一元二次方程与二次函数专题

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《二次函数与一元二次方程、不等式》专题复习与训练

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》专题复习与训练第1课时一元二次不等式及其解法【新课导入】1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)． (2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)． (3)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)． (4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．思考1：不等式x 2－y 2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x 2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x 2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x 2>1的解集为{x |x <－1或x >1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则⎩⎨⎧a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x＞3或x＜－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－12≤x≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R .]3．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是________．{x |x >5或x <－1} [由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]【合作探究】一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2. (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0，由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a或x >1.当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若1a <1，即a >1，则1a<x <1；若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅；若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a.综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 三个“二次”的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨]由给定不等式的解集形式→确定a <0及关于a ，b ，c 的方程组→用a 表示b ，c→代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a <0的解集[解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知ba ＝－5，c a＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x＝x2，x1＜x2.13．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.【课堂达标】1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R .( )[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R . (3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立． (4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R . [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a [因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，所以1a >a ，所以x >1a 或x <a .]3．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 [由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a，解得a ＝c ，b ＝52a .所以不等式ax 2－bx ＋c >0，即为2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2，即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2.] 4．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .《一元二次不等式及其解法》专题训练[合格基础练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1t<x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1t或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ t <x <1t D [0＜t ＜1时，t <1t ，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t .] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．0＜x ＜2B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．－1＜x ＜2B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是－2＜x ＜1.]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．{x |－4＜x ＜1} [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.] 7．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是________．1 [将原不等式化为12x 2＋(m －2)x ＜0，即x (x ＋2m －4)＜0，故0,2是对应方程x (x ＋2m －4)＝0的两个根，代入得m ＝1.]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．{a|a≤1}[A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}．若B⊆A，如图，则a≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0.[解] (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.[解] 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)．(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4.(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x<a＋1，综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，当a＝3时，解集为{x|x≠4}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[等级过关练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.]3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．{x |2＜x ＜3} [由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，且a ＜0，由根与系数的关系，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0的解集为{x |2＜x ＜3}．]4．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆{x |1≤x ≤3}，则a 的取值范围为________．－1＜a ≤115 [设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆{x |1≤x ≤3}，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0. 若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)＜0，即a 2－a －2＜0，解得－1＜a ＜2. 若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，12－2a ＋a ＋2≥0，32－3×2a ＋a ＋2≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为－1＜a ≤115.]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5，所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ；若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.第2课时一元二次不等式的应用【新课导入】1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式思考1：x＋2>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将x＋2>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件设二次函数y＝ax2＋bx ＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y max≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y min≥k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x－2x≤0，则A∩B等于( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}B[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．]2．不等式x＋1x≥5的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪0<x≤14[原不等式⇔x＋1x≥5xx⇔4x－1x≤0⇔⎩⎨⎧x(4x－1)≤0，x≠0，解得0<x≤14.]3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．{x |10≤x ≤30} [设矩形高为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40，xy ≥300，整理得y ＋x ＝40，将y ＝40－x 代入xy ≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30.]【合作探究】分式不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1. [解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3， ∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4.1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. [解] (1)根据商的符号法则，不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0，解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”，此时总收购量为m (1＋2x %)吨，“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，得y≥2 400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.不等式恒成立问题[探究问题]1．若函数y ＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，如何求实数a 的取值范围？提示：若a ＝0，显然y >0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0，此时只有二次函数y ＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－8a <0，解得a >12.2．若函数y ＝x 2－ax －3对－3≤x ≤－1上恒有x 2－ax －3<0成立，如何求a 的范围？提示：要使x 2－ax －3<0在－3≤x ≤－1上恒成立，则必使函数y ＝x 2－ax －3在－3≤x ≤－1上的图象在x 轴的下方，由y 的图象可知，此时a 应满足⎩⎨⎧(－3)2＋3a －3＜0，(－1)2＋a －3＜0，即⎩⎨⎧3a ＋6<0，a －2<0，解得a <－2.故当a ＜－2时，有f (x )<0在－3≤x ≤－1上恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？提示：由于本题中已知a 的取值范围求x ，所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数，求参数x 的取值问题，则令y ＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足⎩⎨⎧2x ＋x 2－4x ＋4＜0(－3)×2x ＋x 2－4x ＋4＜0，即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立．【例3】已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0，Δ<0.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．在某集合A 中恒成立问题设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)若ax 2＋bx ＋c ＞0在集合A 中恒成立，则集合A 是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).【课堂达标】 1．思考辨析(1)不等式1x>1的解集为x <1.( )(2)求解m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立时，可转化为求解y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值，从而求出m 的范围．( )[提示] (1)1x >1⇒1x －1>0⇒x －1x<0⇒{x |0<x <1}．故(1)错．(2)m >ax 2＋bx ＋c (a ＜0)恒成立转化为m >y max ，故(2)错． [答案] (1)× (2)×2．不等式(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)x ＋4>0的解集为________．{x |－4<x <－3或x >－1} [原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－4<x <－3或x >－1.]3．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤2 [当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)＜0，解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]>400，解得：15≤x <20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x ＜20.《一元二次不等式的应用》专题训练[合格基础练]一、选择题 1．不等式1＋x1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1} C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1}B [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.]2．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}A [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)<0，x －2≠0，∴－1<x <3且x ≠2.] 3．不等式组⎩⎨⎧x －1>a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜3B ．a ＜－1或a ＞3C ．－3＜a ＜1D ．a ＜－3或a ＞1A [由题意得，a 2＋1<x <4＋2a . ∴只须4＋2a >a 2＋1，即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.]4．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( ) A.⎩⎨⎧ a >0Δ>0B.⎩⎨⎧ a >0Δ<0C.⎩⎨⎧a <0Δ>0D.⎩⎨⎧a <0Δ<0D [二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎨⎧a <0Δ<0.]5．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12C [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，故选C.]二、填空题6．当1＜x ＜2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．m ≤－5 [设y ＝x 2＋mx ＋4，要使1＜x ＜2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎨⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.]7．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a [原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.]8．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．3≤t ≤5 [设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400×⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.] 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?[解] (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h 至0.75元/kw·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎨⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.[等级过关练]1．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜0C ．0＜x ＜1D ．x ＞1A [法一：取x ＝－2，知符合x <1x<x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D.法二：由题知，不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2<0，即(x 2－1)(x 3－1)x 2<0，从而(x －1)2(x ＋1)(x 2＋x ＋1)x 2<0，解得x <－1，选A.]2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．－3＜k ＜0B ．－3≤k ＜0C ．－3≤k ≤0D ．－3＜k ≤0D [当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎨⎧ k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是－3＜k ≤0.]3．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集是________．{x |0＜x ＜2} [不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．]4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为________．－8≤λ≤4 [因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且不等式ax 2＋bx ＋c ＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}．(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0有两个相等的实根，求y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数式；(2)若y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为正数，求a 的取值范围．[解] (1)∵ax 2＋bx ＋c ＋2x ＞0的解集为(1,3)，∴ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＝a (x －1)(x －3)且a ＜0，ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①又∵ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0化简为ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0，有两个相等的实根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ×9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．将a ＝－15代入①得y ＝－15x 2－65x －35. (2)由y ＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a ＜0，可得y 的最大值为－a 2＋4a ＋1a ，由⎩⎨⎧ －a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0，故当y 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.。

九年级数学一元二次方程与二次函数专题练习(超级全面)

九年级第二次月考复习一、填空题1、关于x 的一元二次方程(m-5)x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数值是 .2、写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程________．3、若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m ﹣1的图象不经过第象限．4、若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2017=0的两根，a 2+3a+b 的值为________．5、若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m 、k 为常数，则k ﹣m=________ ，k ﹣m 的最大值是6、关于x 的方程a （x+m ）2+b=0的解是x 1=2，x 2=-1，（a ，b ，m 均为常数，a ≠0），则方程a （x+m+2）2+b=0解是________7、若函数y ＝x 2+2x ﹣m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为．8、点A （﹣3，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3）在抛物线y=2x 2﹣4x+c 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是．9、已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是________． 10、已知当x ＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，－3)，求此函数关系式．二、选择题1、关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．21 2、当b +c ＝5时，关于x 的一元二次方程3x 2+bx ﹣c ＝0的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3、抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜44、如图214，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A ．7 mB ．8 mC ．9 mD ．10 m13、抛物线y=x 2+4x+5是由抛物线y=x 2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）A ．向左平移1个单位B ．向左平移2个单位C ．向右平移1个单位D ．向右平移2个单位14、用配方法解方程2x 2+3x ﹣1=0，则方程可变形为（） A ．（3x+12=1 B ．1617)43x 2=+（ C ．21)43x 2=+（ D ．31)3(2=+x15、已知关于x 的一元二次方程04)2(2=++-m x m mx 有两个不相等的实数根x 1,x 2,若m x x 41121=+，则m 的值是（）A 、2B 、-1C 、2或-1D 、不存在三、计算题:解方程1、x 2﹣6x ﹣4＝0．2、（x ﹣2）（x ﹣5）=﹣2．3、2x 2+4x+1=0． 4、(x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=12．四、简答题1、已知一元二次方程x 2+（2k -1）x +k 2=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大22，求k 的值．2、等腰△ABC 的两边长是关于x 的方程x 2-mx +3=0的两个实数根，已知等腰△ABC 的一条边的长为3，求它的周长3、已知二次函数y ＝－12x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？4、关于x 的方程，kx 2+（k +1）x +41k ＝0有两个不等实根． ①求k 的取值范围；②是否存在实数k ，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．5、已知关于x 的方程x 2﹣（m +3）x +4m ﹣4＝0；（1）求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝5，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．6、如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1,0)，B(3,2)．(1)求m的值和抛物线的关系式；(2)求不等式x2＋bx＋c>x＋m的解集(直接写出答案)．7、随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）8、如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形. 已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？9、如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？10、某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？11、在端午节前夕，两位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华提出的问题．12、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1、42、答案不唯一，如3、一．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，∴△=4+4m＜0，解得m＜﹣1，∴m+1＜0，m﹣1＜0，∴一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象经过二三四象限，不经过第一象限．4、20155、﹣b2+b+4；6、x1=0,x2=-37、﹣1．解：∵函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝0，解得：m＝﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．8、y2＜y3＜y1；二、选择题9、B．10、A解：∵b+c＝5，∴c＝5﹣b．△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．∵（b﹣6）2≥0，∴（b﹣6）2+24＞0，∴△＞0，∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．11、B．12、A13、B；14、B．三、计算题15、x2﹣6x﹣4＝0，x2﹣6x＝4，x2﹣6x+9＝13，（x﹣3）2＝13，x＝3±；16、8.-117、2x2+4x+1=0，a=2，b=4，c=1，b2﹣4ac=16﹣8=8，∴，∴，；18、解：方程变形为x2+5x+1=0，∵a=1，b=5，c=1，∴b2﹣4ac=21，∴x=，∴x1=，x2=．四、简答题19、【解答】解：①△＝（k+1）2﹣4k•k，＝k2+2k+1﹣k2，＝2k+1＞0，∴k＞﹣，∵k≠0，故k＞﹣且k≠0．②设方程的两根分别是x1和x2，则：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，+＝＝﹣＝0，∴k+1＝0，即k＝﹣1，∵k＞﹣，∴k＝﹣1（舍去）．所以不存在．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，①题用根的判别式求出k的取值范围，因为是一元二次方程，二次项系数不为0，所以k≠0．②题根据根与系数的关系，把两根和与两根积代入等式求出k的值，对不在取值范围内的值要舍去．20、【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）解：将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．21、解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝14.4，解得x＝﹣2.2（不合题意舍去）x＝0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．22、解：设BC=x米，则CD=（180-2x）米．由题意，得：x（180-2x）=4000，整理，得：x2-90x+2000=0，解得：x=40或x=50＞40（不符合题意，舍去），∴180-2x=180-2×40=100＜120（符合题意）．答：BC=40米，CD=100米．23、解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，解得x1＝1，x2＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4，∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.24、解析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1280(1＋x)2＝1 280＋1 600，解得x＝0.5或x＝－2.5(舍)，答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得：a≥1 900，答：今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．25、解：设粽子的定价为x元/个，则每天可销售（500﹣×10）个．根据题意得：（x﹣2）（500﹣×10）=800，解得：x1=4，x2=6．∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%=4.8（元），∴x2=6不符合题意，舍去．答：应定价4元/个．。

二次函数与一元二次方程专项练习题

二次函数与一元二次方程一、选择题（共14小题）1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=42．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧3．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=55．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣7．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x18．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞49．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③B．③④C．①②D．①④10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d13．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x214．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4二、填空题（共6小题）15．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．16．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．19．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．20．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．三、解答题（共10小题）21．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．22．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．25．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．27．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．28．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．29．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．参考答案与试题解析一、选择题（共14小题）1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．【解答】解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．2．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．【解答】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．3．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）可求出a的值．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点（2，0），把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．故选A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可．【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴﹣=2，解得：b=﹣4，解方程x2﹣4x=5，解得x1=﹣1，x2=5，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．5．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】令y=0，则﹣x2+x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD 的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．【解答】解：令y=0，则﹣x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD==．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．6．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．7．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x1【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】首先根据a确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论．【解答】解：∵a=1＞0，∴开口向上，∵抛物线的对称轴为：x=﹣=﹣=，二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，无法确定x1与x2的正负情况，∴当n＜0时，x1＜m＜x2，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故B，D错误，故选C．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选：B．9．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③B．③④C．①②D．①④【考点】抛物线与x轴的交点；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2；③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等，故选：A．10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．11．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．【解答】解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．12．（2015•杭州）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．13．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．【解答】解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．故选A．14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】根据题意利用图象直接得出m的取值范围即可．【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，可见，m≥﹣2，故选：A．二、填空题（共6小题）15．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是＜a＜﹣2．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根∴△=（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞设f（x）=ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1，∴a，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）=a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴＜a＜﹣2，故答案为：＜a＜﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键．16．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义．【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．【解答】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为8．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB=6﹣（﹣2）=8．故答案为：8．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．19．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】待定系数法．【分析】因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．故答案是：x=﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=．20．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是3．【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】根据抛物线y=x2﹣k的顶点为P，可直接求出P点的坐标，进而得出OP的长度，又因为△ABP是正三角形，得出∠OPB=30°，利用锐角三角函数即可求出OB的长度，得出B 点的坐标，代入二次函数解析式即可求出k的值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO=k，∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，∴OA=OB，∠OPB=30°，∴tan30°==，∴OB=k，∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，∴将B点代入y=x2﹣k，得：0=（k）2﹣k，整理得：﹣k=0，解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．故答案为：3．．三、解答题（共10小题）21．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到=﹣=，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52﹣4（6+k）=0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x=﹣=，∴m=2，∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△=52﹣4（6+k）=0，∴k=，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．22．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）先得到点E（2，﹣3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF 的长；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==，∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．24．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．【解答】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．25．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有【分析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=﹣x+3即可得到结果．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）．26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．菁优网版权所有【专题】待定系数法．【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）根据图象直接写出答案．【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x==﹣1．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．27．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有【分析】（1）令抛物线解析式中y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出A与B坐标即可；配方后求出C坐标即可；（2）将求得的点C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值．【解答】解：（1）令y=0，得到x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x=1或3，则A（1，0），B（3，0），∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点C的坐标为（2，﹣1）；（2）∵点C（2，﹣1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；28．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．。

专题10 二次函数与一元二次方程-九年级数学上册(解析版)

专题10二次函数与一元二次方程考点1：分析方程的根；考点2：分析坐标轴交点。

1．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m ＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=32．又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．答案：B．2．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，如图：由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，答案：B．题型01方程的根3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=23x的图象如图所示，则方程ax2+（b−23）x+c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴−＞0．设方程ax2+（b−23）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=−K23=−+23，∵a＞0，∴23＞0，∴m+n＞0．答案：A．4．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11．答案：A．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣n的交点的横坐标在﹣5与﹣3之间和1与3之间，∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是﹣4和2，答案：B．6．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是x1＝﹣2，x2＝5．解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．答案：x1＝﹣2，x2＝5．7．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，则m的取值范围是0＜m＜4．解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有四个交点，因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），观察图象可知，两个函数图象有四交点时，0＜m＜4．答案：0＜m＜4．8．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是−94＜a＜﹣2．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞−94设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1＜−−32＜0，∴a＜−32，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴−94＜a＜﹣2，答案：−94＜a＜﹣2．9．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=−2=32．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m=52．10．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n 的值．（1）证明：由题意可得：Δ＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）＝1+25m 2﹣10m +20m＝25m 2+10m +1＝（5m +1）2≥0，故无论m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx 2+（1﹣5m ）x ﹣5＝0，（x ﹣5）（mx +1）＝0，解得：x 1=−1，x 2＝5，由|x 1﹣x 2|＝6，得|−1−5|＝6，解得：m ＝1或m =−111；（3）解：由（2）得，当m ＞0时，m ＝1，此时抛物线为y ＝x 2﹣4x ﹣5，其对称轴为：x ＝2，由题已知，P ，Q 关于x ＝2对称，∴rr 2=2，即2a ＝4﹣n ，∴4a 2﹣n 2+8n ＝（4﹣n ）2﹣n 2+8n ＝16．11．已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 与x 轴有两个交点A （﹣1，0），B （3，0），抛物线y ＝a （x ﹣h ﹣m ）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（）A ．5B ．﹣1C ．5或1D ．﹣5或﹣1解：∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 的对称轴为直线x ＝h ，抛物线y ＝a （x ﹣h ﹣m ）2+k 的对称轴为直线x ＝h +m ，∴当点A （﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m ＝4﹣（﹣1）＝5；当点B （3，0）平移后的对应点为（4，0），则m ＝4﹣3＝1，即m 的值为5或1．答案：C ．题型02坐标轴交点12．已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．154B．92C．132D．152解：令y＝0，则−16x2+32x+6＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∵C（0，6）∴OD＝4.5，OC＝6，当x＝0时，y＝6，∴OC＝6，∴CD==152．答案：D．13．经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（）A．10B．12C．13D．15解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，∴2−3r4rK12=−2×(−12)，Δ＝b2﹣4×（−12）×（﹣b2+2c）≥0，∴b＝c+1，b2≤4c，∴（c+1）2≤4c，∴（c﹣1）2≤0，∴c﹣1＝0，解得c＝1，∴b＝c+1＝2，∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|＝|4b+c﹣1﹣2+3b|＝|7b+c﹣3|＝|7×2+1﹣3||14+1﹣3|＝12，答案：B．14．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足△A1=△A2=△A3=m，则m的值是（）A．1B．32C．2D．4解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足△A1=△A2=△A3=m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m=12×2×2=2．答案：C．15．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0B．a＞0C．b2﹣4ac≥0D．x1＜x0＜x2解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．答案：A．16．抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．解：把点（1，0）代入抛物线y＝x2﹣4x+m中，得m＝3，所以，原方程为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．答案：（3，0）．17．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为1或−45．解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0（舍去）或m=−45，综上所述：m的值为1或−45．18．抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是﹣3．解：∵△ABC中AB边上的高正好为C点的纵坐标的绝对值，=12×1×|c|＝1，∴S△ABC解得|c|＝2．设方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，∵AB＝|x1﹣x2|=(1+2)2−412=(−p2−4=1，∴b2﹣4c＝1，∵c＝﹣2无意义，∴b2＝9，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，∴b的值是﹣3．19．已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？（1）证明：当y＝0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝m+3．当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴0=3+3=，解得：=−1=3，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．。

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立；反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限，综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。

部编数学九年级上册专题22.4二次函数与一元二次方程【六大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】....................................................................................................................1【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】........................................................................................................3【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】....................................................................................9【题型5 由二次函数的图象解不等式】..............................................................................................................11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 (13)【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n 与x 轴只有一个交点（x 1，0）．下列式子中正确的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x21=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D．【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（）A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m ﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴对称轴是直线x＝m+1，又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m+1，0），∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故选：D．【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x ＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，=3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t 的大小关系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．故选：C．【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故选：A．【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y ＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．故选：B．【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．由图象可知，M＜α＜β＜N，故选：B．【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是　x1＝﹣1，x2＝3　．【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，=1．∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　x1＝﹣4，x2＝1　．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=−522=−32，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=−32，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（）A．5B．7C．12D．﹣7【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4 c=5，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如图：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．故选：B．【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　x1＝0.8，x2＝3.2合理即可　．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝c 的两个根可能是：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，x 与ax 2+bx +c 的对应值如下表： x ﹣1−12 0121 322 523ax 2+bx +c﹣2−141742741−14 ﹣2请判断一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的（）A ．−12＜x 1＜0，32＜x 2＜2B ．﹣1＜x 1＜−12，2＜x 2＜52C ．−12＜x 1＜0，2＜x 2＜52D ．﹣1＜x 1＜−12，32＜x 2＜2【分析】观察表格可知，在x ＜1时，随x 值的增大，代数式ax 2+bx +c 的值逐渐增大，x 的值在−12～0之间，代数式ax 2+bx +c 的值由负到正，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0之间，在x ＞1时，随x 的值增大，代数式ax 2+bx +c 逐渐减小，x 的值在2～52之间，代数式ax 2+bx +c 的值由正到负，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在2～52之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0和2～52之间，即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−12＜x1＜0，2＜x2＜52故选：C．【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…请求出当y＜0时x的取值范围　x＜﹣2或x＞3　．【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴a−b+6=4a+b+6=6，解得：a=−1 b=1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为　x＜﹣1或x＞1　．【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案为：x＜﹣1或x＞1．【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（）A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，∴点B横坐标为4，∵点A横坐标为1，∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，故选：B．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．①求抛物线和直线的函数解析式；②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=−1，m=2n=−2，∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，当抛物线顶点在线段AB下方时，当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a=35，∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35≤a＜32或a＝3．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=−9+3b+c−6=−4−2b+c，解得b=3 c=4，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为　y＝|x2﹣4x|﹣3　；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：　函数关于直线x＝2对称　；（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝　1　；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　x＝0或3≤x≤5　．【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为：函数关于直线x＝2对称；（3）①当x＝2时，y＝1，∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，故答案为1；②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，故答案为：x＝0或3≤x≤5．x+t与函数y＝【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12 max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为　1或65　．16【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．当直线y =12x +t 经过（﹣2，0）或与抛物线y ＝﹣x 2+4相切时，直线y =12x +t 与函数y ＝max {﹣x 2+4，x ﹣2，﹣x ﹣2}的图象有且只有3个公共点．①若直线y =12x +t 经过（﹣2，0），则有0=12×（﹣2）+t ，解得t ＝1；②若直线y =12x +t 与抛物线y ＝﹣x 2+4相切，则关于x 的方程12x +t ＝﹣x 2+4即x 2+12x +t ﹣4＝0有两个相等的实数根，则△＝（12）2﹣4×1×（t ﹣4）＝0，解得t =6516．综上所述：t ＝1或6516．故答案为1或6516．。

初中数学培优专题之一元二次方程与二次函数的关系

初中数学培优专题之一：一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程(组)解决函数问题，也可以利用函数解决方程(组)问题.我们知道，二次函数的一般形式是y =ax 2 • bx • c (a = 0)，而一元二次方程的一般形式是 ax 2 bx c =0 (a = 0).显然当二次函数 y = ax 2 • bx • c (a = 0) 中y = 0时就能得到一元二次方程 ax 2 • bx • c = 0 (a = 0)，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：(1)对于二次函数 y 二ax 2 • bx c (a = 0)来说，当y =0时，就得一元二次方程ax 2 bx • c = 0 (a = 0)，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程2.■■■■■■■ =b -4ac 的取值与二次函数图像与 x 轴的交点坐标的情况之间的关系:二ax 2 bx c 与x 轴有两个交点; 2元二次方程 ax 2 bx c =0有两个相等的实数根，抛物线y =ax 2 • bx • c 与x 轴有唯一交点(这个唯一交点就是抛物线的顶点)③当厶=b 2 -4ac ：：：0时，一元二次方程ax 2 bx 0没有实数根，抛物线y = ax 2 bx c 与x 轴没有交点(抛物线要不全部在 x 轴上方，要不全部在 x 轴下方).(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与 x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程ax 2 bx ^0有两个不相等的实数根治、x 2时，抛物线①当厶=b 2 -4ac 0时，一元二次方程2ax bx ^0有两个不相等的实数根，抛物线 ②当厶=b 2 -'4ac = 0时，b c y = ax2 bx c 与x 轴交于两点A(为,0)、B( x2,0),此时有x2, X! • x2.a a 此时抛物线与x轴两交点的距离为：(3 )推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与^kx b (当k = 0时为一次函数的图像，当k =0时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线y = b )的交点情况•2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线y =ax 2 • bx c 与x 轴的交点情况去判断一元2二次方程axbx ，c =0的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！例1(20XX 年福州市中考题)已知二次函数y = ax 2 • bx c 的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是()2A. a >0 B . c v 0C . b — 4ac v 0D . a + b + c >0分析：a 决定抛物线的开口方向， c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由a 、b 共同决定，b 2 — 4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况.本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a v 0;抛物线与y 轴的交点(0, c )在x 轴上方，因此c > 0;由于抛物线对称轴在 y 轴右侧，所以x= b —、2—2^>0,所以b >0;由于抛物线与x 轴有两个交点，所以b — 4ac >0. a + b + c 是x = 1时的函数值，而图像上点(1, a + b + c )在 x 轴上方，所以 a + b + c > 0.答案：D.技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题.解决这类问题就应熟练掌握a 、b 、c 、a +b +c 、b 2— 4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系.例2 ( 20XX 年徐州市中考题)平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与 x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为()A.向上平移4个单位 B .向下平移4个单位 C.向左平移4个单位D .向右平移4个单位分析：因为二次函数 y=(x-2009)(x-2008) 的图象与x 轴交于点(2008, 0 )和(2009 , 0 ),这两点'b 2 -4ac(公式①)y = ax 2 bx c 与直线x =—亦=(X i X 2 )2 _ 4X 1X 2 =间的距离为1 ,而二次函数y=(x-2009)(x-2008) 的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4 的图象向下平移4个单位得到.答案：B.技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4 经过点(2009, 4)、(2008, 4),这两点的距离围为1,要将这两点平移到x轴上，应将图像向下平移4个单位•研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析.例3 (20XX 年镇江市中考题)已知实数 x ，y 满足x 2 + 3x + y — 3= 0，贝U x + y 的最大值为 .分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2 + 3x + y — 3= 0得，x + y =— x 2 — 2x + 3=—(x + 1)2+ 4,所以当 x =— 1时，x + y 最大值为 4;也可以尝试用换元法解决，设 x y =k ，则原方程可化为x 2 2x ^^0，因为这个关于 x 必有实数根，所以.■- =4 -4(k -3) _ 0 ,解得k 乞4，所以k (即x + y )的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于 x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“ x + y ”关于 x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于 x 的一元二次方程的参数 k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效.例4 (20XX 年日照市中考题)如图 10-2，是二次函数y = ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x = 1,若其与x 轴一交点为A (3, 0),则由图象可知，不等式 ax 2+ bx + c v 0的解集是 ____________________________ . _______分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为 A ( 3, 0),且与对称轴x = 1的距离为2,所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x =1的距离也为2，其坐标应为(一1, 0).观察图像可知，当一 1v x v 3 时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2+ bx + c v 0的解集是— 1 v x v 3答案：—1 v x v 3.技巧提升：不等式 ax 2 + bx + c > 0 (或v 0 )的解集就是二次函数 y = ax 2+bx+c 的图象在x 轴上(下)方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2 + bx + c > 0 (或v 0 ) 的解集与抛物线与 x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标.例5( 20XX 年咸宁市中考题) 已知二次函数y =x 2，bx -c 的图象与x 轴两交点的坐标分别为(m , 0), ( -3m , 0) ( m 式 0).(1) 证明 4c =3b 2 ； (2)若该函数图象的对称轴为直线 x=1，试求二次函数的最小值. 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决. 解：(1)证明：法一：依题意， m ,3m 是一元二次方程 x 2，bx —c=0的两根.根据一元二次方程根与系数的关系，得 m - (-3m)二…b , m (-3m) - -c .••• b =2m , c =3m 2,/. 4c =3b 2 =12m 2.所以 b =2m •代入①得 m 2 • 2m 2 - c = 0,所以 c = 3m 2 ,所以 4c = 12m 2 , 3b 2 二 12m 2 , 所以 3c =4b 2.由题意得■=bm - c = 0 : -3bm - c = 0 "i'-,①一②得-8m 2 4bm = 0 ,因为 m # 0 ,法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为X = -E = __°3m )，可得b = 2m (下2 2同法二).(2)解：法一：依题意， _b =1b =-2 .23232由(1)得 c =—b 2=— (<)2 =3 .4 4所以-m =1，所以m = -1，故抛物线与X 轴的两交点为(「1,0)、(3,0),所以抛物线的解析式为 y = (x • 1)( x —3) = x 2 —2x —3 , 当 X = 1 时，y 最小二1-2-3^-4 , •••二次函数的最小值为 -4 .技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同•一题多解, 多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升.例6(20XX 年杭州市中考题)定义［a,b,c ］为函数y = ax 2 • bx c 的特征数，下面给出特征数为［2m,1-m ,-1 - m ］的函数的一些结论：①当 m= -3时，函数图象的顶点坐标是 (1 ,8)； ②当 m>0时，函数图象截 X 轴所得的线段长度大于 -；③ 当m<0时，函数 3 32在X > -时,4y 随 X 的增大而减小；④当m = 0时，函数图象经过同一个点 .其中正确的结论有()A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④分析：把 m =- 3代入［2m , 1 - m, - 1 - m ］,得a =- 6, b = 4, c = 2，函数解析式为 y 1 8=-6X 2+4X +2，易求出其图像顶点为(一，)，故①正确；当 a=2m b=1-m 、c=-1-m 时，△3 3=b 2 -4ac = (1 — m)2-4X 2mx ( — 1 - m)= (3m+1)2,根据公式①可知函数图象截 X 轴所得的线> 3，故②正确；I m< 0,「.抛物线开口向下.•••抛物线对称轴为 X =- — = --一^—=2 2a 2 2m1 1 1 1 ，•在对称轴左侧，即当 X时，y 随X 的增大而增大，对称轴右侧，即当4 4m 4 4m1 1 11 11X时，y 随X 的增大而减小.在T — <,所以当X > 时，图像有可能一部4 4m444m4分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线 y=2mf+(1-m)x-1-m 时,当X =1时，y=2m+1— m+(- 1 — m)= 0,二当m^0时，抛物线一定经过(1 , 0)这个点，故④正确.答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、• y =x 2 _2x _3 =(x -1)2 -4 . •二次函数的最小值为 _4 .法二：因为函数图象与 X 轴两交点的坐标分别为( 所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m , 0), ( dm , 0),x = -m,段长度为X 1 - X 2血 J(3m+1)2 |3m + 1| ||2m| |2m|当m > 0时,X 1 —X23m 1 3 1-------- =—+ ----- 2m 2 2m二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与X轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视例7 （20XX 年扬州市中考题改编）若关于 x2x 2 ax 0的两根的一元二次方程在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 _ 分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用列5个不等式，也就是：.：型比较多，也容易想到•而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到 •以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数.例8（20XX 年潍坊市中考题）已知函数1=—x + 3的图象大致如图 10-4，若yY y 2 值范围是（13 A.— — v x v 2 B . x > 2 或 x v —-223亠 3元二次方程的根来列不等式组，需要个一兀a -J a 2 40 1、-a - a -40■0、样将会很麻烦•那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多.y =2x 2 • ax 5，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像.据图像对称轴在y 轴右侧，可知0，解得a ：：： 0 •再根据4卜-40 0可得-2 .10 .根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得2 12 2 2215 0 13，可解得a > -一 .这样就能得到 a 的2 5 02一13 ::: -2.10 .2 13■—答案：-2.10 .2技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题取值范围是数形结合是重要数学思想根也就是两函数图像两个交C.—2v x v ' D • x v —2 或x >一2 2分析：当y1v y2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方,点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点•由 s y2y = x 1 x ■ 3 2 解得丿 x 〔 =—2 % =43 2，因此满足要求的自变量 x 的取值范围应该是 y 2 =9 4 答案：C.X 2 32v x v -.技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组•先根据直线在抛物线的上方排除答案B D,再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴( y 轴)可排除答案 A. 例9 (20XX 年《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)已知点 A , B 的坐标分别为 (1, 0), (2, 0)•若二次函数y = x 2+(a —3)x + 3的图象与线段AB 恰有一个交点，贝ya 的取值范围是分析：要注意抛物线些仝 a - 3 x • 3与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况: 2 ⑴抛物线 y=x - a-3x ，3与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段 AB 上.由判别式• ：： = (a - 3) $ 一 12 = 0 . '： =0 解得 a=3 二 2： 3 .当 a=3 2、3 时，x^ x^ = - . 3，不合题意；当a=3-2..3时，X 1=X2 = -.3，符合题意.⑵抛物线 y = x 2 • a -3x^3与 x 轴有两个交点，其中只有一个在线段 AB 上.设抛物线与x 轴的两个交点为 C ( X 1,0 )、 D (x 2 ,0) ( X i <x 2 ),则 X i x 2 = 3 .若只有点 D 在线段 AB 上，则 0 c X i £ 1 , 1 兰 x 2 兰 2 , 显然X 1X 2 ::: 3，不合题意；若只有点 C 在线段AB 上，则1乞X 1乞2 , X 2 2 •当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图 10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为 1的点在x轴上方，横坐标为2的点在 x 轴下方，所以丿1 +(a_3)十3>0 冷 + 2@-3) + 3v0‘ 1 解得一1 ：：： a ：：： - 一 .当 2当点 D 与点A 重合时，由 12 (a-3) 1 3 = 0，得a = T ，此时x 1 = 1, x 2 = 3，符合题意；当点 D 与点B 都重合时，由2_ (a-3) 2, 3=0，得a =，此时x 1 =2, x 2 = 3，不符合题意.综上所述， a 的2 21取值范围是-1它，或者a =3-2、3 .21 答案：-1 Wa ，或者a = 3 - 23 .2技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况.例10 ( 20XX年全国初中数学联合竞赛试题)设p是大于2的质数，k为正整数.若2函数y =x px (k 1)^4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值.分析：函数图象与x轴两交点的横坐标就是方程x2px (k • 1)p _4 = 0的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决.解：由题意知，方程x2• px • (k T) p - 4 = 0的两根x1, x2中至少有一个为整数.由根与系数的关系可得x1• x2 - - p, x1x^ (k T) p - 4，从而有(x1 2)(x2 2) = x1x22(x1 x2) (k -1) p ①(1)若k = 1，则方程为x2• px • 2( p _ 2) = 0，它有两个整数根-2和2 - p .(2)若k 1，则k -1 0.因为x1 x^ - p为整数，如果x1,x2中至少有一个为整数，则x1, x2都是整数.又因为p为质数，由①式知p | x12或p | x2 2 .不妨设p | x1 2 ,则可设X1,2 = mp (其中m为非零整数)，则由①式可得X2 2且,mk-1 k -1故(％ 2) (x22) = mp ，即x1x2mp -------m mk -1又x1 x^ -p，所以—p ■ 4=mp ，即mk _1(m 1)p 4mk _1 k _1如果m为正整数，则(m，1)p 一(1 T) 3 = 6 , D 0，从而(m，1)p •丄」 6 ,m m与②式矛盾.k-1 k-1如果m为负整数，则(m 1) p .0, 0,从而(m 1)p 0，与②式矛盾.m m2因此，k 1时，方程x • px • (k T) p - 4 = 0不可能有整数根.综上所述，k = 1.技巧提升：由于方程两根之和为质数p，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析•根据一元二次方程求根公式可知方程x2px (k • 1)p -4 =0的根应为x = _________ __p -4(k 1)p 16，要使得其根为整2数，根的判别式p2 _4(k 1)p 16的值必须是完全平方数.由于p是质数，因此当p2 -4(k 1)p 16的值是完全平方数时，关于p的二次三项式p2 -4(k 1)p 16必然等于(p二n)2( n为非负整数)，也就是说p2 - 4(k 1) p 16应成为关于p的一个完全平2方式，因此可得其厶=16(k 1) -64 =0，可解得佥=1 , k2二-3 (舍去).三.学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！1•选择题：(1)(20XX年天津市中考题) 已知二次函数y HX?■ bx ■ c(a “)的图象如图10-6所2示，有下列结论：①b -4ac 0 :②abc 0二③8a c 0二④9a 3b c ：： 0 .其中，正确结论的个数是( )A. 1 B . 2 C . 3 D . 4几个结论：①对称轴为乂= 2;②当yW0时，x V 0或x>4:③函数解析式为y =—x (x —64 );④当x<0时，y随x的增大而增大.其中正确的结论有( )A.①②③④B.①②③C.①③④D.①③(3)(《数学周报》杯” 20XX年全国初中数学竞赛试题)把一枚六个面编号分别为1,2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m,读书之法,在循序而渐进，熟读而精思2c = ______ .3. （20XX 年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数 y = x 2 - 2x 的大致图象; （2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程 x 2 _2x =1的根在图上近似的表示出来（描点）;（3）观察图象，直接写出方程 x 2-2x =1的根.（精确到0.1 ）4.（20XX 年长沙市中考题）已知：二次函数 y =ax 2+bx —2的图象过点）1, 0）, 一次函数图象经过原点和点）1，- b ）,其中a>b>0且a 、b 为实数.(1) 求一次函数的表达式(用含 b 的式子表示)；n ,则二次函数y = x mx n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）54171A .B .C .D . 一12 9 36 2（4）（20XX 年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数 227 y_X + 6X - 2■的图象与封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（A . 5B . 6C . 7D . 82•填空题：（1）（ 20XX 年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y = -x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y >0,则x 的取值范围是 ___________ .（2）（ 20XX 年玉溪市中考题）如图 10-9是二次函数y =ax 2 - bx ，c （a =0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判中正确的是（填写序号） ____________ .（3）（20XX 年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数交点的横坐标之和等于 ____________ .y = x 2 -2006|x|+ 2008 的图象与 x 轴x 2 bx c 的图象与x 轴正方向交于 A , B 两点，与y 轴正方向交于点C .已知 AB = ■, 3AC , Z CAO = 30，则X 轴所围成的(2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x-\、x2，求| X"i - x21的范围.5. (20XX年肇庆市中考题)已知二次函数y =x2• bx c 1的图象过点P (2, 1).(1)求证：c 二_2b「4 ；(2)求bc的最大值；3(3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x1, 0) , B(X2 , 0) , ABP的面积是一，3 求b.6. (20XX 年全国初中数学联合竞赛试题)设m,n 为正整数，且m = 2，二次函数2y =x • (3 -mt)x -3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为d j ,二次函数y - -x2 (2t - n)x - 2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2.如果d j _ d2对一切实数t恒成立，求m, n的值•7. (20XX年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)已知抛物线y=x2与动直线y = (2t -1)x -c 有公共点(X1, yj , (X2,y2)，且x；x； =t2 2t -3.(1)求实数t的取值范围；(2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值•8. (20XX年全国初中数学联合竞赛试题)已知二次函数y = x2• bx - c的图象经过两点P(1,a), Q(2,10a).(1) 如果a,b, c都是整数，且c :: b 8a，求a,b, c的值.(2) 设二次函数y = x2，bx-C的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为 C.如果关于x 的方程x2• bx -c = 0的两个根都是整数，求△ ABC的面积.第10讲.一元二次方程与二次函数的关系参考答案1. 选择题：(1) D； ( 2) C； (3) C ； (4) C；12. 填空题：(1)- 3 V X V 1；(2) ②、④；(3) 0；(4)93. 解：(1)如图所示;(3) 方程的 x 2 -2x =1 根为捲:--0.4、X 2 : 2.4. 4.解：(1)设一次函数的表达式为 y = kx(k 为常数，k 工0) . •••一次函数图象经过原点(1, — b ),—把点(1, — b ),代入 y = kx ，得一b = k,即 k = — b . •••一次函数的表达式为y =— bx .2(2)v y=ax +bx — 2 过(1, 0)即 a+b=2 由］y —*x2得ax 2+2(2 —a)x —2 = 0①y =(2 -b)x 2 bx-2•••△= 4(2 -a)2 8a =4(a -1)2 12•方程①有两个不相等的实数根，.••方程组有两组不同的解, •两函数有两个不同的交点.(3)T 两交点的横坐标 X 1、X 2分别是方程①的解丄 2(a —2) 2a —4 一2■ ■为 X ? 'X 1X ?aaa或由求根公式得出T a>b>0, a+b=2,■ 2>a>142令函数y = (1) 3,a•••在1<a<2时y 随a 增大而减小，42■ 4 (1)2 3 ：：12,ax 2 y=1的两个交点的横坐标就是方程和点 …X 1 -X 2= 1(x 1 X 2)2—4x 1X 2 =24a -8a 16 2-1)32 x =1的两根，也就是 x 轴上点C 点D 所表示的数;5.解：(1)T x 2 bx c 1 的图象过点 P (2, 1) ■ 1 = 4 2b c 1••• 2 ::: (4 -1)23 < 2. 3 ,a■ 2 v X j - x 2 £ 2^3 .m>2,所以丿m = 3,、mn=6,小=2,或阡& n =1.…c = -2b - 4(2) be 二 b(—2b 一4)二―2(b 2 2b)2(b 1)2 2当 b =—1 时，c =—2此时，• ： - b 2 -4(c 1) =(_1)2_4(—2 1) =1 4=5 ■ 0 •••当b - -1时，be 有最大值，最大值为 2。

二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案

二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共21题）1、若抛物线的顶点坐标是，且经过点（ 1 ）求该抛物线的解析式（ 2 ）设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），试求的面积2、已知抛物线y ＝x 2 + x + 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（ 1 ）求点A 、B 、C 的坐标．（ 2 ）试判断AOC 与BOC 是否相似，并说明理由．3、已知：二次函数（ 1 ）列表画图…… ………… ……（ 2 ）根据图象，直接写出不等式的解集4、已知抛物线（ 1 ）通过配方可以将其化成顶点式为__________ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x 轴 __________ （填上方或下方），即__________0 （填大于或小于）时，该抛物线与x 轴必有两个交点；（ 2 ）若抛物线上存在两点，，分布在x 轴的两侧，则抛物线顶点必在x 轴下方，请你结合A 、B 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（ 3 ）利用二次函数（1 ）（ 2 ）结论，求证：当，时，．5、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．6、如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m。

（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。

(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？7、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．8、如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2,0），点B是y轴上的一个动点，连结AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连结ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为（0，t）（1）当t>0时，用t的代数式表示点N的坐标；（2）设△OBN的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在点B，使得△ABN与△ANP相似？若存在，求出符合条件的点B的坐标，若不存在，请说明理由。

高一数学复习考点题型专题讲解9 二次函数与一元二次方程、不等式

高一数学复习考点题型专题讲解第9讲二次函数与一元二次方程不等式一、单选题1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A2．已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．{}14a a -≤≤B ．{}14a a -<< C ．{4a a ≥或}1a ≤-D ．{}41a a -≤≤ 【答案】A【分析】由题意知22430x x a a -+-≤在R 上有解，等价于0∆≥，解不等式即可求实数a 的取值范围.【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，即22430x x a a -+-≤在R 上有解，只需2243y x x a a =-+-的图象与x 轴有公共点，所以()()224430a a ∆=--⨯-≥，即2340a a --≤，所以()()410a a -+≤，解得：14a -≤≤，所以实数a 的取值范围是{}14a a -≤≤，故选：A.3．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件．故选：B ．4．不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是（）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集，讨论2a =、2a <结合判别式求a 的范围.【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<．综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤．故选：C5．关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭， C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【分析】由题知210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，进而分0m =和0m ≠两种情况讨论求解即可.【解析】解：因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得2Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <，综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C6．若存在x 使得21y x mx =-+-有正值，则m 的取值范围是（） A ．2m <-或2m >B ．22m -<<C ．2m ≠±D ．13m << 【答案】A【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解. 【解析】21y x mx =-+-是开口向下的抛物线，若存在x 使0y >，则()()24110m ∆=-⨯-⨯->，解得：2m >或2m <-.故选：A7．已知22280x ax a --≤（0a >）的解集为A ，且{}11x x A -<<⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．14a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭C ．1142aa ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1142a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】根据题意，先求出集合A ，再根据包含关系，即可求解.【解析】由()()2228240x ax a x a x a --=+-≤且0a >，得2280ax a x -≤-（0a >）的解集{}24A x a x a =-≤≤．因为{}11x x A -<<⊆，所以2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得12a ≥．故选：A ．8．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y +恒成立，则实数a 的最小值为（）A1C 1D【答案】D【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>恒成立，进而求出(0)t t >及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x=+(0)t t >2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以a ≥a故选：D.9．已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为() A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+ C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3) 【答案】C【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x \的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．10．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】()2222βαααββ=+-⋅+，利用韦达定理可得答案.【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m …，解得：1m …，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.11．已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（） A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【分析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-，根据二次方程根的分布可得式子()Δ022220m f >⎧⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩，计算即可.【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C12．已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（） A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤ 【答案】B【分析】先根据220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<可得b ，c 的值，然后不等式224x bx c t -+++≤恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【解析】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B.二、多选题13．下列结论错误的是（）A ．若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB ．不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-14D ．不等式1x>1的解集为x <1 【答案】ABD【分析】根据不等式性质对选项一一判断即可．【解析】A 选项中，只有a >0时才成立； B 选项当a =b =0，c ≤0时也成立；C 选项x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则0,140a a <∆=+≤，得a ≤-14，正确； D 选项1x>1的解集为01x <<．故选：ABD14．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为{}12x x x x <<，且2115x x -=，则=a （）A ．52-B ．154-C ．52D ．152【答案】AC【分析】由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，利用韦达定理可求得12x x +，12x x ，再根据()()222112124x x x x x x -=+-即可得出答案.【解析】解：由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，所以122x x a +=，2128x x a =-，则()()22222211212443236x x x x x x a a a -=+-=+=. 又2115x x -=，所以236225a =，所以52a =±. 故选：AC.15．已知关于x 的一元二次方程(3a 2+4)x 2-18ax +15=0有两个实根x 1，x 2，则下列结论正确的有（）A．a ≥a ≤．121165a x x += C．12x x -=．12212155ax x x ax x x -=-- 【答案】ABD【分析】利用判别式和韦达定理可判断各选项中的等式或不等式是否成立，从而可得正确的选项.【解析】因为()223418150a x ax +-+=有两个不等式的实根，所以()2232460340a a ∆=-⨯+>，故253a ≥，所以a ≥a ≤故A 正确.由韦达定理可得1212221815,3434a x x x x a a +==++，所以12121211186155x x a a x x x x ++===，故B 正确.12x x -==，故C 错误. 因为121165a x x +=，所以1212556x x ax x +=，故112122555x ax x ax x x -=-，若10x =，则()22340180150a a +-⨯+=即150=，矛盾，故10x ≠.若1210ax x x -=，则210ax -=，故21x a =，即223418150a a +-+=，故22343a a +=，矛盾.所以12212155ax x x ax x x -=--，故D 成立.故选：ABD.【点睛】本题考查一元二次方程的有解问题，此类问题一般利用判别式和韦达定理来处理，本题属于中档题.16．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为{}12x x x x <<，且124x x -=，则1c = 【答案】AB【分析】由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.【解析】解：由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然2(2)0b -≥，所以A 选项正确；对B ：21144a b b b +=+≥，故B 选项正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，所以120x x b =-<，所以C 选项错误；对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，所以124x x =====-，所以4c =，故D 选项错误. 故选：AB.17．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( )A ．当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】AD【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可；B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可；【解析】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∵()1f x …，∴当1a b <<时，不等式23344a x xb -+剟的解集为∅，所以A 正确；对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a …，且1b >；若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b …，因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b …，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=，所以C 错误、D 正确．故选：AD18．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n ()*n N ∈次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程4320ax bx cx dx e ++++=(0)a ≠，在复数集C 内的根为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（）A ．1234bx x x x a+++=-B ．123124134234c x x x x x x x x x x x x a+++=- C ．1234e x x x x a=D ．121314232434d x x x x x x x x x x x x a+++++= 【答案】AC【分析】由2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，并展开右式即可判断各选项的正误.【解析】由题设知：2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，∴2212432123434[()][()]a x x x x ax bx cx dx x x x x x e x x x -+++++=+-++， ∴432ax bx cx dx e ++++=43212341213231424341231241342341234[()()()]a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++-++++，∴1234b x x x x a +++=-，121323142434c x x x x x x x x x x x x a +++++=，123124134234d x x x x x x x x x x x x a+++=-，1234ex x x x a=. 故选：AC三、填空题19．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是__________．【答案】{m |m ≥9或m ≤1}【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【解析】由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0，即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.故答案为：{m |m ≥9或m ≤1}20．若“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，则实数m 的取值范围是______．【答案】{}6m m ≥【分析】根据题意，结合不等式恒成立，分别表示出a 的范围，在结合充分条件的集合方法，即可处理.【解析】∵()2110x a x +-+>对x ∈R 恒成立，∴()2Δ140a =--<，解得13a -<<．又2204mmx ax ++>对x ∈R 恒成立，当0m ≤时不可能恒成立， ∴220Δ40m a m >⎧⎨=-<⎩，解得22m ma -<<． ∵“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，∴12320mmm ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得6m ≥．故答案为：{}6m m ≥.21．若存在实数[]1,2x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是________．【答案】(),8-∞【分析】先分离参数将不等式化为()22max a x x <+，再结合二次函数求最值即可.【解析】解：由题意可得，存在实数[]1,2x ∈时，22a x x <+令()22f x x x =+， []1,2x ∈即()max a f x <()22f x x x =+，对称轴为：212x =-=- 所以()22f x x x =+在[]1,2x ∈单调递增故()()222228max f x f ==+⨯=即8a <所以实数a 的取值范围为：(),8-∞ 故答案为：(),8-∞22．命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集；命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k 的取值范围是______．【答案】()[)3,01,5-【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的k 的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.【解析】命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集，即方程2210kx kx -+=没有实数解，当0k =时，方程变为10=，故无解，符合题意当0k ≠时，2440k k ∆=-<，即01k <<，综上命题甲为真，则01k ≤<.命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R则()21160k ∆=--<，解得35k -<<，所以命题乙为真，则35k -<<，因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，所以当甲真乙假时，得013,k 5k k ≤<⎧⎨≤-≥⎩或，此时k ∈∅，当甲假乙真时，得0135k k k <≥⎧⎨-<<⎩或，即()[)3,01,5k ∈-综上所述，k 的取值范围为()[)3,01,5-.【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题. 23．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c ++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集.【解析】关于x 的不等式kx a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x cx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13，即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.24．已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【解析】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤，所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即a b - 所以22a b a b+-的最小值为故答案为：四、解答题25．利用函数与不等式的关系，若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a -+>的解集．【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则可得3,2b a c a =-=，代入不等式即可求出.【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，所以1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则1212b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以3,2b a c a =-=，不等式20cx bx a -+>化为2230ax ax a ++>，即22310x x ++<，解得112x -<<-，所以不等式的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.26．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式∆<0可得参数范围；（2）不等式换成以m 为主元，为一次不等式，这样只要0m =和4m =时不等式都成立即可得x 的范围．（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<，即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)．（2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2 (2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可. (1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.28．已知不等式234ax x b -+>的解集为()(),12,-∞⋃+∞ (1)求a ，b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.【答案】(1)1a =，6b = (2)答案见解析【分析】（1）依题意可得1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为()(2)0x c x --<，再对参数c 分类讨论，即可得解； (1)解：因为不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或}2x >，所以1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，根据韦达定理312412ab a⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得1a =，6b = (2)解：由（1）可知不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，当2c =时，不等式的解集为∅，当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<29．(1)若关于x 的不等式2210kx kx +-<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值； (2)若当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)13k =(2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解；（2）原问题等价于2max12k x x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，[]1,2x ∈，然后利用二次函数的性质即可求解.(1)解：因为2210kx kx +-<的解集是312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以32-，1是关于x 的方程2210kx kx +-=的两个根，所以221110k k ⨯+⨯-=，解得13k =； (2)解：因为当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，所以当12x ≤≤时，212k x x <+有解，即2max12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭因为二次函数22y x x =+在[]1,2上单调递增，所以()22min 22113x x +=⨯+=，所以2max 1132x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，所以13k <，所以实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．30．（1）若对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于13x ≤≤，215mx mx m --<-+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}40m m -<≤；（2）67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据题意，分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）将215mx mx m --<-+恒成立，转化为261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【解析】（1）当0m =时，不等式10-<恒成立；当0m ≠时，要使得对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，则满足240m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得40m -<<，综上可得，实数m 的取值范围为{}40m m -<≤．（2）由不等式215mx mx m --<-+，可得()2160m x x -+-<，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，令()21,[1,3]g x x x x =-+∈，可得()22131()24g x x x x =-+=-+，当3x =时，可得()max 7g x =，所以26617x x ≥-+，所以67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．31．在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选条件①由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．若选条件②由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立．因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤．由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解．所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立．因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >，所以203a <≤或4a ≥，又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤．所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．32．已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为M ．(1)若()2,5M =，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；(2)若M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(][),25,-∞⋃+∞(2)()3,1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，得到25x <<，再根据两个不等式的关系求解；（2）将不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为()()21230x a x a --+-< ，再根据M 中的一个元素是0，将x =0代入求解.(1)解：因为()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，所以25x <<，不等式()22237320x a x a a -----+≤，即为()22237320x a x a a +-++-≥，所以2x ≤或5x ≥，所以不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集是(][),25,-∞⋃+∞；(2)不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为： ()()21230x a x a --+-< ，因为M 中的一个元素是0，所以()()1230a a +->，解得1a <-或 32a >，所以实数a 的取值范围是 ()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.33．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a （0a >）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（x +∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人 (2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由条件可得2125x m ≥+，100325xm x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. (1)依题意可得调整后研发人员人数为100x -，年人均投入为()14%x a +万元，则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，又4575x ≤≤，x +∈N ，所以调整后的技术人员的人数最多75人； (2)假设存在实数m 满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325xm x ≤++，故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，x +∈N ，所以当75x =时，2+125x取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，其范围为{}7.34．已知关于x 的不等式()2211x m x ->-.(1)若对任意实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]2,2m ∈-，不等式恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(1)不存在(2)⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的性质可得0m <且∆<0，解不等式即可；（2）更换主元，将m 看成自变量，转化成一次不等式恒成立问题，得到答案. (1)原不等式等价于2210mx x m -+-<，若对于任意实数x 恒成立，当且仅当0m <且()4410m m ∆=--<，即2010m m m <⎧⎨-+<⎩，此不等式组的解集为∅，所以不存在实数m ，使不等式对任意实数x 恒成立. (2)设()()2121y x m x =---，当[]2,2m ∈-时，()()2121y x m x =---可看作关于m 的一次函数，其图象是线段，所以若对于[]2,2m ∈-，0y <恒成立，则当2m =或2m =-时，0y <恒成立，即2222102230x x x x ⎧--<⎨--+<⎩①②，由①x <<，由②，得x 或x >x <<所以实数x 的取值范围是⎝⎭. 35．（1）若关于x 的不等式23x ax a ->-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）设0x y >>，且2xy =，若不等式220x ax y ay -++≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()6,2-；（2）(],4-∞.【分析】（1）根据题意得到()2430a a ∆=+-<，解得答案.（2）化简得到22x y a x y +≤-，根据题意得到()224x y x y x y x y+=-+--，利用均值不等式得到答案.【解析】（1）由题意知关于x 的不等式230x ax a --+>的解集为R ，所以()2430a a ∆=+-<，即24120a a +-<，所以62a -<<，即实数a 的取值范围是()6,2-．（2）由题意知不等式220x ax y ay -++≥恒成立，即 ()22x y a x y +≥-恒成立．因为0x y >>，22x y a x y +≤-，因为()()222244x y xy x yx y x y x y x y-++==-+≥---当且仅当4x y x y -=-，即1x =1y =- 所以实数a 的取值范围是(],4-∞．()f x a ≥ 有解，则max ()f x a ≥。

高中数学题型讲座：二次函数与一元二次方程、不等式

第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式(重点题型方法与技巧)目录类型一：一元二次不等式（不含参）的求解类型二：一元二次不等式（含参）的求解角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论角度2：最高项系数含参从0开始讨论角度3：不可因式分解型，从开始讨论类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系类型四：二次不等式恒成立问题类型五：一元二次函数求最值（含参数）类型六：：根据不等式的解求参数1、四个二次的关系 1.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.判别式ac b 42-=∆ 0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=(0a >)的根有两个不相等的实数有两个相等的实数根没有实数根根1x ，2x (12x x <)122b x x a==-20ax bx c ++>(0a >)的解集 12{|}x x x x x <>或 {|}2b x x a≠-R20ax bx c ++<(0a >)的解集12{|}x x x x <<∅ ∅2、一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用十字相乘法）； ②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 3：根据不等式，写出解集.类型一：一元二次不等式（不含参）的求解典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）不等式21560x x +->的解集为（） A ．{1x x 或1}6x <-B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x 或3}x <-D ．{}32x x -<<【答案】B【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．例题2．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式2280x x +-≤的解集是________．【答案】{|42}x x -≤≤【详解】解：因为2280x x +-≤，即()()420x x +-≤，解得42x -≤≤，所以原不等式的解集为{|42}x x -≤≤；故答案为：{|42}x x -≤≤同类题型演练1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式()()130x x ++<的解集是（）A ．RB ．∅C ．{31}x x -<<-∣D ．{3xx <-∣，或1}x >- 【答案】C【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}xx -<<-∣；故选：C2．（2022·四川成都·高一期末（文））不等式()()120x x +->的解集为___________. 【答案】{}|12x x -<<【详解】不等式()()120x x +->可化为()()120x x +-<，解得：12x -<<.所以原不等式的解集为{}|12x x -<<. 故答案为：{}|12x x -<<类型二：一元二次不等式（含参）的求解角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）解不等式()2220x c x c -++<.【答案】解：不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，当2c =时，不等式的解集为∅，当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<例题2．（2022·全国·高三专题练习）求不等式2212x ax a ->（a R ∈）的解集．【答案】当a>0时，不等式的解集为{|}43a ax x x <->或当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{|}34a ax x x <>-或【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为13a x =，24ax =-比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x －a ）（4x ＋a ）>0．当a>0时，不等式的解集为{|}43a a x x x <->或当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{|}34a a x x x <>-或例题3．（2022·广东·高一期末）设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)当a +∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．【答案】(1)当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ()0f x <，即()2110ax a x -++<，当a +∈R 时，原不等式可化为()110x x a⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a与1的大小关系确定，当1a =时，解得x ∈∅；当1a >时，解得11x a<<；当01a <<时，解得11x a<<. 综上所述：当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 同类题型演练1．（2022·福建南平·高一期末）当0a <时，求关于x 的不等式2(24)80ax a x +-->的解集．【答案】2(24)80ax a x +-->，因为0a <，所以不等式可化为2(4)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭当24a <-时，即102a -<<，原不等式的解集24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24a =-时，即12a =-，原不等式的解集为∅当24a >-时即12a <-原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，当102a -<<时，原不等式的解24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a =-时，原不等式的解集为∅；当12a <-时，原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()3y x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式0y <；【答案】(1)答案见解析.当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ，当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅，当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .3．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【详解】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<，则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.角度2：最高项系数含参从0开始讨论典型例题例题1．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【答案】由题意可得22(1)21(1)10ax a x a a ax a x +-+-<-⇒+--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，21(1)10(1)(1)01ax a x ax x x a+--<⇒+-<⇒-<<，当0a <时，2(1)10(1)(1)0ax a x ax x +--<⇒+-<，①当1a =-，解集{}1x x ≠，②当10a -<<，解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，③当1a <-，解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上所述，当1a <-，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭，当1a =-，不等式的解集为{}1x x ≠，当10a -<<，不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，当0a =时，不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.例题2．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数()2(2)()f x ax a x a =+-∈R .若2a >-，解关于x 的不等式()2f x ≥.【答案】20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x ≤-； 0a >时，解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 不等式()2f x ≥，可化为：()2220ax a x +--≥.当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤-．当0a >时，原不等式化为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，∴2x a ≥或1x ≤-.当20a -<<时，原不等式为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭因21a<-，∴21x a ≤≤-．综上，20a -<<时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≤-； 0a >时，原不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【答案】答案见解析.【详解】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a-<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a <-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a>-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a <-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．2．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-. 若0a <，解关于x 的不等式()1f x a <-. 【答案】依题意，因0a <，则2()1(1)101()(1)0f x a ax a x x x a<-⇔+-⇔--+><，当1a =-时，11a-=，解得1x ≠，当10a -<<时，11a ->，解得1x <或1x a>-，当1a <-时，101a <-<，解得1x a<-或1x >，所以，当1a =-时，原不等式的解集为{R |1}x x ∈≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-；当1a <-时，原不等式的解集为1{|x x a<-或1}x >.角度3：不可因式分解型，从开始讨论典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈．【答案】答案见解析.【详解】关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈中，∆2242216a a =-⨯⨯=-，当4a >或4a 时，∆0>，对应的一元二次方程有两个实数根2164a a x ---=和2164a a x -+-=，且22161644a a a a ----+-<，故不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；当4a =±时，∆0=，对应的一元二次方程有两个相等的实数根4ax =-，∴不等式的解集为{|}4ax x ≠-；当44a -<<时，∆0<， ∴不等式的解集为R ；综上，4a >或4a时，不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；4a =±时，不等式的解集为{|}4ax x ≠-；44a -<<时，不等式的解集为R ．同类题型演练1．（2022·山东滨州·高二期中）已知一元二次函数2()f x x bx c =++，满足(0)2,(1)(1)=-=f f f ．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2≤f x ax ．【答案】(1)2()2f x x =+(2)解集见解析(1)解：函数2()f x x bx c =++，由(0)2f =，得2,c = 因为(1)(1)f f -=，所以1212,++=-+b b 解得0b =；所以2()2f x x =+.(2)关于x 的不等式()2≤f x ax 可化为2220,-+≤x ax 因为248,∆=-a所以当0,∆<即22a -<<时，原不等式对应的方程无实数根，又二次函数222y x ax =-+的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅；当0∆=，即2a =±时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根， 2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ；2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当0,∆>即2a <-或2a >时，原不等式对应的有两个相等的实数根，分别为22122,2,=--=+-x a a x a a 且12,x x <所以原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .综上所知，当22a -<<时，原不等式的解集为∅；当2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ；当2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当2a <-或2a >时，原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），则k m +的值为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【详解】解：因为220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），所以1x =-为220x kx m -+=的根，所以2k m +=-. 故选：B例题3．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故选：A同类题型演练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-，故选：A.2．（2022·全国·高一单元测试）若方程()200ax bx c a ++=<有唯一的实数根3，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______．【答案】{}3x x =【详解】由已知得抛物线()20y ax bx c a =++<的开口向下，与x 轴交于点()3,0，故不等式20ax bx c ++≥的解集为{}3x x =．故答案为：{}3x x =3．（2022·江苏·高一）若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______. 【答案】3【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mx mx ++=的两个根，故()21713m m=-⨯-⇒=.经检验满足题意故答案为：3.类型四：二次不等式恒成立问题典型例题例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-. 故答案为：(,4]-∞-例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<，即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)．（2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．同类题型演练1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【详解】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确．当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误；由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．2．（2022·江苏南京·高二期末）2R,10x x x λ∀∈-+>，则λ的取值范围为__________．【答案】22λ-<<【详解】由题设240λ∆=-<，可得22λ-<<. 故答案为：22λ-<<3．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围．【答案】(1)1a =(2)[]4,4-(1)因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把1x =-代入方程解得1a =．经验证满足题意(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ，所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．4．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()()211f x x a x =-++．(1)若关于x 的不等式的()0f x <的解集是{}2x m x <<，求a ，m 的值； (2)设关于x 不等式的()0f x >在[]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)32a =，12m =(2)(),1-∞ (1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得x m =和2x =是方程()2110x a x -++=的两根，故()221210a -+⨯+=，解得32a =，由韦达定理有21m =，解得12m =. 故32a =，12m = (2)()0f x >在[]0,1上恒成立，即()211x a x +>+恒成立.当0x =时满足题意，当(]0,1x ∈时，min 11x a x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，因为1122x x x x+≥⋅=，当且仅当1x =时取等号.故12a +<，即a的取值范围为(),1-∞.5．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知函数2()4f x x x b =-+，若()0f x <的解集为{}1|x x m <<.(1)求b ，m 的值；(2)当a 为何值时，2()2()10a b x a b x +++-<的解集为R ？【答案】(1)3m =，3b = (2)(]4,3--(1)解：由题意可知，240x x b -+<的解集为{}1|x x m <<，所以1x =与x m =为方程240x x b -+=的两根，141m m b +=⎧∴⎨⋅=⎩，33m b =⎧∴⎨=⎩； (2)解：()()2210a b x a b x +++-<的解集为R ，①当0a b +=时，10-<的解集为R ，30a ∴+=，3a ∴=-；②当0a b +<时，()20Δ4()40a b a b a b +<⎧⎨=+++<⎩，10a b ∴-<+<，130a ∴-<+<，43a ∴-<<-综上所述，a 的取值范围为(]4,3--.类型五：一元二次函数求最值（含参数）典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．【答案】(1)[)1,17(2)221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，(3)答案见解析（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数，当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +．③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数，故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +．综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a + 例题2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)2()2f x x =+ (2)222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+，所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数，当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==，综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩同类题型演练1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；【答案】(1)2()221f x x x =--(2)2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(1)解：因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，所以1n =- 又(1)(2)f f -=，所以1224m -+=-，解得2m =-，所以2()221f x x x =--；(2)2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增，所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩2．（2021·江西·兴国县将军中学高一期中）已知二次函数()2f x x bx c =++，且()()31f f -=，()00=f ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()422g x f x a x =-++，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值．【答案】(1)2()2f x x x =+；(2)2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. (1)由(3)(1),(0)0f f f -==，则(0)0f c ==，又931b b -=+，解得2b =， ∴函数()f x 的解析式为2()2f x x x =+.(2)由(1)知，2()2(1)2g x x a x =-++，其对称轴1x a =+，而[]1,2x ∈，当11a +≤，即0a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)12g x g a ==-，当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，min ()(2)24g x g a ==-，当01a <<时，2min ()(1)21g x g a a a =+=--+，∴2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. 类型六：：根据不等式的解求参数典型例题例题1．（2021·福建三明·高一期中）已知函数2()2f x ax x c =++，若不等式()0f x <的解集是{|53}x x -<< (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[,2]m m +上的最小值为20，求实数m 的值. 【答案】(1)2()215f x x x =+- (2)－9或5(1)125,3x x =-=是对应方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根.由韦达定理得12122211515x x a ac c x x a ⎧+=-=-⎪=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪==-⎪⎩，2()215f x x x ∴=+-；(2)22()215(1)16f x x x x =+-=+-，对称轴为1x =-，当21m +≤-，即3m ≤-时，2min ()(2)(3)16f x f m m =+=+-，由已知得：2(3)1620m +-=，解得：m ＝3或－9，又3m ≤-，9m ∴=-，当1m ≥-时，2min ()()(1)16f x f m m ==+-，由已知得：2(1)1620m +-=，解得：m ＝5或－7，又1m ≥-，5m ∴=，当12m m <-<+时，min ()1620f x =-≠，（舍去），综上所述，m ＝－9或5.例题2．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,2x ∈，R a ∈.(1)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； (2)若()f x 最小值为4-，求a 的值. 【答案】(1)54a ≥； (2)94. (1)因为2()21f x x ax =-+开口向上，由[]1,2x ∈时，()0f x ≤恒成立，可得()max 0f x ≤，所以(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即220540a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：54a ≥，所以a 的取值范围为54a ≥. (2)()221f x x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，当1a ≤时，()()min 1224f x f a ==-=-，解得：3a =（舍）；当12a <<时，2min ()()14f x f a a ==-+=-，5a =±（舍）；当2a ≥时，min ()(2)544f x f a ==-=-，94a =；所以a 的值为94.同类题型演练1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==(1)当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，求a的值．【答案】a＝－1或a＝2．【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝125(舍去)．（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．综上可知，a＝－1或a＝2．。

专题22.2 二次函数与一元二次方程(讲练)(解析版)

专题22.2二次函数与一元二次方程（讲练）一、知识点二、标准例题：例1：如图，已知二次函数2y ax bx c=++的部分图象，由图象可估计关于x的一元二次方程20ax bx c++=的两个根分别是1 1.6x=，2x=A．-1.6 B．3.2C．4.4 D．5.2【答案】C【解析】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x 轴交点坐标，是一道较为简单的试题．例2：如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，则方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为（）A ．122,3x x =-=-B ．121,0x x ==C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-=【答案】C【解析】解：∵2(1)10ax b x c +-++=，∴21ax bx c x ++=-. ∴方程2(1)10ax b x c +-++=的根即为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，∵二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，∴方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为122,1x x =-=.故选C.总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键是将方程2(1)10ax b x c +-++=变形为21ax bx c x ++=-，进一步将所求转化为求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：二次函数y ＝x 2+bx ﹣t 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5【答案】A【解析】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝2， ∴b ＝﹣4，则方程x 2+bx ﹣t ＝0，即x 2﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∵方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解， ∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣12＝﹣3，又∵y ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.例4：．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中，m =__________．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．（3）观察函数图象，写出一条性质__________．（4）进一步探究函数图象发现：①方程22||0x x -=有__________个实数根．②关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是__________．【答案】（1）0 （2）（3）当1x >时，y 随x 的增大而增大（4）①3 ②10a -<<．【解析】（1）x=-2时，m=x 2-2l-2l=0；．（2）如图所示（3）由函数图象知：1x >时y 随x 的增大而增大；函数图像关于y 轴对称;（4）如图：①22||=0x x -时即0y =，∴令x 轴有3个交点，分别是2-、0、2；即答案为3;②由函数图象知：关于x 的方程22||x x a -=有4个交点，∴a 的取值范围是10a -<<．总结：本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.三、练习1．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a -C ．12a -<≤D ．12a -≤<【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点， 22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线 22a x a -=-=，抛物线开口向上，而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．2．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a =-=，∴20b a =->，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-， ∴102a b a a +=-=，∵0c >， ∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误；∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确；综上正确的有2个，故选B.3．已知0m >，关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（）A ．1212x x <-<时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >；又∵12x x <∴121,2x x =-=；∴1212x x <-<<，故选：A ．4．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc-⎧⎨++⎩＞＜，解得c＜﹣2，故选B.5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，③a﹣b+c＜0；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（4，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，正确；③∵当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C ．6．抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<【答案】D【解析】∵23y x bx =++的对称轴为直线1x =，∴2b =-，∴223y x x =-+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x =-+与函数y t =的有交点，∵方程在14x -<<的范围内有实数根，当1x =-时，6y =，当4x =时，11y =，函数223y x x =-+在1x =时有最小值2，∴26t ≤<，故选D ．7．若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C【解析】解：当m ＝1时，函数解析式为：y ＝﹣6x + 是一次函数，图象与x 轴有且只有一个交点，当m ≠1时，函数为二次函数，∵函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴62﹣4×（m ﹣1）× m ＝0，解得，m ＝﹣2或3，故选：C ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和正比例函数y ＝﹣13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b + 13）x +c ＝0（a ≠0）的两根之和（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】解：设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a 0＞， 0b a∴-<．设方程210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭的两根为m ，n ，则1133b b m n a a a++=-=-- 010300a a b am m >∴-<-<∴+< . 故选：C ．9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是直线x ＝1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是（）A ．（0，12-）B ．（12-，0）C ．（0，﹣1） D ．（﹣1，0）【答案】D【解析】解：∵点A 的坐标为（3，0）， ∴点A 关于x ＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．故选：D ．10．已知二次函数226y x x m =-+的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____. 【答案】92m >【解析】∵二次函数y=2x 2-6x+m 的图象与x 轴没有交点，∴△＜0，∴（-6）2-4×2×m ＜0，解得：92m >；故答案为：92m >．11．抛物线2243y x x =--，当14x -≤≤时，y 的取值范围是__________．【答案】513y -≤≤【解析】解：根据二次函数的解析式2243y x x =--可得由a=2>0，可得抛物线的开口向上对称轴为：41222b x a -=-=-=⨯ 所以可得在14x -≤≤范围内，二次函数在11x -≤≤ ，y 随x 的增大而减小，在14x <≤ 上y 随x 的增大而增大.所以当1x = 取得最小值，最小值为：2435y =--=- 当4x =取得最大值，最大值为：22444313y =⨯-⨯-= 所以513y -≤≤ 故答案为：513y -≤≤12．抛物线223y x x =--与x 轴的交点坐标是_____【答案】(10)-，，(3,0) 【解析】令y=0，则x 2-2x-3=0，解得x=3或x=-1．则抛物线y=x 2-2x-3与x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）．故答案为（3，0），（-1，0）．13．已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】解：直线与该图象恰有三个不同的交点，则直线与有一个交点， ∴ ，∵与有两个交点， ∴ ，， ∴， ∴；故答案为．14．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx-+=-的解是___________ 【答案】12x =-，25x =.【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x －1)2＋c ＝b －bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+，即：2(1)121x x --=-+，化为：23100x x --=，解得：12x =-，25x =，故答案为：12x =-，25x =.15．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____．【答案】m ＜a ＜b ＜n【解析】∵函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴的交点坐标的横坐标为a 与b ，二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1相当于y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）向下平移一个单位，又∵二次项系数为1，开口向上，如图所示：∴由图可得：m ＜a ＜b ＜n ．故答案为：m ＜a ＜b ＜n ．16．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．【答案】3x <-或1x >．【解析】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，∴m n p -+=，3m n q +=，∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c =++的下方，∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．17．如图，直线y ＝mx +n 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx +n ＜ax 2+bx +c 的解集是____．【答案】﹣1＜x ＜4．【解析】观察函数图象可知：当﹣1＜x ＜4时，直线y ＝mx+n 在抛物线y ＝ax 2+bx+c 的下方， ∴不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集为﹣1＜x ＜4．故答案为：﹣1＜x ＜4．18．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【解析】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为－2或2，当x=2时，y=－5；当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).19．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】(1)2323y x x =-++；(2)13≤；(3)103k <. 【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c=3，由甲同学提供的数据选x=-1，y=6；x=1，y=2，有6323a b a b =-+⎧⎨=++⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴a=1,由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，选x=-1，y=-2；x=1，y=2，有2121a b a b -=--⎧⎨=+-⎩， ∴12a b =⎧⎨=⎩， ∴a=1，b=2，∴y=x 2+2x+3；（2）y=x 2+2x+3的对称轴为直线x=-1，抛物线开口向上，∴当-1x ≥时，y 的值随x 的值增大而增大；故答案为-1≥；(3)方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，即x 2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴()4-430k ∆=->， ∴2k >；20．已知抛物线232y ax bx c =++.（1）若1a b ==，1c =-，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1a b ==，且当11x -<<时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围. 【答案】（1）()1,0-和1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）13c =或51c -<≤- 【解析】（1）当1a b ==，1c =-时，抛物线为2321y x x =+-，方程23210x x +-=的两个根为11x =-，213x =.所以该抛物线与x 轴公共点的坐标是()1,0-和1,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）当1a b ==时，抛物线为232y x x c =++，且与x 轴有公共点.对于方程2320x x c ++=，判别式4120c ∆=-≥，有13c ≤.①当13c =时，由方程213203x x ++=，解得1213x x ==-，此时抛物线为21323y x x =++与x 轴只有一个公共点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当13c <时，11x =-时，1321y c c =-+=+，21x =时，2325y c c =++=+.由已知11x -<<时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为13x =-，应有1200y y ≤⎧⎨>⎩，即1050c c +≤⎧⎨+>⎩，解得51c -<≤-.综上，13c =或51c -<≤-. 21．已知函数()21y x m x m =-+-+（m 为常数）. （1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是（）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上. （3）当23m -≤≤时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D （2）详见解析；（3）当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤. 【解析】（1）因为()()()2214110m m m ∆=--⋅-⋅=+≥，故选D.（2）配方得()2221(1)124m m y x m x m x -+⎛⎫=-+-+=--+⎪⎝⎭，所以该函数的图象的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 把12m x -=代入()21y x =+，得221(1)124m m y -+⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上.（3）设函数的图象的顶点纵坐标()214m z +=.当1m =-时，z 有最小值0.当1m <-时，z 随m 的增大而减小；当1m >-时，z 随m 的增大而增大.又当2m =-时，()221144z -+==；当3m =时，()23144z +==.因此，当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤.。

2021中考数学专题复习— 一元二次方程和二次函数

一元二次方程及其应用一、选择题1. 一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2. 一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为()A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝5C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝53. 一元二次方程x2＋2x－3＝0的根是()A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝34. 关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为()A．10 B．50 C．55 D．456. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是() A．m＜1 B．m≥1C．m≤1 D．m＞17. 关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是()A．有两个不相等的实数根C．没有实数根B．有两个相等的实数根D．不能确定8. 某市2018年GDP比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019年的GDP 比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x，则x满足的关系式是() A．11.5%＋7%＝xB．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x)C．11.5%＋7%＝2xD．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)29. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价()A．5元B．10元C．20元D．10元或20元10. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为()A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元二、填空题11. 一元二次方程2x2－4＝－5x的根的判别式Δ＝________．12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为.13. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为__________________________________．14. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．15. 2018·内江已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．16. 某校课外生物小组的试验园地是长32 m，宽20 m的矩形，为了便于管理，现要在试验园地开辟宽度均为x m的小道(图中的阴影部分)．(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为________m2(用含x的代数式表示)；(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行．若使剩余部分的面积为570 m2，则小道的宽度为________m.三、解答题17. 解方程:(y+2)2=(2y+1)2.18. 解方程：(1)3x 2－4x ＝2；(2)(x －6)2＝2(6－x )；(3)x 2－1＝4x (用配方法)；(4)4(x －3)2＝(3x ＋5)2.19. 2019·北京若关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加0.5万元，就会少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为0.5万元的整数倍)．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.5万元．(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益＝租金－各种费用)为275万元？21. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x 2＋ax ＝b 2(a ＞0，b ＞0)的方程的图解法是：如图，以a 2和b 为两直角边作Rt△ABC ，再在斜边上截取BD ＝a 2，则AD 的长就是所求方程的解． (1)请用含字母a ，b 的代数式表示AD 的长；(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】B 【解析】△方程有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝2－4sin α＝0，∴sin α＝12，又△α为锐角，∴α＝30°. 5. 【答案】C6. 【答案】D [解析] △方程无实数根，△Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1·m ＝4－4m ＜0，解得m ＞1.故选D.7. 【答案】A [解析] △a ＝1，b ＝k ，c ＝－2，△Δ＝b 2－4ac ＝k 2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，△方程有两个不相等的实数根．故选A.8. 【答案】D [解析] 设2017年的GDP 为1，∵2018年的GDP 比2017年增长了11.5%，∴2018年的GDP 为1＋11.5%.∵2019年的GDP 比2018年增长了7%，∴2019年的GDP 为(1＋11.5%)×(1＋7%)．∵这两年GDP 的年平均增长率为x ，∴2019年的GDP 也可表示为(1＋x )2，∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x )2.9. 【答案】C [解析] 设每件衬衫降价x 元，则每天可售出(20＋2x )件，根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1200，解得x 1＝10，x 2＝20.∵要扩大销售，减少库存，∴x ＝20.10. 【答案】D [解析] 设这种机床每台的售价定为x 万元，则x ⎝⎛⎭⎫60－x －20.1＝2×60×(1＋25%)，解得x 1＝3，x 2＝5.二、填空题11. 【答案】57 [解析] 原方程移项得2x 2＋5x －4＝0.这里a ＝2，b ＝5，c ＝－4，△Δ＝52－4×2×(－4)＝25＋32＝57.12. 【答案】16[解析]解方程x2-10x+21=0，得x1=3，x2=7，因为已知两边长为3和6，所以第三边长x的范围为:6-3<x<6+3，即3<x<9，所以三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16.13. 【答案】(0.3－0.1x)(500＋100x)＝12014. 【答案】5，6[解析] 设较小的自然数为x，则较大的自然数为(x＋1)．根据题意，得x2＋(x＋1)2＝2x＋51，解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．则这两个自然数分别为5，6.15. 【答案】1[解析] 设x＋1＝t，方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根分别是x3，x4，∴at2＋bt＋1＝0.由题意可知：t1＝1，t2＝2，∴t1＋t2＝3，∴x3＋x4＋2＝3，∴x3＋x4＝1.16. 【答案】(1)20(32－x)(2)1[解析] (1)根据题意，得剩余部分的面积为20(32－x)m2.(2)根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570，解得x1＝1，x2＝35(不合题意，舍去)．即小道的宽度为1 m.三、解答题17. 【答案】解:∵(y+2)2=(2y+1)2，∴(y+2)2-(2y+1)2=0，∴(y+2+2y+1)(y+2-2y-1)=0，∴3y+3=0或-y+1=0，∴y1=-1，y2=1.18. 【答案】解：(1)3x2－4x－2＝0，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－2)＝40，x ＝4±402×3＝2±103，所以x 1＝2＋103，x 2＝2－103. (2)(x －6)2＋2(x －6)＝0，(x －6)(x －6＋2)＝0，(x －6)(x －4)＝0，x －6＝0或x －4＝0，所以x 1＝6，x 2＝4.(3)x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝5，(x －2)2＝5，x ＝2±5，所以x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(4)4(x －3)2－(3x ＋5)2＝0，(2x －6＋3x ＋5)(2x －6－3x －5)＝0，(5x －1)(－x －11)＝0，5x －1＝0或－x －11＝0，所以x 1＝15，x 2＝－11.19. 【答案】解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得m ≤1.∵m 为正整数，∴m ＝1，∴原方程为x 2－2x ＋1＝0，则(x －1)2＝0，解得x 1＝x 2＝1.20. 【答案】解：(1)30－13－100.5×1＝24(间)， ∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．(2)设每间商铺的年租金增加x 万元，则每间商铺的年租金为(10＋x )万元，依题意有(30－x 0.5×1)×(10＋x )－(30－x 0.5×1)×1－x 0.5×1×0.5＝275，即2x 2－11x ＋5＝0，解得x 1＝5，x 2＝0.5.∴当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．21. 【答案】12解：(1)△△ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ， △AB ＝b 2＋a 24， △AD ＝b 2＋a 24－a 2＝－a ＋4b 2＋a 22. (2)方程x 2＋ax ＝b 2整理，得x 2＋ax －b 2＝0.Δ＝a 2－4×1×(－b 2)＝a 2＋4b 2>0， △x ＝－a±a 2＋4b 22，即x 1＝－a ＋4b 2＋a 22，x 2＝－a －4b 2＋a 22. 正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．二次函数的图象及其性质一、选择题1. 二次函数y=(x -1)2+3的图象的顶点坐标是 ( )A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 若二次函数y ＝x2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b ，k 的值分别为( )A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，13. 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为( )A ．y ＝x2－3x ＋2B ．y ＝2x2－6x ＋4C ．y ＝2x2＋6x －4D ．y ＝x2－3x －24. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m 为实数).其中结论正确的个数为 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 将抛物线y ＝－3x2平移，得到抛物线y ＝－3(x －1)2－2，下列平移方式中，正确的是( )A ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这( )A ．y ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋3 B ．y ＝3⎝⎛⎭⎫x －122＋1 C ．y ＝－8⎝⎛⎭⎫x －122＋3 D ．y ＝－8⎝⎛⎭⎫x ＋122＋3 7. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c 在同一个函数的图象上，这个函数可能是A ．y x ＝B ．2y x =-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣9. 已知函数y ＝ax2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( )A. 当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C. 若a ＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而减小D. 若a ＜0，则当x≤1时，y 随x 的增大而增大10. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y ＝－x2＋2x ＋c 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y3二、填空题11. 如果二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的顶点坐标为(－1，－3)，那么它的对称轴为直线x ＝________，k 的值为________．12. (2019•株洲)若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则__________0(填“=”或“>”或“<”)．13. 某学习小组为了探究函数y ＝x2－|x|的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m ＝________．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 已知函数y ＝ax2＋c 的图象与函数y ＝－3x2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．16. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)三、解答题17. 如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1 m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4 m，最高处距离飞出点的水平距离是6 m，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y(m)与飞行的水平距离x(m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m)(3)若对方一名1.7 m的队员在距落地点C 3 m的点H处跃起0.3 m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？18. (2019•云南)已知k是常数，抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．(1)求k的值：(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．19. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．20. 如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx经过点B(1，4)和点E(3，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD＝DE.求D点的坐标；(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得△BDM 的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M 的坐标．21. 如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S ，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S 的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图22021中考数学专题训练：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】D 【解析】由y ＝(x －2)2＋k 知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y ＝x2＋bx ＋5知其对称轴为x ＝－b 2，得－b2＝2，所以b ＝－4；于是可以得到函数的解析式是y ＝x2－4x ＋5，把(2，k)代入其中即得k ＝1.3. 【答案】B [解析] 把(1，0)，(2，0)，(3，4)分别代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－6，c ＝4，所以y ＝2x2－6x ＋4.故选B.4. 【答案】C [解析]①∵抛物线开口向上，∴a>0. ∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴->0， ∴b<0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，∴①错误; ②当x=-1时，y>0，∴a -b+c>0.∵-=1，∴b=-2a.把b=-2a 代入a -b+c>0中得3a+c>0，∴②正确; ③当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴a+c<-b.∵a+c>b ，∴|a+c|<|b|，即(a+c)2-b2<0， ∴③正确;④∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，函数的最小值为a+b+c ， ∴a+b+c≤am2+mb+c ，即a+b≤m(am+b)，∴④正确.故选C.5. 【答案】D [解析] ∵抛物线y ＝－3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y ＝－3(x －1)2－2的顶点坐标为(1，－2)，∴将抛物线y ＝－3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线y ＝－3(x －1)2－2.6. 【答案】C7. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误；函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误；观察图象可知x=-1时y=a -b+c>0，所以a -b+c>0，C 选项错误；根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==，即x=3为函数对称轴，D 选项正确，故选D ．8. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -，∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x ==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误； ∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．9. 【答案】D 【解析】当a ＝1时，函数为y ＝x2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A 选项错误；当a ＝－2时，函数为y ＝－2x2＋4x －1，b2－4ac ＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B错误；当a>0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a<0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．10. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P1(－1，y1)，P2(3，y2)关于直线x ＝1对称，P3(5，y3)在图象的右下方部分上，因此，y1＝y2>y3.二、填空题11. 【答案】－1 －312. 【答案】<【解析】∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <．故答案为：<．13. 【答案】0.75 【解析】根据表格可得该图象关于y 轴对称，故当x ＝1.5和x ＝－1.5时，y 的值相等．∴m ＝0.75.14. 【答案】21(4)2y x =-【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠，把(2,2)P 代入，得24a =，解得12a =，故原来的抛物线解析式是：212y x =，设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-，把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-，故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】3 216. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．三、解答题 17. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. △A(0，1)在抛物线上， △1＝a(0－6)2＋4，解得a ＝－112，△y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x1＝4 3＋6≈13，x2＝－4 3＋6＜0(舍去)，△在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m.(3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2，△这名队员不能拦到球．18. 【答案】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k -6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k2+k -6=0，解得k=-3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=-3时，二次函数解析式为y=x2-9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=-3．(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为-2或2，当x=2时，y=-5；当x=-2时，y=-5，∴点P 的坐标为(2，-5)或(-2，-5)．19. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b 2a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝－x2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m2－3m ，所以S△PAB ＝12×(－m2－3m)×3＝－32(m2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278，所以当m ＝－32时，S△PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．20. 【答案】(1)将点B(1，4)，E(3，0)的坐标代入抛物线的解析式得,0394⎩⎨⎧=+=+b a b a解得,62⎩⎨⎧=-=b a∴抛物线的解析式为y ＝－2x2＋6x ； (2)∵BD ⊥DE ， ∴∠BDE ＝90°，∴∠BDC ＋∠EDO ＝90°，又∵∠ODE ＋∠DEO ＝90°， ∴∠BDC ＝∠DEO ，在△BDC 和△DEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BCD ＝∠DOE ＝90°∠BDC ＝∠DEO BD ＝DE，∴△BDC ≌△DEO(AAS)， ∴OD ＝BC ＝1，∴D(0，1)；(3)如解图，作点B 关于抛物线的对称轴的对称点B ′，连接D B '交抛物线的对称轴于点M.解图∵抛物线对称轴为直线x ＝a b2-＝32，∴点B ′的坐标为(2，4)，∵点B 与点B ′关于x ＝32对称，∴MB ＝M B '，∴DM ＋MB ＝DM ＋MB ′，∴当点D 、M 、B ′在同一条直线上时，MD ＋MB 有最小值(即△BMD 的周长有最小值)， ∵DC ＝OC －OD ＝3，CB ′＝2，CB ＝1，∴D B '＝2'2CB DC +＝13，BD ＝22BC DC +＝10，∴△BDM 周长的最小值＝10＋13，设直线D B '的解析式为y ＝kx ＋t ，将点D 、B ′的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝12k ＋t ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32t ＝1，∴直线DB ′的解析式为y ＝32x ＋1，将x ＝32代入得y ＝134，∴M(32，134)．21. 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2）梯形O1A1B1C1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S=36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4。

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。

考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围．解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ；当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0，又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________．答案 {2}解析原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________．答案 {x |－4<x <1}解析易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________．答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________．答案 2≤a <3解析若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0，解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解，等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解．由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2，故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0，等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )．解原不等式可化为x －a x ＋1<0，即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0，可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案乙车解析由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（）A ． 3.24x 9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（）A ．x aC ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（）A ．13x -<D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

二次函数与一元二次方程题型归纳

二次函数与一元二次方程-重难点题型二次函数的图象【题型1 抛物线与x轴的交点】【例1】（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【变式1-1】（2020秋•路南区期末）小明在解二次函数y＝ax2+bx+c时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图象过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定【变式1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1【变式1-3】（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n【变式2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（）A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q【变式2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【变式2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．【变式3-1】（2020秋•南京期末）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为．【变式3-2】（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为．【变式3-3】（2020秋•上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2020秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【变式4-1】（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．0【变式4-2】（2020秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【变式4-3】（2020秋•钦州期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（）A．2.18B．2.68C．﹣0.51D．2.45【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1【变式5-1】（2020秋•淮安区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…123…y…0﹣10…（1）求该二次函数的表达式．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；不等式ax2+bx+c＜3的解集为．【变式5-2】（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【变式5-3】（2021•九龙坡区校级模拟）已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：（1）a＝，b＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．−214或﹣3B．−134或﹣3C．214或﹣3D．134或﹣3【变式6-1】（2021•章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A．−254＜m＜3B．−254＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2【变式6-2】（2021•南沙区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A．h＞52B．0＜h≤52C．h＞2D．0＜h＜2【变式6-3】（2021•莱芜区模拟）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．1＜m＜158B．158＜m＜3C．1＜m＜3D．−18＜m＜1。

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质(解析版)

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质【知识点梳理】知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=．① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．知识点3：二次函数图像的伸缩变换问题函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0) 知识点4：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++，所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．【题型归纳目录】题型1：根的判别式题型2：根与系数的关系（韦达定理）题型3：二次函数图像的伸缩变换题型4：二次函数图像的平移变换【典型例题】题型1：根的判别式例1．已知关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-2kx +k +1=0，若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】2k -＞且2k ≠ 【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式大于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22210()k x kx k --++=有两个不相等的实数根， ∴224(2)4(2)(1)480b ac k k k k ∆=-=---+=+>，且20k -≠；解得，2k -＞且2k ≠．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．例2．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．【答案】(1)m的值为1或-2 (2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∴m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∴m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m ＝4924．【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.例3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】(1)94k ≤ (2)32m =【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据（1）确定2k =，从而求出方程2320x x -+=的解为121=2x x =，，然后分相同的根为1x =时和2x =时，两种情况讨论求解即可． (1)解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根， ∴()22=4=340b ac k ∆---≥， ∴94k ≤； (2) 解：∵94k ≤， k 是符合条件的最大整数， ∴2k =，∴方程230x x k -+=即为2320x x -+=，解方程2320x x -+=得：121=2x x =，，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根当这个相同的根为1x =时， ∴1130m m -++-=， ∴32m =；当这个相同的根为2x =时，∴()4123m m -++-， ∴1m =，∵当1m =时，方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0即为20x -=不是一元二次方程， ∴32m =．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．例4．已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．【答案】(1)14m ＞且0m ≠ (2)另一个根为32【解析】【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可． (1)解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程， 0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac ＞，即：2(21)4(2)0m m m ＞，整理得：410m ＞， 14m ＞，综上所述：14m ＞且0m ≠． (2)∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x ==， ∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0＞方程有两个不相等的实数根， =0方程有两个相等的实数根，0＜方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．例5．已知关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)2x =是方程的一个根吗？若方程有一个实数根为负数，求正整数m 的值．【答案】(1)见解析(2)x =2是方程的一个根，1m = 【解析】【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可． (1)证明：∵Δ=（-m ）2-4×（2m -4） =m 2-8m +16 =（m -4）2， ∵（m -4）2≥0，∴方程总有两个实数根． (2)解：把x =2代入方程左边，得左边=22-2m +2m -4=0=右边， ∴x =2是方程x 2-mx +2m -4=0的一个根；用因式分解法解此方程x 2-mx +2m -4=0，可得（x -2）（x -m +2）=0，解得x 1=2，x 2=m -2，若方程有一个根为负数，则m -2＜0，故m ＜2， ∴正整数m =1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．题型2：根与系数的关系（韦达定理）例6．已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求m 的取值范围；(2)若120x x ⋅=，求方程的两个根．【答案】(1)14m <且0m ≠ (2)10x =，232x =-【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于m 的不等式，求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得122m x x m+⋅=，根据120x x ⋅=可得关于m 的方程，整理后即可解出m 的值，最后求出方程的根． (1)解：∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根，∴0>且0m ≠，即()()221420m m m +-⨯⨯+>且0m ≠，解得：14m <且0m ≠． (2)∵关于x 的一元二次方程()22120mx m x m ++++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴122m x x m+⋅=， ∵120x x ⋅=， ∴20m m+=，解得：2m =-，经检验：2m =-是分式方程的解， ∴当2m =-时，方程为：2230x x --=，解得：10x =，232x =-．【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴0>⇔方程有两个不相等的实数根；⑵0=⇔方程有两个相等的实数根；⑶0<⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=．例7．已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=． (1)求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且212x x -=，求a 的值．【答案】(1)见解析；(2)11a =，213a =-【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可． (1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=，2(31)4(21)a a a ∆=+-+，221a a =++2(1)0a =+≥∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)解：依题意得，1231a a x x ++=，1221a ax x +=， ∵212x x -=，∴21212()44x x x x +-=，∴2314(21)()4a a a a++-=，即23210a a --=，（3a +1）（a -1）=0，解得11a =，213a =-；【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a=．例8．若α=20x x t -+=的根；(1)则方程的另外一个根β=______，t =______；(2)求()()323211ααββ-+-+的值．【答案】1- (2)1【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）根据,αβ是为一元二次方程210x x --=的根，可得3232αααβββ-=-=，，代入代数式化简，进而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．(1)解：∵α=20x x t -+=的根，设方程的另外一个根为β， ∴1βα+=1β∴==1t αβ∴=⋅==-1-； (2) ,αβ是为一元二次方程210x x --=的根210αα∴--=，210ββ--=21αα∴-=，21ββ-=，0α≠，0β≠，32ααα∴-=，32βββ-=，∴()()323211ααββ-+-+()()11αβ=++1αβαβ=+++1αβ+=，1αβ=-，∴原式1111=-+=【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m --+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两实数根12,x x 满足()()12117x x --=，求m 的值．【答案】(1)34m <(2)1m =-【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则0∆>，由此求得m 的取值范围；（2）由12(1)(1)7x x --=得1212()17x x x x -++=，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．(1) 解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m --+=有两个不相等的实数根， ∴22(23)40m m ∆=-->，解得34m <． (2)解：根据题意得，212x x m =，1223x x m +=-．12(1)(1)7x x --=，∴1212()17x x x x -++=，即2(23)17m m --+=，解得1m =-或3m =，又34m <， ∴1m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键．例10．已知关于x 的一元二次方程22430x kx k -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0k >，且该方程的两个实数根的差为3，求k 的值．【答案】(1)见解析 (2)32【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出24=b ac ∆-结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=3k 2，结合（x 1-x 2）2=9，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．(1)∵222(4)4134k k k ∆=-⨯⨯=，且无论k 为何实数，240k ≥∴Δ≥0∴该方程总有两个实数根；(2)方法一：设该方程两个实数根分别为()1212,x x x x ≥，则有124x x k +=，1223x x k ⋅=123x x -=则()2129x x -= ()2121249x x x x ⋅+-= 2216129k k -=294k = 解得：32k =± ∵0k >． ∴32k 方法二：()()30x k x k --=解得：1x k =，23x k = 由题意得：123x x -=33k k -=，解得：32k =± ∵0k >．∴32k 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ=0时，一元二次方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x 1-x 2）2=1，找出关于k 的方程．题型3：二次函数图像的伸缩变换例11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；(2)若y ＝ax 2+bx ﹣2的图象的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．【答案】(1)1a b +=- (2)13,1,22a = 【解析】【分析】（1）代入A 、B 坐标，求出a 、b 的值即可得解；（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，根据顶点在第四象限得出02b a-＞，求出a 的取值范围，进而得出a +b 的取值范围，即可求解． (1)代入A 、B 坐标，可得： 1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则a +b =-1；(2)∵抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，∴抛物线的开口向上，即a ＞0，且抛物线对称轴02b xa＞， ∵抛物线过B 点(-1,0)，∴代入B 点坐标可得：a -b -2=0，则有b =a -2，∴2022b a a a --=-＞，解得a ＜2，∴02a ＜＜，∵a +b =a +a -2=2a -2，∴2222a --＜＜，∵a +b 是整数，∴a +b =a +a -2=2a -2为整数，∴2a -2可以为-1,0,1，∴a 可以为12，1，32．【点睛】本题考查了求解抛物线与x 轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与x 轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即a ＞0，是解答本题的关键．例12．抛物线212y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于点C ，对称轴为直线32x =-．(1)如图1，若点C 坐标为(0,2)，则b =_______，c =_________；(2)若点P 为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP 面积最大时，点P 坐标和四边形ABCP 的最大面积；(3)如图2，点D 为抛物线的顶点，过点O 作MN CD ∥别交抛物线于点M ，N ，当3MN CD =时，求c 的值．【答案】(1)32-，2； (2)点P （-2，3），四边形ABCP 的最大面积为9； (3)94．【解析】【分析】（1）根据解析式和对称轴可求出b ，根据C 点坐标即可求出ｃ；（2）求出1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <，求出24(0)APC S x x x =--<△，进一步求出S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，即可求出结果；（3）求出直线CD 的解析式为：34y x c =-+，进一步可得直线MN 的解析式为：34y x =-，分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，证明MHN DGC ∽△△，即可求出结果． (1)解：由题意可知：∵322b x a =-=-，∴32b =-， ∵点C 坐标为(0,2)，∴2c =；(2) 解：令2130222y x x ==--+，整理得(1)(4)0x x -+=，解得1x =或4x =-，∴(4,0)A -，(1,0)B ，∵(0,2)C ，∴5AB =，2OC =， ∴152ABC S AB OC =⨯=△， ∵(4,0)A -，(0,2)C ， ∴1:22AC l y x =+，过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点Q ，设点213(,2)22P x x x --+，(0)x <则点1(,2)2Q x x +， 2213112(2)22222PQ x x x x x =--+-+=--，∴21()4(0)2APC APQ PCQ C A S S S PQ x x x x x =+=⨯-=--<△△△， ∴S 四边形ABCP 22=45(2)9APC ABC S S x x x +=--+=-++△△，∵10-<，函数图象开口向下，又0x <，∴当2x =-时，S 四边形ABCP 最大 = 9，此时点(2,3)P -，∴当点(2,3)P -时，四边形ABCP 的最大面积，最大面积为9；(3) 解：∵221313()222298y x x c x c =--+=-+++， ∴39,28D c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－，又∵(0,)C c ，∴设直线CD 的解析式为1y kx b =+（k≠0），代入点D ，C 的坐标得119382c b c k b =⎧⎪⎨+=-+⎪⎩，解得134k b c⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CD 的解析式为：34y x c =-+， ∵MN CD ∥，∴直线MN 的解析式为：34y x =-，由题意，联立2132234y x x c y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得：213024x x c +-=，解得：x =932c ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，由题意，N xM x ，M N x x -= 分别过C ，N 作x 轴的平行线，过D ，M 作y 轴的平行线交于点G ，H ，∴G H ∠=∠，DCG MOA MNH ∠=∠=∠，∴MHN DGC ∽△△， ∴CG CD NH MN=， ∵ MN ＝3CD ， ∴13CG CD NH MN ==， ∵39(,)28D c -+，(0,)C c ， ∴32CG = ， ∴39322NH =⨯= ，又∵M N NH x x =- ∴94c =．【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质，一次函数，相似三角形的判定及性质知识点．例13．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0ab ≠）．当2b x a=-时，函数y 有最小值1-．(1)若该函数图象的对称轴为直线1x =，并且经过()0,0点，求该函数的表达式．(2)若一次函数y ax c =+的图象经过二次函数2y ax bx c =++图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若()(),,,a p c q 是该二次函数图象上的两点，求证：p q >．【答案】(1)22y x x =-(2)①顶点坐标为（-1，-1）；②证明见解析【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，再设出该函数的顶点式解析式，将点（0,0）的坐标代入解析式中求出a ，即可求解；（2）①将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，再利用2414ac b a-=-，进行转化后，求出12b a -=-即可求解； ②设函数表达式为()211y a x =+-，代入两点坐标后得到p 和q 的表达式，利用作差法比较大小即可．(1)解：由题意，得函数图象的顶点坐标为()1,1-，所以可设函数表达式为()211y a x =--，把()0,0代入，解得1a =，所求函数的表达式为22y x x =-．(2) ①由题意，将顶点1),2(b a --代入y ax c =+，化简，得12b c =+．又因为2414ac b a-=-，所以2b a =，1c a =-．所以12b a-=-，所以顶点坐标为()1,1--． ②由①可知，函数顶点坐标为()1,1--，1c a =-，所以可设函数表达式为()211y a x =+-．所以()()22311,1111p a a q a a a =+-=-+-=-． ()()2321112p q a a a a a -=+---=+．因为函数有最小值，所以0a >，所以0p q ->，所以p q >．本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数及其图象、作差法比较大小等，解题的关键是牢记函数的顶点式解析式和顶点坐标公式等．例14．已知点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--图像的顶点．(1)小明发现，对m 取不同的值时，点P 的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图像上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：①将下表填写完整：②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图像上？求出这个图像对应的函数表达式，并加以验证，(2)若过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ，与②中得到的函数的图像有两个交点C 和D ，当AB CD =时，直接写出m 的值等于________；(3)若2m ≥，点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，点E 在②中得到的函数的图像上，当90EPQ ∠=︒时，求出E 点的横坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】(1)①（0，﹣1），（1，1），（2，5），表格见解析，②在二次函数图像上，二次函数表达式是21y x x =+-，验证见解析；； (3)2322m m -+【解析】（1）点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，得到点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），分别带入m 的值求解P 点的坐标，描出表格中的五个点，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入，利用待定系数法求出函数表达式，把x ＝m －1代入函数表达式验证即可；（2）根据题意求出AB 和CD 的长度，利用AB ＝CD ，列出方程并解方程即可求得m 的值；（3）求出点Q 的坐标，设点E 的坐标为（t ，21t t +-），利用两点间距离公式表示出2PE 、2PQ 、2QE ，由勾股定理得到2PE ＋2PQ ＝2QE ，整理后即可表示出点E 的横坐标(1)解：∵点P 是二次函数()22111y x m m m =--++--[]2(1)x m =---21m m +--图像的顶点，∴点P 的坐标表示为（m －1，21m m --）当m ＝1时，m －1＝0，21m m --＝21111--=-，此时P 点坐标是（0，﹣1）；当m ＝2时，m －1＝1，21m m --＝22211--=，此时P 点坐标是（1,1）；当m ＝3时，m －1＝2，21m m --＝23315--=，此时P 点坐标是（2,5）；填写表格如下：故答案为：（0，﹣1），（1，1），（2，5）；②描出表格中的五个点，如图所示，猜想这些点在一个二次函数图像上，设二次函数的表示为2y ax bx c =++，把（0，﹣1），（1，1），（2，5）分别代入得11425c a b c a a c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴函数表达式为21y x x =+-当x ＝m －1时，2221(1)111y x x m m m m =+-=-+--=--，∴点P 在二次函数21y x x =+-的图像上，猜想成立．(2)解：∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与()22111y x m m m =--++--的图像有两个交点A 和B ， ∴当y ＝2时，()22211x m m m =--++--，方程整理得()2213x m m m -+=--解得11x m =-21x m =-∴AB ＝｜12x x -｜＝∵过点（0，2），且平行于x 轴的直线与抛物线21y x x =+-有两个交点C 和D ，∴当y ＝2时，221x x =+-，解得1x =，2x CD ＝｜12x x -∵AB ＝CD∴整理得244250m m --=解得1m =2m =； (3)解：∵点Q 在二次函数()22111y x m m m =--++--的图像上，横坐标为m ，∴当x ＝m 时，y ＝()222112m m m m m m --++--=--，∴点Q 的坐标是（m ，22m m --），∵点E 在②中得到的函数的图像上，∴可设点E 的坐标为（t ，21t t +-）由（1）知点P 的坐标表示为（m －1，21m m --），则22222(1)[(1)(1)]PE m t m m t t =--+---+-，22222(1)[(1)(2)]2PQ m m m m m m =--+-----=，22222()[(2)(1)]QE m t m m t t =-+---+-，∵90EPQ ∠=︒∴△EPQ 是QE 为斜边的直角三角形，由勾股定理得2PE ＋2PQ ＝2QE ，∴2222(1)[(1)(1)]m t m m t t --+---+-＋2＝2222()[(2)(1)]m t m m t t -+---+-解得t ＝2322m m -+． ∴点E 的横坐标是2322m m -+．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的顶点式、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法、坐标系中两点间距离、勾股定理等知识，运算量较大，具备良好的计算能力是解答此题的关键．题型4：二次函数图像的平移变换例15．已知关于x 的方程ax 2+（3a +1）x +3＝0．(1)求证：无论a 取任何实数时，该方程总有实数根；(2)若抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求a 值以及此时抛物线的顶点H 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，与直线OH 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h 的值或取值范围．【答案】(1)证明过程见详解．(2)a ＝1，(﹣2，﹣1)(3)h ＝72或﹣52≤h<2 【解析】【分析】（1）分别讨论当a ＝0和a ≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0，求出两根，再根据抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，求出a 的值，即可求顶点坐标；（3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h 的范围，由平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可求h 的值，即可求解．(1)解：当a ＝0时，原方程化为x +3＝0，此时方程有实数根 x ＝﹣3．当a ≠0时，原方程为一元二次方程．∵∆＝（3a +1）2﹣12a ＝9a 2﹣6a +1＝（3a ﹣1）2≥0．∴此时方程有两个实数根．综上，不论a 为任何实数时，方程 ax 2+（3a +1）x +3＝0总有实数根．(2)∵令y ＝0，则 ax 2+（3a +1）x +3＝0．解得 x 1＝﹣3，x 2＝﹣1a ．∵抛物线y ＝ax 2+（3a +1）x +3的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且a 为正整数，∴a ＝1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x +3＝（x +2）2﹣1．∴顶点H 坐标为（﹣2，﹣1）；(3)∵点O （0，0），点H （﹣2，﹣1）∴直线OH 的解析式为：y ＝12x ，∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h ，12h ），∴解析式为：y ＝（x ﹣h ）2+12h ，∵直线y ＝﹣x +5与y 轴交于点C ，∴点C 坐标为（0，5）当抛物线经过点C 时，∴5＝（0﹣h ）2+12h ，∴h 1＝﹣52，h 2＝2， ∴当﹣52≤h<2时，平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点；当平移的抛物线与直线CD （含端点C ）只有一个公共点，联立方程组可得251()2y x y x h h =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴x 2+（1﹣2h ）x +h 2+12h ﹣5＝0，∴∆＝（1﹣2h ）2﹣4（h 2+12h ﹣5）＝0， ∴h ＝72， ∴抛物线y ＝（x ﹣72）2+74与射线CD 的唯一交点为（3，2），符合题意；综上所述：平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，顶点横坐标h ＝72或﹣52≤h<2．【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD 是射线，分情况讨论．例16．已知抛物线()2430y ax ax a =-+≠的图象经过点()2,0A -，过点A 作直线l 交抛物线于点()4,B m ．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移()0n n >个单位，使顶点落在直线l 上，求m ，n 的值．【答案】(1)2134y x x =-++；()2,4(2)3；2【解析】【分析】（1）把点()2,0A -代入()2430y ax ax a =-+≠，求出a 的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C ()4,m 代入2134y x x =-++可求出m 的值；再运用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．(1)将()2,0A -代入243y ax ax =-+得：0483a a =++，解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2134y x x =-++， ∵121224b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，2214314441444ac b a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为()2,4；(2)把C ()4,m 代入2134y x x =-++得， 4433m =-++=，设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()2,0A -，()4,3B 代入y kx b =+得0234k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为112y x =+， ∵顶点的横坐标为2，∴把2x =代入112y x =+得：2y =， ∴422n =-=．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．例17．将抛物线2(0)y ax a =≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P 是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图1，点P 在线段AC 上方的抛物线H 上运动（不与A ，C 重合），过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 交AC 于点E ．作PF AC ⊥，垂足为F ，求PEF 的面积的最大值；(3)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)2(1)4y x =-++ (2)8164(3)存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M - 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线2:(1)4H y a x =++，根据点A 的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据题意求得直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +，进而根据二次函数的性质求得PE 的最大值，进而根据21124PEF S PF EF PE =⋅=即可求解；（3）设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ，则224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC =，分①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC +=，即2241(3)18m m +++-=，②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+-，③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++-，解方程求解即可．(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴抛物线2:(1)4H y a x =++，将(3,0)A -代入，得：2(31)40a -++=，解得：1a =-，∴抛物线H 的表达式为2(1)4y x =-++；(2)如图1，由（1）知：223y x x =--+，令0x =，得3y =，∴(0,3)C ，设直线AC 的解析式为y mx n =+，∵(3,0),(0,3)A c -，∴303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x ，设()2,23P m m m --+，则(,3)E m m +， ∴2223923(3)324PE m m m m m m ⎛⎫=--+-+=--=-++ ⎪⎝⎭， ∵10-<， ∴当32m =-时，PE 有最大值94， ∵3,90OA OC AOC ==∠=︒，∴AOC △是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵PD AB ⊥，∴90ADP ∠=︒，∴ADP AOC ∠=∠，∴PD //OC ，∴45PEF ACO ∠=∠=︒，∵PF AC ⊥，∴PEF 是等腰直角三角形，∴PF EF ==， ∴21124PEF S PF EF PE =⋅=， ∴当32m =-时，219814464PEF S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭最大值； (3)∵2y x 2x 3=-++．∴设(1,)M m -，(3,0)A -，(0,3)C ∴224MA m =+，221(3)MC m =+-，218AC = ①当90AMC ∠=︒时，222MA MC AC += 即2241(3)18m m +++-=，解得m =∴1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭②当90MAC ∠=︒时，222MA AC MC +=，即224181(3)m m ++=+- 解得2m =-，即3(1,2)M --③当90MCA ∠=︒时，222MA MC AC =+即224181(3)m m +=++- 解得4m =，即4(1,4)M -综上所述：在抛物线的对称轴上存在点1M ⎛- ⎝⎭，2M ⎛- ⎝⎭，3(1,2)M --，4(1,4)M -，使以A 、M 、C 为顶点的三角形为直角三角形．【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，直角三角形问题，勾股定理，解一元二次方程，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，并能分类讨是解题的关键．例18．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点(0,3)C ，且3OC OA =．点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，过点E 作EF x ∥轴，交抛物线于点F ．(1)若3EF =，求抛物线的解析式以及点E 的坐标；(2)若点E 沿抛物线向下移动，使得对应的EF 的取值范围为1213EF ≤≤，求移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)153324F y -≤≤- 【解析】【分析】（1）利用已知条件求出A 的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；设点()()12,,,E x n F x n ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，EF =3，得到213x x -=，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，联立即可求得1x 的值，再代入抛物线即可求出答案；（2）设点()()12,,,F F E x y F x y ，利用E 是对称轴左侧的抛物线上一点，得到EF =21x x -，利用抛物线的对称轴为直线x =1，得到1212x x +=，则122x x =-，可得222EF x =-，利用已知条件求出2x 的取值范围，结合图象，再利用抛物线解析式即可得出结论． (1)解：点(0,3)C ，3OC ∴=，3OC OA =，1OA ∴=， ∴点(1,0)A -，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,3)C ，230(1)(1)c b c =⎧⎨=--+⨯-+⎩解得：23b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， EF x ∥轴，∴设点()()12,,,E x n F x n ，点E 是对称轴左侧的抛物线上一点，3EF =， 213x x ∴-=，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =，1212x x +∴=， ∴2112312x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：121252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当112x =-时，211723224n ⎛⎫⎛⎫=--+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴点17,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)EF x ∥轴，∴设点()()12,,,F F E x y F x y ，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴：直线1x =， 1212x x +∴=， 122x x ∴=-，()21222222EF x x x x x ∴=-=--=-， 1213EF ≤≤，2122213x ∴≤-≤，21572x ∴≤，当7x =时，2F 727332y =-+⨯+=-，当152x =时，2F 151515323224y ⎛⎫=-+⨯+=- ⎪⎝⎭，∴移动过程中点F 的纵坐标F y 的取值范围：153324F y -≤≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x 轴的交点，配方法求得抛物线的对称轴，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．例19．已知抛物线2:=++l y x bx c 与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，其对称轴为直线26x AB ==，． (1)抛物线l 的函数表达式为__________．(2)设抛物线l 与y 轴交于点C ，直线2x =与BC 的交点为M ．将抛物线l 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线l '，l '与直线2x =交于点N ．当点N 在点M 下方时，m 的取值范围是___________．【答案】(1)245y x x =--(2)0m << 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2x =，6AB =，可得,A B 坐标，将,A B 坐标代入2y x bx c =++，求出,b c 的值，进而可得抛物线l 的函数表达式；（2）如图，将0x =代入245y x x =--，求出C 点坐标，设直线BC 的解析式为y kx b =+，待定系数法求解析式为5y x =-，将2x =代入求出M 的点坐标，平移后的l '的解析式为()229y x m =-+-，设()2,N a ，3a <-，。

二次函数与一元二次方程、一次函数知识点+例题+练习 (非常好分类全面)

教学主题二次函数与一元二次方程、一次函数教学目标掌握二次函数与一元二次方程、一次函数重要知识点1.二次函数与一元二次方程2.二次函数与一次函数3.教学过程二次函数与一元二次方程知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。

练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。

二次函数与一元二次方程专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)

二次函数与一元二次方程基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数图像与一元二次方程的关系 (2)2.二次函数a、b、c的几何意义 (4)3.利用交点式求二次函数 (6)4.用函数图像解一元二次方程（不等式） (7)5.二次函数常用解题方法总结 (8)三、重难点题型 (10)1.判别式的应用 (10)3.图像信息题 (11)3.抛物线与直线交点问题 (13)4.抛物线与三角形面积 (16)二、基础知识点1.二次函数图像与一元二次方程的关系（1）二次函数：一元二次方程：当y=0时，二次函数即化为一元二次方程。

即二次函数y=0时，x的值（与x轴的交点）为一元二次方程的解。

（2）利用配方法可转化为：y=a（）当y＝ax2＋bx＋c中，y＝0时，即得到二次方程ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.令=当＞0时，函数与x轴有两个交点，即一元二次方程有2解；当=0时，函数与x轴有一个交点，即一元二次方程有1解；＜0时，函数与x轴无交点，即一元二次方程无解。

例 1.同一坐标系中有函数，及，请填写下表。

答案：如下表所示例2.如图，一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点，则函数y=ax2＋（b－1）x＋c的图像可能为（）A B C D答案：由ax2＋bx＋c图像知：＞＞＞，即＞＜＞则函数y=ax2＋（b－1）x＋c中，＞＞＞所以函数y=ax2＋（b－1）x＋c开口向上，且与对称轴在x轴正半轴，与y轴的交点在y轴正半轴所以答案在A，C中选择因为一次函数与二次函数ax2＋bx＋c的图像相交于两点联立得：ax2＋（b－1）x＋c=0有两解即y=ax2＋（b－1）x＋c的图像与x轴有两个交点所以答案为A2.二次函数a、b、c的几何意义（1）a>0，开口向上；a<0，开口向下；（2）图像关于x=对称（3）顶点坐标（-，）（4）抛物线与y轴的交点（0，c）（5）当>0，与x轴有2个交点；当=0，与x轴有1个交点；当<0，与x轴无交点（6）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），关于x=对称，（）例1.二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则下列关系式成立的是（）A.abc＞0B. a+b+c＜0C. D. 4ac－＞答案：因为抛物线开口向下所以a＜0抛物线与y轴交点在y轴正半轴所以c＞0抛物线对称轴为x=1＞0所以＞，即b＞0综上得：abc＜0，A错误令x=1得：a+b+c=y因为x=1与抛物线交点在y轴上半部分所以a+b+c＞0，即B错误令x=－1得：a－b+c＜0两边同时乘a得：＞，即C正确抛物线与x轴有两个交点，则＞0，即D错误例2.如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，且OA=OC。

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二次函数与一元二次方程专题
一、知识要点：
二次函数图象与x 轴交点情况：
二、经典例题：
1．y=(m-2)22-m x +x －3=0是关于x 的二次函数，则m 的值是
2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点，则=a
(2)二次函数y=2
(0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-，则=++c b a ，=+-c b a
（3）等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标，则周长是．
3．求下列二次函数与x 轴交点坐标.
（1）2222y x mx m n =-+- （2）2()2y m n x nx m n =++-+ （0≠+n m ）
4．已知：关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点，则k .
5.已知关于x 的二次函数2
3y x m x m =-＋（）－
求证：该函数与x 轴必有两个交点.
6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=（m-1）x 2-2x+1都与x 轴有两个交点，求m 的整数值.
7.当k 为何整数时，关于x 的二次函数y=kx 2－4x ＋4和y=x 2－4kx ＋4k 2－4k －5都与x 轴交于整数点.
8.已知：m 为整数，且二次函数y=x 2－3x ＋m ＋2与x 轴正半轴有两个交点，求m 值.
9.已知：抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上．
（1）求证：该二次函数与x 轴必有两个交点；
（2）设抛物线与x 轴交点为A （1x ，0），B （2x ，0）（A 在B 左侧）．若2y 是关于m 的函数，且2212y x x =-，
求这个函数的解析式；
（3）若AB=3，求抛物线的解析式.
10.已知关于x的一元二次方程kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.
（1）求证：该方程必有两个实数根.
（2）若该方程只有整数根，求k的整数值
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y＝（k＋1）x2＋3x＋m与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足OA=2·OB，求m的非负整数值.
11.已知以x为自变量的二次函数y=x2＋2mx＋m－7．
（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x的一元二次方程m2x2＋(2m＋3)x ＋1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；
（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2＋2(a＋m)x＋2a－m2＋6 m－4=0 有大于0且小于5的实数根，求a的整数值．
12.已知：二次函数22
=--+-+.
y x m x m m
2(23)4148
m>求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点
（1）若0,
（2）若12＜m＜40的整数，且该二次函数与x轴交于两个整数点，求m的值．。