系统开环频率特性的绘制

5.3 系统开环频率特性的绘制

对自动控制系统进行频域分析时，通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和估算闭环系统时域响应的各项性能指标，或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性，然后再分析及估算时域性能指标。因此，掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的。

5.3.1 开环幅相曲线的绘制

开环系统的幅相频率特性曲线简称为开环幅相曲线。准确的开环幅相曲线可以根据系统的开环幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。显然，这种方法比较麻烦。在一般情况下，只需要绘制概略开环幅相曲线，概略开环幅相曲线的绘制方法比较简单，但是概略曲线应保持准确曲线的重要特征，并且在要研究的点附近有足够的准确性。

下面首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点，然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方法。

设系统开环传递函数的一般形式为

)

1()1()()(11

++=

∏∏-==s T s s K s H s G j v

n j v m

i i τ )(m n ≥ （5-49）

式中，K 为开环增益；v 为系统中积分环节的个数。

则系统的开环频率特性为

)

1()

()1()()(1

1∏∏-==++=

v n j j

v

m

i i T

j j j K j H j G ωωωτωω （5-50）

1．开环幅相曲线的起点

在低频段当0→ω时，由式（5-50）可得 )90(0

lim

)

(lim

)()(lim ︒⋅-→→→==v j v

v

e K

j K j H j G ω

ωωωωωω （5-51）

由式（5-51）可知，当0→ω时，开环幅相曲线的起点取决于开环传递函数中积分环节的个数v 和开环增益K ，参见图5-23（a ）。

0型（v =0）系统，开环幅相曲线起始于实轴上的)0,(j K 点。

Ⅰ型（v =1）系统，开环幅相曲线起始于相角为︒-90的无穷远处。当+

→0ω时，曲线渐近于与虚轴的平行的直线，其横坐标

[])()(Re lim 0

ωωωj H j G V x +→= (5-52)

Ⅱ型（v =2）系统，开环幅相曲线起始于相角为︒-180的无穷远处。当+

→0ω时，曲线渐近于负实轴。

2．开环幅相曲线的终点

在高频段∞→ω时，由于系统一般有m n ≥，故开环幅相曲线总是以顺时针方向趋于∞=ω点。由式（5-50）可得

︒

--∞

→

=90)(0)()(lim m n j e

j H j G ωωω （5-53）

即开环幅相曲线以︒⨯--90)(m n 方向终止于坐标原点，如图5-23（b ）所示。

3. 开环幅相曲线与实轴的交点

开环幅相曲线与实轴的交点频率x ω可由下式求出，即令式（5-50）的虚部为零 []0)()(Im =ωωj H j G （5-54） 将求出的交点频率x ω代入式（5-50）的实部，即

[])()(Re x x j H j G ωω （5-55） 由式（5-55）可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值。

4. 开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）

在式（5-50）中，如果),,2,1(0m i i Λ==τ，即不存在一阶微分环节时，则当ω从∞→0变化过程中，开环幅相曲线的相角将单调减小，曲线平滑地变化；若式（5-50）中有一阶微分环节，则视这些环节时间常数的数值大小不同，开环幅相曲线的相角可能不是以同一方向单调地变化，这时曲线上将会出现凹凸现象。

下面举例说明概略开环幅相曲线的绘制。

图5-23 不同类型系统的幅相频率特性

例5.1已知某单位反馈系统，其开环传递函数为 )

1)(1()(21++=s T s T s K

s G ,试绘制概略开环

幅相曲线。

解 系统的开环频率特性 )

1)(1()(21++=

T j T j j K

j G ωωωω

4

2

22122

22

122121)(1)

1)((

)(ωωωω

T T T T T T K

j T T K +++--+-=

①曲线的起点：该系统是Ⅰ型系统，由式（5-51）可知，系统的幅相曲线起始于相角为︒-90的无穷远处。

②曲线的终点：该系统的3=n 、0=m ，由式（5-53）可知，系统的幅相曲线以

︒-=︒--27090)03(方向终止于坐标原点。

③曲线的变化范围：该系统不存在一阶微分环节，因此，系统幅相曲线的相角将由︒-90单调减小到︒-270，曲线平滑地变化。

④低频渐近线：低频渐近线坐标为 [])(Re lim 0

ωωj G V x +→=4

2

22

12

2

22

1210

)(1)

(lim ω

ωωT T T T T T K ++++-=+

→)(21T T K +-=

⑤曲线与实轴的交点：令[]0)(Im =ωj G ，可求出开环幅相曲线与实轴交点处的频率为

2

11T T x =

ω

将频率x ω代入[])(Re ωj G ，可得出开环幅相曲线与实轴交点的坐标为

[]2

12

1)(Re T T T KT j G x +-

=ω

系统概略开环幅相曲线如图5-24所示。

例5.2 已知系统的开环传递函数为 )

1()

1()()(12

2++=s T s s T K s H s G ，试绘制概略开环幅相曲线。 解 系统的开环频率特性

图5-24 例5.1开环幅相曲线