平面向量基本定理PPT课件
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第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
2022-2023学年人教A版必修第二册 6-3-1 平面向量基本定理 课件(70张)
课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 基底概念的理解 [典例 1] (多选)如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的 是( BC ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量 B．对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1 ＋μ2e2) D．若实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0 [思路点拨] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基底向量 e1 与 e2 不共线和平面内 向量 a 用基底 e1，e2 表示的唯一性求解．
第六章 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
新课程标准
新学法解读
平面向量基本定理是本节的重点又是难点．为了
更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向 理解平面向量基
量的方向及模的大小作图观察 λ1，λ2 取不同值时 本定理及其意义.
的图形特征，得到平面上任意一个向量都可以由
[练习 1] 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1； ③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是___③_____．(写出所有满足条件的序 号)
解析：①设 e1＋e2＝λe1，无解， ∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则12＋ ＋2λ＝λ＝00，， 无解， ∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线， 即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为一组基底； ③∵e1－2e2＝－21(4e2－2e1)，
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
6.3.1平面向量基本定理课件(人教版)
成立.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任 一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任 一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：
6.3.1平面向量基本定理课件-高一下学期数学人教A版必修第二册
巩固新知
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知 ，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用 表示 的表达式为（ ）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底 （ ） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（ ） 3.基底向量可以是零向量（ ） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知 ，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用 表示 的表达式为（ ）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底 （ ） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（ ） 3.基底向量可以是零向量（ ） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )
2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
1 a 2
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
平面向量基本定理-PPT
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面标
要求学生掌握平面向量的基本定理，能用 两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分 解为两个向量，了解平面基本定理的证明。
教学重点
平面向量基本定理，应用向量基本定理解 决问题。
教学难点
对平面向 量基本定理的理解，应用定理解 决平面几何问题
知识链接
1、实数与向量的积 2、两个向量的和（差）的求法
关于基底{ OA,OB }的分解式为
OP (1 t)OA tOB. (1)
P
并且，满足该式的点P
一定在l上
B
O
A
根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得
OP OA AP OA t AB
OA t(OB OA)
(1 t)OA tOB
P满足等式
OM 1 (OA OB) 2
特征： OA与OB 的系数之和是1 用途：判断点P在直线AB上，即是判定
三点共线的依据。
达标练习:
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底；
GH 2e1 5e2
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。
5
问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、 e2的式子来表示呢？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示 是否唯一？请说明理由.
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面标
要求学生掌握平面向量的基本定理，能用 两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分 解为两个向量，了解平面基本定理的证明。
教学重点
平面向量基本定理，应用向量基本定理解 决问题。
教学难点
对平面向 量基本定理的理解，应用定理解 决平面几何问题
知识链接
1、实数与向量的积 2、两个向量的和（差）的求法
关于基底{ OA,OB }的分解式为
OP (1 t)OA tOB. (1)
P
并且，满足该式的点P
一定在l上
B
O
A
根据平面向量基本定理，同一平面内任一 向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已 知可得
OP OA AP OA t AB
OA t(OB OA)
(1 t)OA tOB
P满足等式
OM 1 (OA OB) 2
特征： OA与OB 的系数之和是1 用途：判断点P在直线AB上，即是判定
三点共线的依据。
达标练习:
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底；
GH 2e1 5e2
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。
5
问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、 e2的式子来表示呢？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示 是否唯一？请说明理由.
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本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
2020年12月29日星期二
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
D
C
b
M
A
a
B
变式1 : 上题中,若N在AC上, 且 AN 3NC,
P为BC的中点,求PN .
2020年12月29日星期二
变式2、 已知平行四边形ABCD的边BC ,CD的中点
为M , N , AM e1 , AN e2 , 试用e1 , e2表示BC , CD.
D A
N C
M B
2020年12月29日星期二
2020年12月29日星期二
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
若2 0,则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0,则a 2 e2 ,即a与e2共线,
2020年12月29日星期二
检测
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量
2020年12月29日星期二
例3：
已知向量 e1 、e2 求做向量-2.5 e1+3 e2
还有其他作法?
e2
e 2020年12月129日星期二
3e2 O 2.5e1
四、 例题分析 :
例1、如图, 平行四边形 ABCD的两条对角
线相交于点M , 且 AB a, AD b, 试用a, b
表示MA, MB, MC , MD.
其中正确的说法是( B )
A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)
2020年12月29日星期二
练习
1、若e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面的
向量中不能作为一组基底的是（B）
A）e1 + e2和e1 - e2
B）3 e1 -2 e2和-6e1 +4 e2
C）e1+3 e2和3 e1 + e2 D） e1 + e2和 e2
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量．
♦ 探究１：a 与 e1, e2, 的关系
e1
a
想一想？
e2
2020年12月29日星期二
学生活动：
e1
a
e2
2020年12月29日星期二
OC OM ON 1OA 2OB
即 a 1e1 2 e2
M
C
A AA
e1 e1e1
O
e2
N
B
唯一性 存在性
三．数学建构
B
a
e1 O e2
M A
2020年12月29日星期二
B
a x
Oy
M A
思考二、 若可以相同,也可以不同
B
M
B
M
a
a
e1
O e2
A
a 3e1 2e2
mx O yn
A
a 3 x4y 2
a 3m 2n
2020年12月29日星期二
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线). 若1与2中只有一个为零 ,情况会是怎样 ?
例2.用向量的方法证明 :
平行四边形OACB中, BD 1 BC ,OD与BA 3
相交于E,求证 : BE 1 BA. 4
BD
C
E
O
A
2020年12月29日星期二
例3.证明:向量OA,OB,OC的终点A, B,C共线
的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
2020年12月29日星期二
１）平面向量基本定理的内容
如果 e1, e2,是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只存有在 一对实数， 1, 2 ,
使 a 1e1 2 e2
思考： 上述表达式中的 1,2 是否唯一？
2020年12月29日星期二
思考一、 平面内用来表示一个向 量的基底有 多少组 ? （有无数组）
a的方向与a相反;
(3) 0时, a 0.
2020年12月29日星期二
向量的数乘运算律 :
(1)(a) ( )a; (2)( )a a a; (3)(a b) a b.
特别地, 我们有( )a ( a) (a)
(a b) a b.
2020年12月29日星期二
共线向量定理 : 向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个
2.3.1 平面向量基本定理
如果没有运算,向量只是一个“” .因为有了运算,向量的力量无限!
2020年12月29日星期二
一、 回顾 :向量的数乘运算
一般地, 规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算 叫做向量的数乘 , 记作 a,它的长度与方向规定如 下 :
(1) | a || || a |; (2)当 0时, a的方向与a相同;当 0时,
实数 , 使b a.
2020年12月29日星期二
二、 新课导入 :
问题1 : 给定平面内任意两个向 量e1, e2 , 我们能 否作出向量3e1 2e2 , e1 2e2 ?
问题2 : 平面内的任一向量是否 都可以用形如
1 e1 2 e2的向量表示呢 ?
2020年12月29日星期二
问题3．学生活动： 已知 e1, e2, 是同一平面内的两个