九年级数学下册2圆小专题五圆中常见辅助线的作法习题新版湘教版
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小专题(五)圆中常见辅助线的作法
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
半径与弦长计算,弦心距来中间站.
圆上若有一切线,切点圆心半径连.
要想证明是切线,半径垂线仔细辨.
是直径,成半圆,想成直角径连弦.
弧有中点圆心连,垂径定理要记全.
圆周角边两条弦,直径和弦端点连.
还要作个内切圆,内角平分线梦圆.
三角形与扇形联姻,巧妙阴影部分算.
一、连半径——构造等腰三角形
1.如图,在⊙O中,AB为⊙O的弦,C,D是直线AB上的两点,且AC=BD.求证:△OCD是等腰三角形.
二、半径与弦长计算,弦心距来中间站
方法归纳:在圆中,求弦长、半径或圆心到弦的距离时,常过圆心作弦的垂线段,再连接半径构成直角三角形,利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径三个量中,已知任意两个可求另一个.
2.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8 m,求排水管内水的深度.
三、见到直径——构造直径所对的圆周角
方法归纳:构造直径所对的圆周角,这是圆中常用的辅助线作法,可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质.
3.如图,AB为⊙O的直径,弦C D与AB相交于点E.∠ACD=60°,∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
四、有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直于半径
方法归纳:已知圆的切线时,常把切点与圆心连接起来,得半径与切线垂直,构造直角三角形,再利用直角三角形的有关性质解题.
4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G,连接AG交CD于点K.求证:KE=GE.
五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切
方法归纳:证明一条直线是圆的切线,当直线与圆有公共点时,只需“连半径、证垂直”即可;当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时,常运用“d=r”进行判断,辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线,证明垂线段的长等于半径.
5.如图,点A,B,C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证:AP是⊙O的切线.
6.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.
六、内切圆,连接内角平分线把梦圆
方法归纳:利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角,同弧所对的圆周角相等进行角的转换.
7.如图,△ABC 中,E 是内心,AE 延长线交△ABC 的外接圆于点D.求证:DE =DB.
七、构造扇形与三角形,化不规则图形的面积为规则图形的面积
方法归纳:通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中,(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换;
(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化.
8.如图,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,弦BC ∥OA,连接AC ,求阴影部分的面积.
参考答案
1.证明:连接OA ,OB.
∵OA ,OB 是⊙O 的半径,
∴OA =OB.
∴∠OAB =∠OBA.
∴∠OAC=∠OBD.
在△AOC 和△BOD 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA =OB ,∠OAC =∠OBD,AC =BD ,
∴△AOC ≌△BOD(SAS).
∴OC =OD ,即△OCD 是等腰三角形.
2.过O 点作OC⊥AB,点C 为垂足,交⊙O 于点D ,E ,连接OA.OA =0.5 m ,AB =0.8 m .
∵OC ⊥AB ,
∴AC =BC =0.4 m .
在Rt △AOC 中,OA 2=AC 2+OC 2,
∴OC =0.3 m ,则CE =0.3+0.5=0.8(m).
3.连接BD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵∠ADC=50°,
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=40°.
∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角,
∴∠CDB=∠CAB=40°.
∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=40°+60°=100°.
4.证明:连接OG.
∵FE切⊙O于点G,
∴∠OGE=90°,∠OGA+∠AGE=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠OAK+∠AKH=90°.
又∵∠AKH=∠GKE,
∴∠OAK+∠GKE=90°.
∵OG=OA,
∴∠OGA=∠OAG.
∴∠KGE=∠GKE.
∴KE=GE.
5.证明:连接OA.
∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°.
又∵OA=OC,
∴∠ACP=∠CAO=30°.
∴∠AOP=60°.
又∵AC=AP,
∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°.
∴OA⊥AP.
∴AP是⊙O的切线.
6.证明:连接OD,过点O作OE⊥AC于点E,则∠OEC=90°.
∵AB切⊙O于点D,
∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90°.
∴∠ODB=∠OEC.
又∵O是BC的中点,
∴OB=OC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴△OBD≌△OCE(AAS).
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径.
∴AC与⊙O相切.
7.证明:连接BE.
∵E为△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠DAC.
∵∠DEB=∠ABE+∠BAD,∠DBE=∠CBE+∠DBC,而∠DBC=∠DAC=∠BAD,∴∠DEB=∠DBE,
∴DE=DB.
8.连接OB,OC.
∵BC∥OA,