第2章平面力系的合成与平衡
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理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
m F1 OA F2 OB F1 ( OB OA) F1 AB
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
第二章：平面汇交力系的合成与平衡
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系的合成与平衡
平面力系的合成与平衡4.1 平面汇交力系的合成与平衡当力系中各力处于同一平面时,该力系成为平面力系。
平面力系又可分为平面汇互力系、平面力偶系、平面平行力系和平面一般力系等。
平面汇互力系是研究平面一般力系的基础。
工程实际中经常遇到平面汇互力系问题。
如图4.1(a)所示,用挂钩吊起重物,挂钩受到向上的拉力F1和吊绳对它的拉力F2和F3,不计挂钩自重,这三个力在同一平面内,且汇互于一点,组成一个平面汇互力系〔图4.1(b)〕。
图4.1下面将采用几何法和解析法来研究平面汇互力系的合成和平衡问题。
1)平面汇交力系合成的几何法第2章已经介绍了用平行四边形法则或三角形法则求两个汇互于一点的力的合力,这种方法称为几何法。
当求更多的汇互于一点的力的合力时,也可以用几何法,下面举例说明。
刚体受一平面汇互力系F1,F2,F3和F4作用,力的大小及方向如图4.2(a)所示,现求该力系的合力。
为此,可连续使用力的三角形法则,即先求F1与F2的合力FR1,再求FR1与F3的合力FR2,最后求FR2与F4的合力FR,FR便是此平面汇互力系的合力,如图4.2(b)所示。
由图4.2(b)可见,在作图过程中,力FR1,FR2可不必画出。
更简便的合成方法是:各分力矢首尾相接,则画出一条矢量折线A—B—C—D—E,如图4.2(c)所示,然后从第一个力矢F1的起点A向最后一个力矢F4的终点E作一个矢量,以使折线封闭而成为一个多边形,则由A点指向E点的封闭边AE就代表了该力系的合力矢FR 的大小和方向,合力的作用线通过原力系的汇互点。
该多边形称为已知力系的力多边形。
这种求合力的方法称为力多边形法则。
图4.2在利用力多边形法则求平面汇互力系的合力时,根据矢量相加的互换律,任意变换各分力矢的作图次序,可得到形状不同的力多边形,但其合力矢仍然不变,如图4.2(d)所示。
综上所述,可得如下结论:平面汇互力系合成的结果是一个合力,其大小和方向由力多边形的封闭边来表示,其作用线通过各力的汇互点,即合力等于各分力的矢量和。
2建筑力学与结构(第3版)第二章平面力系的合成与平衡
第三节 平面一般力系
在平面力系中,若各力的作用线都处于同一平面内, 既不完全汇交于一点,相互间也不全部平行,此力系 称为平面一般力系(也称平面任意力系)。平面一般 力系是工程中很常见的力系,很多实际问题都可简化 成一般力系问题得以解决。
一、力的平移定理
作用在刚体上的一个力F,可以平移到同一刚体上的 任一点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原 力F对新作用点O的矩。这就是力的平行移动定理, 简称力的平移定理。
三、用几何法求平面汇交力系的合力
1.两个汇交力的合成
如图(a)所示,设在物体上作用有汇交于A点的两个力 F1和F2,根据力的平行四边形法则可求得合力R。用 作图法求合力矢量时,可以作图(a)所示的力的平行四 边形,而采用作力三角形的方法得到。
其作法是:选取适当的比例尺表示力的大小,按选定 的比例尺依次作出两个分力矢量F1和F2,并使二矢量
(3)主矢为零,主矩不为零。
(4)主矢与主矩均为零。
四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程
(一)平面一般力系的平衡条件
平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F'和主矩 MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇 交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一 定是平衡力系;反之,如果主矢F'和主矩MO中有一个 不等于零或两个都不等于零,则平面一般力系就可以 简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡。
F3的投影: X3=-F3•cos30°=-80×0.866=-69.28(N) Y3=F3•sin30°=80×0.5=40(N) F4的投影: X4=-F4•cos60°=-60×0.5=-30(N) Y4=-F4•sin60°=-60×0.866=-51.96(N) 二、合力投影定理
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
且在同一平面内，由平面力偶系的合成理论．其合力偶矩为
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
工程力学电子教案第二章
MO（FR）= FRd，力臂d=rcos a 所以MO（FR）= Fn ×rcos a=800 × 0.07 ×cos200N.m
重点：
=52.62N.m
（2） 挄合力矩定理求解 将力Fn分解成周向力Ft和
径向力Fr，则
MO（Fn）= MO（Ft）= + MO（Fr）= FRrcos a+0 =52.62N.m
（2） 力偶可以在其作用面内任意秱动和转动，而丌改
发它对物体的作用效应； （3） 只要保持力偶矩的大小和转向丌发，就可以同时 改发力偶中力的大小和力偶臂的长短，而丌改发力偶对刚体 的作用效应。
2、力偶系的合成不平衡 设在同一平面内有两个力偶(F1,F1′），（F2，F2′），它们
重点：
的力偶臂分别为d1、d2。图2-18所示。力偶矩分别为
FBC=1.366P=13.66kN FAB为负值，说明假设方向不实际方向相反。
2.2 力矩及平面力偶系的平衡 2.2.1 力矩及合力矩定理
重点：
1、力矩的概念：平面内力F使物体绕点O转动的效应。
用MO（F）表示。 MO（F）= ±Fd
力矩
d表示力F作用线不O点的垂直距离，称为F的力臂。O为
矩心。 规定：力使物体绕矩心逆时针转动时叏正号，顺时针叏负号。
转动效应，称为力偶矩。 M（F,F′）= ±Fd；戒简写M= ±Fd
重点：
规定：力偶矩逆时针为正，顺时针为负。
单位为N.m 等效力偶：作用在同一平面内的两个力偶，它们的力偶
掌握力偶矩、
等效力偶概 念
矩大小相等、转向相同，即为等效力偶。
结论：（1） 力偶在其作用面内任一坐标轴上投影的代 数和等于零，因而力偶没有合力；
例2-1 起重
第2章 平面力系的合成与平衡
F BC
B
F TBD
15° 15°
30°
30°
kN，BC杆受拉力为309°.65 kN。
求合力矢的几何作图法称为力多边形法则
必须注意:
1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同 一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形 abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而 合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多 边形的封闭边。
2.若改变各分力矢的合成次序，则绘出的力 多边形的形状亦会随之改变，但不会影响合 力FR的大小和方向。
FD
量得：FC=28.3 kN FA=22.4 kN
平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式
Fy
y
Fy A j Oi
F
Fx
Fx
B x
y
B
F
Fx Fy
F F
cos cos
A
O Fx
力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正 向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角 时，其值为负。
1115N
F 1=600N
1
合力方向:
O1
x
tan FRy 426 0.4136
60°
FR
F3=500N F2=700N
FRx 1030
22.5
2.2.3 平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合 力矢FR等于零。
合力FR等于零，必须有FRx＝0、FRy＝0，即
Fix 0
Fiy 0
Hale Waihona Puke 平面汇交力系的平衡方程用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分 条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投影的 代数和分别等于零。
第二章 平面力系
第二章平面力系第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。
若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。
一、合成的几何法应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。
如图2-1-1-1所示。
图2-1-1-1若有n个力，则合力矢可以表示为F R = F 1 + F 2 +⋯+ F n = ∑ i=1 n F i二、平衡的几何法平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。
如图2-1-1-2所示。
若矢量表示即为F R =0图2-1-1-2第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即F x =Fcosθ; F y =Fcosβ力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。
如图2-2-1-2所示。
当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为F x = F x i; F y = F y i合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为F R = F x 2 + F y 2 , cos( F R ,i)= F x F R ; cos( F R ,j)= F y F R二、合成的解析法当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2cos( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R三、平衡的解析法力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即∑ F x =0; ∑ F y =0上式称为平面汇交力系的平衡方程。
工程力学 第二章
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
用力多边形的封闭边来表示汇交力系的合 力
力的多边形法则
平面汇交力系平衡的几何条件
平衡
FR 0
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的
几何条件是：该力系的力多边形自行封 闭.
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2
已知：碾子P=20kN，R=0.6m,
h=0.08m 求：
R
F
BP
h
A
1.水平拉力F=5kN时，地面对碾子的压力？
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点.
合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂
的力系.
F
AP
B
FA
FB
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
解得 F=11.55kN
例3 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
工程力学 第2版 第2章 平面力系的合成
平面汇交力系 பைடு நூலகம்主矢)
平面力偶系 (主矩)
➢ 结论
平面一般力系
➢ 合成 ① FR≠0,MO ≠0，此种情况利用力的平移定理还可以继续简化
为一个合力。
合力FR的大小等于原力系的主矢；合力FR的作用线位置d=MO/FR
② FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简 化结果就是合力，而合力的作用线恰好通过简化中心。
第2章 平面力系的合成
平面力系的合成
平面力系的分类 平面力矩和力偶
平面汇交力系的合成和平衡 平面一般力系的合成和平衡
2.1 平面力系的分类
平面汇交力系
平面力偶系
平面平行力系
平面一般力 系
2.2平面力矩和力偶
➢ 平面力矩
力对物体可以产生的运动效应：
移动效应--取决于力的大小、方向； 转动效应--取决于力矩的大小、方向。
M = m1 + m2 + ••• + mn = ∑mn
2.平衡条件 平面力偶系可合成为一个合力偶。若物体在力偶系的作 用下处于平衡状态，则必须满足合力偶矩等于零。 因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩
等于零。即
∑mn=0
2.3 平面汇交力系的合成和平衡
1 力在平面直角坐标轴上的投影
3 平面一般力系的合成步骤
①计算主矢的大小和方向。 ②选取一简化中心，计算主矩。 ③根据不同的简化情况，求出平面一般力系的合力。
4 平面一般力系的平衡条件
平面一般力系平衡的充分必要条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零 ，即合力为零。
Fx 0
Fy 0
M O (F ) 0
谢谢欣赏
③ FR=0,MO≠0，即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚体
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
解：M= m1+ m2+ m3+m4 =4×(－15 N·m)= －60 N·m
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
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6
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 四个力
将众多的力进行合成，最后形成一个合力，合 力作用线通过汇交点，大小和方向由各力的矢量和 确定。
7
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 五个力？
FR F1 F2 Fn Fi
Fx X
X F cos Y F sin 力的分量是夭量 F Xi x x
Y
i, j分别是x, y轴上的单位矢量
Fy Yj
18
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
力的解析表达式为:F
B
Xi Yj Fx Fy
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 F1对O点力矩：
1 M o ( F1 ) 2OAB 2 OA ob OA.ob 2
36
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 F2对O点力矩：
1 M o ( F2 ) 2OAC 2 OA oc OA.oc 2
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理：
y
F2
F3
F4
F 1
合力投影定理： 合力在任一轴上 的投影，等于各 分力在同一轴上 投影的代数和。
FR
a
同样有：
FRy Y1 Y2 Y3 Y4
22
b
c d e
x
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 请重点关注：
n
X
FRX Fc cos45 FA cos 0
0
FRY Fc sin 45 FA sin P 0
0
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-2] 已知 AC=BC= l , h , P .
解：
F
求 : FAC , FBC
x
0
A B C P FAC y FBC h
FBC cos FAC cos 0
FBC FAC
F
FAC FBC
y
0
h
FAC sin FBC sin P 0
P Pl 2 sin 2h
P
28
x
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-3] 已知如图P、Q， 求平衡时
解：研究球：
=？
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-1：
26
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-1： Y
FRx X i 0 i 1 n FRy Yi 0 i 1
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系的平衡条件：
F 0
i 1 i
n
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
i 1 i 1
n
n
FRx X i 0 i 1 n FRy Yi 0 i 1
n
25
第二章 平面力系的合成与平衡
FD Q - FT 2 sin Q-2 P sin 60 Q 3P
0
FT2 FT1
FD
30
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 一、力对点之矩 力对物体的运动效应，包括力对物体的移动和 转动效应，其中力对物体的转动效应用力矩来度量。 力矩是度量力对物体转动效应的物理量。
二、平面汇交力系平衡的几何条件 C 方法一：用尺直接量出BC、AC的长度 方法二：用三角函数计算出来 B
A
这两种方法称为汇交力系合成和平衡的
几何法
11
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
例2-1：
分析问题，可以从最简单的入手。
DC杆显然是个二力杆。
合力： FR F1 F2 Fn
F
n
投影： FRX X 1 X 2 X n
X
i 1 n
i 1
i 1
i
n
i
FRY Y1 Y2 Yn Yi
合力投影定理：合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
非正交坐标系情况如何？
在这个坐标系中，分量的
大小与投影的大小是不同 的，可以显著看出分量与 投影的区别。
必须注意的是：在没有专门说明的情况下，本课程使用
的坐标系是正交直角坐标系，也就是大家在中学学习的坐标 系！
20
第二章 平面力系的合成与平衡
X Y
2 2
Fy
A o
F
力的大小:F
Fx X
Fy 的大小是相同的 Y 与 Fx 、 X、 在正交坐标系中， 所以在解题时，在不同的教材上可能会出现混用的情况， 但不能影响运算的结果。
19
X 力的方向: cos(F , i ) F Y cos(F , j ) x F
Y
第二章 平面力系的合成与平衡
M o (F2 ) 2OAC OA.oc
M o ( FR ) 2OAD OA.od
M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 )
ob cd oc ob oc cd od
39
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 如果定理的证明没有搞懂， 请必须记住：
i 1
n
8
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
F 0
i 1 i
n
平面汇交力系 平衡的充要条 件
所有分力的合力为零！ 在几何法求力系的合 力中，合力为零意味着 力多边形自行封闭（各 分力首尾首接）。 平面汇交力系
平衡条件的另 一说法
9
23
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 请重点关注：
大小：FR
( X i ) ( Yi )
2 i 1 i 1
n
n
2
方向：t an
Y
i 1 n i 1
n
i
X
i
24
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理：
F 1
F2
F3
F4
FR Fi
i 1
4
FR
a b cd e 显然有： ab bc ce ed ad FRx X1 X 2 X 3 X 4
x
21
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
37
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 FR对O点力矩：
1 M o ( FR ) 2OAD 2 OA od OA.od 2
38
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明
M o ( F1 ) 2OAB OA.ob
二、平面汇交力系平衡的几何条件
几何法解题步骤：①选研究对象；
②画出受力图； ③作力多边形； ④求出未知数。
几何法解题不足： ①计算繁 ；
②不能表达各个量之间的函数关系。
16
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
B
已知有一个力F，现建立如图所示的 正交坐标系。
Fy
A o
F
Oy 方向可 F 沿正交轴Ox 、
Fx
Y
分解为两个分力
x
Fx
、 y
F
X
F 在正交轴上的投影分别为 X 、Y
17
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
B
力在轴上的投影与在轴方向的分量 有何区别？ 力的投影是标量
Fy
A o
F
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件 C 图解法求三角形的边长。 纯数学问题！ B
A
已知AB的长度 第二边BC与AB成角度
第三边AC与AB成角度 请问：用什么方法求出BC和AC边 的长度？
10
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
40
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 三、力矩与合力矩的解析表达式 力F作用与A点 ( x, y ) 方向如图 求F对O点之矩。 运用合力矩定理：
M o (F ) M o (Fx ) M o ( Fy )
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 四个力
将众多的力进行合成，最后形成一个合力，合 力作用线通过汇交点，大小和方向由各力的矢量和 确定。
7
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
一、平面汇交力系的简化 五个力？
FR F1 F2 Fn Fi
Fx X
X F cos Y F sin 力的分量是夭量 F Xi x x
Y
i, j分别是x, y轴上的单位矢量
Fy Yj
18
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
力的解析表达式为:F
B
Xi Yj Fx Fy
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 F1对O点力矩：
1 M o ( F1 ) 2OAB 2 OA ob OA.ob 2
36
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 F2对O点力矩：
1 M o ( F2 ) 2OAC 2 OA oc OA.oc 2
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理：
y
F2
F3
F4
F 1
合力投影定理： 合力在任一轴上 的投影，等于各 分力在同一轴上 投影的代数和。
FR
a
同样有：
FRy Y1 Y2 Y3 Y4
22
b
c d e
x
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 请重点关注：
n
X
FRX Fc cos45 FA cos 0
0
FRY Fc sin 45 FA sin P 0
0
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-2] 已知 AC=BC= l , h , P .
解：
F
求 : FAC , FBC
x
0
A B C P FAC y FBC h
FBC cos FAC cos 0
FBC FAC
F
FAC FBC
y
0
h
FAC sin FBC sin P 0
P Pl 2 sin 2h
P
28
x
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
[例2-3] 已知如图P、Q， 求平衡时
解：研究球：
=？
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-1：
26
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
例2-1： Y
FRx X i 0 i 1 n FRy Yi 0 i 1
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面汇交力系的平衡条件：
F 0
i 1 i
n
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
i 1 i 1
n
n
FRx X i 0 i 1 n FRy Yi 0 i 1
n
25
第二章 平面力系的合成与平衡
FD Q - FT 2 sin Q-2 P sin 60 Q 3P
0
FT2 FT1
FD
30
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 一、力对点之矩 力对物体的运动效应，包括力对物体的移动和 转动效应，其中力对物体的转动效应用力矩来度量。 力矩是度量力对物体转动效应的物理量。
二、平面汇交力系平衡的几何条件 C 方法一：用尺直接量出BC、AC的长度 方法二：用三角函数计算出来 B
A
这两种方法称为汇交力系合成和平衡的
几何法
11
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
例2-1：
分析问题，可以从最简单的入手。
DC杆显然是个二力杆。
合力： FR F1 F2 Fn
F
n
投影： FRX X 1 X 2 X n
X
i 1 n
i 1
i 1
i
n
i
FRY Y1 Y2 Yn Yi
合力投影定理：合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
非正交坐标系情况如何？
在这个坐标系中，分量的
大小与投影的大小是不同 的，可以显著看出分量与 投影的区别。
必须注意的是：在没有专门说明的情况下，本课程使用
的坐标系是正交直角坐标系，也就是大家在中学学习的坐标 系！
20
第二章 平面力系的合成与平衡
X Y
2 2
Fy
A o
F
力的大小:F
Fx X
Fy 的大小是相同的 Y 与 Fx 、 X、 在正交坐标系中， 所以在解题时，在不同的教材上可能会出现混用的情况， 但不能影响运算的结果。
19
X 力的方向: cos(F , i ) F Y cos(F , j ) x F
Y
第二章 平面力系的合成与平衡
M o (F2 ) 2OAC OA.oc
M o ( FR ) 2OAD OA.od
M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 )
ob cd oc ob oc cd od
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 如果定理的证明没有搞懂， 请必须记住：
i 1
n
8
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件
F 0
i 1 i
n
平面汇交力系 平衡的充要条 件
所有分力的合力为零！ 在几何法求力系的合 力中，合力为零意味着 力多边形自行封闭（各 分力首尾首接）。 平面汇交力系
平衡条件的另 一说法
9
23
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 请重点关注：
大小：FR
( X i ) ( Yi )
2 i 1 i 1
n
n
2
方向：t an
Y
i 1 n i 1
n
i
X
i
24
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理：
F 1
F2
F3
F4
FR Fi
i 1
4
FR
a b cd e 显然有： ab bc ce ed ad FRx X1 X 2 X 3 X 4
x
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明 FR对O点力矩：
1 M o ( FR ) 2OAD 2 OA od OA.od 2
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 二、合力矩定理 定理的证明
M o ( F1 ) 2OAB OA.ob
二、平面汇交力系平衡的几何条件
几何法解题步骤：①选研究对象；
②画出受力图； ③作力多边形； ④求出未知数。
几何法解题不足： ①计算繁 ；
②不能表达各个量之间的函数关系。
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
B
已知有一个力F，现建立如图所示的 正交坐标系。
Fy
A o
F
Oy 方向可 F 沿正交轴Ox 、
Fx
Y
分解为两个分力
x
Fx
、 y
F
X
F 在正交轴上的投影分别为 X 、Y
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
B
力在轴上的投影与在轴方向的分量 有何区别？ 力的投影是标量
Fy
A o
F
第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
二、平面汇交力系平衡的几何条件 C 图解法求三角形的边长。 纯数学问题！ B
A
已知AB的长度 第二边BC与AB成角度
第三边AC与AB成角度 请问：用什么方法求出BC和AC边 的长度？
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–1平面汇交力系的简化与平衡方程
M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
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第二章 平面力系的合成与平衡
§2–2力对点之矩与合力矩定理 三、力矩与合力矩的解析表达式 力F作用与A点 ( x, y ) 方向如图 求F对O点之矩。 运用合力矩定理：
M o (F ) M o (Fx ) M o ( Fy )