相关分析与回归分析PPT课件
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第10章 相关与回归分析_PPT幻灯片
直线相关
相关 ---- 变量间的互依关系
直 线 相 关 (linear correlation) ： 简 单 相 关 (simple correlation)，用于双变量正态分布资料。
图10-2 相关系数示意图
散点呈椭圆形分布，
X、Y 同时增减---正相关
（positive correlation)；
2. 计算检验统计量
0.8012
t
4.017
1 (0.8012 )2
11 2
n 2 11 2
3. 确定 P 值下结论（根据 t 值或查附表 11 r 界值表）
t＝4.017>t0.05（9）=3.69,按 ＝0.05 水准拒绝 Ho，…
五、总体相关系数的区间估计（了解）
必须先对 r 作 z 变换
170
47
173
42
160
44
155
41
173
47
188
50
178
47
183
46
180
49
165
43
166
44
பைடு நூலகம்
1891
500
Xy 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185
x2 28900 29929 25600 24025 29929 35344 3684 33489 32400 27225 28561 326081
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂 量与动物死亡率等。
两种关系：
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量 (independent variable) X变化而变化。
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较好
t统计量的P值小于显著水平（0.05），可 认为该自变量对因变量的影响是显著的。
17
• 已知一种新牌子化肥的不同施用量对庄稼产量的影响如下表。请你 确定当化肥施用量为5.5克时估计预期的产量。
化肥施 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 01. 用产量量x(( 02 13 24 34 04. 55 65 75 85 95 04 公克斤) ) 1 5 1 6 5 2 3 3 3 1 9
y = -0.0066x2 + 0.0897x + 0.2419 R2 = 0.9742
2
4
6
8
10
12
化肥(克)
• 假设庄稼以每公斤4元的价格出售，化肥要以每克0.2元的价格购买。 请确定能产生最大利润的化肥施用量。(运用规划求解)
• 总收益=价格×产量=4元×(-0.0066X2+0.0897x+0.2419) • 总成本=化肥成本×化肥施用量=0.2X
7
• 根据表中的数据计算不良贷款、贷款余额、累计应收贷款、贷款项 目个数、固定资产投资额之间的相关系数
• 法1：数据/数据分析/相关系数/做如下图所示设置 • 可见，不良贷款与各项贷款余额的相关性最高
8
10
• 回归基本上可视为一种拟合
过程，即用最恰当的数学方
程去拟合一组由一个因变量
和一个或多个自变量所组成 y
• 工具-数据分析-回归。
• 回归方程检验；
• R2判断回归方程的拟合优度； • t 统计量及相伴概率值，自变量与因变量之间的关系； • F统计量及相伴概率值，判断方程的回归效果显著性趋势线
• 根据数据建立散点图
• 自变量放在X轴，因变量放在Y轴
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
返回到内容提要
第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
回归及相关分析PPT课件
或实际场景中。
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
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目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
《相关和回归分析》ppt课件
2yyˆ2最小值
假设： 2yyc2最小值
将 yˆ abx 带入到上述方程，那么得：
e 2 y y ˆ2 y a b2 x 最小
前往本节首页
令：
Q e2 ya b2 x最小
求偏导数并令其等于0：
Q a
2y
abx10
Q b
2y
abxx0
前往本节首页
解上述方程可得到两个规范方程：
ynabx xyaxbx2
阐明：相关分析和回归分析的关系
回归分析是要对所研讨的变量建立描画它们关系的 模型。但假设要研讨的变量间有没有关系，就谈不 上建立模型，而发现变量间有无关系的最简单、直 观的方法就是进展相关分析。
第一节 相关分析的意义和种类
▪ 一、相关分析的概念 ▪ 二、相关分析的种类
前往本章首页
一、相关分析的概念
eyy ˆy(ab)x
残差
即： yy ˆeab xe
此式即为样本回归函数
前往本节首页
知道了样本回归函数的普通方式
yabxe
需求将a 、b的值估计出来，用以作为总体回归参数 的估计值。
对于a 、b的估计，实践中采用最小二乘法
前往本节首页
最小二乘法的思绪：
由于残差 eyy ˆy(ab)x
残差e 越小，估计值和实践值的离差就越小， 代表回归方程的代表性就越好。
需 拟合直线还是曲线需利用散点图判别
样本一元回归直线实际上可表示为：
yˆ abx
yˆ 为 样本实践观测值 y 的估计值 、代表值、平均值
a、b是两个未知参数。a为截距，b为斜率。
两者分别是对总体参数 和的估计值
前往本节首页
实践观测到的各个因变量 y 值 并不完全等于 yˆ
假设： 2yyc2最小值
将 yˆ abx 带入到上述方程，那么得：
e 2 y y ˆ2 y a b2 x 最小
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令：
Q e2 ya b2 x最小
求偏导数并令其等于0：
Q a
2y
abx10
Q b
2y
abxx0
前往本节首页
解上述方程可得到两个规范方程：
ynabx xyaxbx2
阐明：相关分析和回归分析的关系
回归分析是要对所研讨的变量建立描画它们关系的 模型。但假设要研讨的变量间有没有关系，就谈不 上建立模型，而发现变量间有无关系的最简单、直 观的方法就是进展相关分析。
第一节 相关分析的意义和种类
▪ 一、相关分析的概念 ▪ 二、相关分析的种类
前往本章首页
一、相关分析的概念
eyy ˆy(ab)x
残差
即： yy ˆeab xe
此式即为样本回归函数
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知道了样本回归函数的普通方式
yabxe
需求将a 、b的值估计出来，用以作为总体回归参数 的估计值。
对于a 、b的估计，实践中采用最小二乘法
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最小二乘法的思绪：
由于残差 eyy ˆy(ab)x
残差e 越小，估计值和实践值的离差就越小， 代表回归方程的代表性就越好。
需 拟合直线还是曲线需利用散点图判别
样本一元回归直线实际上可表示为：
yˆ abx
yˆ 为 样本实践观测值 y 的估计值 、代表值、平均值
a、b是两个未知参数。a为截距，b为斜率。
两者分别是对总体参数 和的估计值
前往本节首页
实践观测到的各个因变量 y 值 并不完全等于 yˆ
相关与回归分析PPT课件
不完全相关
变量之间存在着不严格的依存关系，即因 变量的变动除了受自变量变动的影响外， 还受其他因素的影响。它是相关关系的主 要表现形式。
不相关
自变量与因变量彼此独立，互不影响，其 数量变化毫无联系。。
相关分析的主要内容包括：
（1）确定现象之间有无相关关系，以及 相关关系的表现形态。
（2）确定相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数字模型，并进行
• 学习目的：
（1）掌握相关分析与相关系数的概念、相关系 数的计算方法
（2）掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘 估计方法
（3）掌握回归方程的显著性检验
（4）利用回归方程进行预测
• 重点：（1）相关系数； （2）一元线性回归的基本原理。
• 难点：（1）相关系数的计算方法； （2）回归方程的显著性检验。
相关关系的测定
相关图
将变量之间的伴随变动绘于坐标图上 所形成的统计图。又称散点图。
简单相关图
根据未分组资料的原始数据直接 绘制的相关图。
分组相关图 根据分组资料绘制的相关图。
180
Y
170
身高
160
150
30
40
பைடு நூலகம்
50
60
70
80
90
体重
X
三、相关系数
（一）相关系数的含义和公式
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
30
40
50
60
70
80
90
体重
100
线性负相关
80
60
40
非线性相关
20
0
200
300
400
500
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
相关与回归分析.ppt
一元线性回归模型 模型参数的最小二乘估计 回归方程的评价 模型的显著性检验 利用回归方程进行预测
一、一元线性回归模型
1、样本： (X1,Y1),(X2,Y2),…(Xn,Yn) 2、一元线性回归模型
Yi=a+bXi+ui
i=1,2,…n 其中a,b未知的回归参数
3、对回归模型的基本假设:
1.405331 0.223718 6.281705 4.06E-05 0.917891 1.89277 6.382308 2.60101 2.453781 0.030382 0.715194 12.04942
四、回归模型的检验
1.回归模型的显著性检验F检验
H0：12k=0 H1：1，2，，k至少有一个不等于0
( yi y)2 yi2 ny2 58.21
相关系数的性质
r 的取值范围是 [-1,1] -1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强； |r|=1为完全线形相关； r =1为 完全正相关，r =-1为完全负正相关。 |r|越趋于0表示关系越弱，r = 0，不存在线性相关关系 注意： 1.r是线性关系的一个度量，不能用于描述非线性关系。r=0只 表示两个变量之间不存在线性相关关系，不说明变量间没有任 何关系。 2. x与y相关程度高，不一定意味着二者一定有因果关系。
1、散点图 2、相关系数
1、用散点图描述相关关系
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
一、一元线性回归模型
1、样本： (X1,Y1),(X2,Y2),…(Xn,Yn) 2、一元线性回归模型
Yi=a+bXi+ui
i=1,2,…n 其中a,b未知的回归参数
3、对回归模型的基本假设:
1.405331 0.223718 6.281705 4.06E-05 0.917891 1.89277 6.382308 2.60101 2.453781 0.030382 0.715194 12.04942
四、回归模型的检验
1.回归模型的显著性检验F检验
H0：12k=0 H1：1，2，，k至少有一个不等于0
( yi y)2 yi2 ny2 58.21
相关系数的性质
r 的取值范围是 [-1,1] -1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越强； |r|=1为完全线形相关； r =1为 完全正相关，r =-1为完全负正相关。 |r|越趋于0表示关系越弱，r = 0，不存在线性相关关系 注意： 1.r是线性关系的一个度量，不能用于描述非线性关系。r=0只 表示两个变量之间不存在线性相关关系，不说明变量间没有任 何关系。 2. x与y相关程度高，不一定意味着二者一定有因果关系。
1、散点图 2、相关系数
1、用散点图描述相关关系
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
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相关分析和回归分析
学习目标
掌握相关分析及回归分析的相关概念和 思想；
会计算相关系数； 能解决一元回归分析的参数估计问题。
重难点
重点：
➢相关分析及回归分析的相关概念和思想 ➢一元线性回归分析 ➢最小二乘法
难点：
➢ 回归系数的参数估计
引入
利用相关与回归分析技术改进民航 服务质量降低服务成本
据网友爆料，4月11日上午浦东机场有旅客擅自闯入机场滑 行道 造成多架外航飞机堵在后面不能移动。红圈中为浦东 机场上的拦机者。
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
x
不相关
8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00
0.00
3.00
6.00
9.00
12.00
15.00
x
曲线相关
相关系数
我们虽然可以通过相关表和相关图，定性 给出两个变量之间相关关系，但是对于相关关 系的具体的密切程度则无法度量，为此我们给 出了相关系数，定量研究这两个变量之间的相 关关系。
二、相关关系的种类
1.按照相关关系涉及的变量（或因素）的多少，可 以分为单相关、复相关和偏相关。 2.按照变量之间相互关系的表现形式的不同，可以 分为线性相关和非线性相关。 3.按照变量之间的相互关系的方向不同，可以分为 正相关和负相关。 4.按照变量之间的相关程度、可以分为完全相关、 不完全相关和不相关。
n xi2
xi yi xi yi
2
xi n
yi2
2
yi
773794906524578907
7441461291524572 71242231989072
0.971
答：劳动生产率与平均工资之间存在着高度正线 性相关。
练习题
下表给出了某局各企业固定资产价值和总产值的相关数据，请计算固 定资产价值和总产值之间的关系。
化简的公式：
rX ,Y
n
n xiyi xi yi
xi2
2
xi
n
yi2
2
yi
相关系数的特点
相关系数的取值在-1与1之间。|r|越大，表 明变量间线性相关关系越强。
当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。
当0<|r|<1时，表明X与Y存在一定的线性 相关关系:
若 r>0 表明X与Y 为正相关;若 r<0 表明X与 Y 为负相关。
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
固定资产价值x
318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225
总产值y
524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624
例：某局各企业固定资产和总产值统计表
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
10家航空公司航班正点率与顾客投诉次数数据
航空公司 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率（％）x 投诉次数（次）y
81.8
21
76.6
56
76.6
85
75.771.2
72
70.8
122
91.4
18
68.5
125
相关分析
一、相关关系和函数关系
函数关系
相关系数分类图
不完全负相关
-1
完全负相关
0
不相关
不完全正相关
1
完全正相关
高度 相关
显著相关
低度 相关
-1 -0.8 -0.5 -0.3
微弱相关
低度 相关
显著相关
高度 相关
0.3 0.5
0.8 1
例子：P192表8-7
年份
x
y
x2
y2
xy
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
三、相关分析的主要内容
1.确定现象之间有无相关关系，以及相关关 系的表现形式
2.确定相关关系的密切程度
四、相关分析的测定
常见的相关分析工具： 相关表 相关图：散点图 相关系数
相关表
表8-5：某企业劳动生产率与平均工资情况
年份 2000
全员劳动 生产率
（元/人） X
平均工资 （元/人）
y
3813 779
函数关系是指现象之间存在着确定性的严 格的依存关系。在这种关系下，当个或一 一组变量取一定的数值时，另一个变量就 有一个确定的数值与之相对应，这种关系 可以用一个数学表达式反映出来。
相关关系
相关关系是指现象之间确实存在着的， 但其数量表现又是不确定、不规则的一 种相互依存关系。在这种关系下，当一 个或一组变量取一定的数值时，与之相 对应的另一个变量的数值是不能确定的， 只是按照某种规律在一定范围内变化。 这种关系不能用严格的函数式来表示。
2001 4582 830
2002 5524 1030
2003 8161 1261
2004 2005 2006 9274 10291 10812 1473 1592 1942
相关图
相关图
完全正相关 完全负相关
不完全正相关 不完全负相关
y
y
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
固定资产 价值x
318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 6525
总产值 y
524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624 9801
x2
101124 828100 40000 167281 172225 252004 98596
3813 4582 5524 8161 9274 10291 10812
779 830 1030 1261 1473 1592 1942
606841 688900
105904681 116899344
合计 52457 8907 441461291
x：全员劳动生产率 y：平均工资
rX,Y
n
当 |r|=1 时，表明X与Y完全线性相关:
• 若r=1，称X与Y完全正线性相关； • 若r=-1，称X与Y完全负线性相关。
密切程度的判断
相关系数一般的判断标准是： |r|<0.3称为微弱相关; 0.3≤|r|<0.5称为低度相关; 0.5≤|r|<0.8称为显著相关； 0.8≤|r|<1称为高度相关； |r|=1称为完全相关。
相关系数
X和Y之间的相关系数公式：
积差法
rX ,Y
(x i x )(y i y)
2 x y
L x y
(x i x )2 (y i y)2 x y L x xL y y
2 xy
xy的协方差
x x的标准差
y y的标准差
L x y xy的协方差 L x x x的方差 L y y y的方差
学习目标
掌握相关分析及回归分析的相关概念和 思想；
会计算相关系数； 能解决一元回归分析的参数估计问题。
重难点
重点：
➢相关分析及回归分析的相关概念和思想 ➢一元线性回归分析 ➢最小二乘法
难点：
➢ 回归系数的参数估计
引入
利用相关与回归分析技术改进民航 服务质量降低服务成本
据网友爆料，4月11日上午浦东机场有旅客擅自闯入机场滑 行道 造成多架外航飞机堵在后面不能移动。红圈中为浦东 机场上的拦机者。
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
x
不相关
8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00
0.00
3.00
6.00
9.00
12.00
15.00
x
曲线相关
相关系数
我们虽然可以通过相关表和相关图，定性 给出两个变量之间相关关系，但是对于相关关 系的具体的密切程度则无法度量，为此我们给 出了相关系数，定量研究这两个变量之间的相 关关系。
二、相关关系的种类
1.按照相关关系涉及的变量（或因素）的多少，可 以分为单相关、复相关和偏相关。 2.按照变量之间相互关系的表现形式的不同，可以 分为线性相关和非线性相关。 3.按照变量之间的相互关系的方向不同，可以分为 正相关和负相关。 4.按照变量之间的相关程度、可以分为完全相关、 不完全相关和不相关。
n xi2
xi yi xi yi
2
xi n
yi2
2
yi
773794906524578907
7441461291524572 71242231989072
0.971
答：劳动生产率与平均工资之间存在着高度正线 性相关。
练习题
下表给出了某局各企业固定资产价值和总产值的相关数据，请计算固 定资产价值和总产值之间的关系。
化简的公式：
rX ,Y
n
n xiyi xi yi
xi2
2
xi
n
yi2
2
yi
相关系数的特点
相关系数的取值在-1与1之间。|r|越大，表 明变量间线性相关关系越强。
当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。
当0<|r|<1时，表明X与Y存在一定的线性 相关关系:
若 r>0 表明X与Y 为正相关;若 r<0 表明X与 Y 为负相关。
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
固定资产价值x
318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225
总产值y
524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624
例：某局各企业固定资产和总产值统计表
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
10家航空公司航班正点率与顾客投诉次数数据
航空公司 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
航班正点率（％）x 投诉次数（次）y
81.8
21
76.6
56
76.6
85
75.771.2
72
70.8
122
91.4
18
68.5
125
相关分析
一、相关关系和函数关系
函数关系
相关系数分类图
不完全负相关
-1
完全负相关
0
不相关
不完全正相关
1
完全正相关
高度 相关
显著相关
低度 相关
-1 -0.8 -0.5 -0.3
微弱相关
低度 相关
显著相关
高度 相关
0.3 0.5
0.8 1
例子：P192表8-7
年份
x
y
x2
y2
xy
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
三、相关分析的主要内容
1.确定现象之间有无相关关系，以及相关关 系的表现形式
2.确定相关关系的密切程度
四、相关分析的测定
常见的相关分析工具： 相关表 相关图：散点图 相关系数
相关表
表8-5：某企业劳动生产率与平均工资情况
年份 2000
全员劳动 生产率
（元/人） X
平均工资 （元/人）
y
3813 779
函数关系是指现象之间存在着确定性的严 格的依存关系。在这种关系下，当个或一 一组变量取一定的数值时，另一个变量就 有一个确定的数值与之相对应，这种关系 可以用一个数学表达式反映出来。
相关关系
相关关系是指现象之间确实存在着的， 但其数量表现又是不确定、不规则的一 种相互依存关系。在这种关系下，当一 个或一组变量取一定的数值时，与之相 对应的另一个变量的数值是不能确定的， 只是按照某种规律在一定范围内变化。 这种关系不能用严格的函数式来表示。
2001 4582 830
2002 5524 1030
2003 8161 1261
2004 2005 2006 9274 10291 10812 1473 1592 1942
相关图
相关图
完全正相关 完全负相关
不完全正相关 不完全负相关
y
y
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
固定资产 价值x
318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 6525
总产值 y
524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624 9801
x2
101124 828100 40000 167281 172225 252004 98596
3813 4582 5524 8161 9274 10291 10812
779 830 1030 1261 1473 1592 1942
606841 688900
105904681 116899344
合计 52457 8907 441461291
x：全员劳动生产率 y：平均工资
rX,Y
n
当 |r|=1 时，表明X与Y完全线性相关:
• 若r=1，称X与Y完全正线性相关； • 若r=-1，称X与Y完全负线性相关。
密切程度的判断
相关系数一般的判断标准是： |r|<0.3称为微弱相关; 0.3≤|r|<0.5称为低度相关; 0.5≤|r|<0.8称为显著相关； 0.8≤|r|<1称为高度相关； |r|=1称为完全相关。
相关系数
X和Y之间的相关系数公式：
积差法
rX ,Y
(x i x )(y i y)
2 x y
L x y
(x i x )2 (y i y)2 x y L x xL y y
2 xy
xy的协方差
x x的标准差
y y的标准差
L x y xy的协方差 L x x x的方差 L y y y的方差