九年级数学下册2圆小专题五圆中常见辅助线的作法习题新版湘教版

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湘教版九年级数学下册解题技巧专题：圆中辅助线的作法

解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O 的半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB ＝16cm ，CD ＝6cm ，⊙O 的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，则∠ACE ＋∠BDE 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是________．5．如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，AD 为⊙O 的直径，AE ⊥BC 于E.求证：∠BAD ＝∠EAC.◆类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为( )A ．1B . 2C . 3D ．27．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC.若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为________．8．★如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．参考答案与解析1．C 2.253cm 3.C 4.50° 5．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE 是△ABC 的高，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠ACB ＝90°.∵∠D ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠EAC .6．C 7.32°8．(1)证明：连接OD .∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ADC ＋∠ADO ＝90°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°，∴∠ADC ＝∠ODB .又∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ，∴∠ADC ＝∠ABD .(2)证明：由(1)得∠ADC ＝∠ABD ，∠ADB ＝90°.又∵AM ⊥MN ，∴∠AMN ＝∠ADB ＝90°，∴△ADM ∽△ABD ，∴AD AB ＝AM AD，∴AD 2＝AM ·AB . (3)解：由(1)知∠ADC ＝∠ABD ，∴sin ∠ADC ＝sin ∠ABD ＝35，∴AM AD ＝35.又∵AM ＝185，∴AD ＝6，∴AB ＝AD sin ∠ABD＝10.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝8.∵∠BND ＝∠BDA ＝90°，∴∠BDN ＋∠MDA ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠BDN ＝∠BAD ，∴△DBN ∽△ABD ，∴BN BD ＝DB AB ，∴BN ＝BD 2AB ＝325.。

九年级数学下册 2 圆小专题(五)圆中常见辅助线的作法习题湘教版(2021学年)

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小专题(五) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连.要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径,成半圆,想成直角径连弦.弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦,直径和弦端点连.还要作个内切圆，内角平分线梦圆.三角形与扇形联姻,巧妙阴影部分算.一、连半径-—构造等腰三角形1.如图，在⊙O中,AB为⊙Ｏ的弦，C，D是直线AＢ上的两点，且AC＝BD.求证:△ＯCD是等腰三角形.二、半径与弦长计算,弦心距来中间站方法归纳:在圆中,求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽ＡB为0.8 m,求排水管内水的深度．三、见到直径—-构造直径所对的圆周角方法归纳:构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法,可充分利用“半圆（或直径)所对的圆周角是直角”这一性质.3.如图，AＢ为⊙O的直径,弦ＣD与ＡB相交于点E。

∠ＡCＤ=60°，∠AＤＣ=50°，求∠CEB 的度数.四、有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直于半径方法归纳:已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来,得半径与切线垂直,构造直角三角形,再利用直角三角形的有关性质解题．4.如图,ＡB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于Ｈ,过ＣＤ延长线上一点Ｅ作⊙O的切线交AB的延长线于点F。

[精品]2019届九年级数学下册小专题(八)圆中常见辅助线的作法练习(新版)湘教版

小专题(八) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C ，D 是直线AB 上的两点，且AC ＝BD.求证：△OCD 是等腰三角形．证明：连接OA ，OB. ∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴OA ＝OB. ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠OAC ＝∠OBD. 在△AOC 和△BOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD ，AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD(SAS)．∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．解：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵BC ︵＝BC ︵∴∠CDB ＝∠CAB ＝40°.∴∠CEB ＝∠CAB ＋∠ACD ＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点F ，切点为G ，连接AG 交CD 于点K.求证：KE ＝GE.证明：连接OG. ∵FE 切⊙O 于点G ， ∴∠OGE ＝90°. ∴∠OGA ＋∠AGE ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠OAK ＋∠AKH ＝90°. 又∵∠AKH ＝∠GKE ， ∴∠OAK ＋∠GKE ＝90°. ∵OG ＝OA ，∴∠OGA ＝∠OAG. ∴∠KGE ＝∠GKE. ∴KE ＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d ＝r ”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B ＝60°，AC ＝3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP ＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC ∥OA ，∴△OBC 和△ABC 同底等高． ∴S △ABC ＝S △OBC . ∴S 阴影＝S 扇形OBC .∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB. ∵OA ＝4，OB ＝2，∴∠AOB ＝60°. ∵BC ∥OA ，∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形． ∴∠COB ＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。

湘教版九年级下册数学第2章阶段核心技巧构造与圆的基本性质有关的基本图形的六种常用作辅助线的技巧

在 Rt△BOD 中，∠OBD＝30°， ∴OD＝12OB＝2. ∴BD＝ OB2－OD2＝ 42－22＝2 3. ∴AB＝2BD＝4 3.
∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC. ∴S△ AOB＝S△ BOC＝S△ AOC. ∴S△ABC＝3S△AOB＝3×12·AB·OD＝32×4 3×2＝12 3.
解：如图，连接OB.∵点B， E在⊙O上，CD为直径， ∴OB＝OE＝OC.
又∵AB＝OC，∴OB＝AB＝OE. ∴∠A＝∠AOB，∠E＝∠EBO.
又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB， ∴∠EBO＝∠E＝2∠A.
又∵∠DOE＝∠A＋∠E， ∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°.∴∠A＝24°.
2．如图，A，B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P 不与A，B重合)，我们称∠APB为⊙O上关于点A，B 的滑动角．
解：如图，连接 OA， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝AD. 又∵OB＝OD，∴AO⊥BD， ∴∠AOB＝∠AOD＝90°， ∴∠AFD＝12∠AOD＝45°.
又∵四边形BEDF是矩形， ∴∠EDF＝90°，BE＝DF. ∴∠DGF＝90°－∠DFG＝45°＝∠DFG. ∴DG＝DF，DG＝BE.
4．如图，点A，B，C是⊙O的三等分点． (1)求∠AOB的度数；
解：如图，连接 OC. ∵点 A，B，C 是⊙O 的三等分点， ∴A︵B＝B︵C＝A︵C. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝13×360°＝120°.
(2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积．
解：如图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则∠ODB＝90°，BD＝12AB. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝12(180°－∠A 为⊙O 的半径，点 C 为优弧 AB 的中点，AD＝BE，求证：CD＝CE. 证明：如图，连接 OC. ∵点 C 为优弧 AB 的中点， ∴∠AOC＝∠BOC.

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小专题（五）圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
半径与弦长计算，弦心距来中间站．
圆上若有一切线，切点圆心半径连．
要想证明是切线，半径垂线仔细辨．
是直径，成半圆，想成直角径连弦．
弧有中点圆心连，垂径定理要记全．
圆周角边两条弦，直径和弦端点连．
还要作个内切圆，内角平分线梦圆．
三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．
一、连半径——构造等腰三角形
1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．
二、半径与弦长计算，弦心距来中间站
方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．
2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．
三、见到直径——构造直径所对的圆周角
方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．
3．如图，AB为⊙O的直径，弦C D与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径
方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.
五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切
方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．
6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
六、内切圆，连接内角平分线把梦圆
方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．
7．如图，△ABC 中，E 是内心，AE 延长线交△ABC 的外接圆于点D.求证：DE ＝DB.
七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积
方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；
(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．
8．如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA，连接AC ，求阴影部分的面积．
参考答案
1．证明：连接OA ，OB.
∵OA ，OB 是⊙O 的半径，
∴OA ＝OB.
∴∠OAB ＝∠OBA.
∴∠OAC＝∠OBD.
在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD，AC ＝BD ，
∴△AOC ≌△BOD(SAS)．
∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．
2．过O 点作OC⊥AB，点C 为垂足，交⊙O 于点D ，E ，连接OA.OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m ．
∵OC ⊥AB ，
∴AC ＝BC ＝0.4 m ．
在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，
∴OC ＝0.3 m ，则CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)．
3．连接BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠ADC＝50°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.
∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.
4．证明：连接OG.
∵FE切⊙O于点G，
∴∠OGE＝90°，∠OGA＋∠AGE＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠OAK＋∠AKH＝90°.
又∵∠AKH＝∠GKE，
∴∠OAK＋∠GKE＝90°.
∵OG＝OA，
∴∠OGA＝∠OAG.
∴∠KGE＝∠GKE.
∴KE＝GE.
5．证明：连接OA.
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
又∵OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝30°.
∴∠AOP＝60°.
又∵AC＝AP，
∴∠P＝∠ACP＝30°.
∴∠OAP＝90°.
∴OA⊥AP.
∴AP是⊙O的切线．
6．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.
∵AB切⊙O于点D，
∴OD⊥AB.
∴∠ODB＝90°.
∴∠ODB＝∠OEC.
又∵O是BC的中点，
∴OB＝OC.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∴△OBD≌△OCE(AAS)．
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．
∴AC与⊙O相切．
7．证明：连接BE.
∵E为△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.
∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB.
8．连接OB，OC.
∵BC∥OA，
∴△OBC 和△ABC 同底等高．
∴S △ABC ＝S △OBC .
∴S 阴影＝S 扇形OBC .
∵AB 是⊙O 的切线，
∴OB ⊥AB.
∵OA ＝4，OB ＝2，
∴∠AOB ＝60°.
∵BC ∥OA ，
∴∠AOB ＝∠OBC＝60°.
∵OB ＝OC ，
∴△OBC 为正三角形．
∴∠OCB＝60°.
∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。