平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析耿素兰山西平定二中（045200）平面向量中的最值问题多以考查向量的大体概念、大体运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。

一、利用函数思想方式求解例一、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如下图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变更.假设,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,那么x y +的最大值是________.分析：寻求刻画C 点转变的变量，成立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的经常使用途径。

解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴成立直角坐标系，那么(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。

,OC xOA yOB =+13(cos ,sin )(1,0)(,)22x y θθ∴=+-即cos 23sin y x y θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。

因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。

例二、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故能够取得关于OQ 坐标的一个关系式，再依照QA QB 取最小值求.OQ 图 1解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，那么(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--22(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，现在(4,2).OQ =二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判定P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。

求解平面向量最值问题的几个措施

探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。

平面向量的最值问题研讨

平面向量的最值问题研讨平面向量的最值问题，看起来好像一大堆公式、符号堆砌出来的死板东西，其实它背后有着一种很有趣的“玩儿法”。

你想想，我们生活中的一切，都是通过一些力、方向、大小来相互作用的，不管是你手里拿着的手机，还是你坐的公交车，甚至是你走路的步伐，都可以用向量来描述。

向量，其实就是一个有大小和方向的东西，不多不少，正好符合我们生活中大多数“有量有力”的情况。

所以，平面向量的最值问题，咱们不妨想象成一种“最优解”的寻找：在给定的条件下，怎么才能找到最合适的那个值，让一切都尽可能完美。

咱们一开始可以从一个简单的例子聊起：你在平面上走来走去，忽然觉得走得有点累。

为什么呢？因为你没有找到最短的路径！你是不是也想过，咋不直接走直线呢？你看看，最短的路径就是你从一点到另一点的直线段，根本不需要绕弯路。

所以平面向量的最值问题，简单来说，就是如何在这些向量的组合和变化中找到“最短”或“最优”的方向和大小。

要不然，咱们在生活中可就得不停地绕圈子了。

这个最值问题其实特别贴合咱们的实际生活。

比如，想象你站在一个大广场的中心，四周有四个方向可以选择：东南西北。

你如果向北走，刚开始觉得离目的地好像不远，但慢慢地发现，根本不对劲，那个地方离北方远着呢。

于是你得调整方向。

可问题就在于，怎么知道该选择哪一个方向？怎么判断哪个方向能帮你走得最快，走得最远，或者说，走得最合适？这时候，向量就成了你最好的“导航仪”。

不信你看，假设你有两个向量，一个表示你从A点到B点的方向和距离，另一个表示你从B点到C点的方向和距离。

想要找出一个最优解——比如最快到达C点的路径，你就得对这两个向量进行组合。

组合的方式很多，可以是加法、减法、甚至是倍数的乘法。

看似很复杂，但其实它就是在试图找到那条“黄金路径”。

这种“黄金路径”就像咱们常说的“走一步看一步”，一步步通过数学计算，找到最合适的方向和速度。

最值问题往往不止一个解。

咱们可能会遇到一个“多解”的情况。

平面向量中最值问题的解法探究

平面向量中最值问题的解法探究作者：张磊梁芳来源：《速读·上旬》2020年第08期◆摘要：“平面向量的最值问题”在近几年高考中常以压轴小题的形式出现，题目难度较大，破解方法灵活多样。

通过对两道高考题进行“一题多解”与“多题一解”探究，归纳出解决此类问题的三大方法：坐标运算，几何作图与基底转换。

◆关键词：平面向量;最值问题;高考数学;方法平面向量是高中数学的重要知识模块，在近几年数学高考中，“平面向量的最值问题”是考试命题的热点之一，是试卷中选填部分壓轴题的常客，多为综合性强、难度较大的题目，学生往往对此束手无策。

一道题目的解法灵活多样，不同题目的解法殊途同归。

一题多解有利于培养学生的思维能力，多题一解有助于理解问题本质。

本文对两道经典高考题从不同的角度进行剖析，提炼归纳出解决“平面向量的最值问题”的三种方法，供读者参考。

一、问题呈现三、方法总结当遇到平面向量的最值问题时，可试从以下三种角度入手解决问题：方法1：坐标运算。

根据题目条件，合理建立平面直角坐标系，将平面向量“代数化”，把向量问题转化为坐标运算的代数问题，简化求解程序，降低解题难度。

方法2：几何作图。

抓住平面向量的两大特征——“方向”与“长度”，理解几何意义，运用几何知识，将平面向量“图形化”，巧用数形结合，快速破解问题。

方法3：基底转换。

准确恰当地选择基底向量，用基向量表示目标向量，将平面向量“标准化”，明确突破思路，提高解题效益。

这三种方法并非彼此孤立，读者在实际解题过程中应灵活运用，融会贯通，以有效提升“数学运算”“直观想象”“逻辑推理”等数学核心素养。

作者简介1.张磊（1994—），男，汉族，山西太原人，中央民族大学硕士研究生，主要从事数学教育研究。

2.梁芳（1970—），女，汉族，山西朔州人，中央民族大学副教授，博士，主要从事数学教育哲学研究。

专题二微重点8 平面向量的最值与范围问题

所以λt＋μt ＝1，即 λ＋μ＝t∈(0,1]. 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最
大值为
A.4
B.5
√C.6
D.7
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝ x＋12＋y2＝ 8x－4，当 x＝5 时， 8x－4取得最大值为 6，
跟踪演练3 已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝2，等腰△OCD 的顶点 C，D 在半圆弧A︵B上运动，且∠COD＝120°，点 P 是半圆弧A︵B上的动点，则P→C·P→D
的取值范围为
A.－34，34
B.－34，1
√C.－12，1
D.－12，12
以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建
12345678
5.(多选)已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋
b|的可能取值为
A.3
B. 10
√C. 13
√D.6
12345678
设e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a·e＝1得x1＝1，由b·e＝2得x2＝2，由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1，则|a＋b|＝ a＋b2＝ x1＋x22＋y1＋y22 ＝ 11＋y21＋y22≥ 11＋2y1y2＝ 13，当且仅当y1＝y2＝1时取等号.
∴1133－－λλ22＋－88－＋44λλ≥ ≥00，，∴－－71≤ ≤λλ≤ ≤35，， ∴－1≤λ≤3.

如何解答平面向量最值问题

x y
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，

1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画

a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19

因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，

y

所以 λBN = 2x BE + y BD ，

例析平面向量的最值问题的几种解法

高一使用2021年5月例析平面向量的最值问题的几种解法■刘长柏1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。

下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”—、基底法以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。

例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。

A.6B.7C.8D.9解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。

因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。

应选B。

评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。

利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。

练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。

提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。

二、坐标系法利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。

例2已知矩形ABCN,AB=2,AN= 1，点P,Q分别在边BC,CN上，且X PAQ= 45°,则A「P•A<Q的最小值是。

解：以A为坐标原点,AB^AN所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,如图1。

由AB=2,AN=1,可知点A(0,0), B(2,0),C(2,1),N(0,1)。

重难点突破：平面向量中最值问题全梳理

1
x2
1
cos 2
2x 4
1 2sin 2
1 x2 2x 2 4 1 x2 2x 4
，
4
4
设 t 1 x2 2x 4 1 (x 4)2 ，4Βιβλιοθήκη 4又PA PB
|
PA |2
cos 2
(t
1) (t
2)
t2
3
2
2 3, t
t
t
2, (PA PB)min
2
2
3,t
x
23
3 k 3
得：
；
Q
:
y
kx
3 3
x
23
3 k 3
得：
y
3 x 1
y
3k k
1 3
y
3 x 1
y
3k k
1 3
BQ
5 3
3 k
3k 3
,
3k k
1 3
,CP
5 3
3 k
3k 3
,
3k k
1
3
BQ CP
5
3 3k
B ，则 PA PB 的取值范围为（）
A．[3 , ) 2
B． [2
2 3, )
C． 2
2
3,
56 9
D．
3 2
,
56 9
【解析】 P(x, y) ，设 CPA CPB ,C(1,0),| PA|2| PC |2 1 (x 1)2 y2 1 1 x2 2x 4 4
sin
1 | PC |
9, (PA PB)max
56 9
PA PB
的取值范围为
2

由一道平面向量最值问题引发的思考

探索探索与与研研究究向量是既有大小又有方向的量.由平面向量的这种特殊性质可知，解答平面向量最值问题，可从数量关系和几何图形两个方面入手，寻找解题的思路.下面以一道平面向量最值问题为例，探讨一下解答此类问题的常规思路.例题：如图，在平面四边形ABCD 上，AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD =120°，AB =AD =1.若点E 为边CD 上的动点，求 AE ∙BE 的最小值.一、基底法基底法是解答平面向量问题的重要方法.在解答平面向量最值问题时，选择两个或三个已知的向量为基底，并根据向量的共线定理、基本定理，用这组基底表示出所求的向量，即可通过向量的加法、减法、数乘运算，利用向量的数量积公式、模的公式，求得问题的答案.解：令 DE =λ DC (0≤λ≤1)，由AD ⊥CD ,∠BAD =120°，AB =AD =1可得DC =3.则 AE = AD + DE = AD +λ DC ，BE = BA + AE = BA +AD +λ DC ，则 AE ∙ BE =( AD +λ DC )∙( BA + AD +λ DC )= AD ∙ BA +| AD |2+λ DC ∙ BA +λ2| DC |2=3λ2-32λ+32=3(λ-14)2+2116，所以当λ=14时， AE ∙ BE 取得最小值2116.我们根据题意很容易求得 BA 、 AD 、DC 的模长，于是采用基底法，设 DE =λDC ，以 BA 、 AD 、 DC 为基底，将向量 AE 、BE 表示出来，并求得这两个向量的数量积的表达式，即可通过配方，求得最值.二、利用极化恒等式极化恒等式是解答向量数量积问题的重要工具.在平行四边形ABCD 中，若 AD =a ,AB =b，由平行四边形法则可得 AC =a +b , DB =a -b，则|| AC 2=()a +b 2=a 2+2a b+b 2，|| DB 2=()a -b 2=a 2-2a b +b 2，将两式相减可得|| AC 2-|| BD 2=4a b ，即a ∙b =14[(a +b )2-(a -b )2].运用极化恒等式，可将平面向量数量积的最值问题转化为求两个向量或两条线段长的和差的最值，这样便使问题得以转化，我们可从另一个角度寻找解题的思路.解：设AB 的中点为F ，连接AF ，由极化恒等式得 AE ∙ BE = EA ∙ EB =| EF |2-| AF |2=| EF |2-14.由图可知，当EF ⊥CD 时，|| EF 最小，此时| EF |=54，所以AE ∙BE 的最小值为2116.运用极化恒等式，可将求 AE ∙BE 的最小值转化为求线段|EF |的最小值.运用极化恒等式解题，实质上是根据向量的平行四边形法则将问题转化为线段问题，再结合图形找到取得最值的特殊位置，即可得到答案.三、坐标法在解答平面向量最值问题时，可在图形中寻找或者求作垂直关系，建立平面直角坐标系，并用坐标表示各个点、各条线段，再进行向量坐标运算，即可求得目标式，这样便将问题转化为求代数式的最值.解：以DB 的中点为原点，DB 为x 轴建立平面直角坐标系，设E (x ,y )，则A (0,-12),BC (0,32)，D.因为点E 在CD 上，则 DE =λDC (0≤λ≤1)，可得点E 的坐标为-32y )，所以AE-32λ+12)，BE -3,32λ).所以 AE ∙ BE =34(4λ2-2λ+2)=3(λ-14)2+2116，则当λ=14时,AE ∙ BE 取最小值2116.在建立平面直角坐标系后，求得各个点的坐标，便将平面向量最值问题转化为向量坐标运算问题.再根据完全平方式恒大于或等于0的性质，即可求得最值.上述三种方法都是解答平面向量最值问题的重要方法，它们各有优缺点.在解题时，同学们要根据题目中的条件灵活选择以上方法.（作者单位：甘肃省临夏州移民中学）孔令春53Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

数学-平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题高中数学　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1　如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解　因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1　如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案　(－1,0)解析　由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2　在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案　C解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2　在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案　2918解析　根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3　向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案　32解析　|a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3　已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案　433解析　将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4　已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案　255解析　∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4　已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案　C解析　因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案　C解析　因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案　D解析　由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案　B解析　因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案　B解析　∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案　A解析　以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案　C解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案　9解析　根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案　2＋12解析　因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解　由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解　设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案　C解析　∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案　C解析　不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案　D解析　因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案　－4952解析　∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案　12解析　设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解　(1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。

解读平面向量最值问题

解读平面向量最值问题
才智东
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(000)022
【总页数】1页(P7-7)
【作者】才智东
【作者单位】河北承德实验中学
【正文语种】中文
向量不能比较大小,但它的模及数量积是数值,因此命题中常涉及模或数量积的最值问题.求此类最值问题主要是利用函数思想,将其化归为利用均值不等式或三角函数等知识求最值的形式.下面我们分类解读.
求2个向量和的模的最大值,问题本身是三角情境,所以此题实质考查三角函数最值的求法.
方法2 以A为原点、2直角边所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系.设B(c,0)、C(0,b),且|PQ|=2a, |BC|=a.
建立适当的平面直角坐标系,利用向量与点坐标的对应关系,将向量运算坐标化,使问题代数化,可有效降低思维难度.
例3 给定2个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图3所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若= x+y其中x、y∈R,则x+y的最大值是＿＿.
方法1 设∠AOC=α,则有。

平面向量中的最值问题及求解策略

37图4ab 于是，当a I 2解：由已知有I a + tb2 cos 2^ 三2 cos 202 sin 20例2 已知丨石丨=3, I ACI = 5,则丨呢丨的a + tb)1例 1 已知a = (2,1),6 = (1,2),要使 Ib I cos 。

+ I a I 22019年第6期中学数学研究平面向量中的最值问题及求解策略广东省深圳市南头中学(518052) 田彦武b I ，则z = % + y.于是问题转化为：已知x,y 满足 rX 2 + y 2 = 10,|1W%W3,求z 的最大值和最小值.1 W y W 3,不等式组所确定的区域直线的距离等于半径，即汀阿所以—6^\a + b\ +1 a-b\的最小值是4,最大值是2点.解法8：同解法3或解法6可得丨a + b\ +\a-b I = 丿5 + 4cos0 + /5 - 4cos0，设％ =/5 + 4cos0 ,y = /5 - 4cos0，贝Q x + y 2 = 10,且lW%W3,lWyW3,设z=l a + 6 I +1 a - b \，则z = % +y,下同法6用线性规划思想方法求解，略.最值问题，因为其题型的多样性，解决方法的灵活性和题目难度的综合性而受到高考的青睐，是高考考察的重点和热点问题.平面向量是高中数学教材中的新增内容，它的引入,不仅给高中数学教学带来了无限生机，而且给高考数学命题注入了新的活力，这是因为向量具有代数与几何形式的双重身份，它能将数学的很多知识联系起来，成为数学知识的一个交汇点•本文主要探讨平面向量中的最值问题，和大家共享.1.向量模的最值问题(t +■，所以当 f = - -时,1 a +tb \ 最小，且最小值为点评:本题利用向量模的定义及向量数量积的坐标运算，转化为关于t 的二次函数来求模的最小值.取值范围是_________•解：当為与花方向相同时，I BC\取最小值为2；当石与花方向相反时，I BC\取最大值为8,故I BC\的取值范围是[2,8],点评:本题利用模不等式I I a I -I 6 I I ^1 a -b \ ^\a\ +\b\来求最值,其中当：与了同向时，有\ a -b\ =\\a\ -\b\ \ ,即此时丨：-X 丨取得最小值；当a 与6反向时，有丨a - b \ = I a I +1 6 I,即此时丨a -b \取得最大值.例3已知了是两个给定的向量，它们的夹角为0,向量C 二a + tb(t w R),求I c I 的最小值,并求此时向量了与c 的夹角.解：因为 c = a + tb ,所以丨 c I 2 = I a + tb \ 2 =\ a \ 2 + 2ta • b + t 2 \ b I 2 =丨 b \2t 2 + 2t \ a I •遊=0,即 t = 一3 cose 时,I b 是图4中的劣弧忑,其中A(3,1),B(1,3).由图知当直线y 二_%+z 与直线4B 重合时，截距Z 二4最小；当直线y=-X + Z 与弧相切于点C时，截距z 最大，此时圆心到tb I 最小，则实数£的值为_________•=1 加(“3 cose ' + i ；|2I b38QO图24图即2.2aPQ\-\BCa • ba I I sin0 I ，此时有疋所以菇• CQ = (AP - AB) ■ (AQ - AC) = AP•AQ-AP-AC-AB-AQ-AB-AC = - a -AP -AC + AB - AP = - a +AP • (AB - AC)x , - y - b) ,BCcos (120° - aex - by .---- =^cx - by a2 +APOB = x OA • OB + y OB • OBQ( - x , - y),且丨 PQ I = 2a , I BC I = a,BP = (%c,y) ,CQ中学数学研究2019年第6期I c I 2取得最小值I a I 2 sin 20,即I c I 取得最小值¥ f v 严 I a I cos0 f 、 b ■ c = b ・(a — b )I b 1 a ' C °S0)b-b=\a\-\b\ cos 。

平面向量中最值、范围问题

平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】2795⎡-⎢⎣⎭【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622a c bb ac +-=≤=,从而02b <≤,所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++,又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,3532b -<≤,故27952BA BC -≤⋅<. (二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则222a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()222221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则()12OD OA OB =+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()()222221214a b λμ-+-=可得222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222211122DC a b λμ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则121222221122cos a b a bx y x y θ⋅==⋅+⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θθcos 45cos 210++=t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()'2fx x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3AB AC BAC π==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213||122AB AC AB =⋅-=--=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323cos sin ,sin x y θθθ=+=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363xy πθθθθθ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,,2,3666ππππθθ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当266ππθ-=-或7266ππθ-=即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()14BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())3,1,3,1A B ---,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则()()3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】()()22222244cos1202413a xb a xbx x x x x -=-=+-︒=++=++ ∴ 2a xb-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________．【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则()·OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时1MP BP +=,则： 2124MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭, 当且仅当12MP BP ==时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】6π9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.【答案】321【解析】试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 222-===γβαr r r .由题设可知0120===γβα,且2282=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值．【答案】94【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )41(4212-=-=⇒+==⇒+=AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x yx y x xMN ME 44114141// 49)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则mn 的最大值为．【答案】9【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以292()m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化,则实数a 的取值范围是． 33a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故)1(21cos 2a a ++=θ,注意到]12,0[πθ∈,故]1,426[cos +∈θ,即]1,426[)1(212+∈++a a ,解之得333a ≤≤；应填答案333a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则λμ+的最大值为__________．【答案】923+ 【解析】以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--3122{{3313122cos sin cos λαλμαλαμαα=+--=-⇒==-+,)13333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】7 【解析】向量,a b 夹角为,23b π=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得()222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即()0a a b ⋅-=,则()a b a -⊥,由向量,a b 夹角为,23b π=,由2cos3a ab a b π=⋅=⋅⋅,即有1a =,则2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2211337224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答7. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,因为BM CN BCCD=,所以33x b -=,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫⎪⎝⎭,故()8=1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以81193x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0-19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________．【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==,由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是．【答案】94-【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

微专题平面向量中最值问题归纳

平面向量最值问题总结题型一数量积的最值问题例题1：平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅最小值是______分析：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可【解析】如图建系可得：()()1,,2,a a b b ==由2a b -=()223a b=⇒-=而2a b ab ⋅=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=⇒=-(225522244a b a a a a ⎛∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎝⎭，()min54a b∴⋅=例题2：已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ【分析】本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:AP AB AQ AC 的值不确定，从而不容易利用三边向量将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ⋅可解出最大值【解析】以,BC AM 为轴建立直角坐标系，()()(1,0,1,0,,0,3B C A M ⎛- ⎝⎭设直线:l y kx =+，由()()(1,0,1,0,B C A -可得：)):1,:1AB y x AC y y x =+==-):31y kx P y x ⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；):31y kx Q y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩((53353,,k BQ CP ⎛⎫⎛⎫+∴== (()()22222257593162239333k k k BQ CP k k k --+∴⋅=+=+=--- ()222226221618401406333333k kk k k ⎛⎫+-+⎛⎫===⋅+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 例题3：已知圆C 的方程22(1)1x y -+=，P 是椭圆22143x y +=上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ， B ，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．3[,)2+∞ B ．3,)+∞ C ．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(,)P x y ，设222221,(1,0),||||1(1)1244CPA CPB C PA PC x y x x θ∠=∠==-=-+-=-+ 2222122114sin cos 212sin 11||242444x x PC x x x x θθθ-+⇒==⇒=-=-+-+，设221124(4)44t x x x =-+=-，2min (2)2||cos 2(1)3223,2,()t PA PB PA t t t PA PB t tθ-•==-=+-≥-=•=max 56223,9,()9t PA PB -=•=⇒PA PB ⋅的取值范围为56223,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C例题4：已知△ABC 中，4AB =，2AC =，|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为23，若P 为边AB 上任意一点，则PB PC ⋅的最小值是【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+，当cos 0A =时，()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥，因为2322>，所以2A π=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(0,2)B C ，设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(,2)PC x =-，所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时，()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos ]2A+≥88cos 12A +=，解得1cos 2A =，所以3A π=，则建立直角坐标系，(0,0)A ，(4,0),(1,3)B C ，设(,0)P x (04)x <<，则(4,0)PB x =-，(1,3)PC x =-，所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述，当52x =时，PB PC ⋅取得最小值94-题型二向量模长的最值问题例题5：已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 范围为【解析】如图，,()OA a b OB c AB c a b =+=⇒=-+，又||||222||22OA a b c =+=⇒-≤≤+42246851015A BO例题6：向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围．【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x ，O 为坐标原点建立直角坐标系∵4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，则A （4，0），B （2，2），设C （x ，y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-，∴x 2+y 2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，c a -表示点A ，C 的距离即圆上的点与点A （4，0）的距离． ∵圆心到B 的距离为2)01()43(22=-+-，∴c a -的最大值为12+题型三向量夹角的最值问题例题7：已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为【解析】()'2fx xa x ab =++⋅，设a 和b 夹角为θ，因为()f x 有极值，所以240a a b ∆=-⋅>，即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>，即1cos 2θ<，所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例题8：已知向量满足，且关于的函数在实数集R 上单调递增，则向量a,b 的夹角的取值范围是（） A ．π[0,]6 B ．π[0,]3 C ．π[0,]4 D ．ππ[,]64题型四平面向量系数的最值问题例题9：已知()2,λ=a ，()5,3-=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>，且a 与b 不共线同向，所以由0a b ⋅>，得310<λ，再除去a 与b 共线同向的情形．a,b |a|=22|b|0≠x 32f(x)=2x +3|a|x +6a bx+7⋅【解析】由于a 与b 的夹角为锐角，0>⋅∴b a ，且a 与b 不共线同向，由01030>+-⇒>⋅λb a ，解得310<λ，当向量a 与b 共线时，得65-=λ，得56-=λ，因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．例题10：已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是【解析】如图M N G ，，三点共线，MG GN λ∴=，AG AM AN AG λ∴-=-（）， ∵G 是ABC 的重心，13AG AB AC ∴=+（）， 1133AB AC x AB y AC AB AC λ∴+-=-+（）（（））11331133x y λλλ⎧--⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩＝，＝解得，31311x y --=（）（）；结合图象可知111122x y ≤≤≤≤，；令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）；故11133m nmn x y ++===，，；故144431333333n n x y m m ++=++=++≥+=+，当且仅当m n == 例题11：如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为【解析】因为,,M N G 三点共线，所以(),MG GN AG AM AN AG λλ=-=-，因为G 是ABC ∆重心，()13AG AB AC =+()()1133AB AC xAB y AC AB AC λ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭，所以11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，化简得()()31311x y --=，解得题目所给图像可知111,122x y ≤≤≤≤．由基本不等式得()()23162231622x y x y -+-⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭即()332323x y x y ++-≥+≥．当且仅当3162x y -=-，即12,36x y ==时，等号成立，故最小值为33+．例题12：直角梯形ABCD 中，CB CD ⊥，AD BC ，ABD 是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1CP =，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的最大值为________【解析】以C 为原点，CD 为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，1CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-，(,,AC =-(cos 2,,AP AC CP sin αα=+=-因为APAD AB λμ=+，所以(()cos2,2sin ααλμ-+=--1223 1122sin cos sin cos sin λαλμααμαα⎧=+⎪--=-⎪⇒⎨=+⎪=⎧⎪-+-⎪⎩，()133cos =26232sin λμαααϕ+=-++-+ 332≤+=96+，即λμ+．题型五平面向量与三角函数相结合的最值问题例题13：已知向量，，．（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【解析】（1）因为，，，所以．若，则，与矛盾，故．于是，所以．（2）. 因为，所以，从而. 于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值题型六平面向量与二次函数相结合的最值问题例题18：在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，的最小值为______．【解析】设，，所以，当时，取得最小值．例题19：在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【分析】如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AEBE =求出E 的坐标，求边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME ，根据二次函数性质求最大值.(cos ,sin )x x =a (3,=b [0,]x π∈∥a b x ()f x =⋅a b ()f x x (cos ,sin )x x =a (3,=b ∥a b 3sin x x =cos 0x =sin 0x =22sin cos 1x x +=cos 0x ≠tan x =[0,]x π∈56x π=π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b [0,]x π∈ππ7π[,]666x +∈π1cos()6x -≤+≤ππ66x +=0x =()f x π6x +=π5π6x =()f x -(10)A -，(2,0)B E F y ||2EF =AE BF ⋅(0,)E t (0,2)±F t (1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t 222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t 1=±t AE BF ⋅3-【解析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B，(C ，()5,0D ，因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x <AE BE =，()222001x x +=-解得01x =-，(E ∴-，(4,3C ，()5,0D ，CD ∴所在直线的方程为y =+，因为点M 在边CD所在直线上，故设(,M x+(,AM x ∴=+，(1E x M -=--， ()1AM ME x x -∴⋅=--++242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME ⋅=-故选：A【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题题型七平面向量与基本不等式相结合的最值问题例题20：若平面向量，满足：；则的最小值是．【解析】，例题21：在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为．【解析】因为，，，，，a b 23-≤a b ⋅a b _____2223494a b a b a b -≤⇔+≤+2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⇒+≥-⇔≥-ABCD AB DC ∥2AB =1BC =60ABC ∠=E F BC DC BE BC λ=19DF DC λ=AE AF ⋅19DF DC λ=12DC AB =119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭当且仅当即时的最小值为例题22：已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则221a b a b b+++的最小值是___________【分析】本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 【解析】由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=且0,0a b >>，所以()2222222112221222a b a b a a b b a ba b a b b a b a b b a b a b+++++++=-+-=+-≥+++++++所以最小值为2，故填2.题型八平面向量与圆相结合的最值问题例题23：在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是．【解析】设(,)D x y ，由||1CD =，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++(1,x y =-+，故||(OA OB OC x ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=例题24：已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为ABCD 【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=2192λλ=23λ=2918BAO (1,0),(3,0),A B C -D ||1CD =||OA OB OD ++,a b 0⋅a b =c 1--=c a b c 112,a b ()()1,0,0,1==a b又设，代入，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)．例题25：若过点()1,1P 的直线l 与22:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ⋅取值范围______【解析】本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线，垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，0OA OB ⋅=，AB 位于其他位置时，D 点始终位于OA 的反向延长线上，OA OB OA OD ⋅=-⋅，故0OA OB ⋅<，故()max0OA OB ⋅=，下面寻找最小值，即DO 的最大值，可得当B 在OA 上的投影与C 重合时，DA最大，即为AC，此时直线OP即为直线AB。

【第529期】平面向量中的最值问题

【第529期】平面向量中的最值问题
滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！
平面向量中的最值问题
平面向量是解题的工具，其自身兼具几何代数双重特征，并且有其运算规律.向量问题的考察常见有两类，一是对其自身性质与运算的考察，二是与其他知识相结合综合考察.值得一说的是，向量中的一些运算性质，不能简单的照搬实数运算，而需要进行严格的推理证明，否则会留下隐患，特别是求解向量中的最值问题时，必须要有严格的推理.这里分享两道关于向量中的最值问题.
本题中利用平面向量基本定理表示出目标向量后根据向量模的定义找出其表达式，注意求模的最值时采用了平方法，将其转化为基本不等式的模型，然后结合已知，利用基本不等式求得最值，这是一类比较常见的关于平面向量模的最值处理策略.
平面向量数量积的最值问题，一方面可考虑定义法，即利用数量积定义将其表示，然后分析其特征寻求最值；另一方面将其利用坐标运算化归为函数，结合函数特点寻求最值.本题中的最值处理方法是一种变形技巧，看似与基本不等式的结构特征相似，甚至可以不假思索的采用不等式法求最值，但是始终是不妥的，毕竟平面向量中能否直接运用基本不等式将其放缩为向量数量积还是需要求证的，不如这里变形更有说服力.通过上题的求解，不难发现变形的结果和基本不等式中求得的形式是一致的，尝试推理一下.
显然这一基本不等式中的结论在向量运算中仍然适用，这样上述问题中求最值时就可以直接采用基本不等式将其进行转化，相比变形处理就要简洁许多.当然二者各有千秋，变形虽麻烦，但是比较保险；借助不等式直接处理，则需要对这一原理要明确，方能保证在解题时胸有成竹.以上内容，纯属个人观点，只为抛砖引玉，让我们的复习备考更高效！由于才疏学浅，难免有不足之处，欢迎大家批评指正，不胜感激！此外，公众号内容仅供学习交流，不得他用！。

巧解平面向量最值问题

巧解平面向量最值问题
平面向量是高中数学的重要内容，是高考必考的内容之一，平面向量集数与形于一体，既有明显的几何特征又有典型的代数特点，是一种解决数学问题的重要工具。

近年来，平面向量最值问题经常出现高中各类考试中，此类问题题型多样，灵活性、综合性强，是学生学习的一个难点，深入研究此类问题的解法，有一定的实际意义。

下面，就平面向量最值问题的解法谈谈本人的看法：
1巧用图形，注重几何意义
本类型题主要是考查平面向量的加减法、向量的合成与分解、向量的模等问题，若能深入挖掘题中隐含条件，合理地进行转化，注重向量几何特征的应用，能方便快捷有效地解决问题。

合理构造向量对应的图形是解决本类问题的关键，应该说，数形结合的思想方法是解决向量问题最基本也是最常见的策略之一。

2合理建系，突出坐标运算
本类型主要是对条件中所涉及的图形建立适当的坐标系，从而题中的点或向量将有相对应的坐标，结合向量的坐标运算，能解决所求问题。

适当建系，准确求出点的坐标是解决本类问题的关键。

这是几何问题代数化的又一典型，是向量的特点之一。

3整体处理，妙用不等式
本类型问题属于较综合的问题，通常给出某一平面向量的基底及相应区域中的点，求某一向量变化的范围等问题。

结合平面几何的知识，准确判断向量的变化范围，合理运用不等式性质是解决本类问题的关键。

4活用函数性质
本类型问题是向量的常见问题，通过向量的坐标运算，进而转化为基本初等函数性质的运算，最终求出题中最值问题。

要特别注意自变量的取值范围。

本类问题体现向量的代数特征，同时也说明向量与三角函数有密切的联系。

平面向量中最值、范围问题

平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】2795⎡-⎢⎣⎭【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622a c bb ac +-=≤=,从而02b <≤,所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++,又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,3532b -<≤,故27952BA BC -≤⋅<. (二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则222a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()222221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则()12OD OA OB =+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()()222221214a b λμ-+-=可得222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222211122DC a b λμ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则121222221122cos a b a bx y x y θ⋅==⋅+⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θθcos 45cos 210++=t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()'2fx x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3AB AC BAC π==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213||122AB AC AB =⋅-=--=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323cos sin ,sin x y θθθ=+=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363xy πθθθθθ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,,2,3666ππππθθ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当266ππθ-=-或7266ππθ-=即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()14BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())3,1,3,1A B ---,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则()()3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】()()22222244cos1202413a xb a xbx x x x x -=-=+-︒=++=++ ∴ 2a xb-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________．【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则()·OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时1MP BP +=,则： 2124MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭, 当且仅当12MP BP ==时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】6π9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.【答案】321【解析】试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 222-===γβαr r r .由题设可知0120===γβα,且2282=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值．【答案】94【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )41(4212-=-=⇒+==⇒+=AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x yx y x xMN ME 44114141// 49)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则mn 的最大值为．【答案】9【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以292()m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化,则实数a 的取值范围是． 33a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故)1(21cos 2a a ++=θ,注意到]12,0[πθ∈,故]1,426[cos +∈θ,即]1,426[)1(212+∈++a a ,解之得333a ≤≤；应填答案333a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则λμ+的最大值为__________．【答案】923+ 【解析】以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--3122{{3313122cos sin cos λαλμαλαμαα=+--=-⇒==-+,)13333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】7 【解析】向量,a b 夹角为,23b π=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得()222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即()0a a b ⋅-=,则()a b a -⊥,由向量,a b 夹角为,23b π=,由2cos3a ab a b π=⋅=⋅⋅,即有1a =,则2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2211337224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答7. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,因为BM CN BCCD=,所以33x b -=,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫⎪⎝⎭,故()8=1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以81193x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0-19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________．【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==,由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是．【答案】94-【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

浅谈平面向量的模的最值问题的求解策略

ʏ廖庆伟平面向量的模的最值问题是向量问题的一个难点,也是高考的一个常考点㊂这类问题的求解策略主要有:二次函数性质法,三角函数性质法,判别式法,向量不等式法,几何图形性质法等㊂下面举例分析㊂一㊁二次函数性质法例1设向量a,b满足a=2,b= 1,<a,b>=60ʎ,则a+t b(tɪR)的取值范围是㊂解:因为a+t b=(a+t b)2= a2+2a㊃b t+t2b2=4+2t+t2= (t+1)2+3ȡ3(当t=-1时,不等式等号成立),所以a+t b(tɪR)的取值范围是[3,+ɕ)㊂评注:把所求的模表示成某个变量的二次函数,再利用二次函数的性质求最值㊂二㊁三角函数性质法例2已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,则|a+b|+|a-b|的最大值是,最小值是㊂解:设向量a,b的夹角为θ,则|a+b|= (a+b)2=5+4c o sθ,|a-b|= (a-b)2=5-4c o sθ,所以a+b|+ a-b=5+4c o sθ+5-4c o sθ㊂令y=5+4c o sθ+5-4c o sθ,则y2=10+225-16c o s2θɪ16,20[]㊂据此可得,(|a+b|+|a-b|)m a x=20=25, (|a+b|+|a-b|)m i n=16=4㊂故a+b|+a-b的最大值是25,最小值是4㊂评注:把所求的模表示成某个变量的三角函数,再利用三角函数的性质求最值㊂三㊁判别式法例3已知平面向量a,b满足|a|=1, |b|=2,|a-b|=7,若对于任意实数k,不等式|k a+t b|>1恒成立,则实数t的取值范围是㊂解:由|a|=1,|b|=2,|a-b|=7,可得(a-b)2=7,所以a㊃b=-1㊂对于任意实数k,不等式|k a+t b|>1恒成立,即对于任意实数k,不等式k2a2+2k t a㊃b+t2b2>1恒成立,也即对于任意实数k,不等式k2-2t k+4t2-1>0恒成立,所以Δ=4t2-4(4t2-1)<0,解得t<-33或t>33,即实数tɪ-ɕ,-33æèçöø÷ɣ33,+ɕæèçöø÷㊂评注:将二次不等式恒成立问题转化为Δ<0是解答本题的关键㊂四㊁绝对值不等式法例4已知向量b=(c o sβ,s i nβ),c= (-1,0),则向量b+c的模的最大值为㊂解:易得|b|=1,|c|=1,所以|b+c|ɤ|b|+|c|=2(当c o sβ=-1时,不等式取等号)㊂所以向量b+c的模的最大值为2㊂评注:利用向量不等式||a|-|b||ɤ|aʃb|ɤ|a|+|b|可求向量的模的最值㊂五㊁几何图形性质法例5已知|a|=|b|=2,aʅb,若向量c 满足|c-a-b|=2,则|c|的取值范围为㊂解:由aʅb,不妨令a=(0,2),b=(2, 0),c=(x,y)㊂由|c-a-b|=2,可得(x-2)2+(y-2)2=4㊂|c|=x2+y2可看作动点(x,y)到原点的距离,且动点(x,y)在以(2,2)为圆心,2为半径的圆上(图略)㊂因为圆心(2,2)到原点的距离为22,所以点(x,y)到原点的最小值为22-2,最大值为22+2,即22-2ɤ|c|ɤ22+2㊂评注:弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑郭正华)5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用2022年3月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

由一道题谈平面向量最值问题的解法

思路探寻平面向量是既有大小又有方向的量，具有代数和几何双重特性，因此，解答平面向量最值问题可以从代数和几何两个角度入手，寻找不同的解题方案.下面以一道向量最值问题为例，探讨一下平面向量最值问题的解法.例题：已知点O 为∆ABC 的外心，AB =a ，AC =1a ，∠BAC =120°.若 AO =m AB +n AC ，求m +n 的最小值.方法一：基本不等式法基本不等式：a +b ≥2ab (a >0,b >0)是解答最值问题的重要工具.在运用基本不等式求最值时，要确保条件“一定二正三相等”成立.若已知关系式中出现两式的和或积，或根据已知关系式能配凑出两式的和或积，就可以根据题意创造出运用基本不等式的条件，利用基本不等式求得最值.解法1：因为 OA =m ( OB - OA )+n ( OC - OA )，所以(m +n +1) OA =m OB +n OC ，所以(m +n +1)2（ OA ）2=m 2( OB )2+n 2( OC )2+2mn OB ∙OC .因为cos ∠BOC =cos(2×60°)=-12，|| OA 2=|| OB || OC =|| OC 2，所以(m +n +1)2=m 2-mn +n 2，化简得mn =2(m +n ）-13，又mn ≤æèöøm +n 22，当且仅当m =n 时等号成立，所以mn =2(m +n ）-13≤æèöøm +n 22，解得m +n ≥2,或m +n ≤23,因为A 为钝角，所以m +n ≥1，所以m +n ≥2.以向量 OB 、 OC 为基底，表示出向量OA ，再通过变形得到关于m ，n 的关系式mn =2(m +n )-13.该式中含有m 、n 的和与积，利用基本不等式进行求解，就能顺利求得最值.解法2：因为 AO ∙ AB =12 AB 2，可得 AO ∙ AB =(m AB +n AC )∙ AB =12|| AB 2，所以m ∙a 2+n ∙1a ∙a cos 120°=12a 2，所以m ∙a 2-12n =12a 2.①又 AO ∙ AC =12AC 2，可得 AO ∙ AC =(m AB +nAC )∙ AC =12|| AC 2，所以m ∙1a ∙a cos 120°+n ∙(1a )2=12(1a)2，所以-12m +n (1a )2=12a2，②由①②得m =2a 2+13a 2，n =a 2+23，所以m +n =2a 2+13a 2+a 2+23=43+a 23+13a 2≥43+=2，当且仅当a =1时等号成立.根据外心的性质建立关于m 、n 的两个关系式，再联立两个方程，求得m 、n 的值，即可得出m +n 的表达式m +n =43+a 23+13a 2.该式中a 23、13a 2两式的积为定值，运用基本不等式即可求得两式的和的最小值.方法二：数形结合法在解答平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义：三角形法则、平行四边形法则，或根据代数式的几何意义画出相应的几何图形；然后根据图形中点、直线、曲线之间的位置关系找到目标式取得最值时的情形，据此建立关系式，即可求得问题的答案.解：画出如图所示的图形，设AO =1，连接AO ，交BC 于点D ，则 AD =λ AB +(1-λ)AC ，设 AD =t AO ，则 AD =tm AB +tn AC ，则m =λt ，n =1-λt ，所以m +n =λt +1-λt =1t =1AD，当AO ⊥BC 时，OD 最小，AD 最大．因为∠BAC =120°，所以OD ≥12，所以m +n =1AD ≥2.根据题意和向量的平四边形法则画出相应的图形，然后根据平面向量的基本定理建立关于m 、n 的关系式，再通过分析图形，找到取得最值的情形：AO ⊥BC ，便可根据三角形的性质求得最值.可见，解答平面向量最值问题，可以从目标式的结构特征出发，利用基本不等式进行求解；也可从平面向量的几何意义出发，构造图形，通过数形结合来求得问题的答案.同学们在解答向量最值问题时，要注意运用发散思维，分别从几何、代数两个角度去寻找解题的方案.（作者单位：江苏省盐城市第一中学）由一道题谈平面向量最值问题的解法陈晓娟A 52。

平面向量中的最值问题浅析