相似三角形分类整理(超全)

第一节：相似形与相似三角形

基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,

A D a

B E b

C F c

可得

EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

A

D E

B C

由DE ∥BC 可得：AC AE

AB AD EA EC AD BD EC

AE DB AD =

==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d

c

，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质

①比例的基本性质：如果

d

c

b a =，那么ad=b

c 。如果ad=bc （a ，b ，c ，

d 都不等于0），那么

d

c b a =。 ②合比性质：如果

d c b a =，那么d

d

c b b a ±=±。

C

C

C

③等比性质：如果

d c b a ==•••=n m (b+d+•••+n ≠0)，那么b

a

n d b m c a =+•••+++•••++

④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2

＝ad.

典例剖析

例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.

② 若

b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=5

9

则a ：b=__________.

3．相似三角形的判定

（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 （3）三边对应成比例的两个三角形相似。 补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【基础练习】

（1）如图1，当 时，△ABC ∽ △ADE

（2）如图2，当 时， △ABC ∽ △AED 。 （3）如图3，当 时， △ABC ∽ △ACD 。

A B

C

D

E

A

B

C

D

E

小结：以上三类归为基本图形：母子型或A 型

（3）如图4，如图1，当AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。 （4）如图5，当 时，则△ ∽△ 。

小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X 型

典例剖析

例1：判断

①所有的等腰三角形都相似． （ ） ②所有的直角三角形都相似． （ ） ③所有的等边三角形都相似． （ ） ④所有的等腰直角三角形都相似． （ ） 例2：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F

求证： △ABF ∽ △CAF.

例3：如图：在Rt △ ABC 中， ∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若 AB=6 ；AD=2； 则AC= ；BD= ；BC= ；

例3：如图：在Rt △ ABC 中， ∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，若E 是BC 中点，ED 的延长线交BA 的延长线于F ， 求证：AB : AC=DF : BF

D

C

B

C

B

A

D E'

第二节：相似三角形的判定

(一)相似三角形：定义

1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

温馨提示：

①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；

③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。

④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

温馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△

A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．

温馨提示：

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．