第2章平面力系的合成与平衡

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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 四个力
将众多的力进行合成，最后形成一个合力，合 力作用线通过汇交点，大小和方向由各力的矢量和 确定。
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 五个力？
FR F1 F2 Fn Fi
FBC cos FAC cos 0
FBC FAC
F
FAC FBC
y
0
h
FAC sin FBC sin P 0
P Pl 2 sin 2h

P
28
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-3] 已知如图P、Q， 求平衡时
解：研究球：
=？
二、平面汇交力系平衡的几何条件
几何法解题步骤：①选研究对象；
②画出受力图； ③作力多边形； ④求出未知数。
几何法解题不足： ①计算繁 ；
②不能表达各个量之间的函数关系。
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
B
已知有一个力F，现建立如图所示的 正交坐标系。
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
例2-1：
AB杆在FA、FC、P的作用下处于平衡状态。 三个力必相交，且构成一个封闭三角形。
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
例2-1：
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 请重点关注：
大小：FR
( X i ) ( Yi )
2 i 1 i 1
n
n
2
方向：t an

Y
i 1 n i 1
n
i
X
i
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 F1对O点力矩：
1 M o ( F1 ) 2OAB 2 OA ob OA.ob 2
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 F2对O点力矩：
1 M o ( F2 ) 2OAC 2 OA oc OA.oc 2
Fy
A o
F

Oy 方向可 F 沿正交轴Ox 、
Fx
Y
分解为两个分力
x
Fx
、 y
F
X
F 在正交轴上的投影分别为 X 、Y
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
B
力在轴上的投影与在轴方向的分量 有何区别？ 力的投影是标量
Fy
A o
F

地面的反力FD=？
F
x
0
FT 2 cos FT 1 0
FT 1 P 1 cos FT 2 2 P 2
600
FT2 FT1
FD
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§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-3] 已知如图P、Q， 求平衡时
解：研究球：
=？
地面的反力FD=？
F
y
0
FT 2 sin Q FD 0
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系的平衡条件：
F 0
i 1 i
n
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
i 1 i 1
n
n
FRx X i 0 i 1 n FRy Yi 0 i 1
n
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第二章 平面力系的合成与平衡
FR Fi
n
则：
M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
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§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 设O点为矩心，设定 一个轴X，方向如图 所示。各力在轴上 的投影如图所示。 （投影也表示了以 OA为底的三角形的 高）
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§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-1：
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§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-1： Y
FRx X i 0 i 1 n FRy Yi 0 i 1
M o (F2 ) 2OAC OA.oc
M o ( FR ) 2OAD OA.od
M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 )
ob cd oc ob oc cd od
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 如果定理的证明没有搞懂， 请必须记住：
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
非正交坐标系情况如何？
在这个坐标系中，分量的
大小与投影的大小是不同 的，可以显著看出分量与 投影的区别。
必须注意的是：在没有专门说明的情况下，本课程使用
的坐标系是正交直角坐标系，也就是大家在中学学习的坐标 系！
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第二章 平面力系的合成与平衡
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 一、力对点之矩 力矩的表示： 大小、转向、作用面 正负号规定： 右手螺旋法则
＋
－ 矩心
h
M o (F ) F h
力臂
量纲单位： 牛顿.米[N.m]或千牛.米[kN.m]
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 一、力对点之矩 矩心
FD Q - FT 2 sin Q-2 P sin 60 Q 3P
0
FT2 FT1
FD
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 一、力对点之矩 力对物体的运动效应，包括力对物体的移动和 转动效应，其中力对物体的转动效应用力矩来度量。 力矩是度量力对物体转动效应的物理量。
第二章 平面力系的合成与平衡 §2–1平面汇交力系的简化与平衡方程 §2–2力对点之矩与合力矩定理 §2–3平面力偶系的合成与平衡
§2–4平面一般力系的简化与平衡
第二章 平面力系的合成与平衡
力系分为：平面力系、空间力系. 本章只研究平面力系。 汇交力系：力的作用 线均汇交于同一点。 平 面 力 系
二、平面汇交力系平衡的几何条件 C 方法一：用尺直接量出BC、AC的长度 方法二：用三角函数计算出来 B


A
这两种方法称为汇交力系合成和平衡的
几何法
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
例2-1：
分析问题，可以从最简单的入手。
DC杆显然是个二力杆。
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 两个力
分力首尾相接，合力以第一个分力为起点，终 点箭头与最后的分力箭头在一起！
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 三个力
分力首尾相接，合力以第一个分力为起点，终 点箭头与最后的分力箭头在一起！
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第二章 平面力系的合成与平衡
力系分为：平面力系、空间力系. 本章只研究平面力系。 汇交力系：力的作用 线均汇交于同一点。 平 面 力 系 平行力系：力的作 用线相互平行。
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第二章 平面力系的合成与平衡
力系分为：平面力系、空间力系. 本章只研究平面力系。 汇交力系：力的作用 线均汇交于同一点。 平 面 力 系 平行力系：力的作 用线相互平行。 任意力系：力的作用线既 不相交于一点，也不平行。
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理：
y
F2
F3
F4
F 1
合力投影定理： 合力在任一轴上 的投影，等于各 分力在同一轴上 投影的代数和。
FR
a
同样有：
FRy Y1 Y2 Y3 Y4
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b
c d e
x
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§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 请重点关注：
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件 C 图解法求三角形的边长。 纯数学问题！ B


A
已知AB的长度 第二边BC与AB成角度

第三边AC与AB成角度 请问：用什么方法求出BC和AC边 的长度？
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§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
n

X
FRX Fc cos45 FA cos 0
0
FRY Fc sin 45 FA sin P 0
0
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-2] 已知 AC=BC= l , h , P .
解：
F
求 : FAC , FBC
x
0
A B C P FAC y FBC h
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 FR对O点力矩：
1 M o ( FR ) 2OAD 2 OA od OA.od 2
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明
M o ( F1 ) 2OAB OA.ob
M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 三、力矩与合力矩的解析表达式 力F作用与A点 ( x, y ) 方向如图 求F对O点之矩。 运用合力矩定理：
M o (F ) M o (Fx ) M o ( Fy )
X Y
2 2
Fy
A o
F

力的大小:F
Fx X
Fy 的大小是相同的 Y 与 Fx 、 X、 在正交坐标系中， 所以在解题时，在不同的教材上可能会出现混用的情况， 但不能影响运算的结果。
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X 力的方向: cos(F , i ) F Y cos(F , j ) x F
Y
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M o (F ) F h
MO ( F ) 2SABO
力臂
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对任一点之矩，等于所有 各分力对同一点之矩的代数和。
已知：力系（F1， F2， F3，…… ， Fn ）可以合成为 一个合力FR
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理：
F 1
F2
F3
F4
FR Fi
i 1
4
FR
a b cd e 显然有： ab bc ce ed ad FRx X1 X 2 X 3 X 4
x
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
i 1
n
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
F 0
i 1 i
n
平面汇交力系 平衡的充要条 件
所有分力的合力为零！ 在几何法求力系的合 力中，合力为零意味着 力多边形自行封闭（各 分力首尾首接）。 平面汇交力系
平衡条件的另 一说法
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合力： FR F1 F2 Fn
F
n
投影： FRX X 1 X 2 X n
X
i 1 n
i 1
i 1
i
n
i
FRY Y1 Y2 Yn Yi
合力投影定理：合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。
如何求出FA、FC？ 第一种方法：用尺量出其长度，根据比 例换算出来
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
例2-1：
如何求出FA、FC？ 第二种方法：用三角函数计算出来。 这种方法的关键是计算出

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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
Fx X
X F cos Y F sin 力的分量是夭量 F Xi x x
Y
i, j分别是x, y轴上的单位矢量
Fy Yj
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
力的解析表达式为:F
B
Xi Yj Fx Fy