九年级数学下册2圆小专题五圆中常见辅助线的作法习题新版湘教版

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小专题(五)圆中常见辅助线的作法

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

半径与弦长计算,弦心距来中间站.

圆上若有一切线,切点圆心半径连.

要想证明是切线,半径垂线仔细辨.

是直径,成半圆,想成直角径连弦.

弧有中点圆心连,垂径定理要记全.

圆周角边两条弦,直径和弦端点连.

还要作个内切圆,内角平分线梦圆.

三角形与扇形联姻,巧妙阴影部分算.

一、连半径——构造等腰三角形

1.如图,在⊙O中,AB为⊙O的弦,C,D是直线AB上的两点,且AC=BD.求证:△OCD是等腰三角形.

二、半径与弦长计算,弦心距来中间站

方法归纳:在圆中,求弦长、半径或圆心到弦的距离时,常过圆心作弦的垂线段,再连接半径构成直角三角形,利用勾股定理进行计算.在弦长、弦心距、半径三个量中,已知任意两个可求另一个.

2.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8 m,求排水管内水的深度.

三、见到直径——构造直径所对的圆周角

方法归纳:构造直径所对的圆周角,这是圆中常用的辅助线作法,可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质.

3.如图,AB为⊙O的直径,弦C D与AB相交于点E.∠ACD=60°,∠ADC=50°,求∠CEB的度数.

四、有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直于半径

方法归纳:已知圆的切线时,常把切点与圆心连接起来,得半径与切线垂直,构造直角三角形,再利用直角三角形的有关性质解题.

4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F.切点为G,连接AG交CD于点K.求证:KE=GE.

五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切

方法归纳:证明一条直线是圆的切线,当直线与圆有公共点时,只需“连半径、证垂直”即可;当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时,常运用“d=r”进行判断,辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线,证明垂线段的长等于半径.

5.如图,点A,B,C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证:AP是⊙O的切线.

6.如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.

六、内切圆,连接内角平分线把梦圆

方法归纳:利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角,同弧所对的圆周角相等进行角的转换.

7.如图,△ABC 中,E 是内心,AE 延长线交△ABC 的外接圆于点D.求证:DE =DB.

七、构造扇形与三角形,化不规则图形的面积为规则图形的面积

方法归纳:通过等积替换化不规则图形为规则图形,在等积转化中,(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换;

(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化.

8.如图,A 是半径为2的⊙O 外一点,OA =4,AB 是⊙O 的切线,B 为切点,弦BC ∥OA,连接AC ,求阴影部分的面积.

参考答案

1.证明:连接OA ,OB.

∵OA ,OB 是⊙O 的半径,

∴OA =OB.

∴∠OAB =∠OBA.

∴∠OAC=∠OBD.

在△AOC 和△BOD 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA =OB ,∠OAC =∠OBD,AC =BD ,

∴△AOC ≌△BOD(SAS).

∴OC =OD ,即△OCD 是等腰三角形.

2.过O 点作OC⊥AB,点C 为垂足,交⊙O 于点D ,E ,连接OA.OA =0.5 m ,AB =0.8 m .

∵OC ⊥AB ,

∴AC =BC =0.4 m .

在Rt △AOC 中,OA 2=AC 2+OC 2,

∴OC =0.3 m ,则CE =0.3+0.5=0.8(m).

3.连接BD.

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°.

又∵∠ADC=50°,

∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=40°.

∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角,

∴∠CDB=∠CAB=40°.

∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=40°+60°=100°.

4.证明:连接OG.

∵FE切⊙O于点G,

∴∠OGE=90°,∠OGA+∠AGE=90°.

∵CD⊥AB,

∴∠OAK+∠AKH=90°.

又∵∠AKH=∠GKE,

∴∠OAK+∠GKE=90°.

∵OG=OA,

∴∠OGA=∠OAG.

∴∠KGE=∠GKE.

∴KE=GE.

5.证明:连接OA.

∵∠B=60°,

∴∠AOC=2∠B=120°.

又∵OA=OC,

∴∠ACP=∠CAO=30°.

∴∠AOP=60°.

又∵AC=AP,

∴∠P=∠ACP=30°.

∴∠OAP=90°.

∴OA⊥AP.

∴AP是⊙O的切线.

6.证明:连接OD,过点O作OE⊥AC于点E,则∠OEC=90°.

∵AB切⊙O于点D,

∴OD⊥AB.

∴∠ODB=90°.

∴∠ODB=∠OEC.

又∵O是BC的中点,

∴OB=OC.

∵AB=AC,

∴∠B=∠C.

∴△OBD≌△OCE(AAS).

∴OE=OD,即OE是⊙O的半径.

∴AC与⊙O相切.

7.证明:连接BE.

∵E为△ABC的内心,

∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠DAC.

∵∠DEB=∠ABE+∠BAD,∠DBE=∠CBE+∠DBC,而∠DBC=∠DAC=∠BAD,∴∠DEB=∠DBE,

∴DE=DB.

8.连接OB,OC.

∵BC∥OA,

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