的绘制

5.3 系统开环频率特性的绘制对自动控制系统进行频域分析时，通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和估算闭环系统时域响应的各项性能指标，或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性，然后再分析及估算时域性能指标。

因此，掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的。

5.3.1 开环幅相曲线的绘制开环系统的幅相频率特性曲线简称为开环幅相曲线。

准确的开环幅相曲线可以根据系统的开环幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。

显然，这种方法比较麻烦。

在一般情况下，只需要绘制概略开环幅相曲线，概略开环幅相曲线的绘制方法比较简单，但是概略曲线应保持准确曲线的重要特征，并且在要研究的点附近有足够的准确性。

下面首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点，然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方法。

设系统开环传递函数的一般形式为)1()1()()(11++=∏∏-==s T s s K s H s G j vn j v mi i τ )(m n ≥ （5-49）式中，K 为开环增益；v 为系统中积分环节的个数。

则系统的开环频率特性为)1()()1()()(11∏∏-==++=v n j jvmi i Tj j j K j H j G ωωωτωω （5-50）1．开环幅相曲线的起点在低频段当0→ω时，由式（5-50）可得 )90(0lim)(lim)()(lim ︒⋅-→→→==v j vve Kj K j H j G ωωωωωωω （5-51）由式（5-51）可知，当0→ω时，开环幅相曲线的起点取决于开环传递函数中积分环节的个数v 和开环增益K ，参见图5-23（a ）。

0型（v =0）系统，开环幅相曲线起始于实轴上的)0,(j K 点。

Ⅰ型（v =1）系统，开环幅相曲线起始于相角为︒-90的无穷远处。

当+→0ω时，曲线渐近于与虚轴的平行的直线，其横坐标[])()(Re lim 0ωωωj H j G V x +→= (5-52)Ⅱ型（v =2）系统，开环幅相曲线起始于相角为︒-180的无穷远处。

当+→0ω时，曲线渐近于负实轴。

2．开环幅相曲线的终点在高频段∞→ω时，由于系统一般有m n ≥，故开环幅相曲线总是以顺时针方向趋于∞=ω点。

由式（5-50）可得︒--∞→=90)(0)()(lim m n j ej H j G ωωω （5-53）即开环幅相曲线以︒⨯--90)(m n 方向终止于坐标原点，如图5-23（b ）所示。

3. 开环幅相曲线与实轴的交点开环幅相曲线与实轴的交点频率x ω可由下式求出，即令式（5-50）的虚部为零 []0)()(Im =ωωj H j G （5-54） 将求出的交点频率x ω代入式（5-50）的实部，即[])()(Re x x j H j G ωω （5-55） 由式（5-55）可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值。

4. 开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）在式（5-50）中，如果),,2,1(0m i i Λ==τ，即不存在一阶微分环节时，则当ω从∞→0变化过程中，开环幅相曲线的相角将单调减小，曲线平滑地变化；若式（5-50）中有一阶微分环节，则视这些环节时间常数的数值大小不同，开环幅相曲线的相角可能不是以同一方向单调地变化，这时曲线上将会出现凹凸现象。

下面举例说明概略开环幅相曲线的绘制。

图5-23 不同类型系统的幅相频率特性例5.1已知某单位反馈系统，其开环传递函数为 )1)(1()(21++=s T s T s Ks G ,试绘制概略开环幅相曲线。

解 系统的开环频率特性 )1)(1()(21++=T j T j j Kj G ωωωω422212222122121)(1)1)(()(ωωωωT T T T T T Kj T T K +++--+-=①曲线的起点：该系统是Ⅰ型系统，由式（5-51）可知，系统的幅相曲线起始于相角为︒-90的无穷远处。

②曲线的终点：该系统的3=n 、0=m ，由式（5-53）可知，系统的幅相曲线以︒-=︒--27090)03(方向终止于坐标原点。

③曲线的变化范围：该系统不存在一阶微分环节，因此，系统幅相曲线的相角将由︒-90单调减小到︒-270，曲线平滑地变化。

④低频渐近线：低频渐近线坐标为 [])(Re lim 0ωωj G V x +→=4222122221210)(1)(lim ωωωT T T T T T K ++++-=+→)(21T T K +-=⑤曲线与实轴的交点：令[]0)(Im =ωj G ，可求出开环幅相曲线与实轴交点处的频率为211T T x =ω将频率x ω代入[])(Re ωj G ，可得出开环幅相曲线与实轴交点的坐标为[]2121)(Re T T T KT j G x +-=ω系统概略开环幅相曲线如图5-24所示。

例5.2 已知系统的开环传递函数为 )1()1()()(122++=s T s s T K s H s G ，试绘制概略开环幅相曲线。

解 系统的开环频率特性图5-24 例5.1开环幅相曲线)1()1()()(122+-+=T j T j K j H j G ωωωωω)arctan 180(arctan 21222121)(1)(ωωωωωT T j e T T K -︒-++=该系统是Ⅱ型（v =2）系统。

开环幅相曲线的起点：∞=+)0(A ，︒-=+180)0(ϕ 开环幅相曲线的终点：0)(=∞A ，︒-=∞180)(ϕ系统的开环幅相曲线的形状视时间常数1T 和2T 的数值大小不同而不同，下面讨论两种典型情况。

①12T T >：由于12T T >，因此∞<<+ω0时，12arctan arctan T T ωω>，开环幅相曲线位于第三象限，见图5-25（a ）所示。

②12T T <：由于12T T <，因此∞<<+ω0时，12arctan arctan T T ωω<，开环幅相曲线位于第二象限，见图5-25（b ）所示。

5.3.2 开环对数频率特性曲线的绘制开环系统的对数频率特性曲线简称为开环对数频率特性曲线。

根据典型环节的对数频率特性曲线，能够方便地绘制出开环对数频率特性曲线。

设系统的开环传递函数由n 个典型环节串联组成，即 ∏===ni in s G s G s G s G s H s G 121)()()()()()(Λ系统的开环频率特性为图5-25 例5.2的开环幅相曲线)()(11)()()()()(1ωϕωϕωωωωωj jn i in i ie A eA j G j H j G ni i =∑===∏∏==故系统的开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为∑===ni iA A L 1)(lg 20)(lg 20)(ωωω （5-56）∑==ni i 1)()(ωϕωϕ （5-57）由式（5-56）和（5-57）表明，若系统开环传递函数由n 个典型环节串联组成，其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线可由各典型环节的对数频率特性曲线叠加而得。

例 5.3 已知单位反馈系统的开环传递函数 )1()(+=Ts s Ks G ，试绘制系统的开环对数频率特性曲线。

解 系统的开环传递函数是由三个典型环节的组成：比例环节K 、积分环节s1和惯性环节11+Ts 。

分别做出各典型环节对数频率特性曲线，如图5-26所示。

图5-26中1L 、2L 、3L 分别为比例环节、积分环节和惯性环节的对数幅频特性曲线；1ϕ、2ϕ、3ϕ分别为比例环节、积分环节和惯性环节的对数相频特性曲线。

将各典型环节的对数幅频特性曲线叠加，即得系统开环对数幅频特性曲线，见图5-26中的)(ωL 。

在交接频率附近加以修正可得到精确曲线。

将各典型环节的对数相频特性曲线叠加，即得系统开环对数相频特性曲线，见图5-26中的)(ωϕ。

鉴于系统开环对数幅频近似特性曲线在控制系统的分析与设计中具有十分重要的作用，以下着重介绍开环对数幅频近似特性曲线的绘制方法。

图5-26 例5.3伯德图分析图5-26中系统的对数幅频近似特性曲线，可以看出开环对数幅频特性曲线有如下特点： （1） 低频段的斜率为v 20-dB/dec ，其中v 为开环系统中所包含的串联积分环节的个数。

（2） 在1=ω时，低频段或其延长线（当1<ω的频率范围内有交接频率时）的分贝值是K lg 20，如图5-27所示。

低频段或其延长线与零分贝线的交点频率为v K =0ω。

（3）在典型环节的交接频率处，对数幅频近似特性曲线的斜率要发生变化，变化的情况取决于典型环节的类型。

若遇到1)1()(±+=Ts s G 的环节，在交接频率处斜率改变20±dB/dec ；当遇到122)12()(±++=Ts s T s G ζ的环节时，在交接频率处斜率改变40± dB/dec 。

了解了以上特点，可以根据开环传递函数直接绘制近似对数幅频特性曲线。

绘制对数幅频特性曲线的步骤归纳如下：（1）将系统的开环传递函数化成典型环节串联组成的标准形式； （2）根据系统的开环增益K ，计算K lg 20的分贝值；（3）在1=ω处，标出K L lg 20)1(=点，过（K lg 20，1）点绘制斜率为v 20-dB/dec 的低频段；（4）根据交接频率绘制出相应的线段：（5）若有必要，可以利用误差修正曲线，对交接频率附近的曲线进行修正，则可以得到精确的特性曲线。

例5.4 已知某系统的开环传递函数为)252)(15()1(50)()(2++++=s s s s s s H s G ，试绘制其开环对数幅频特性曲线。

解 此系统是由一个比例环节、一个一阶微分环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个振荡环节组成。

①先将开环传递函数为)()(s H s G 化成典型环节串联组成的标准形式，即图5-271=ω时，近似对数幅频特性曲线低频段或其延长线的纵坐标为K lg 20)152.025)(15()1(2)()(22+⨯+++=s s s s s s H s G②由2=K ，可得02.6lg 20=K dB 。

③在图中1=ω处标出02.6)1(=L dB ，过（6.02，1）点画一条斜率为20-dB/dec 的直线，它就是低频段的渐近线。

④在横坐标上标出各典型环节的交接频率，即惯性环节的交接频率2.01=ω，一阶微分环节的交接频率12=ω，振荡环节的交接频率53=ω。

在各交接频率处依次改变斜率，直接绘制开环对数幅频特性曲线的渐近线。

在2.0=ω处，曲线斜率由20-dB/dec 变为40-dB/dec ；在1=ω处，曲线斜率由40-dB/dec 变为20-dB/dec ；在5=ω处，曲线斜率由20-dB/dec 变为60-dB/dec 。