离散数学第五章
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离散数学第五章
第五章函数Function函数在数学、应用数学等许多领域，尤其计算机科学领域有着极其重要的作用。
函数的思想、概念和应用无处不在，无时不在。
它主要是研究变量之间的关系和规律。
函数的划分有很多种。
有线性与非线性之分、连续与离散之分。
例如，x12345…y357911…5.1 函数假定A，B是两个非空集合，f : A→B，称f为A到B上的函数，对每个a∈A, 有唯一的f(a)∈B, 记做b = f(a)。
函数也叫映射mappings或变换transformations（错误）a叫做函数f的自变量argument，b被称为因变量，b=f(a)叫做函数的值value，也叫a的像。
例1. A＝{1,2,3,4}, B={a,b,c,d},，则f是一个函数。
也可以简单记为，f={(1,a), (2,a), (3,d), (4,c)}另外,g={(1,a), (1,b), (2,a), (4,c)}因为对于1来说，1∈A, 不是唯一的f(1)∈B与之相对应,f(1)=a,并且f(1)=b, 因此g就不是一个函数。
例2．f：Z→Z，f(a)=f是函数。
例3．恒等函数1A(a)=a是函数。
正如，我们在第四章里表述的，函数f : A→B，b=f(a), 是一个特殊的二元关系，我们知道，由函数f可以确定一个关系，简单地，可以表示为(a,b)∈，或 ab。
关系的特征函数为或者简记为因此，这样一来，我们以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数来说，就可以完全适用。
例如，f：A→B, g：A→B,函数的复合设f：A→B，g：B→C，是函数，则g◦f：A→C，是函数。
g◦f（a）＝g(f(a))例4．函数的复合设f，g都是整数函数，f(a)=a+1, g(b)=2b.则g◦f (a)=2(a +1) 是整数集到偶数集的函数。
f◦g(a)=2a＋1也是整数集到奇数集的函数。
特殊函数Special Type of Functions设f是从A到B的一个函数，如果Dom(f)=A，则称f是处处有定义everywhere defined；如果 Ran(f)=B，则称f是满射；如果对于集合A中两个不同的元素a和b，有f(a)≠f(b), 则称f是单射，即a≠b f(a)≠f(b), 或f(a)=f(b) a=b；例5. A＝{1,2,3,4}, B={a,b,c,d}, f={(1,a), (2,a), (3,d), (4,c)}f是一个函数，但是f既不是单射，也不是满射。
离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学课件(第5章)
的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响， 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生，则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集，表示两个关系中都存 在的关联；关系的交运算是指两个关系的交集，表示同时 存在于两个关系的关联；关系的差运算是指两个关系的差 集，表示存在于一个关系但不存在的关联；关系的逆运算 是指一个关系的逆关系，表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换，以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合，而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发，经过一系 列的边和节点，最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中，所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径，即起点和终点相同的路径。在图论 中，回路的概念非常重要，因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B)，即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ，它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
离散数学 第五章 无限集合
那么Fk包括所有这样的函数, 其象是包含在B的枚举的前k个元素
组成的集合中; |Fk|=kn。 因为A是有限的, 对每一函数f:A→B存在某
m∈N, 如果取k＞m, 那么f∈Fk; 所以
。 但每一集合Fk
是有限的因而BA是可数的。证毕。
5.1.3 基数c
不是所有无限集都是可数无限的, 下一定理说明需要新的无 限集基数。
。
(b) 设Σ={a,b}, S是Σ上以a带头的有限串集合, 考虑S的基数。 因为
f: Σ*→S, f(x)=ax
是一个双射函数。所以, |S|=|Σ*|=
。
第一个定理叫做三歧性定律。
定理5.2-2(Zermelo) 成立:
A和B是集合,那么下述情况恰有一个
N所
属等价类的名称。
(ii) 要证明一个集合S有基数α, 只需选基数为α的任意集合S′, 证明从S到S′或从S′到S存在一双射函数。选取集合S′的原则是使 证明尽可能容易。
例1 (a) 设E是正偶数集合, 考虑E的基数。因为
f: I+→E, f(x)=2x
是从I+到E的双射函数, 所以, |E|=|I+|=
(b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。这两个集合的不同仅在于区间 的两端点; 为了构造从［0,1］到(0,1)的一个双射函数, 我们必须 在(0,1)中找出0和1的象而保持映射是满射的。定义集合A是
, 定义映射f如下:
图 5.1-4
(c) ｜R｜=c。 我们定义一个从(0,1)到R的双射函数如下:
是Ai的枚举; 如果Ai是有限的我们用无限重复枚举。如果Ai= ,
我们置第i行等于第i-1行。这样, 数组包含所有A的元素而无其它
元素。A元素的一个枚举由图5.1-3中的有向路径指定。 从定理
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
离散数学课件第5章 无限集合
(a ) | I + |= S \
S 0
函数f: N→I+, f(x)=x+1是一双射函数。
S (b) | I |= S \ 0
x 2 函数f: N→I , f ( x ) = − x + 1 2
是一双射函数。
当x是偶数时 当x是奇数时
第五章 无 限 集 合 定义5.1-4 定义 如果存在从N的初始段到集合A的双射函数, 则称
3( n + 1), 如果n是偶数. f (n) = 3( n − 1), 如果n是奇数.
第五章 无 限 集 合 定理5.1-3 一个集合A是可数的当且仅当存在A的枚举。 定理 证 必要性。 如果A是可数的, 那么根据定义, 存在一从N的初 始段到A的双射函数, 这证明了存在A的枚举。 充分性。我们考虑两种情况: 情况1 如果A是有限的, 那么根据有限集合的定义和可数集合的 情况 定义, A是可数的。 情况2 情况 假设A不是有限的而f是A的枚举。枚举f必须以N的全集 作为它的前域。如果f是双射函数, 那么根据可数无限集合的定义, A 的基数是 S 而A是可数的。 如果f不是双射函数。利用下述办 | A |= S \ 0 法, 根据枚举f构造一个从N到A的双射函数g, 以证明A是可数的。
第五章 无 限 集 合 定理5.1-6 如果A是有限集合, B是可数集合, 那么BA是可数的。 定理 证 若A是空集, 则|BA|=1, 是可数的; 若A非空, 而B有限(包括是? 空集), 则|BA|=|B||A|有限, 因而是可数的。剩下只需证明｜A｜=n＞0, 且B是可数无限的情况。设B的无重复枚举函数是g: N→B, 对每一 正整数k∈N定义集合Fk如下:
第五章 无 限 Βιβλιοθήκη 合5.1 可数和不可数集合
离散数学第5章_函数
第5章 函数
证明 f和ρf的图示如图5 ― 2所示。 1) 任取a∈A， 有f(a)＝f(a)， 所以 (a， a)∈ρf， 故ρf自反； 任取a， b∈A， 若(a， b)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， 所以 f(b)＝f(a)， 即(b 任取a， b， c∈A， 若(a， b)∈ρf， (b， c)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， f(b)＝f(c) ， 所以 f(a)＝f(c)， 即(a， c)∈ρf； 故ρf传递。 综上ρf是A上的等价关系。
第5章 函数
任取b∈Rf， 由Rf的定义， 有a∈A， 使f(a)＝b， 即有［a］∈A/ρf， 使得 g(［a］)＝f(a)＝b。 所以 g是满射。 综上g是双射。 定义 5.1 ― 5 恒等关系IA＝｛(a， a)|a∈A｝是A 到A的双射， 它称为A上的恒等函数。 定义 5.1 ― 6 若函数f： A→B， 对一切a∈A， 都 有f(a)＝b， b∈B， 则f称为常函数。
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f： A→B， g： C→D， 若 有A＝C、 B＝D且对所有的x∈A， 有f(x)＝g(x)， 则称 函数f和g相等， 记为f＝g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA， 即 BA＝｛f|f： A→B｝
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|＝|B||A| 证明 设|A|＝m， |B|＝n（m， n∈Ｎ）； 又设A＝｛a1， a2， …， am｝。 因为 Df＝A，所以 f＝｛(a1， f(a1))， (a2， f(a2))， …， (am ， f(am))｝。 而每个f(ai)（i∈Ｎm）都有n种可能， {n·n·…·n } ＝n +m个 m个即 |BA|＝|B||A|
离散数学讲义(第5章)
1
第三篇
代数系统
2
代数系统
由集合上定义若干个运算而组成的系统 称为代数系统。 代数系统在计算机上有着广泛应用。
3
第五章
代数结构
4
第五章 代数结构
本章包括以下内容：
5-1 代数系统的引入 5-2 运算及其性质 5-3 半群 5-4 群与子群
5-5 阿贝尔群和循环群
5-7 陪集与拉格朗日定理 5-8 同态与同构 5-9 环与域
26
5-3 半群（续）
例1：设集合Sk={x|x Z x k}，k 0，则〈Sk，+〉 是一个半群。其中+为普通加法运算。 例2：设S={a，b，c}，在S上的一个二元运算▣定义如 下表，则〈S，▣〉是一个半群。 ▣ a b c a b c
a a a
b b b
c c c
证明：由表可见运算▣是封闭的，并且a, b, c都是左幺 元，因此对任意的x, y, z S，都有 x▣(y▣z) = x▣z = z = y▣z = (x▣y)▣z 即〈S，▣〉是一个半群。
5
5-1 代数系统的引入
封闭运算
对集合中元素运算的结果都在原集合中，具有这种 特征的运算是封闭的，简称闭运算。没有这种特征的运 算是不封闭的。
例如下表：二元运算 ，就是集合{一角硬币，二角五分硬币}上的 不封闭运算。
一角硬币
二角五分硬币
一角硬币 橘子水
可乐
二角五分硬币 可乐
冰激淋
定义：对于集合A，一个从An到B的映射称为集合A上的 一个n元运算。如果B A，则称该n元运算是封 闭的。
定理：设〈A，〉是一个代数系统，且集合A中的元素个 数大于1，如果该代数系统中存在幺元e和零元q ， 则q e。
离散数学 第五章
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
离散数学第五章
(3)如果Z中的一个元素 θ,它既是左零元,又是右零元,则 称θ为Z中关于运算*的零元.对于任意x∈Z,有θ*x=x*θ=θ
现在学习的是第17页，共72页
§2运算及其性质
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零
元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的.
证明：方法同幺元。 例：
（1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。
∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例：
（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；对而言, e =（空集）；
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
上的封闭运算。
现在学习的是第8页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS 有xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者 说在S上满足交换律）。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何 a ,b I,ab a b (a b )
其中的 +， 分别表示数的加法和乘法。
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴★是满足结合律的
现在学习的是第10页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是可分 配的（或称对满足分配律）。
现在学习的是第17页，共72页
§2运算及其性质
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零
元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的.
证明：方法同幺元。 例：
（1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ；
e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。
∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例：
（1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）；对而言, e =（空集）；
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。
上的封闭运算。
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§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS 有xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者 说在S上满足交换律）。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何 a ,b I,ab a b (a b )
其中的 +， 分别表示数的加法和乘法。
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴★是满足结合律的
现在学习的是第10页，共72页
§2运算及其性质
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）；
（y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是可分 配的（或称对满足分配律）。
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
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5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
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第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学_第5章_代数系统(学生用)
2013-7-31
离散数学
22
吸收律
定义5-2.5：设<A, *,△>，若x,y,zA, 有x*(x△z)=x称运算*满足吸收律； 有x△(x*y)=x称运算△满足吸收律。 【例】 N为自然数集, x,yN，x*y=max{x,y}，x△y=min{x,y}， 试证：*，△满足吸收律。 证明： x,yN，x*(x△y)=max{x,min{x,y}}=x ∴ *满足吸收律 x,yN，x△(x*y)=min{x,max{x,y}}=x ∴ △满足吸收律。
离散数学
24
【例】设ρ(s)是集合S的幂集，在ρ(s)上定义的两个 二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩，验证∪,∩满足幂等律。
证明：对于任意的A∈ρ(s)，有A∪A=A和A∩A=A，
因此运算∪和∩都满足等幂律。 【例】普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法 的幂等元（0+0=0），0和1是乘法的幂等元（ 0*0=0且1*1=1）。
2013-7-31
离散数学
9
例：以下哪些运算是封闭的？
(1) 自然数集合N上的减法运算。 不封闭
(2) 整数集合I上的除法运算。 不封闭
(3) 设A={1,2,3,…,10},二元运算x*y=质数p的个数，
使得x ≤p≤y。 不封闭，当x=y=4时，x与y之间的质数个数为0， 而0不属于A集合。
2013-7-31 离散数学 26
特殊元素
在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它们 对于系统的一元或二元运算起着重要的作用。 例：<Z,+>中的+运算有单位元0。 例：矩阵乘法运算中的单位矩阵。 将这些特殊元素作为代数系统的性质进行讨论， 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数 常数。
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
离散数学第5章
19
练习:
3.已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满 射,h是单射,求证g是单射.
20
证明3:已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满射,h是单射. 求证g是单射.
证:假设 不是单射 假设g不是单射 假设 不是单射, 1.则存在y1≠y2,而 g(y1)=g(y2); 2.而f是满射,每个y都一定有对应的x,所以对于y1 和y2 必存在y1=f(x1), y2=f(x2) 2, 3.y1≠y2 所以f(x1)≠f(x2),所以x1≠x2 ; 4.h(x1)=g(f(x1))=g(y1) h(x2)=g(f(x2))=g(y2) 所以h(x1)=h(x2) 对于不同的x,h函数具有相同值, 显然就不是单射了,与已知条件矛盾! 所以原假设不成立! 所以原假设不成立!
一一对应
定义:集合X和Y间,存在从X到Y上的双 射,则称集合X和Y一一对应 一一对应. 一一对应 集合X和Y一一对应,则:
映射的条件 单射的条件 满射的条件
1.X中每个元素在Y中有唯一 象. 唯一的象 唯一 2.X中不同元素 象各不相同 不同元素的象各不相同. 不同元素 3.Y中每个元素在X上都有原象 原象. 原象
13
实例
判断从{a,b,c,d}到{1,2,3,4,5}是否一一 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? 对应. 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? f为:f(a)=4, f(b)=5,f(c)=1,f(d)=3 不是一一对应的关系.虽然是单射,但 不是满射.所以不是双射.所以不是一 一对应的关系.
14
23
反函数的性质
也是双射函数. 是双射的, 也是双射函数 定理 设 f:A→B是双射的 则f 1:B→A也是双射函数 : 是双射的 是函数, 是关系, 证 因为 f 是函数 所以 f 1 是关系 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 假设有x 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有 1, x2∈A使得 ∈ 使得 <y,x1>∈f 1∧<y,x2>∈f 1 ∈ ∈ 成立, 成立 则由逆的定义有 <x1,y>∈f∧<x2,y>∈f ∈∧ ∈ 从而证明了f 是函数, 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了 1是函数,且是 满射的. 的单射性. 满射的 下面证明 f 1 的单射性 若存在 y1, y2∈B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 <y1,x>∈f 1∧<y2,x>∈f 1 ∈ ∈ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2 ∈∧ ∈
练习:
3.已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满 射,h是单射,求证g是单射.
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证明3:已知:f:X→Y, g:Y→Z, h= gf , f是满射,h是单射. 求证g是单射.
证:假设 不是单射 假设g不是单射 假设 不是单射, 1.则存在y1≠y2,而 g(y1)=g(y2); 2.而f是满射,每个y都一定有对应的x,所以对于y1 和y2 必存在y1=f(x1), y2=f(x2) 2, 3.y1≠y2 所以f(x1)≠f(x2),所以x1≠x2 ; 4.h(x1)=g(f(x1))=g(y1) h(x2)=g(f(x2))=g(y2) 所以h(x1)=h(x2) 对于不同的x,h函数具有相同值, 显然就不是单射了,与已知条件矛盾! 所以原假设不成立! 所以原假设不成立!
一一对应
定义:集合X和Y间,存在从X到Y上的双 射,则称集合X和Y一一对应 一一对应. 一一对应 集合X和Y一一对应,则:
映射的条件 单射的条件 满射的条件
1.X中每个元素在Y中有唯一 象. 唯一的象 唯一 2.X中不同元素 象各不相同 不同元素的象各不相同. 不同元素 3.Y中每个元素在X上都有原象 原象. 原象
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实例
判断从{a,b,c,d}到{1,2,3,4,5}是否一一 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? 对应. 是单射吗? 是满射吗? 是双射吗? f为:f(a)=4, f(b)=5,f(c)=1,f(d)=3 不是一一对应的关系.虽然是单射,但 不是满射.所以不是双射.所以不是一 一对应的关系.
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23
反函数的性质
也是双射函数. 是双射的, 也是双射函数 定理 设 f:A→B是双射的 则f 1:B→A也是双射函数 : 是双射的 是函数, 是关系, 证 因为 f 是函数 所以 f 1 是关系 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 假设有x 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有 1, x2∈A使得 ∈ 使得 <y,x1>∈f 1∧<y,x2>∈f 1 ∈ ∈ 成立, 成立 则由逆的定义有 <x1,y>∈f∧<x2,y>∈f ∈∧ ∈ 从而证明了f 是函数, 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了 1是函数,且是 满射的. 的单射性. 满射的 下面证明 f 1 的单射性 若存在 y1, y2∈B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 <y1,x>∈f 1∧<y2,x>∈f 1 ∈ ∈ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2 ∈∧ ∈
离散数学屈婉玲第五章_2022年学习资料
离散数学-实例-例1将下面命题用两种形式符号化，并证明两者等值：-1没有不犯错误的人-解令Fx:x是人，G :x犯错误.-3xPFxA一Gx-或-VxFx→Gx--3xFxΛ Gx-台xFxAGx-量词否定等值式-台 xFxVGx-置换-台VxFx→Gx-6
离散数学-实例-2不是所有的人都爱看电影-解令Fx:x是人，Gx:爱看电影.-一xFx→Gx或3xFxAx-台3xFx→Gx-量词否定等值式-台3x一（一FxVGx-置换-台3xFxAGx-7
离散数学-练习2-2.求下述公式的前束范式：-VxFx->yGx,yHx,y-解使用换名规则，-VxFxyGxyHxy-台VzFz→]yGxyHx,y-台3zFZ→]yGxyHxy-yF>Gx,yHx,y-使用 替规则-台VxFx→]yGzyHzy-台3xFx→]yG亿yH亿y-→3x3yFx→GkyHZy-18
离散数学置换规则、换名规则、代替规则-1.置换规则-设A是含A的公式，那么，若A台B,则A台B.-2.换名 则-设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束-出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A',则A'台A.-3.代替规则-设A为一公式，将A中某个个体变项的 有自由出现用A中-未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得-5
离散数学-实例-例3设个体域D={a,b,ch,消去下述公式中的量词：-1x3yFx→Gy-解x3yFx→ y-→3yFa→GyA3yFb→GyA3yFc→Gy-→F@→GavF@→GbvFa-→Gc-AFb→Ga vFb→GbvFb→Gc-AFc→G@vFc→GbvFc→Gc-9
离散数学-实例-解法二-Vx3yFx→Gy-台VxFx→3yGy-辖域收缩等值式-台xFx→G@vGbvG -台Fa→GvGbvGc-Fb->GavGbvGc-Fc>GavGbvGc-10
《离散数学》第5章 代数系统简介
x ( x) 0, ( x) x 0 .
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立， 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 （1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ， （2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ， 就称运算 满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律； b c a b a c a ， 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足， 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则
5、 设 是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的 ，或 者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个 二元运算如下：
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立， 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 （1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ， （2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ， 就称运算 满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律； b c a b a c a ， 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足， 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则
5、 设 是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的 ，或 者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个 二元运算如下：
离散数学第五章 函数与基数
24
2010-11-3
定 义 5.3.1 f 函数。 定 理 5.3.5
设 f:A→B 是 双 射 函 数 , 称
-1:B→A是f的逆函数,习惯上常称f-1 为f的反
设 f:A→B 是 双 射 函 数 , 则
f -1 ° f=IA，f ° f-1=IB 定理5.3.6 若f:A→B是双射,则(f-1)-1=f。
25
2010-11-3
5.4
基
数
1．基数定义 首 先 选 取 一 个 “ 标 准 数的定义如下：
26
2010-11-3
定义5.4.1 设A是集合，若f:Nn→A为双射函 数，则称集合A是有限集，A的基数是n，记为 |A|=n，或card A=n。若集合A不是有限的，则 称A是无限集。 本定义表明了，对于有限集合A，可以用 “数”数的方式来确定集合A的基数。 定理5.4.1 自然数集合N是无限集。 为了确定某些无穷集合的基数，选取第二 个“标准集合”N来度量这些集合。
3
2010-11-3
从本定义可以看出，从A到B的函数f和一 般从A到B的二元关系之不同有以下两点： ① A的每一元素都必须是f的有序对的第一 分量。 ② 若f(x)=y，则函数F在x处的值是唯一的， 即 f(x)=y∧f(x)=z⇒y=z
4
2010-11-3
定义5.1.2 设f:A→B，g:C→D，若A=C， B=D，且对每一x∈A都有f(x)=g(x)，则称函数f 和g相等，记为f=g。 本定义表明了，两函数相等，它们必须有 相同的定义域、陪域和有序对集合。
1
2010-11-3
5.1 函数基本概念
函数也常称为映射或变换，其定义如下： 定义5.1.1 设A和B是任意两个集合，且f 是从A到B的关系，若对每一个x∈A，都存在唯 一的y∈B，使‹x,y›∈f，则称f为从A到B的函数， 并 记 作 f:A→B 。 A 称 为 函 数 f 的 定 义 域 ， 即 D(f)=A，B称为函数f的陪域，R(f)称为函数f的 值域，且R(f)⊆B。有时也用f(A)表示函数f的值 域，即
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• 二元运算的性质
1.算律: 设 为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x, 则称运算在S上满足交换律.
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结 合律. (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称 运算在S上满足幂等律.
4.群的性质 (1)群的幂运算规则 设G为群,则G中的幂运算满足： 1) a∈G,(a-1)-1=a. 2) a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1. 3) a∈G,anam=an+m,n,m∈Z. 4) a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z. 5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.
设 和 为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z= (x z) (y z)和z (x y)=(z x) (z y),则称 运 算对 运算满足分配律.
(2)如果 和 都可交换,并且对于任意的 x,y∈S有x (x y)=x和x (x y)=x,则称 和 运算满足吸收律.
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S 的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级 并和初级交.
(6) S为集合, SS为S上的所有函数的集合, 则函数的集合运算 为SS上的二元运算.
• 一元运算
1. 定义: 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一 个一元运算,简称为一元运算. 2. 例: (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集 合Q和实数集合R上的一元运算. (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非 零实数集合R*上的一元运算.
3.真子代数 任何代数系统V=<S,f1,f2,…,fk>,其子代数一定 存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且 B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成 了V的最小的子代数. 这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子 代数. 若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的 真子代数.
(3)例: a) 设R为实数集合,如下定义R上的二元 运算*： 任意x,y∈R,x*y=x.计算 3*4, (-5)*0.2,0* 1/2.
解：3*4=3,(-5)*0.2=-5,0*1/2 =0
b)设S={1,2},给出P(S)上的运算~和 的运算 表,其中全集为S.
解：所求的运算表如下.
(4). 设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂.
如:<Z,+>中有 3-5=(3-1)5=(-3)5=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15.
(5).设G是群,a∈G,使得等式 ak=e成立的最小 正整数k称为a的阶,记作|a|=k,这时也称a为k 阶元.若不存在这样的正整数k,则称a为无限 阶元. 如:<Z6,+ >中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是 6阶元,0是1阶元. <Z,+>中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元. Klein四元群中e为1阶元,其它元素都是2阶元.
• 例: 下表给出了某些常见代数运算的性质,其 中Z、Q、R分别代表整数集、有理数集、实 数集,Mn(R)表示n(n≥2)阶实矩阵的集合,AA是 所有从A到A的函数的集合.
2.特异元素：单位元、零元和逆元 设*为S上的二元运算, (1) 如果存在el（或er）∈S,使得对任意 x∈S都有el * x=x (或x * er =x),则称el (或er )是 S中关于 * 运算的左(或右)单位元.若e∈S关于 运算既是左单位元又是右单位元,则称e为S上 关于 运算的单位元.单位元也叫做幺元. (2) 如果存在θl（或θr）∈S,使得对任意 x∈S都有θl * x= θl (或x *θr = θr ),则称θl (或 θr )是S中关于 运算的左(或右)零元.若S关于* 运算既是左零元又是右零元,则称θ为S上关于 运算 的零元.
所以el=er,将这个单位元记作e.假设e＇也是S 中的单位元,则有e＇=e * e＇=e.唯一性得证.
定理5.2 设*为S上可结合的二元运算,e为该运 算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右 逆元yr,则有yl = yr= y，且y是x的唯一的逆元. 证： 由 yl* x = e 和 x * yr = e 得 yl = yl * e = yl * (x*yr) = ( y l * x )* y r = e * y r = y r 令yl = yr = y,则y是x的逆元.假若y' ∈S也是x的 逆元,则 y'= y' * e = y' * (x * y) = (y' * x)* y = e * y = y 所以y是x唯一的逆元.
• 子代数系统 定义: 设V=< S,f1,f2,…,fk >是代数系统,B是S的非 空子集,如果B对f1, f2,…fk 都是封闭的,且B和 S含有相同的代数常数,则称< B,f1,f2,…fk >是 V的子代数系统,简称子代数.有时将子代数 系统简记为B. 1. 实例:N是<Z,＋>的子代数,因为N对加法运 算＋是封闭的.N也是<Z,＋,0>的子代数,因 为N对加法运算＋是封闭的,且N中含有代数 常数0.N-{0}是<Z,＋>的子代数,但不是<Z, ＋,0>的子代数,因为<Z,＋,0>的代数常数0 不属于 N－{0}.
例:说明*运算是否满足交换律,结合律,幂等律 并求出单位元,零元和所有可逆元的逆元. 设Q是有理数集合,*运算定义如下: 任意x,y ∈S,x*y=x+y-xy. 解:满足交换律,结合律,不满足幂等律.单位元0, 零元1, x不为1时可逆,逆元x-1=x/(x-1).
• 代数系统
1. 定义:非空集合S和S上k个一元或二元运算 f1,f2,…fk组成的系统称为一个代数系统,简 称代数,记做< S, f1, f2,…, fk >.
(3) 令e为S中关于运算* 的单位元.对于x∈S,如果 存在yl（或yr）∈S使得yl * x=e（或x * yr =e）, 则称yl (或yr )是x的左逆元(或右逆元).若y∈S既 是x的左逆元又是x的右逆元,则称y为x的逆元.如 果x的逆元存在,就称x是可逆的.
例:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
性质:
定理5.1 设 * 为S上的二元运算,el和er分别为S 中关于运算的左和右单位元,则el=er=e为S上 关于 运算的唯一的单位元. 证： el = el* er e l* e r = e r (er为右单位元) (el为左单位元)
(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的 一元运算. (4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合 的绝对补运算~是P(S)上的一元运算. (5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合, S A S ,则求一个双射函数的反函数为A上的 一元运算. (6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个 矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.
2. 实例: <N,＋>,<Z,＋,· >,<R,＋,· >都是代数系 统,其中+和· 分别表示普通加法和乘法.
<Mn(R),＋, · >是代数系统,其中＋和 · 分别表示n阶 (n≥2)实矩阵的加法和乘法. <Zn, , >是代数系统,其中Zn＝{0,1,…,n-1}, 和 分别表示模n的加法和乘法,任意 x,y∈Zn, x y=(x＋y)modn, x y=(xy)modn；
(4)<Zn, >为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n1}, 为模n加法.也为交换半群. (5)<AA, >为半群,也是独异点,其中 为函数的复 合运算. (6)<R*, >为半群,其中R*为非零实数集合, 运 x,y∈R*,x y=y 算定义如下：
二.群 1.定义:设<G, *>是代数系统, *为二元运算. 如果* 运算是可结合的,存在单位元e∈G, 并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则称 G为群. 2.实例
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z 上的二元运算,而除法不是. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上 的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非 零实数相加或相减可能得0.
(4) 设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的 集合,即
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元 运算.
第五章 代数系统(1/3)
• 二元运算
1. 定义:设S为集合,函数f：S×S→S称为S上 的二元运算,简称为二元运算. 2. 判断要点: (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算, 且运算的结果是唯一的. (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S, 即S对该运算是封闭的.
3.例: (1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二 元运算,但减法 和除法不是.
例: (1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半 群,+是普通加法.这些半群中除<Z+,+>外都是独异 点.也都是交换半群. (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),· > 都是半群,也都是独异点,其中+和· 分别表示矩阵加 法和矩阵乘法.前者为交换半群. (3)<P(B), >为半群,也是独异点,其中 为集 合的对称差运算.也为交换半群.
3.Klein 四元群 设G={a,b,c,e},· 为G上的二元运算,它由下表给出,不难 证明G是一个群.由表中可以看出G的运算具有以下 的特点：e为G中的单位元；运算是可交换的；G中 任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任 何两个元素运算的结果都等于另一个元素.称这个群 为Klein四元群,简称四元群.