苏教版高中数学选修2-2《1.2.1 常见函数的导数》教案

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课题：常见函数的导数授课教师：仇卓然教材：高中数学苏教版选修学习目标1. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；2. 会利用导数的定义求出某些简单的初等函数；3. 会利用导数的几何意义求函数在某点的的切线方程。

教学重点：理解导数的定义，掌握熟记常见初等函数的导数教学难点: 利用导数的几何意义求函数在（过）某点处的切线教学方法：演示讲解法教学手段：多媒体投影仪【问题情境】在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 ．【教学过程】一、温故1平均变化率、瞬时变化率2、瞬时速度、瞬时加速度瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率。

二、知新1导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0'()f x 。

例 1、（1）求函数22+=x y 在=1处的导数【变式1】求函数22+=x y 在a x =处的导数【变式2】求函数在2,3处的导数。

【小结】求导数的步骤：①求函数的增量：=∆y ②求平均变化率：=∆∆xy ③取极限，得导数：=)(0'x f上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。

2常见函数的导数公式1：k b kx ='+)(公式2：为常数）（C C 0='公式3：1)(-='n n nx x公式4：x x cos )(sin ='公式5：x x sin )(cos -='公式6：a a a x x ln )(=')10(≠>a a 且公式7：x x e e =')(公式8：)10(ln 1)(log ≠>='a a a x x a 且【思考】__________)30(sin ='【小结】注意])([)(00''x f x f 与的区别例2、求导（1）31x y = （2）35x y = （3）x y 4=（4）x y 3log =3导数的几何意义：函数=f 在=0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 4导函数：若()f x 对于区间(,)a b 内任一点可导，则()f x 在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因此也是自变量x 的函数，该函数称为()f x 的导函数，记作()f x '，在不引起混淆时，导函数()f x '也称为()f x 的导数。

高中数学苏教版选修2-2第1章《1.2.1 常见函数的导数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学苏教版选修2-2第1章《1.2.1 常见函数的导数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式;
2.能利用导数公式求简单函数的导数.
2重点难点
教学重点:
基本初等函数的导数公式的应用.
3教学过程
3.1第一学时
新设计
教学过程:
一、问题情境
1.问题情境.
(1)在上一节中,我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么如何求函数的导数呢?
(2)求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(3)函数导函数的概念
2.探究活动.
用导数的定义求下列各函数的导数:
(1) ( 为常数); (2) ( 为常数);
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) ;。

高中数学常见函数的导数导学案苏教版选修2-2 学案

常见函数的导数 NO.3学习目标：1掌握根据导数的概念，求函数导数的方法；2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数。

一、知识扫描：1. 导数： _______________________________________________________ ______________________________________________记作_____________2.导数)(0'x f 的几何意义:________________________________________ 3. 导函数：_______________________________________________________4. )(0'x f 与)('x f 的区别:_______________________________________5.求导公式:⑴________________________________⑵____________________________ ⑶________________________________⑷___________________________ ⑸________________________________⑹__________________________ (7)_______________________________(8)_________________________ (9)_______________________________(10)__________________________ (11)______________________________(12)__________________________ (13)______________________________(14)__________________________ 二、例题选讲：例1:已知2()5f x x x =+,⑴求()f x 在3x =处的导数；⑵求()f x 在x a =处的导数．例2:.已知()f x ='(),'(1).f x f例3、求下列函数在已知点处的导数： ⑴3;y x == ⑵10,;x y x a ==⑵ lg ,2;y x x == ⑷12log ,2;y x x ==⑸;y x a == ⑹2(sin cos )1,.224x x y x π=+-=例4.(1) 已知曲线方程2y x =，求过点(3,5)B 且与曲线相切的直线方程。

苏教版高中数学选修2-2 1.2.1常见函数的导数学案

1.2.1 常见函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一几个常见函数的导数 1.(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2.C ′＝0(C 为常数)； 3.(x )′＝1； 4.(x 2)′＝2x ； 5.(x 3)′＝3x 2； 6.(1x )′＝－1x 2； 7.(x )′＝12x.知识点二基本初等函数的导数公式 1.(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2.(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；3.(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4.(e x )′＝e x ；5.(ln x )′＝1x ；6.(sin x )′＝cos x ；7.(cos x )′＝－sin x .类型一利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数.(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π2－x ).解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝1232x ＝32x .(4)y ′＝1x ln 10.(5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导. 跟踪训练1 (1)下列结论： ①(sin x )′＝cos x ； ②(53x )′＝23x ； ③(log 3x )′＝13ln x； ④(ln x )′＝1x.其中正确结论的序号是________. 答案 ①④解析 ∵②(53x )′＝2353x ；③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，①④正确.(2)求下列函数的导数. ①y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ； ②y ＝2cos 2 x2－1.解 ①∵y ＝(1－x )(1＋1x )＋x ＝1－x x ＋x ＝1x， ∴y ′＝3212x --.②∵y ＝2cos 2 x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 类型二求函数在某一点处的导数例2 求函数f (x )＝16x5在x ＝1处的导数.解 ∵f (x )＝16x5＝56x-，∴f ′(x )＝(56x -)′＝11656x --，∴f ′(1)＝－56.反思与感悟求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.跟踪训练2 函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝________. 答案36解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.类型三利用导数研究切线问题命题角度1 已知切点解决切线问题例3 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________.答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，∴A (1，－4).(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决. 跟踪训练3 已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 答案 1e解析设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意，得y ′|0x x =＝1x 0＝k ，① 又y 0＝kx 0， ② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e .命题角度2 已知斜率解决切线问题例4 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短.∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练4 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大. 解设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，故点P (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.1.下列函数中的求导运算正确的个数为________.①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.答案 3解析 ①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确. 2.函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1的有________条. 答案 2解析设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＝1，∴x 0＝±33.故斜率等于1的切线有2条.3.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 答案 1e解析 f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.4.求过曲线y ＝sin x 上一点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.解曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处切线的斜率k=6x y π'＝＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π6)，即123x ＋18y －23π－9＝0. 5.求下列函数的导数. (1)y ＝(32x ＋1)(32x －1)＋1； (2)y ＝(cos x 2＋sin x2)2－1；(3)y ＝3log 23x .解 (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.(2)∵y ＝cos 2 x 2＋sin 2 x 2＋2sin x 2cos x2－1＝sin x ，∴y ′＝cos x .(3)∵y ＝log 2x ，∴y ′＝1x ln 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.课时作业一、填空题1.下列各式中正确式子的序号是________.①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－1232x -；④(5x 2)′＝2535x -；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④⑤解析 ∵②(x －1)′＝－x －2；⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确.2.正弦曲线y ＝sin x 的切线的斜率等于12的点为________.答案 (2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z )解析设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或y 0＝－32. 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________. 答案 4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.4.已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝________. 答案 28解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8. ① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，②由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.5.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 的值为________. 答案 1或－13解析由导数公式可知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解得x ＝1或x ＝－13.6.已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.答案－4解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1f ′(2)，∴m ＝－4.7.设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________. 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为 k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0).因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).8.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围的三角形的面积为________. 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12e 2.9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得，在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.10.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________. 答案 1e解析 ∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0知，x 0＝e.∴k ＝1e .11.设曲线y ＝x n ＋1 (n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝________. 答案－2解析 y ′|x ＝1＝n ＋1， ∴y ＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，则x n ＝nn ＋1.∴log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3 ＝log 2(x 1·x 2·x 3) ＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34＝log 214 ＝－2. 二、解答题12.求下列函数的导数. (1) y ＝5x 3； (2)y ＝1x4；(3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 315-＝35x 25-＝355x 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 018(x ). 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x . 三、探究与拓展14.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________. 答案 [0，π4]∪[3π4，π)解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ， ∴－1≤k l ≤1，∴α∈[0，π4]∪[3π4，π).15.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近.则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，所以e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.。

苏教版高中数学选修1-1《常见函数的导数》教案

3.2.1常见函数的导数学习要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数（2）掌握基本初等函数的运算法则学习内容：一.回顾函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图二.新授：例1、求下列函数的导数①y kx b =+②2()f x x =③3()f x x =④1()f x x=⑤()f x x =思考：你能根据上述①～⑤发现什么结论？总结：教师适当补充相应的公式，如平方差、立方差公式，对于⑤而言：()()10)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+-+-+-++→===+-++++当时，这种技巧很重要，需要强调；建议采用互动课堂，让学生板书并提问其他学生补充进行公式的理解记忆.几个常用函数的导数：（1）（kx+b ）=k ；（2）C ’=0；（3）x ’=1；（4）（x 2）’=2x ;（5）（1x ）’=21x- 基本初等函数的导数：（6）1()'(x x αααα-=为常数）；（7）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠，特别地，()'x x e e =；（8）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a ==>且1)a ≠，特别地，1(ln )'x x=；（9）(sin )'cos x x =；（10）(cos )'sin x x =-.总结：这些公式可直接演示给学生，可举sinx 的导数进行板书讲解.例2、若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标. 提示：本题的设计思路在于结合第一节内容，求出导数后利用导数的几何意义，反求切点和切线方程.例3、直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由（1）1()f x x =（2）1()f x x=-（3）()sin f x x =（4）()x f x e = 提示：只需求导后，看f ’（x ）能否等于12. 三.作业：（1）在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135. （2）当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点.四.小结（1）求函数导数的方法；（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数》

常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。

教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。

二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。

〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。

思考：求函数的图象过点的切线的方程。

五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。

〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。

①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。

苏教版高中数学选修22常见函数导数教案

2019-2020学年苏教版选修2-2 常有函数的导数教课设计教课要点：基本初等函数的导数公式的应用．教课过程：一、问题情境1．问题情境．1）在上一节中，我们用割线迫近切线的方法引入了导数的观点，那么怎样求函数的导数呢？给定函数y＝f(x)计算y＝f(x＋x)－f(x)y x xzaa令x无穷趋近于0bbcc无穷趋近于f(x)xf(x)2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；③利用点斜式求切线方程．3）函数导函数的观点2．研究活动．用导数的定义求以下各函数的导数：思虑由上边的结果，你能发现什么规律？二、建构数学1．几个常用函数的导数：1）(kx＋b)＝k；2）C＝0（C为常数）；3）(x)＝1；4）(x2)＝2x；15）(x3)＝3x2；21（6）(x)＝－x2；（7）(x)＝1．2 x思虑由上边的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？2．基本初等函数的导数：8）(x α)＝αx α1（α为常数）； 9）(a x )＝a x lna （a ＞0且a≠1）；（10）1 1a ＞0(log ax)＝log a e ＝）；xlnaa≠1x11）(e x)＝e x ；12）(lnx)＝1；x 13）(sinx)＝cosx ；14）(cosx)＝－sinx ．三、数学运用例1利用求导公式求以下函数导数．（1）＝；（2）y ＝xxx；(3)＝ π＝y；（ysin4）y4（5）＝log 3x；（6）y ＝sin(πc os(2π－x)．y ＋x)；（7）y2例2若直线y ＝－x ＋b 为函数y ＝1图象的切线，求b 及切点坐标．x评论求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率．2变式1 求曲线y＝x在点(1，1)处的切线方程．评论求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不同样的．变式3已知直线l：y＝x－1，点P为＝上随意一点，求在什么地点时yx到直线l的距离最短．练习：1．见课本P20练习．第3题：；第5题：（1）；（2）；（3）；（4）．2．见课本P26．第4题：（1）；（2）．3．见课本P27第14题（2）．f(4)＝；f(4)＝．四、回首小结1）求函数导数的方法．2）掌握几个常有函数的导数和基本初等函数的导数公式．五、课外作业1．课本P26第2题．2．增补．（1）在曲线＝4上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°．x2（2）当常数为什么值时，直线y＝x才能与函数2＋相切？并求出切点．y。

苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.2导数的概念及其运算

1.2导数的概念及其运算一、学习目标掌握导数的求导公式及运算法则。

能利用导数的几何意义求切线方程。

二、知识梳理1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法则（1）/[()()]f x g x ±= ；（2）/[()()]f x g x = ；（3）/()[]()f xg x = [()0].g x ≠ 3.简单复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .三、热身训练1. 1、求下列函数的导数：（1）3sin y x x =+ （2）222354y x x x =-+-（3）2(23)(32)y x x =+- （4）n xy x e =（5）tan y x = （6）ln xy x= 2．已知函数nm mxx f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm ________3．函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为_____________4．若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f =_________ 5．已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=__________四、例题分析例1、求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3)求2sin xy x=的导数；(4) ()ln 32y x =+ (5)y=sin(2)3x π+变式训练：设ln(1), 0()0, 010x x f x x x x⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩ 求()f x '.例2 已知曲线34313+=x y 。

（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程；（3）求曲线斜率为4的切线方程。

例3.设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．五、巩固训练1.函数()()()y x a x b x c =---的导数是。

苏教版数学高二-数学选修2-2导学案 1.1导数

1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1.函数的变化率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？探究点二函数在某点处的导数问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.【达标检测】1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A.Δx <0B.Δx >0C.Δx ＝0D.Δx ≠0 2.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h－fx 0h( )A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关3.已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx )24.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 【课堂小结】利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝fx 0＋Δx －fx 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx简记为一差，二比，三趋近.1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数练习题一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．26. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9．函数f (x )＝1x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.二、能力提升10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 常见函数的导数教案

1.2.1《常见函数的导数》教案一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．三、教学过程【复习准备】1.导数的相关知识①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图.（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 2.如何求切线的斜率?(0)PQ x k P ∆→当时，无限趋近于点处切线的斜率3.导数：函数在某点处的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆.无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f /(x 0)．4.由定义求导数（三步法）①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时【情境引入】本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.（1）y =x ; （2）y =x 2 ; （3）y =x 3问题：1-=x y ，2-=xy ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？【数学建构】1.几种常见函数的导数:问题引入1：(1)(23)x '-+=2- (4)x '=1(2)(2)x '-=2- (5)(5)x '+=1(3)3'=0 (6)(4)'-=0通过以上运算我们能得到什么结论?公式一: 0C '= (C 为常数) (kx +b )/=k问题引入2：(1)x '=1 2(2)()x '=2x 2(3)(3)x '=6x 1(4)()x '=21x- 通过以上运算我们能得到什么结论?公式二:'1()x x ααα-= ()α是常数【知识应用】例1 求下列函数的导数：（1）()'3x （2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）'解：（1）()'3x 31233x x -==（2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()'2x -=212x --=-32x -=-32x =-（3）'1'2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11212x -=1212x -==例2 求下列函数的导数：4(1)y x = 3(2)y x -= 1(3)y x =(4)y ==0(5)sin 45y =(6)cos u v解：44131(1)()44y x x x n -''===3314(2)()33y x x x ----''==-=-1112211(3)()()1x x x x x ----''==-=-=-12(4)y x x ==111221()2y x x -''∴===(5)(sin 45)0o y '''=== (6)(cos )sin u v v ''==-例3（1）已知3y x =，求(2)f '. （2）已知21y x=，求(3)f '. 解：3312()33y x x x -''=== 2213()22y x x x ----''==-=- 2(2)3(2)12f '∴=⨯= 312(3)2(3)22727f -'∴=-⨯=-⨯=- 拓展【例题讲解】1.求过曲线y =cos x 上点P (1,32π) 的切线的直线方程. ()cos ,()sin ,()sin 332f x x f x x f ππ'=∴=-'∴=-=-解： 1(,)32P π故曲线在点处的切线斜率为 1(),2233210.3y x y ππ∴-=--+--=所求的直线方程为2:若直线y =4x +b 是函数y =x 2图象的切线,求b 以及切点坐标. 0022000:(,)()()224,2,24(2,4),4442,4P x y f x x xx x y y x b b b ''====∴===+∴=⋅+=-解设切点即切点坐标由题意得此点也在直线上【归纳总结】切线相关问题的处理方法设出切点坐标（如果没有交待切点坐标）求出切点处的导数得切线的斜率切点在切线上，代入切线方程切点在曲线上，代入曲线方程【拓展研究】若直线y =3x +1是曲线y =ax 3的切线,试求a 的值.解:设直线y =3x +1与曲线y =ax 3相切于点P (x 0,y 0),则有:y 0=3x 0+1 ①, y 0=ax 03 ②, 3ax 02=3. ③ 由①,②得3x 0+1=ax 03, 由③得ax 02=1,代入上式可得: 3x 0+1=x 0, x 0=-1/2.所以a •(-1/2)2=1，,a =4.【课堂小结】0()C C '=为常数1()x x αααα-=为常数(sin )cos x x '=【课堂练习】见学案。

高中数学选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解

3 2.
不正确．因为sin 6π ＝ 12 是一个常数，而常数的导
数为零，所以sin6π′＝0.
指数函数、对数函数的导数公式的记忆对于公式(ln
x)′＝
1 x
，(ex)′＝ex很好记，但公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′
＝axln a的记忆比较难，设平行于直线y＝x的直线与曲线y ＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图所示．
则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，
得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为|0－1|＝ 2
5．一质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝ 5 t ，求质点在t＝4时的速度．
解：∵s＝5 t＝t51，∴s′＝(t15)′＝15t－45.
t＝4时，s′＝15·4－54＝
1 5
.
10 8
即质点在t＝4时的速度为 1 . 5
10 8
∴y′＝(x32)′＝32x21＝32
x .
(2)y＝x5，∴y′＝(x5)′＝5x4.
求曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率和切线方程．
【分析】 M(10,1)在曲线上，故所求切线斜率就是函数y＝lg x在x＝10处的导数．
【解】 ∵y′＝(lg x)′＝xln110，∴y′|x＝10＝10l1n 10. ∴曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率为k＝10l1n 10. ∴切线方程为y－1＝10l1n 10(x－10)，即x－(10ln 10)y＋10(ln 10－1)＝0.
(x0，x02)．

苏教版高中数学选修2-2 导数的概念与应用教案

要求层次重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念 A 了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数y c =，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y x =的导数 C能根据导数定义，求函数23y c y x y x y x ====，，，，1y y x x==，（c 为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数） B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B板块一：导数的概念与几何意义知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．高考要求例题精讲导数的概念与应用2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．典例分析：极限与导数【题1】设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=．【答案】D【题2】设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭．【答案】B【题3】如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数【难度】3星【题型】选择【关键词】2010，湖北，高考7【解析】设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【题4】如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--．【答案】22-，【题5】若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-．【答案】D【题6】已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=．【答案】12567,1632．【题7】一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8．【答案】D导数的几何意义【题8】已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x=+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭， 00(1)lim lim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦；⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭，再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【题9】函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<．【答案】B【题10】曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=．【答案】C【题11】若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（）AB． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =．【答案】A【题12】设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】2008，辽宁，高考【解析】设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，，故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【题13】已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【考点】导数的几何意义【难度】3星【题型】选择【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，【答案】D【题14】若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，江西，高考【解析】设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【题15】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =．当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=．注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题16】已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考【解析】由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【题17】设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】解答【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】 ⑴21()()f x a x b '=-+，由题设知(2)0(2)3f f '=⎧⎨=⎩，于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-． ⑵证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图象按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．（可以直接验证：若(,)x y 在()y f x =的图象上，则(2,2)x y --也在函数()y f x =的图象上）⑶证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦．令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，．令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2【题18】已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】分别对两条曲线的方程求导得：2y x '=与2(2)y x '=--，设直线l 与曲线1C 相切于点200()x x ，，则直线l 的方程为20002()y x x x x -=-，令02(2)2x x --=解得02x x =-，代入直线l 的方程得20043y x x =-，故直线l 与曲线2C 交于点2000(243)x x x --，，由此点在曲线2C 上得2200043(22)x x x -=---，解得00x =或02x =，于是直线l 的方程为0y =或44y x =-．【答案】0y =或44y x =-．板块二：导数的运算知识内容1注：ln e a =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦．特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．典例分析：【题1】已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【考点】导数的运算【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】 1()f x x '=，()1eef e e'==．【答案】A【题2】已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（）A ．3(1)3(1)x x -+-B ．22(1)x -C ．2(1)x -D ．1x -【考点】导数的运算【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】【答案】A【题3】已知函数2()f x ax c =+，且(1)2f '=，则a 的值为（） A ．1 BC ．1-D ．0【考点】导数的运算【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】 ()2f x ax '=，于是221a a =⇒=．【答案】A【题4】已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【考点】导数的运算【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】设()(2)(3)(4)(100)g x x x x x =----，则()(1)()f x x g x =-，且()g x 可导，有()()(1)()f x g x x g x ''=+-，令1x =得，99(1)(1)0(0)(1)(1)99!99!f g g g ''=+⨯==-=-．【题5】已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【考点】导数的运算【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】 2()32f x x x '=-，从而20032x x x -=⇒00x =或01x =．【答案】0或1【题6】已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【考点】导数的运算【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】由于x e y x =，所以000()x e f x x =，又2(1)x e x y x ⋅-'=，00020(1)()x e x f x x -'∴=依题意得00()()0f x f x '+=，即000200(1)0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =．【答案】12【题7】设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e ''=-=，求实数,a b 的值．【考点】导数的运算【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 ()x b f x ae x '=+，(1)f ae b e '=+=，1(1)a f b e e'-=-=，解得1,0a b ==．【答案】1,0a b ==．板块三：导数的应用知识内容1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点．如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法：第1步求导数()f x '；第2步求方程()0f x '=的所有实数根；第3步考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值．求函数最大（小）值的方法：第1步求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．典例分析：原函数与导函数的图象【题1】若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】函数()f x 的顶点为2424b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故有204b b c <<，，()2f x x b '=+，斜率为正，排除B ，D ；纵截距为负，排除C ．（即图象不过第四象限）【答案】A【题2】设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（）A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】由导函数的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减．【答案】B【题3】已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2005，江西，高考【解析】由图象知，(1)(1)0f f''=-=，结合图象知1x=±是函数()f x的极值点，又因为在(10)-，上，()0f x'<，在(01)，上，()0f x'<，因此在(11)-，上，()f x单调递减，故选C．要注意，若00()P x y，是函数()y f x=的极值点，则有()0f x'=，但是若()0f x'=，则是00()P x y，不一定是函数()y f x=极值点，所以要判断一个点是否为极值点，还要检验点P的两侧的单调性是否不同．【答案】C【题4】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，浙江，高考【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象，都没有矛盾．D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都为单调的函数，故不可能．【答案】D函数的单调性【题5】函数214y xx=+的单调增区间为（）A．(0)+∞，B．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，C．(1)-∞-，D．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】令2221(21)(421)80x x xy xx x-++'=-=>，得12x>．【答案】B【题6】三次函数3()1y f x ax==-在()-∞+∞，内是减函数，则（）A．1a=B．2a=C．0a≤D．0a<【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 23y ax '=，要()f x 在R 上为减函数，当且仅当0a <．【答案】D【题7】若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】2008，湖北，高考，题7【解析】 22()22b x x bf x x x x --+'=-+=++，当1x >-时，有()0f x ≤，又此时20x +>，故220x x b --+≤，故222(1)1b x x x +=+-≤对一切(1)x ∈-+∞，成立，故1b -≤．【答案】C【题8】若函数()221xf x x =-+，则()f x （） A ．在()-∞+∞，单调增加 B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 222222(1)222(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-⋅+-'=-=++．【答案】C【题9】已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是．【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，分类讨论：①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；②当011130(1)0a a f ∆>⎧<⎧⎪-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．【答案】[3)-+∞，【题10】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 (())()()0xf x xf x f x ''=+≤，故函数()xf x 在区间(,)a b 上是非增函数，有()()af a bf b ≥【答案】B【题11】已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围．【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】由()0f x '=，得1x a =，223a x +=-．函数()f x 在区间(11)-，不单调，等价于()0f x '=在区间(11)-，上有实数解，且无重根．即1123a a a -<<⎧⎪+⎨-⎪⎩≠或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩≠，解得1112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠或5112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠．所以a 的取值范围是115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题12】已知函数()ln xf x x=． ⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【考点】函数的单调性【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，宣武，二模，理，题19【解析】 ⑴可得21ln ()xf x x-'=．当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵依题意，转化为不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是()1.+∞上的增函数，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 是()0,1上的减函数，所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是(),1-∞．⑶转化为212ln 63x x x m =+-，ln y x =与21263y x x m =+-在公共点()00,x y 处的切线相同由题意知20000012ln 6311233x x x m x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代入第一式，即有56m =．【答案】⑴()f x 的单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞；⑵(),1a ∈-∞；⑶56m =．【题13】设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为()1-+∞，，()22221a f x x x -'=-+++2221x ax -+=+．因为()04f '=，所以2a =． ⑵当0a <时，因为10x +>，2220x a -+<，所以()0f x '<，故()f x 在()1-+∞，上是减函数；当0a =时，当()10x ∈-，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()10-，上是减函数，当()0x ∈+∞，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()0+∞，上是减函数，因为函数()f x 在()1-+∞，上连续，所以()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，由()22201x af x x -+'==+，得x =x =x 变化时，()f x '，()f x 的变化如情况下表：所以()f x 在1-，上为减函数、在+∞上为减函数；()f x 在上为增函数．综上，当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．函数的极值【题14】函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点】函数的极值【难度】2星【题型】填空【关键词】2005，全国，高考【解析】 2()323f x x ax '=++，又()f x 在3x =-取得极值，∴(3)0f '-=，即23(3)6305a a ⨯--+=⇒=．【答案】D【题15】设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【考点】函数的极值【难度】2星【题型】填空【关键词】2008，广东，高考，题9【解析】 x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．【答案】A【题16】函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【考点】函数的极值【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 2()3f x ax b '=+，(2)(2)120f f a b ''-==+=，又28(2)8243f a b -=--+=，4(2)8243f a b =++=-．解得13a =，4b =-．【答案】13a =，4b =-．【题17】求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【考点】函数的极值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 2222222222(1)()(1)(1)a b b x a x f x x x x x --'=-+=--22()[()](1)a a b x b a x a a b x x ⎛⎫+--+ ⎪+⎝⎭=-．当0x =时，()0b a x a a -+=>；当1x =时，()0b a x a b -+=>，∴01x <<时，恒有()0b a x a -+>，令()0f x '=，解得ax a b=+(01)∈，．当0a x a b <<+时，()0f x '<，当1ax a b<<+时，()0f x '>．∴函数()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增，故()f x 在a x a b =+处取得极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【答案】()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增；极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【题18】已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【考点】函数的极值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴ 当0a =时，()2x f x x e =，()()22x f x x x e '=+，故()13f e '=．所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为3e ．⑵ ()()22224xf x x a x a a e '⎡⎤=++-+⋅⎣⎦．令()0f x '=，解得2x a =-，或2x a =-．由23a ≠知，22a a -≠-．以下分两种情况讨论．① 若23a >，则22a a -<-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()223a f a ae --=．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()()2243a f a a a --=-． ② 若2a >，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数．函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()()2243a f a a e --=-．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()223a f a ae --=．【答案】⑴3e ；⑵见解析．【题19】已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【考点】函数的极值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴ 6()f x x'=，()28g x ax '=+，根据题意，得(3)(3)f g ''=，解得1a =-．⑵ 2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-，令6()280F x x x'=+-=，得13x =，∵01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；13x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；3x >时，()0F x '>，()F x 单调递增．∴()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【答案】⑴1a =-；⑵()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【题20】设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【考点】函数的极值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题18【解析】 ()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--⑴∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．⑵∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =．即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=． ∴2(3)0a a -=，解得0a =或3．当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值，这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()3f 为极小值，所以3a =满足．故3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题21】设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【考点】函数的极值【难度】4星【题型】解答【关键词】2008，辽宁，高考，题22【解析】 22()323f x ax bx a '=+-．①⑴当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以12x x -=．由122x x -=，得0b =．从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当()11x ∈-，时，()0f x '<；当()()11x ∈-∞-+∞，，时，()0f x '>．故()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增．⑵由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-，由上式及题设知01a <≤．考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【答案】⑴0b =，()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增． ⑵b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【题22】设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【考点】函数的极值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．22222()2b a x b ax b a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==．当0ab >时，02b a>，202bx a +>，()0f x '=无解，所以当0ab >时，函数()f x 没有极值点．⑵2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=，又函数()f x 的定义域为(0)+∞，，故()f x '在(01)，上为负，在(1)+∞，上为正，故()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当0ab <时，2()a x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=，令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x +∞，，当00a b ><，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．综上所述，当0ab <时，当00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】⑴见解析；⑵()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当00a b ><，时，()f x 有极小值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当00a b <>，时，()f x 有极大值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．函数的最值【题23】已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【考点】函数的最值【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 2()6126(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；当02x <<时，()0f x '<；于是()f x 在(20)-，上单调增，在(02)，上单调减；于是()f x 在[22]-，上的最大值为(0)3f a ==．故32(2)2(2)6(2)337f -=⨯--⨯-+=-；32(2)226235f =⨯-⨯+=-，故()f x 在[22]-，的最小值为37-．【答案】D【题24】设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题21 【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤．反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶∵(0)01g =<，故()g x 不在0x =时取到最大值，故65a >．此时，2()36(1)60g x ax a x '=+--=有两个相异的实根，记为12x x ，（120x x <<）， ∵0a >，故()g x 在2(0)x ，（12()x x ⊆，）上单调递减，在2()x +∞，上单调递增．又()g x 在[02]，上的最大值不在0x =时取到，故必有22x <，且()g x 在最大值在2x =时取到，即5(2)1812(1)124g a a a ==+--⇒=．【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题25】设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴ 当1a =时，2()|ln 1|f x x x =+-．令1x =，易得(1)2f =，(1)1f '=，所以切点为(12)，，切线的斜率为1，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：10x y -+=．⑵ 当3a =时，223ln 3(0)()3ln 3()x x x e f x x x x e ⎧-+<⎪=⎨+-⎪⎩≤≥．当0x e <≤时，2323()2x f x x x x-'=-=，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，]e ⎝内单调递增；当x e ≥时，3()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[)e +∞，内单调递增；综上，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增． ⑶ ①当x e ≥时，2()4ln 4f x x x =+-，4()2f x x x'=+∴()0f x '>恒成立，()f x 在[)e +∞，上为增函数．故当x e =时，2min y e =．②当1x e <≤时，2()4ln 1f x x x =-+，42()2(f x x x x x x'=-=()f x 在[1上为减函数，在]e 上为增函数，因此当x min 242ln 22y =+=-．【答案】⑴10x y -+=；⑵()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增．⑶min 2ln 22y =-．【题26】已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【考点】函数的最值【难度】4星【题型】解答【关键词】2010，山东，高考22【解析】 ⑴ 因为()1ln 1af x x ax x-=-+-，所以()()222111'0a ax x af x a x x x x --+-=-+=-∈+∞，，令()21h x ax x a =-+-，()0x ∈+∞，，（ⅰ）当0a =时，()1h x x =-+，()0x ∈+∞，，所以当()01x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递；当()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．（ⅱ）当0a ≠时，()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-． ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>，()01x ∈，时，()0h x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<，()01x ∈，时，()0h x >，此时()'0f x <，函数()f x 单调递减； ()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减；当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵因为102a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，由⑴知，11x =，()2302x =∉，，当()01x ∈，时，()0f x '<．函数()f x 单调递减；当()12x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在单调递增，所以()f x 在()02，上的最小值为()112f =-．由于“对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]12，上的最小值不大于()f x 在()02，上的最小值12-”．又()()224g x x b b =-+-，[]12x ∈，，所以①当1b <时，因为()()min 1520g x g b ==->⎡⎤⎣⎦，此时与()*矛盾；②当[]12b ∈，时，因为()2min 40g x b =-⎡⎤⎣⎦≥，同样与()*矛盾；③当()2b ∈+∞，时，()()min 284g x g b ==-⎡⎤⎣⎦．解不等式1842b --≤，可得178b ≥．综上，b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减；当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【题27】已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，西城，一模，题19 【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==，因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以()f x 在区间,⎛-∞ ⎝⎭上是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>，所以10x a <-<．由()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且02a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。

高中数学第一章导数及其应用第4课时常见函数的导数教案苏教版选修2_2

常见函数的导数【教学目标】1、理解常见函数的导数的推导过程；2、掌握常见函数的导数公式，会灵活运用公式解决问题【教学难点、重点】利用导数定义推导常见函数的导数公式【教学过程】一、复习引入1、导数的概念及其几何意义；2、导函数的定义；3、求函数的导数的步骤：（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；（3）取极限，得导数()y f x ''=. 二、知识要点1、基本初等函数的导数公式：（1） ()kx b k '+= (,k b 为常数) （2） 0)(='C (C 为常数) （3） ()1x '= （4） 2()2x x '= （5） 32()3x x '=（6）211()x x '=- （7） '= 由（3）~（7）你能发现什么规律?（8） 1()x xααα-'=（α为常数）（9） ()ln (0xxa a a a '=>且1)a ≠（10） 11(log )log e (0ln a a x a x x a'==>且1)a ≠ （11） ()x xe e '= （12）1(ln )x x'=（13） (sin )cos x x '= （14） (cos )sin x x '=－三、例题分析例1、求下列函数的导数：（1）100x y = （2）53x y = （3）21xy =（4）xy )2(ln = 练习： ='-)(2x _______________ =)'3(x_______________=')(log 3x _______________ =')(ln x _______________=)'3(sin π_______________ =)'5(cos π_______________例2、求函数x y cos =在点)23,6( πA 处的切线方程.变1：求2x y =过点（0，-1）的切线. 变2：求3x y =过点（1，1）的切线. 例3、（1）已知函数22sin 2cos 3)(22-+=x x x f ，求)65(πf '；（2）已知函数x x x f lg lg 23)(-=，求)(x f '.例4、若直线y x b =-+为函数xy 1=图象的切线，求b 及切点坐标. 四、课内练习1、质点沿直线运动的路程S 和时间t 的关系是5t S =，则质点在4=t 时速度为2、下列结论：（1）x x sin )'(cos =；（2）3cos )'3(sin ππ=；（3）若21x y =，272|'3-==x y ；（4）xx x 21)'1(=-，其中正确的有 3、函数x x x f ⋅=-3)(的导函数=')(x f ___________4、（1）设函数xx x f 1ln ln 2)(+=，则它的导函数=')(x f ___________ （2）函数x xx f )31(23)(1-=-在0=x 处的导数=')0(f ___________（3）函数2cos 2sin 2)(x x x f =在2π=x 处的导数为_______________5、若直线π2+=x y 是曲线x y sin =在点P 处的切线，则P 的坐标为_____________6、曲线xey -=在0x x =处的切线斜率为e -，则=0x _____________7、若函数)(x f y =满足221)1(x x x f +-=-，则=)('x f 8、求过两曲线xy 1=和x y =的交点并分别与两曲线相切的直线方程. 9、设直线1l 与曲线x y =相切于点P ，直线2l 过P 且垂直于1l ，若2l 交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴于K ，求KQ 的长.10、求证：双曲线)0(≠=k k xy 上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值.。

苏教版数学高二-备课参考数学苏教版选修2-2教案 1.2 导数的运算

§1.2导数的运算§1.2.1常见函数的导数目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数（2）掌握基本初等函数的运算法则教学内容一．回顾函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图新授；求下列函数的导数（1）y kx b =+ （2）2()f x x =（3）3()f x x = （4）1()f x x=（5）()f x =思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？几个常用函数的导数：基本初等函数的导数：（7）1()'(x x αααα-=为常数）（8）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠（7）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a==>且1)a ≠ （8）()'x x e e = （9）1(ln )'x x=（10）(sin )'cos x x = （11）(cos )'sin x x =- 例1．若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标。

例2．直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由（1）1()f x x = （2）1()f x x=-（3）()sin f x x = （4）()xf x e =小结：（1）求函数导数的方法（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式作业：（1）在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135。

（2）当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点§1.2.2函数的和、差、积、商的导数目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数重点难点：四则运算法则应用教学内容：一．填写下列函数的导数：（1）()'kx b += （2）()'C =（3）()'nx = （n 为常数）（4）()'xa = （0a >且1a ≠）（5）(log )'a x = （0a >且1a ≠）（6）()xe = （7）(ln )x = （8）(sin )'x = （9）（cos )x = 二．新授：例1．求2y x x =+的导数思考：（1）已知'(),'()f x g x ，怎样求[()()]'f x g x +呢？（2）若'2y x =+，则y =导数的四则运算法则：（1）（2）（3）（4）（5）特别，当()u x c =(c 为常数)时，有 )()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．例2．求下列函数的导数（1）2()sin f x x x =+ （2）323()622g x x x x =--+例3．求下列函数的导数：（1）()sin f x x x = （2）21()t S t t+=板演：1．用两种方法求函数(21)(3)y x x =-+的导数2．求下列函数的导数（1）21()f x x = （2）()23x f x x =+（3）2sin ()x f x x= （4）22y x x =•2．已知函数()f x 的导数是'()f x ，求函数2[()]f x 的导数。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数》02

计算导数孙疃中学高二数学组周成刚教学目标：1理解导数的概念，能根据导数的定义求几种常用函数的导数，并能熟练运用。

2 掌握基本初等函数的求导公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数。

教学过程：1. 导函数若一个函数f 在区间（a,b ）上的每一个点处都有导数，导数值记为f (x)'： 0()()f (x)=lim x f x f x ∆→+-'x x则f (x)'是关于的函数，称f (x)'为f 的导函数，简称导数。

一利用导函数的定义求导数例1：一运动物体的位移（单位：m ）关于时间t （单位：）的函数关系式为：2().s t t t =+求(5)s '，并说明它的实际意义。

【思路点拨】先求出t 的导函数，然后把t=5代入即可。

()x x x =计算函数y=f 在处的导数的步骤如下：00x x （1）通过自变量在处的改变量x 确定函数在在处的改变量：00()()y f x f x =+-x 0()y f x x =（2）确定函数在处的平均变化率：00()()=f x f x y +-x x x变式训练： 1．已知函数f ＝，求f ′1，f ′－2的值．2．求函数＝22＋4在＝3处的导数．二．导数公式表其中三角函数的自变量单位是弧度二，利用导数公式求导数例2，求下列函数的导数： 32(1)(2)log ;sin 3;2cos 12(4)5.x y y x x y x y ===-=（） 0（3）当x 趋向于时，得到导数：0000()()f (x )=lim x f x f x ∆→+-'x x2x思路点拨：先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解。

[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法：1用导数的定义求导，但运算比较繁杂；2用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．变式训练：求下列函数的导数：2(1)(1)(2)(3);(2)sin;313;(4)y x x x y y x y π=+++===（）课堂小结：1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．2．计算f ′0时，可先求f ′，再将＝0代入．课堂作业：习题 A 组第2,3题。

苏教版选修2-2高中数学常见函数的导数教案

常见函数的导数教学目的：知识与技能：掌握四个公式，理解公式的证明过程. 过程与方法：学会利用公式，求一些函数的导数.情感、态度与价值观：理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．教学难点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim二、讲解新课：1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0∴x y∆∆=0，y '=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0，∴y '=0.2. 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了*N n ∈证明：()y f x ==n x∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n n x x x +∆-=n x +1C n 1n x -Δx +2C n 2n x -(Δx )2+…+n nC ()n x ∆－n x =1C n 1n x -Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+n nC ·()n x ∆ xy ∆∆=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n nC ·1()n x -∆ ∴y '=()n x '=xy x ∆∆→∆0lim=lim→∆x （1C n1n x -+2C n2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆)=1C n1n x -=n 1n x - ∴y '=1)'(-=n n nx x 3. x x cos )'(sin =证明方法一：y =sin x ，Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin x∴y '=xx x x x x x y x x ∆-∆+∆=∆∆→∆→∆sin sin cos cos sin lim lim00=－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y '=cos x证明方法二：x y sin =，2)(sin 2)(cos 2sin )sin(xx x x x x x x x y -∆++∆+=-∆+=∆2sin2cos 2x x x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=， 22sin2cos x xx x x y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆， ∴ 0lim )'(sin '→∆==x x y 22sin2cos lim 0x xx x x y x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆→∆ x x xx x x x cos 22sinlim 2cos lim 00=∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=→∆→∆． 4. x x sin )'(cos -=证明方法一：y =cos x ，Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy '=xx x x x x x y x x ∆-∆-∆=∆∆→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00∴y '=－sin x证明方法二：x y cos =，2sin2sin 2x x x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=， 22sin2sin x xx x x y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆∆， ∴ 0lim )'(cos '→∆==x x y 22sin2sin lim 0x xx x x y x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆∆→∆ x x xx x x x sin 22sinlim 2sin lim 00-=∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆→∆． ∴y '=－sin x .第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个三、讲解范例：例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ 解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2； (2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．解：∵ 51ts =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts ,∴ 6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．例3求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ x x y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ，即 0361236=-+-πy x 答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．四、巩固练习：1． (口答)求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ϕ答案： (1)y ′=(x 5)′=5x 4； (2)y ′=(x 6)′=6x 5；(3)x ′=(sin t )′=cos t ； (4)u ′=(cos ϕ)′=－sin ϕ2.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x 答案：(1) y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度.解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2当t =3时，v =3×32=27 m/s ，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度.解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt .t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s ，∴t =3时的速度为29.4 m/s. 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程. 解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3.∴y ′|x =2=4·23=32 ∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2)，即32x －y －48=0 五、教学反思：这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n －1(n ∈R )，③(sin x )′=cos x ，④(cos x )′=－sin x。

苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数学案 (2)

1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1xΔx＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x 2，即⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. 1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； 7．(x )′＝12x .1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，正确；④正确．答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)．即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4，所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)．故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________．解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4.答案：42．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－23．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________．解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2；(2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。

高中数学教案选修2-2《1.2.1 常见函数的导数》

教学目标：1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式的应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？（2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：给定函数()y f x ＝计算()()y f x x f x x x∆∆∆∆＋－＝令x ∆无限趋近于0xy ∆∆无限趋近于)(x f ' )(x f '①求出P 点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；③利用点斜式求切线方程．（3）函数导函数的概念2．探究活动．用导数的定义求下列各函数的导数：思考由上面的结果，你能发现什么规律？二、建构数学1．几个常用函数的导数：思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？2．基本初等函数的导数：（1）()kx b k '＋＝；（2）0C '＝（C 为常数）；（3）()1x '＝；（4）2()2x x '＝；（5）32()3x x '＝；（6）211()x x '＝－；（7）1()2x x '＝．三、数学运用例1 利用求导公式求下列函数导数．（1）5y x -＝；（2）y ； (3)πsin 3y ＝；（4）4x y ＝；（5）3log y x ＝；（6）πsin()2y x ＝＋；（7）cos(2π)y x ＝－．例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x＝图象的切线，求b 及切点坐标．点评求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率．变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程．变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程．点评求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的．变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．练习：1．见课本P20练习．第3题：；第5题：（1）；（2）；（3）；（4）．2．见课本P26．第4题：（1）；（2）．3．见课本P27第14题（2）．(4)f ＝；(4)f ＝．四、回顾小结（1）求函数导数的方法．（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式．五、课外作业1．课本P26第2题．2．补充．（1）在曲线24y x ＝上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°．（2）当常数k 为何值时，直线y x ＝才能与函数2y x k ＝＋相切？并求出切点．。

高中数学苏教版选修二教案

高中数学苏教版选修二教案
主题：高中数学选修二第一章函数与导数
教学目标：
1. 了解函数的概念，掌握函数的基本性质和图像特征；
2. 理解导数的概念，熟练掌握常见函数的导数计算方法；
3. 能够应用导数解决实际问题。

教学重点和难点：
1. 函数的定义和基本性质；
2. 导数的概念和计算方法；
3. 利用导数解决实际问题。

教学准备：
1. 教材《数学选修二》；
2. 讲义、笔记和习题集。

教学步骤：
第一步：引入
引导学生回顾上节课所学内容，了解函数的概念和性质。

第二步：讲解
1. 函数的定义和基本性质；
2. 导数的概念和计算方法；
3. 常见函数的导数计算技巧。

第三步：练习
让学生进行相关习题练习，巩固所学知识。

第四步：拓展
引导学生思考函数与导数在实际问题中的应用，讨论相关案例。

第五步：总结
对本节课所学内容进行总结，并提出下节课的预习内容。

教学反馈：
布置相关作业，检查学生掌握情况，及时反馈。

教学延伸：
引导学生进行更深层次的探讨和研究，提高数学应用能力。

评价与反思：
回顾本节课教学过程，总结教学效果，反思存在问题并加以改进。

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教学目标：
1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；
2．能利用导数公式求简单函数的导数．
教学重点：
基本初等函数的导数公式的应用．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
（1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？
（2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：
①求出P 点的坐标；
②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程．
（3）函数导函数的概念
2．探究活动．
用导数的定义求下列各函数的导数：
思考由上面的结果，你能发现什么规律？
二、建构数学
1．几个常用函数的导数：
思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？
2．基本初等函数的导数：
三、数学运用
例1 利用求导公式求下列函数导数．
（1）5y x -＝；（2）y (3)πsin 3
y ＝；（4）4x y ＝；（5）3log y x ＝；（6）πsin()2
y x ＝＋；（7）cos(2π)y x ＝－．例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x
＝图象的切线，求b 及切点坐标．点评求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率．
变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程．
变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程．
点评求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的．
变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．
练习：
1．见课本P20练习．
第3题：；
第5题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．见课本P26．
第4题：
（1）；
（2）．
3．见课本P27第14题（2）．
(4)f ＝；(4)f ＝．
四、回顾小结
（1）求函数导数的方法．
（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式．
五、课外作业
1．课本P26第2题．
2．补充．
（1）在曲线24y x
＝上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°．（2）当常数k 为何值时，直线y x ＝才能与函数2y x k ＝＋相切？并求出切点．。