第2章 弹性力学基础(1)
弹性力学基础
一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
第二章弹性力学基础
+
¶ 2 x ¶ z2
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x 0
sx x
X方向应力情况对比
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx sy
ͼ 1-2a
平面截面假设
sx
sy
x
x
ͼ 1-2b
q
sy =q ͼ 1-2c
sx
Y方向应力情况对比
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
v
A
B u + ¶u dx
dx
¶x
0 ͼ 1-5
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 ¶u 略去，得
¶x
a = ¶v
¶x
同理，Y向线素AD的转角
b = ¶u
¶y
因此，剪应变为：
x
xy
=
a
+
b
=
¶v ¶x
+
¶u ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
二、 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两 面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也 相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出 简化得
2 yz dXdZ
sz
xy
yz
zx
T
(1 - 2)
材料力学第三版习题答案
材料力学第三版习题答案材料力学第三版习题答案材料力学是研究物质的力学性质和行为的学科，是工程力学的重要分支之一。
在学习材料力学的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和掌握。
下面将为大家提供材料力学第三版习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章弹性力学基础1. 问题：材料力学的研究对象是什么？答案：材料力学的研究对象是物质的力学性质和行为，包括材料的强度、刚度、塑性、断裂等方面。
2. 问题：什么是应力？答案：应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于截面的力，剪应力是指平行于截面的力。
3. 问题：什么是应变？答案：应变是物体在受力作用下发生形变的程度，可以分为线性应变和剪切应变。
线性应变是指物体的长度、体积或角度发生变化，剪切应变是指物体的形状发生变化。
第二章弹性力学基本定律1. 问题：什么是胡克定律？答案：胡克定律是描述弹性体的应力和应变之间关系的基本定律。
根据胡克定律，应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。
2. 问题：什么是杨氏模量？答案：杨氏模量是描述材料抗拉刚度的物理量，表示单位应力下单位面积的应变。
杨氏模量越大，材料的刚度越高。
3. 问题：什么是泊松比？答案：泊松比是描述材料在受拉伸或压缩时横向收缩或膨胀程度的物理量，表示纵向应变与横向应变之间的比值。
第三章弹性体的平面应力问题1. 问题：什么是平面应力状态？答案：平面应力状态是指物体在一个平面上受力，而在另外两个平面上不受力的状态。
在平面应力状态下，物体的应力只有两个分量，分别为法向应力和切应力。
2. 问题：什么是平面应变状态？答案：平面应变状态是指物体在一个平面上发生应变，而在另外两个平面上不发生应变的状态。
在平面应变状态下，物体的应变也只有两个分量，分别为法向应变和切应变。
3. 问题：什么是薄壁压力容器？答案：薄壁压力容器是指壁厚相对于容器直径或高度较小的压力容器。
在设计薄壁压力容器时，需要考虑容器的强度和稳定性。
第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
第二章 弹性力学基础知识
3. 均匀性假定 假定整个物体是由同一材料组成的。 假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的 所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会 随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由 多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体 而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为 均匀的。 4. 各向同性假定 假定物体的弹性在各方向都是相同的。 假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常 数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定 的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体 来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体， 但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均 意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。
τ
P ΔA
ΔQ
n
σ
(法线 法线) 法线
应力分量 单位： 单位：
应力的法向分量 应力的切向分量
σ
—— 正应力 —— 剪应力
τ
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
σ = σ (x, y, z) τ =τ (x, y, z)
(2) 一点的应力状态
通过一点P 通过一点 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： 面的应力： 面的应力 σ x ,τ xy ,τ xz y面的应力： 面的应力： 面的应力 z面的应力： 面的应力： 面的应力
一 平衡微分方程 • 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性 从弹性体内任一点取出微元体， 体内一点的应力分量与体力分量之间的关 系。
对于平面问题, 对于平面问题,分析平衡方程
取微元体PABC（P点附近）， （ 取微元体
弹性力学基础
弹性力学基础弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在受力后的变形和恢复能力。
本文将介绍弹性力学的基本概念、公式和应用。
一、基本概念弹性力学研究的对象是弹性体，即当受到外力作用后，可以恢复原状的物质。
弹性体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在外力作用下，物体发生变形但不改变其内部结构，当外力消失后，物体可以完全恢复原状。
塑性变形是指在外力作用下，物体发生变形会改变其内部结构，当外力消失后，物体无法完全恢复原状。
二、弹性模量弹性模量是衡量物体弹性变形程度的物理量，常用的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量和泊松比。
其中，杨氏模量是衡量物体在拉伸或压缩时的弹性变形程度的量值，剪切模量是衡量物体在受到切割力时的弹性变形程度的量值，泊松比是物体在受到拉伸或压缩时在垂直方向上的变形程度与水平方向上的变形程度之比。
三、胡克定律胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了物体受到力的作用下的弹性变形。
根据胡克定律，当物体受到力的作用后，物体发生的弹性变形与力的大小成正比，与物体的初始长度成反比。
胡克定律可以用数学公式表示为F = kx，其中F为外力的大小，k为弹性系数，x为物体的弹性变形量。
四、应力和应变应力是物体受到外力作用后单位面积上的力的大小，用σ表示。
应变是物体受到外力作用后单位长度变化量与原始长度的比值，用ε表示。
根据胡克定律，应力与应变之间存在线性关系，称为胡克定律。
五、弹性力学的应用弹性力学在工程领域中有广泛的应用，例如在结构设计中，通过弹性力学的理论分析，可以确定结构的稳定性和安全性。
在材料科学中，弹性力学可以帮助研究材料的强度和刚度，为材料的选择和设计提供指导。
此外，弹性力学还在地震学、电子学和生物学等领域中有着重要的应用。
总结：弹性力学是研究物体受力后的变形和恢复能力的学科。
本文介绍了弹性力学的基本概念，包括弹性体、弹性变形和塑性变形等概念；弹性模量、杨氏模量、剪切模量和泊松比等物理量；胡克定律、应力和应变的关系；以及弹性力学在工程、材料科学和其他学科中的应用。
第二章 弹性力学基础知识
y yz P
yx
dz
e e'
dx o A
zy
dy
zx
z
y y y dy y yx yx dy B y
y
35
z
y
yz
o x
z dz z z zy C yz dz zy zx yz dy z zx z dz y y yy dy yx dz yx e yx y dy
第二章 弹性力学基础知识
教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。 教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、 应力边界条件。 教学难点：两类平面问题的区分。
1
定义
弹性力学
--研究弹性体由于受外力、边 变和位移。
界约束或温度改变等原因而发生的应力、形
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
x , y , z
xy , yz , zx
应 变 位 外 力
x , y , z
xy , yz , zx
u , v, w
X ,Y, Z
X ,Y , Z
27
O(z)
思考题
1. 试画出平面问题正负 y 面上正的应力和正的面 力。
2.试画出C点正的位移。
O x
x
y
z
·
C y
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
5
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析。
弹性力学基础
弹性力学基础弹性力学是研究固体物体在力的作用下发生形变后，能够恢复原状的力学学科。
它是力学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、材料科学、土木工程等领域。
本文将介绍弹性力学的基础概念、方程和应用。
一、弹性材料和变形理论1. 弹性材料弹性材料是指受力后能产生形变但在去力后能恢复原状的材料。
常见的弹性材料有弹簧、橡胶等。
弹性材料的特点是具有线性的应力-应变关系，并且应力与应变之间存在比例关系。
2. 变形理论变形理论描述的是弹性体受到外力作用后所产生的形变规律。
在弹性力学中，最常用的变形理论是胡克定律（Hooke's Law），该定律表述了弹性体的应力与应变之间的关系，即应力等于弹性模量与应变的乘积。
二、弹性体的应力分析1. 一维弹性体的应力分析考虑一维弹性体，假设该体两端分别受到作用力F和-F，弹性体长度为L，通过应力分析可以得到应力与形变的关系式，即胡克定律。
2. 二维和三维弹性体的应力分析对于二维和三维的弹性体，采用张量分析的方法进行应力分析。
通过引入应力张量的概念，可以描述不同方向上的应力状态。
弹性力学中常用的应力张量包括应力张量和应变张量。
三、弹性体的力学方程1. 广义胡克定律广义胡克定律（Generalized Hooke's Law）是描述弹性体的力学关系的重要定律。
它将应力和应变之间的关系扩展到多种情况下，包括线性弹性体和非线性弹性体。
2. 拉梅定律拉梅定律（Lamé's Law）是描述各向同性弹性体的力学关系的定律。
根据拉梅定律，应力与应变之间的关系可以通过拉梅常数进行描述。
四、弹性体的应用1. 结构力学弹性力学在结构力学中有着广泛的应用。
通过对材料的弹性特性进行分析，可以确定结构物体的变形和应力分布，从而保证结构的安全性和稳定性。
2. 地震工程弹性力学在地震工程中也扮演着重要角色。
地震力学研究地震对建筑物等结构的作用及其影响，通过分析结构的弹性响应来评估地震风险，并制定相应的抗震设计方案。
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
弹性力学基础
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没 有键被按下。
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[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序 也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电 路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较 多的场合。电路如图5-10所示。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题 的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。 掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此 外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分 析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功 及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解 的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近 似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等， 特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的 发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。
弹性力学理论基础
2.1 基本假设和基本概念
（2）弹性力学的基本概念 2）应力 物体受外力作用后，在其内部将要产生 应力。 六面体称为微元体：从物体中取出一 个无限小的平行六面体，它的棱边平行于 坐标轴。 将微元体每一个面上的应力分解成为一 个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴 平行，并称为该面的三个应力分量
2.1 基本假设和基本概念
1）分析各点的位移
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 2）求正应变
根据弹性力学的基本假设，限定位移是微小 的。
正应变的定义有：
u dx
x
dx
u dx x
dx
u x
同理：
y
PB2 PB
PB
v y
2.2 弹性力学的基本方程
（2）几何方程 3）求剪应变
在弹性力学里假想把物体分成无限多个微小六面体(在物 体边界处可能是微小四面体)，称为微元体。
考虑任一微元体的平衡(或运动)，可写出一组平衡(或运 动)微分方程及边界条件。
2.1 基本假设和基本概念
（3）弹性力学问题求解的基本方法 弹性力学问题都是超静定的，必须同时再考虑微元体
的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相 应地称为几何方程和物理方程。平衡(或运动)方程、几何方 程和物理方程以及边界条件称为弹性力学的基本方程。
2 x
x 2
dx 2
略去二阶及二阶以上的微量后：
x
x
x
dx
同样设左面的剪应力是 xy
右面的剪应力将是
xy
xy x
dx
2.2 弹性力学的基本方程
（1）平衡方程
各个面上所受的应力可以假设为均匀分
布，并作用在对应面的中心。六面体所受的 体力，也可假设为均匀分布，并作用在它的 体积的中心。
第2章 弹性力学基本理论
x
u
z
z
z 0
0
0
z
u v
0
w
y
x
3、物理方程（应力与应变之间的关系）
x
1 E
x y z
y
1 E
y z x
•微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形 状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也 可以视为均匀材料。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因 变形所引起的尺寸变化。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前， 物体内部没有应力。
弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约 束或温度改变而产生的。
向或负面上的应力沿坐
x
图1－7
标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画 出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。
Oz
x
y
注意：
弹性力学
材料力学 图1-8
（3）注意弹性力学切应 力符号和材料力学是有 区别的。在图1－8中， 弹性力学里，切应力都 为正，而材料力学中相 邻两面的符号是不同的， 顺时针转动为正。
变分原理-第2章
（2-2）
应变张量的 6 个分量的几何意义是：当 i = j 时， eij 表示沿坐标轴 i 方向 线元的正应变；当 i ≠ j 时， eij 的两倍表示沿坐标轴 i 与 j 方向两个正交 线元间的角应变。 3、 物理方程：
σ ij = aijkl ekl
（2-3）
其中 aijkl 为弹性模量，而且 4、 边界条件－边界 S = S u + S p ： σ ij n j = p i （1） 力的边界条件 （在 S p 上） ： ui = u i （2） 位移边界条件 （在 S V = ∫∫∫
V
∂A δu i , j dV ∂eij
∂A ∂A = ∫∫∫ δ ui − ∂e V , j ∂eij ij = ∫∫
S
δu i dV , j δu i dV , j δu i dV , j
+ ∫∫∫
V
1 ∂2 A δeij δekl dV + L 2 ∂eij ∂ekl
= Π + δΠ + δ 2 Π + L Π 取极小值的必要和充分条件为
δΠ = 0 ，
δ 2Π ≥ 0
其中
δΠ = ∫∫∫
V
∂A δeij dV − ∫∫∫ Fi δu i dV − ∫∫ p i δu i dS ∂eij V Sp 1 ∂2 A δeij δekl dV 2 ∂eij ∂ekl
∂A ∂A δu i n j dS − ∫∫∫ ∂e ∂eij ij V ∂A ∂A n j δu i dS − ∫∫∫ ∂e ∂eij ij V
= ∫∫
Sp
将上式代入式（1）得
δΠ = − ∫∫∫
第二章应力状态理论(弹性力学)
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
复合材料力学课件第02章-各向异性弹性力学基础
通过研究复合材料的损伤演化机制和 破坏准则，可以预测和防止在使用过 程中出现的损伤和破坏，提高复合材 料的安全性和可靠性。
优化设计
利用各向异性弹性力学理论，可以对 复合材料的铺层角度、厚度等进行优 化设计，以实现最佳的力学性能和功 能特性。
各向异性弹性力学在其他领域的应用
生物医学工程
在人工关节、牙科植入物等生物医学 工程领域，各向异性弹性力学理论被 用于模拟和预测材料的生物相容性和 力学性能。
边界条件和载荷的复杂性
由于各向异性材料的特性，其边界条件和所受的 载荷也相对复杂，需要细致考虑。
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数值模拟的困难性
由于各向异性材料的复杂性，数值模拟方法需要 更高的精度和稳定性，以准确模拟其力学行为。
各向异性弹性力学的发展趋势与展望
发展更高效的数值分析方法
针对各向异性材料的特性，发展更高效、精确的数值分析方法， 如有限元法、边界元法等。
详细描述
边界条件和初始条件是确定弹性力学问题解的重要因素。边界条件描述了材料边 界上的应力分布，而初始条件描述了材料在初始时刻的应力状态。这些条件对于 确定材料的响应至关重要。
各向异性弹性常数及其物理意义
总结词
描述各向异性弹性材料的五个独立弹 性常数及其物理意义。
详细描述
各向异性弹性材料的五个独立弹性常数包括三 个主剪切模量G1、G2、G3，一个主压剪切模 量G12，以及一个主压模量K1。这些弹性常数 分别描述了材料在各个方向上的剪切和压缩行 为，对于理解材料的力学性能和预测其响应具 有重要意义。
平衡方程
总结词
描述各向异性弹性材料在受到外力作用时内部应力和应变之间的平衡关系。
详细描述
平衡方程是描述材料内部应力分布的微分方程，它基于连续介质力学原理，即 在一个封闭的体积中，应力矢量的散度为零。平衡方程是建立各向异性弹性力 学方程的基础。
结构力学第二版课后习题答案
结构力学第二版课后习题答案结构力学第二版课后习题答案结构力学是一门研究物体受力情况和力学性质的学科，它在工程领域中有着广泛的应用。
结构力学的学习不仅需要理论的掌握，还需要通过实际的习题来加深对知识的理解和运用。
本文将为大家提供《结构力学》第二版课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和应用结构力学知识。
第一章弹性力学基础1.1 弹性力学的基本概念1. 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变时，恢复到原来形态的力学学科。
2. 牛顿第二定律：物体所受合外力等于物体质量乘以加速度。
3. 弹性体：在外力作用下，物体发生形变，当外力消失后，物体能够完全恢复到原来的形态。
4. 弹性力学的基本假设：线弹性假设、小变形假设、平面假设。
1.2 应力和应变1. 应力：单位面积上的力，即单位面积上的力的大小。
2. 应变：物体在外力作用下发生的形变程度。
3. 线弹性假设下的应力-应变关系：胡克定律，即应力与应变成正比。
4. 应力张量：描述物体内部各点上的应力状态，是一个二阶张量。
1.3 弹性体的本构关系1. 本构关系：描述物体应力和应变之间的关系。
2. 弹性体的本构关系：胡克定律。
3. 弹性模量：描述物体对应力的敏感程度。
4. 剪切模量：描述物体对剪切应力的敏感程度。
第二章弹性力学的基本方程2.1 平衡方程与应力平衡方程1. 平衡方程：描述物体在力的作用下的平衡状态。
2. 应力平衡方程：描述物体在外力作用下的应力分布情况。
2.2 应变平衡方程1. 应变平衡方程：描述物体在外力作用下的应变分布情况。
2.3 弹性力学基本方程1. 弹性力学基本方程：包括平衡方程、应力平衡方程和应变平衡方程。
第三章弹性体的力学性质3.1 弹性体的应力分析1. 弹性体的平面应力问题：在一个平面上受力的弹性体。
2. 弹性体的平面应变问题：在一个平面上发生应变的弹性体。
3.2 弹性体的弯曲1. 弹性体的弯曲：在外力作用下，物体发生弯曲变形。
2. 弯曲方程：描述弯曲变形的关系。
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第2章弹性力学基础内容提要：本章主要介绍弹性力学的基本概念，主要包括应力、应变的定义和性质，应力平衡方程、几何方程和物理方程，并对弹性力学问题的基本求解方法进行简介。
为了便于对机械结构有限元计算结果能够很好地分析评价，本章还介绍了结构强度与失效的基本理论。
有关能量法的简单知识是后续有限元法的重要理论基础。
教学要求：学习掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等，了解弹性力学平面问题的应力函数法，掌握结构强度失效准则中的等效应力理论等内容，了解能量法的基本思想。
2.1 引言弹性力学（Elastic Theory）作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。
在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。
弹性力学与材料力学(Foundamental Strengths of Materials)在研究内容和基本任务方面，是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有较大的差别。
弹性力学和材料力学研究问题的方法都是从静力学、几何学、物理学三方面入手的。
但是材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件，分析这类构件在拉压、剪切、弯曲、扭转等几类典型外载荷作用下的应力和位移。
在材料力学中，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外，为了简化推导，还引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定（如平面截面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等等）。
杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，因此综合分析的结果，即问题求解的基本方程，是常微分方程。
对于常微分方程，数学求解是没有困难的。
而在弹性力学里研究杆状构件一般都不必引用那些假定，所以其解答要比材料力学里得出的解答精确得多。
当然，弹性力学在研究板壳等一些复杂问题时，也引用了一些有关形变状态或应力分布的假定来简化其数学推导。
但是由于弹性力学除研究杆状构件之外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，因此问题分析只能从微分单元体入手，以分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。
也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。
从理论上讲，弹性力学能解决一切弹性体的应力和应变问题。
但在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，所以除少数的典型问题外，对大多数工程实际问题，往往都无法用弹性力学的基本方程直接进行解析求解，有些只能通过数值计算方法来求得其近似解。
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。
原因主要在于它的基本方程——偏微分方程边值问题求解的困难。
由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。
近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限单元法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。
本章主要介绍弹性力学基本概念、用解析法求解简单弹性力学问题的基础知识，主要包括弹性力学基本方程、边界条件表达式等。
掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。
此外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来对分析结果更好地评价和理解，还介绍了机械结构强度失效准则、结构分析中的能量法等方面的基本内容。
作为固体力学(Solid Mechanics)学科的一个分支，弹性力学的基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。
也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。
弹性力学的研究对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系，即符合虎克定律。
所谓理想弹性体，是指符合下述假设的物体。
⑴连续性假定。
也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。
尽管一切物体都是由微小粒子组成的，并不能符合这一假定，但是只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则对于物体的连续性假定，就不会引起显著的误差。
有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变、位移等等）才可能是连续的，因而才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。
⑵完全弹性假定。
这是假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。
反映这一比例关系的常数，就是所谓的弹性常数。
弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。
由材料力学已知：脆性材料的物体，在应力未超过比例极限前，可以认为是近似的完全弹性体；而韧性材料的物体，在应力未达到屈服极限前，也可以认为是近似的完全弹性体。
这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。
⑶均匀性假定。
也就是假定整个物体是由同一材料组成的。
这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。
如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。
⑷各向同性假定。
这是假定物体的弹性在所有各方向上都是相同的。
也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。
对于非晶体材料，是完全符合这一假定的。
而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体来研究。
至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。
（5）小位移和小变形的假定。
在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。
为了保证研究的问题限定在线性范围，还需要作出小位移和小变形的假定。
这就是说，要假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。
所以，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。
对于工程实际中的问题，如果不能满足这一假定的要求，一般需要采用其他理论来进行分析求解（如大变形理论等）。
上述假定都是为了研究问题的方便，根据研究对象的性质、结合求解问题的范围而作出的。
这样可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可能。
弹性力学问题的求解方法按求解方式上可以分为两类：解析方法和数值算法。
解析方法是通过弹性力学的基本方程和边界条件、用纯数学的方法进行求解。
但是，在实际问题中能够用解析方法进行精确求解的弹性力学问题只是很少一部分。
现在工程实际中广泛采用的是数值的方法，如有限单元法。
2.2 弹性力学的几个基本概念2.2.1 外力与内力1 外力(Load)作用于物体的外力通常可分为两类，即面力(Surface Force)和体力(Body Force)。
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。
通常情况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。
在物体表面P 点处取一微小面积∆S ，假设其上作用有表面力∆F ，则P 点所受的表面力定义为SS S ∆∆=→∆FQ 0lim(2.1)体力(Body Force)一般是指分布在物体体积内的外力，作用于弹性体内每一个体积单元。
通常与物体的质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。
作用在物体内P 点上的体力，可按面力定义方式进行定义，即在P 点处取一微小体积∆V ，假定其上作用有体力∆R ，则P 点所受的体力可定义为VRQ ∆∆=→∆0V V lim(2.2)2 内力(Internal force)物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加内力”，简称内力。
若假想用一经过物体内P 点的截面mn 将物体分为两部分A 和B ，并移去其中的一部分B 。
我们知道，当一个物体在外力作用下处于平衡状态时，物体各部分都应保持平衡。
显然，在截面mn 上必定有某种力存在，这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力。
如图2-1所示，在截面mn 上应该有移去的虚线部分B 对A 部分作用的内力。
2.2.2 应力的概念所谓一点处某个截面上的应力(Stress)就是指该截面上的“附加内力”，即内力在该点处的集度。
如图2.1所示，一点P 处在截面mn 上，在该点处取一微小面积∆A ，假设作用于∆A 上的内力为∆G ，则AGT ∆∆=→∆0A lim(2.3)T 就是P 点处的应力。
通常将应力沿截面∆A 的法向和切向进行分解，相应的分量就是正应力n σ 和剪应力n τ。
它们满足222nn τσ+=T （2.4）在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力(正应力σ和剪应力τ)是不同的。
只有同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向。
yx图2.1 物体内任意点处的应力yσyzσσz图2.2 微小正方体元素的应力状态在弹性力学中，为了描述弹性体内任一点P的应力状态，可能从弹性体的连续性假定出发，整个弹性体可以看作是由无数个微小正方体元素组成的。
在该点处切取一微小正方体，正方体的棱线与坐标轴平行，如图2.2所示。
正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量来表示。
由于物体内各点的内力都是平衡的，作用在正方体相对两面上的应力分量大小相等、方向相反。
这样，用9个应力分量写成矩阵的形式来表示正方体各面上的应力，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzyzxyzyyxxzxyxijστττστττσσ(2.5)其中，iσ正应力，下标表示作用面和作用方向；ijτ是剪应力，第一下标表示与截面外法线方向相一致的坐标轴，第二下标表示剪应力的方向。
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。
相反，如果应力作用面的外法线是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。
根据材料力学的基本概念（下一节中也将进一步证明），从图2.2中微小正方体的平衡条件（力矩平衡方程）出发，作用在正方体各面上的剪应力存在着互等关系：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的，不仅大小相等，而且正负号也相同，即x yxyττ=，zxzττ=x，zyy zττ=(2.6)这就是所谓的剪应力互等定理。
2.2.3 应变的概念物体在外力作用下，其形状要发生改变，变形指的就是这种物体形状的变化。