2017年全国高中数学联赛试题及答案
2017年全国高中数学联合竞赛考试与解答(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛考试与解答（A卷）作者:日期:2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数X有f(x 3)・f(x -4) = -1 •又当0岂x ::：7时，f (x) =log2(9 —x)，贝U f(—100)的值为_____________ .2•若实数x, y满足x2+ 2 cos y = 1，则x- cosy的取值范围是___________ .2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:- - 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为_____________. 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P - ABC中，AB = 1, AP = 2，过AB的平面二将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6.在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1：.在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为Q5的概率为 _____________ .7.在「ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A , - ABC的面积为3国，则AM AN的最小值为_______________ .8.设两个严格递增的正整数数列a〔「b n 1满足：a10二b10 ：：：2017，对任意正整数n，有a nd2 =an*+a n，b n十=2b n，则81+^的所有可能值为 ___________________ .二、解答题9.设k, m为实数，不等式x2—kx — m兰1对所有x E&b】成立.证明：b—a兰2d2.x2 x310.设x「X2,X3是非负实数，满足捲• x2• x3 = 1，求(x1 3x2 5x3)(x!'- -)的最3 5小值和最大值.2 211.设复数Z i,Z2 满足Re(Z i) 0, Re(Z2) 0,且Ffe(乙)=Ffe( z?) = 2 (其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re( z Z2)的最小值；(2)求乙+2 +z2+2 -乙—z2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试.如图，在ABC中，AB二AC，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆:1，以I为圆心，IB为半径作圆'2，过点B, I的圆-3与-1^2分别交于点P,Q (不同于点B ).设IP与BQ交于点R.证明：BR_CRfi a * + n, a n 兰 n,2017—二.设数列la n ｝定义为a i=1 , a n4i =」n = 1,2，….求满足£ r 兰3a n — na > n,的正整数r 的个数.三.将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m, n 均是大于1的整数，m_n , a^a ?,…，a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数，且a^a ?,…，a n 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个i （1乞i 乞n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.解：由条伴feb /-(JC + 14) = ---------------- - f(x) * 所以<(-100| = /(-100 + 14x7)^/(-2) =2.答案2 若+ 1]*解：由于、—1 - 2cos r G [-1, 3Jt 故x E[-\ 3. V? |由一」^可知 r .v - co> i- - .v -v 112 - ]. K 此当 丫= |时,-Jf•]■2m(m 1)x ，这里|| y 表示实数y到与它最近的整数的距离菩案:A 心1有最小值|(这时F可以S1-):当V - V5时r Jt —COS r有最大值点I (这时F可以取由于^(x + D：-1的值域是[一1, JI + 1I・从而x-cosy的取值范围是[-1, V3 + ILJ—. [“ ” ——3 v [ IJ sin "| —- b 3c儁円—寸(| .sin//)= —+其中匸^cmti v 1'' ■当/y- jicTan/lOfft-四边形0月尸尸面积的最大值为4.答案：75. _解：考虑平稳数赢*若方=0,则d = l, c€{0,1}.有2个平稳数.若b = l r则ae{L 2}, ce{0.1,2},有2x3 = 6 个平稳数・，^r2<&<8,则a.c€{b~l f b f A + l}> 有7 x3x3 = 63 个平稳数「若〃=9,则<2,c€ {8,9} 1有2x2-4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2 + 6 + 63 + 4 = 75・5.答案* 2^**' io ‘解：设AB. PC的中点分別为K、\I、则易证平而ABM是平面口.由中线长公式知!：M—一•屮 | tC } -PC1 弟所以KM = A M2—AK2= * I-( M 一2 rI , I-4 2叉易知宜线尸C在卩雨"上的射影是宜线XfK ,而CM = h KC = —^2所以6 .K.\f'cos —2 KM WC故棱Pt?与平面n所咬角的余眩值为婕]0MC -KC _ 44 _兀：Id3.解：易知i殳P 的坐标是（3cos^, 0, y .则答案* — +7解：易知K 中有今个点*故在K 中随机取出三个点的方式数为Cj = 84种.将K 中的点按右图标记为為，4，“如0,其中有8 对点之间的距廈为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况，则剩下的一个点有7种取法.这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对毎个期1 = 12…⑻.K 中恰有4小理*两点与之距离为（这里下标按模8理解）.因而恰有 ｛令4®轴』（心1点…⑻这*个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个JQ d数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.8477.答案：6 \ I-由条件知* AM -~\AH+ AC 由于 = £±sc ~ 步可得 AB AC- AH J （；|从而4AB AC%y%£o^4*XA*1-AB^--Ac\--\3VF 亠,:+ 4JB JCA 4 ) KiAMAN --['心严+严‘‘故=宁阿|走卜心=¥阿区”所叫吗4・进AH AC当网=命两=2朋时；TiZ后的最小值为J；a 8.11/一 51纠，故片「：1丄3；.反复运用血}的递推关系知 —2(?_ ] 11, - JCZ ,卜 2#“ =5q \ 3叫—8tJ, I 暫+辄一 21吗+ 13E =?4碼+ 21引因此 21^ = a (=方T = 512^. = 2血(ITICK 134),ft ] 3 x 21 = 3J 1v K | li 故有u = 13x21^ = 13x24)一 26b(mod34).另一1 方面* 注意到” < iiyt 有55*片'34J . - 2It? — 512/z* 故9.证明：令 f(x) = x 2 —kx — m rb]» 则 I].于是 f{a) = — ka — m/(6) = h~ — kb —m < 1 > Q + b答案：13’2G.枠由条件可知：还4』均为正整熟且叮仇 由于2017 >fe 一 IU %_厲+当片一1时.①.②分別化_ 26 (mod34)t a t <-T —f 无解" 当九=2时，①*②分别化为tf] = 52 (mod 34}.叫 —1 匕此时 — b ~ 20»当A, -3时'⑪ ②分别化为(/( = ?Siinod34K u x — \ ()* 此时甘[+ h 、— 13”综上所述，a +方的所有可能值为II 20 .55—,得到唯一的正螯盟55 —,得到唯一的正整数 55 a^rb --------- ^- > -.. 1 — 故方10. 由①+②_2x ③知-[a ~h]: 些1 <4. 16分阖为（工I 卡3兀+ 5眄）（工L 十寻十 丰）=^（.r ; + 3无+ 5x a ）（5X] ++屯）I I (y —(X 十 3x.十 5工 J + (5A 十 I C 14 _ Y20'< 1 3 2 J< —(6x. + 6x, ■+ 6x t )2 = — ♦ 20v 1 J 17 5当斗二丄^=0,^ = 1时不等式等号成立.故欲求的最大值为红2 2511. 解：⑴对* = 1,2,设专=忑+加（殆耳€1＜）.由条件知兀=Re （rJ ＞01 x ； - v ； = Re （z ； ） = 2.圉此R&（z }r-） = ReiCX] — y.i ）（x ： +”i ）） = x.x 2 - y y 2=J （＞f + 颈衣+2）-阴旳 ＞（|y ]r v 2| + 2）-耳” ＞2 ・又当工=亠=晅时F R.e （z {z 2） = 2,这表明，R 创石花）的最小值为2... ..... * .......... 5分（2）对用=1,2・将珀对应到平而直角坐标系工彷中的点记尺是 &关于兀轴的对称点，则珞庄均位于双曲线C*.r-/ = 2的右支上.设厅，巧分别是＜?的左*右焦点.易知骂〜2』）.斥（2、0）.根据双曲线的定义，有上叫| = |卑耳|+2j£|耳可=|号乙|+2』^进而得|马+2| +国+ 2卜|云一彳=|斗+2|+区+ 2|十l 可=|肚|+呦卜|胆| =曲十|/?呂|+|临卜默4细①...................... 15另等号成立当且仅当兀位于钱段£号上（例如.当z 严z 严“忑I 时，兀恰是£尺 的中点）.W ：由柯西不等式20分 （厲+ 3X 2 + 対（斗十专*中2（肩•品+1=（H ： + X 2 + X 3 ）： = I t 当儿=1，x ;=0.^= 0时不等式等号成立.故欲求的最小值为1.综上可知.|z:+2| + |r + 2|-|z -z:|的最小值为菽5\ ............... 2。
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
成立，求实 成立．由于
解：设 t 2 x ，则 t [2, 4] ，于是
对所有
t a 5 t (t a ) 2 (5 t ) 2 (2t a 5)(5 a ) 0 ． ………………8 分 对给定实数 a ，设 f (t ) (2t a 5)(5 a ) ，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常 值函数．注意 t [2, 4] ，因此 f (t ) < 0 等价于 f (2) (1 a )(5 a ) 0, ………………12 分 f (4) (3 a )(5 a ) 0, 解得 3 a 5 ． 所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 ． ………………16 分 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足 2 , n 1, 2, ． bn an1an2 an （1）证明：数列 {bn } 也是等差数列； （2） 设数列 {an } 、 并且存在正整数 s, t ， 使得 as bt {bn } 的公差均是 d 0 ， 是整数，求 a1 的最小值． 解： （1）设等差数列 {an } 的公差是 d ，则 2 2 bn1 bn ( an2an3 an 1 ) ( an1an2 an ) an2 ( an3 an1 ) ( an1 an )( an1 an ) an2 2d ( an1 an ) d
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 在等比数列 {an } 中， a2 2, a3 3 ，则
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+-★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。
2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案：2113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，则 ()ϕθθθ+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为2113。
2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。
①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。
2017年全国高中联赛一试(B卷)数学试题 Word版 含答案
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C ==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE ===同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H E F ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为。
高中数学联赛一二试及详解高清
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.6.7.9.10.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二、三.四。
2017年全国高中数学联赛A试题+答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 ___________5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为_________7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)R e()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.。
(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案-(1838)
2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1.设f ( x)是定义在 R 上的函数，对任意实数x 有 f ( x 3) f ( x 4)1.又当0x 7时， f (x)log 2 (9x) ，则 f (100) 的值为__________ .2.若实数x, y满足x2 2 cos y 1 ，则x cos y 的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系x 2y2xOy 中，椭圆C的方程为 :1，F为C的上焦点，A为C的910右顶点， P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P ABC中，AB1， AP 2 ，过 AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为 __________ .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集K( x, y) x, y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为__________.7.在ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点.若 A， ABC 的面积为33 ，则 AM AN 的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列a n , b n满足： a10b102017 ，对任意正整数n ，有a n 2a n1a n ，b n 12b n，则a1b1的所有可能值为__________.二、解答题9.设k, m为实数，不等式x 2kx m 1对所有x a, b 成立.证明： b a 2 2 .10.设x1, x2, x3是非负实数，满足x1x2x3 1，求 ( x1 3x2 5x3 )( x1x2x3 ) 的最35小值和最大值 .11.设复数z1, z2满足Re( z1)0， Re(z2 ) 0 ，且 Re(z12 ) Re(z22 ) 2（其中 Re(z) 表示复数 z 的实部）.（1）求Re( z1z2)的最小值；（2）求z1 2 z2 2 z1z2的最小值 .2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试一.如图，在ABC 中， AB AC ， I 为ABC 的内心，以A为圆心， AB 为半径作圆 1 ，以I为圆心，IB为半径作圆 2 ，过点 B, I 的圆 3 与1,2分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP 与BQ交于点 R .证明： BR CR二 .设数列a n定义为 a1 1 ，a n 1a n n, a n n,2017 a n n, a nn 1,2, .求满足a r r 3n,的正整数 r 的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m, n均是大于 1 的整数，m n，a1, a2, , a n是n个不超过m的互不相同的正整数，且 a1 , a2 , , a n互素 . 证明：对任意实数x，均存在一个i (1 i n) ，使得2x ，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.a i xm(m 1)2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.4.5.6. 7.8. 9.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案一.二.三.四.。