应用多元统计分析课后答案-朱建平版

2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；
则其分量是相互独立。
2.7 设总体服从正态分布， X ~ N p (μ, Σ) ，有样本 X1, X2 ,..., Xn 。由于 X 是相互独立的正态分布随
机向量之和，所以 X 也服从正态分布。又
E(X)
E
n
Xi
n n E Xi
n
n μ
nμ
i1
i1
E
Xi Xi
nE
XX
1 n 1
n i1
Σ
n
Σ n
1 (n n 1
1)Σ
Σ
。
方法 2： S n (Xi - X)(Xi - X) n Xi - μ (X μ) Xi - μ (X μ)
i 1
i 1
n
n
(Xi - μ)(Xi - μ) 2 (Xi - μ)(X - μ) n(X μ)(Xμ Xμ)
Σ
12
2 2
2 p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
1
2 2
(x
μ)
1
2 p
p
1 2
1 2
p
1
exp
1 2
(
x1
1
2 1
)2
1 2
( x2
3 )2
2 2
...
1 2
(xp
2 p
p
)2
p i1
i
1 2
exp
(
xi i
2
2 i
)2
f (x1)... f (xp )
0
(b a)2 (d c)2
c
2(d c)(x1 a)x2 (b a)2 (d c)2
d
[(b a)t2 2(x1 a)t 2 ] (b a)2 (d c)2
d c
1 ba
c
0
所以
由于
X1
服从均匀分布，则均值为
b
2
a
，方差为
ba 12
2
。
1
同理，由于
X2
服从均匀分布
fx2 (x2 )
*
* ( ij ) 为一正交矩阵，即 ΓΓ I 。
1 n
1 n
Ζn ) = X1 X2
Xn Γ ，
由于Xi (i 1, 2,3, 4, n)独立同正态分布,且Γ为正交矩阵
所以 (1 2
n ) 独立同正态分布 。且有
Ζn
1 n
n
Χi ， E(Ζn )
i 1
1 n
n i 1
d
c
0
d c2
为
。
12
x1 c, d ，则均值为 d c ，方差
其它
2
（2）解：随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
cov(x1, x2 )
d c
b a
x1
a
2
b
x2
d
2
c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
dx
d
2(d c)(x1 a)x2 (b a)2 (d c)2
c
d c
2[(b
a)( x2 (b
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
d
2(d c)(x1 a)x2 dc 2[(b a)t 2(x1 a)t] dt
(b a)2 (d c)2
12 21
12
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)(x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求
（1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
E(Xi
-
μ)(Xi
-
μ)
nE(X
μ)(X
μ)
Σ。
S
故
为 Σ 的无偏估计。
n 1
2.9.设 X(1) , X(2) , ..., X(n) 是从多元正态分布 X ~ N p (μ, Σ) 抽出的一个简单随机样本，试求 S 的分布。
*
*
证明： 设 Γ *
1 n
令 Ζ = (Ζ1 Ζ2
*
*
*
*
应用多元统计分析课后答案-朱 建平版
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， X ( X1, X 2 , X p ) 的联合分布密
度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X ( X1, X 2 , X p ) 的子向量的概率分布，其概率密度
i1
D(X)
D
n
Xi
i1
n
1 n2
n
D
i1
Xi
1 n2
n Σ Σ
百度文库
i1
n
所以 X ~ Np (μ, Σ) 。
2.8
方法 1：
Σˆ
1 n 1
n i 1
(Xi
X)(Xi
X)
1 n 1
n i 1
Xi Xi
nXX
E(Σˆ )
1 n 1
E(
n i 1
Xi Xi
nXX)
1 n 1
n i1
（2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
（3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
fx1 (x1)
d c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
i 1
i 1
n
(Xi - μ)(Xi - μ) 2n(X μ)(X μ) n(X μ)(X μ) i 1
n
(Xi - μ)(Xi - μ) n(X μ)(X μ) i 1
E( S ) n 1
1 n 1
E
n i1
(Xi
-
μ)(Xi
-
μ)
n(X
μ)(X
μ)
1 n 1
n i1
函数的维数小于 p。
2.2 设二维随机向量 ( X1 X 2 ) 服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设 ( X1
X 2 ) 的均值向量为 μ 1
2
，协方差矩阵为
12 21
12
2 2
，则其联合分布密
度函数为
f
(x)
1 2
2
12 21
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
a )( x2
c)] dx1dx2
(c d )(b a) 36
cov(x1, x2 ) 1
x1 x2
3
（3）解：判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
X1 和 X 2 由于 f (x1, x2 ) fx1 (x1) fx2 (x2 ) ，所以不独立。
2.4 设 X ( X1, X 2 , X p ) 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随
机变量。
解： 因为 X ( X1, X 2 , X p ) 的密度函数为
f
(
x1,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
(x
μ)
12
又由于
Σ
2 2
2 p
Σ
12
2 2
2 p
1
12
1
Σ 1
2 2
则 f (x1,..., xp )
1
2 p
1
2 1
1 p 2