九年级数学下册2圆小专题五圆中常见辅助线的作法习题新版湘教版

小专题（五）圆中常见辅助线的作法

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

半径与弦长计算，弦心距来中间站．

圆上若有一切线，切点圆心半径连．

要想证明是切线，半径垂线仔细辨．

是直径，成半圆，想成直角径连弦．

弧有中点圆心连，垂径定理要记全．

圆周角边两条弦，直径和弦端点连．

还要作个内切圆，内角平分线梦圆．

三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．

一、连半径——构造等腰三角形

1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．

二、半径与弦长计算，弦心距来中间站

方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．

2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．

三、见到直径——构造直径所对的圆周角

方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．

3．如图，AB为⊙O的直径，弦C D与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．

四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径

方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.

五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切

方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．

5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．

6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．

六、内切圆，连接内角平分线把梦圆

方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．

7．如图，△ABC 中，E 是内心，AE 延长线交△ABC 的外接圆于点D.求证：DE ＝DB.

七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积

方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；

(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．

8．如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA，连接AC ，求阴影部分的面积．

参考答案

1．证明：连接OA ，OB.

∵OA ，OB 是⊙O 的半径，

∴OA ＝OB.

∴∠OAB ＝∠OBA.

∴∠OAC＝∠OBD.

在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD，AC ＝BD ，

∴△AOC ≌△BOD(SAS)．

∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．

2．过O 点作OC⊥AB，点C 为垂足，交⊙O 于点D ，E ，连接OA.OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m ．

∵OC ⊥AB ，

∴AC ＝BC ＝0.4 m ．

在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，

∴OC ＝0.3 m ，则CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)．

3．连接BD.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

又∵∠ADC＝50°，

∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.

∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角，

∴∠CDB＝∠CAB＝40°.

∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.

4．证明：连接OG.

∵FE切⊙O于点G，

∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°.

∵CD⊥AB，

∴∠OAK＋∠AKH＝90°.

又∵∠AKH＝∠GKE，

∴∠OAK＋∠GKE＝90°.

∵OG＝OA，

∴∠OGA＝∠OAG.

∴∠KGE＝∠GKE.

∴KE＝GE.

5．证明：连接OA.

∵∠B＝60°，

∴∠AOC＝2∠B＝120°.

又∵OA＝OC，

∴∠ACP＝∠CAO＝30°.

∴∠AOP＝60°.

又∵AC＝AP，

∴∠P＝∠ACP＝30°.

∴∠OAP＝90°.

∴OA⊥AP.

∴AP是⊙O的切线．

6．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.

∵AB切⊙O于点D，

∴OD⊥AB.

∴∠ODB＝90°.

∴∠ODB＝∠OEC.

又∵O是BC的中点，

∴OB＝OC.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

∴△OBD≌△OCE(AAS)．

∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．

∴AC与⊙O相切．

7．证明：连接BE.

∵E为△ABC的内心，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.

∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE，

∴DE＝DB.

8．连接OB，OC.

∵BC∥OA，