平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析

耿素兰山西平定二中(045200 )

平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题

要注意正确运用相关知识，合理转化。

一、利用函数思想方法求解

uuu uuu

例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o

.如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu

为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中

y 的最大值是

C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)，

2 2

C(cos ,sin )

uuur

取最小值时，求 OQ.

uuu uuiu uuu

分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个

uju uuu uur

关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ.

分析：寻求刻画 解:设 AOC

umr Q

OC

uuu xOA

uuu yOB,

(cos ,sin

x 上 2

、3y 2

cos

sin

因此，当

cos

.3sin

2sin(

評

3)

。

3时，x y

取最大值

uuu UJU

例 2、已知 OA (1,7), OB

2。

uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB

uuu uuu 即

1

心)y(

^,

uur 解：设OQ uuu

xOP

uuu

(2x,x),(x 0)，则 QA

uuu

(1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)

uuu uuu

QAgQB (1 2x)(5 2x) (7 x)(1 x) 5x 2

20x 12 5(x 2)2

8

uu uuu uuur

当x 2时，QAgQB 取最小值-8，此时OQ (4, 2).

二、利用向量的数量积 m n |m n 求最值

例3、 ABC 三边长为a 、b 、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆 uru uru

在什么位置时，BPgCQ 有最大值。

a =

b

c ，

Q |c l b

l

所以当b 与c 同向时, r r r a 取最大值3 ；当b 与c 反向时, 取最小值1。

四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形 ^P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是 -

uur (A ) PP 2 UUJU

RP 3 (B )

uru r PP 2 urr r RP 4 urr (C ) PP 2 uuu r

PP 5

(

D

uuu

u RP 2 uuu

r PP 6

uuu

u 分析：平面向量数量积 uuiur unr uuui uuur PP 2gPP(i 1,2,3,4,5,6)的几何意义为PP z gPR 等于PP ?的长度与

,PQ 为直径，试判断 P 、Q

分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 uuu uuu BP uru uur uuu uuir AP,AC CQ AQ uuu

AP uur JJJ

BPgCQ

2

r 2

uuu (AP uur uuu ABgAC uuu uur ABgAC

urur uuu uru ABgAC AP

uur uuu urur AB)( AP AC) uuu uuu AP(AB uuu

uuu APgCB uuu CB

uuur AC) uuu 当且仅当AP uuu

与CB 同向时, uuu

uuu BPQQ 有最大值。 r r a b

分析：注意到 解：由条件知

r

r

r r .

r

r

a

b

a b

a

b

的最大值与最小值。

(a b) 1。 考虑用向量模的性质求解。

图2

2,b a 例4:已知 、利用向量模的性质 (cos ,sin ),求

求解

nur uuuu PP 在RP 2方向上的投影 RR cos( RP 2, PR

)的乘积。 uui r uuuu uuir 显然，由图可知,

uuu uuur

RP 3在RP 2方向

上的投影最大，故选（A ）。 例6、a 与

b 是两个夹角为1200

的单位向量，且 p+q=1 qb 的最小值是 urn 分析：如图3 ,设OA r uur r uuur a,OB b,OC pa r uiur uuu qb 贝U OC pOA (1 uni p)OB umr

uuu BC pBA 因此点C 在直线

pa qb 最小，其最小值为 AB 上，显然当0C AB 时, A