《控制工程基础》第二章
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
控制工程基础第二章控制系统传递函数推导举例
控制工程基础第二章控制系统传递函数推导举例嘿，大家好！今天咱们聊聊控制系统传递函数的推导。
可能有小伙伴会觉得：哎呀，这听起来很高深啊！其实不用担心，咱们就把它当成一种“魔法”来聊，保证你看懂了还觉得有趣。
大家都知道，控制系统就像是你家的空调，或者你车里的自动驾驶系统，它们都是通过某种方式“控制”你想要的目标，调节着温度、速度啥的。
而这个“控制”背后的原理，常常就是传递函数。
咱们今天就来拆解这个“神秘的传递函数”，看看它究竟是怎么来的，别怕，咱们一步步来，轻松愉快地搞定。
咱们得明白一个事情，什么叫控制系统的传递函数。
你想象一下，你开车，踩油门，车速开始变快，对吧？油门和车速之间的关系就可以通过传递函数来表示。
这个函数就告诉你，输入的油门大小会如何影响到输出的车速。
比如，油门踩了30%和踩了70%，车速变化的幅度是不一样的，这就是控制系统的“响应”。
传递函数就是描述这种输入与输出之间关系的数学工具，简单点说，它告诉你“输入多少，输出多少”的一个规律。
那传递函数怎么来呢？这就得讲讲拉普拉斯变换了。
别急，拉普拉斯变换其实不难，它就像是个“超级变压器”，能把复杂的时间域问题转换成比较简单的频率域问题，简化计算。
你想，咱们从时间域跳到频率域，就好像从三维空间跳到二维平面，一下子就好理解多了。
你现在是不是觉得拉普拉斯变换就像是一剂神奇的“解药”呢？哈哈，别着急，咱们往下说。
一般来说，控制系统的推导步骤差不多都可以分为两大部分：建模和求传递函数。
啥叫建模呢？简单来说，就是先给系统做个“影像图”，把系统的各个部件之间的关系搞明白。
比如说，车的油门、发动机、车轮之间怎么互动，反正你得先把这些“元素”都搞清楚。
然后，你就可以通过这些元素的物理特性来写出一堆数学方程。
这些方程就是系统的动态模型，它们描述了输入和输出之间的关系。
不过，建模归建模，咱们得回过头来聊传递函数。
传递函数就是你把这个系统的方程化简后的结果，通常用大写字母“G”来表示。
控制工程基础第二章拉普拉斯变换
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0
n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n (n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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L1 L e2t Lcos3t L t 3 L t
1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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机电工程学院
第二章
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s) ，对任意实数 a ,则
at
st
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第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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6
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第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础第二章
1 i
c
c
第二章 控制系统的数学模型
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件 组或元件的一部分称为一个环节。 系统传递函数可写为：
G( s)
K ( i s 1) ( s 2 j j s 1)
2 2 j
b
c
s
(T s 1) (T
max
u (t )
U ( s) E G( s) Kp (s) max
第二章 控制系统的数学模型
一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器。
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) K p (1 (t ) 2 (t )) K p (t )
U ( s) G ( s) Kp ( s )
fms
M m J m s 2m (s) f msm (s)
m ( s) Cm Km 2 U a ( s) J m s ( f m C ) s s(Tm s 1)
第二章 控制系统的数学模型
绳轮传递 ：
L(s) rm (s)
测量电位计 ：
m (s)
r
L(s)
I 2 (s) U1 (s)Cs
U1(s)
CS
I2(s)
U1 (s) U r (s) Uc (s)
Ur(s) +
U1(s) Uc(s)
第二章 控制系统的数学模型
将上面的各环节（元件）的部分综合有：
Ur(s) +
U1(s) -
1 R1
Cs
I1(s) I(s) R2 + + I2(s)
Uc(s)
控制工程基础第二章第二部分
bm1s bm an1s an
(n m)
6
第二章 数学模型 特征方程、零点和极点
考试会考求增益K，特征方程的 零点和极点
➢ 特征方程
令：M (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
N (s) a0sn a1sn1 an1s an
LCs2
1 RCs
1
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4
第二章 数学模型
几点结论
✓ 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。
✓ 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。
✓ 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关
第二章 数学模型
第二章 控制系统的数学模型
○、数学模型的基本概念 一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化
三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数 五、系统方框图和信号流图 六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
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1
第二章 数学模型
四、传递函数
传递函数的概念和定义 ➢ 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
式中，T—积分环节的时间常数。
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积分环节的单位阶跃响应
Xi (s)
1
Xo (s)
Ts
xi (t)
x0 (t)
T1
1
1
T2 , T2 T1
0 t1
0
t
t1
t
输出随着时间线性增长，一旦输入为零，输出停止
控制工程基础第二章-2
§2-2 拉氏变换及反变换 卷积定理
L f (t ) g(t ) F ( s)G( s)
其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。 若t<0时， f(t)＝g(t)＝0，则f(t)和g(t)的卷积可 表示为：
f (t ) * g(t ) f (t ) g( )d f ( ) g(t )d
0 0
f(t) 1
0 1 s lim (1 e ) 单位脉冲函数 0 s s 1 ( 1 e ) s lim (1 e ) lim 由洛必达法则： 0 s 0 ( s ) e s 1 所以： L (t ) lim [e
at
] e e
0
e dt dt
0 t
st
( s a )t
1 , (Re(s a ) 0) sa
指数函数
第二章 控制系统的数学模型
§2-2 拉氏变换及反变换 正弦函数与余弦函数 (sinusoidal & cosine function)
0
st e df ( t ) e st f (t )e dt f (t ) 0 dt s 0 dt s
st
f (0) 1 df (t ) L 即： F ( s ) s s dt
第二章 控制系统的数学模型
§2-2 拉氏变换及反变换
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数， 它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
第二章 控制系统的数学模型
§2-2 拉氏变换及反变换
2.2 几种典型函数的拉氏变换
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
控制工程基础课件第二章
根据基尔霍夫定律和欧姆定律， 有
i1 (t ) + i2 (t ) = i(t ) u i (t ) = u o (t ) + R1i2 (t ) 1 C ∫ i1 (t )dt = R1i2 (t ) uຫໍສະໝຸດ o (t ) = R2 i(t )
(2 − 5) ( 2 − 6) ( 2 − 7) (2 − 8)
称为等效阻尼系数；
z z TLeq = 1 3 TL z z 2 4
TLeq 称为等效输出转矩。
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程
将上式改为
&& & Tm = J eqθ1 + f eqθ1 + TLeq
则图2-3a所示的传动装置可简化为图2-3b所示的等效齿轮传动
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程
三、液压系统的线性化微分方
图2-7 阀控液压缸
图2-8 q L = f(x, pL)曲线
图中，x为阀芯位移输入；y为液压缸活塞位移输出；q L为负载流量；q1、 q2分别为液压缸左、右腔的输入、输出流量；pL为负载压差；pS为供油压力； m为负载质量；A为活塞工作面积；d为阀芯直径。
− m&& + ∑ Fi = 0 x
式中
(2-1)
∑F
i
&& x m − m&& x
——作用在物体上的合外力； ——物体的加速度； ——物体的质量； ——物体的惯性力。
第二章 控制系统的数学模型
− m& x ∑ F& + ∑ F
《控制工程基础》课件第2章
第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-u )tfC)+-+-f)(a )(b )(c )(d R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础第二章 数学基础
主要用于解微分方程和求传递函数
例
ay(t ) by(t ) cy (t ) f (t )
若初始条件为零，则：
F ( s ) as Y ( s ) bsY ( s ) cY ( s )
2
5）积分定理
设 f t F s ，则
t F s 1 1 L f t dt f 0 0 s s
例 已知 f (t ) sin ktdt
k 为实数，求 f (t ) 的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的积分性质得
L f (t ) L sin ktdt
1 k L sin kt 2 2 s s(s k )
6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
1. 拉氏变换的定义
函数f(t)，t为自变量，如果线性积分 记为F(S)或L[f(t)]，即为：
L f t F S f t e st dt
0
0
f t e st dt
存在，则称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换。
式中： S为复数，s j f(t)为原函数，F(S)为象函数
第二章 数学基础-拉普拉斯变换
拉氏变换与反变换
本节的重点： Ø 常见函数的拉氏变换 Ø 拉氏变换的运算规则 Ø 基于分部积分法的拉氏反变换
• 本节的难点： Ø 拉氏变换严格的数学推导与变换
问题的引入
d 2x dx m 2 f k x y t dt dt
如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？
由于 s ja 是 sF ( s) 的奇点，位于虚轴上，不能 应用终值定理，既 f ( ) 不存在。 注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数sinω t 时，由于它 没有终值，故终值定理不适用。
《控制工程基础》课件-第二章
4/21/2023
27
第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
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1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
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20
第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
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12
第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
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第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)，
输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L u i R C
解：根据克希荷夫电压定律，得
di (t ) 1 u (t ) L Ri (t ) i(t )dt dt C dq(t ) ∵ i (t ) dt
2)进行受力分析，列写微分方程，
f (t ) m x (t) c· k x (t)
利用
F ma ，得
(t ) m (t ) f (t ) kx(t ) cx x
3)整微分方程，得
(t ) cx (t ) kx(t ) f (t ) m x
第二章 系统的数学模型
等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
微分方程
2.2 系统的微分方程
在时域中描述系统（或元件）动态特性的 数学模型，或称为运动方程。利用微分方程可 得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式 的数学模型。
(t ) cy (t ) ky(t ) x(t ) 如： m y
消去中间变量i(t)，并整理得，
(t ) RC q (t ) q(t ) Cu(t ) LCq
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-7 下图所示为一个两级串连的RC电路组成的滤波 网络，输入为电压ui，输出为电压uo。分析ui， uo与系 统之间的动态关系，列写该系统微分方程。
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。 解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。 设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
根据受力分析，列写微分方程组， k1 x(t ) x1 (t ) cx1 (t ) y (t ) (1)
第二章 系统的数学模型
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
概述 系统的微分方程 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换 系统的传递函数 系统的传递函数方框图及其简化 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数
第二章 系统的数学模型
本章教学大纲
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法；
第二章 系统的数学模型
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
表1 拉氏变换对照表
第二章 系统的数学模型
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
二、拉氏变换的定理 1. 线性定理 和的拉氏变换等于拉氏变换之和。 设L[f1(t)]＝F1(s)，L[f2(t)]＝F2(s)，则 L[af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s) 例 已知f(t)＝1－2cosωt，求F(s)。 2. 平移定理（复数域的位移定理） 若L[f(t)]＝F(s)，对任一常数a（实数或复数），则有
cx1 (t ) y (t ) k2 y (t )
(2)
2.2 系统的微分方程
消去中间变量x1(t)，得，
k2 k1 x(t ) x1 (t ) k 2 y (t ) x1 (t ) x(t ) y (t ) k1 将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，
第二章 系统的数学模型
(1)克希荷夫电流定律
2.2 系统的微分方程
若电路有分支路，它就有节点，则会聚到某节点的所
有电流之代数和应等于0（即所有流出节点的电流之
和等于所有流进节点的电流之和），
i(t ) 0
A
如右图所示，
i1 i2
A i3
i(t ) i i
1 A
2
i3 0
2.2 系统的微分方程
R1
R2
Ⅰ
C1
Ⅱ
C2
uo
消去中间变量i1、i2，整理得，
o (t ) ( R1C1 R1C2 R2C2 )u o (t ) uo (t ) ui (t ) R1R2C1C2u
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
负载效应: 是指对于由两个物理元件组成的系统而
第二章 系统的数学模型
三、线性系统与非线性系统
2.1 概 述
1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为 非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
3. 特性
2.1 概 述
线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。
叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出
第二章 系统的数学模型
二、建立数学模型（建模）的方法
2.1 概 述
一个“合理”的数学模型应该以最简化的形式、准 确地描述系统的动态特性。
1. 分析法（解析法） 建
根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学 模 模型的方法（列写数学表达式）。 方 2. 实验法 法 根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实 际的数学模型。
0 (t ) u0 (t ) ui (t ) RCu
第二章 系统的数学模型
一、列写微分方程的一般方法
2.2 系统的微分方程
给定输入量、扰动量
1. 确定系统的输入量和输出量； 2. 按信号传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量 所遵循的物理定律列写系统中各环节的动态微分方程； 3. 消除中间变量,得到只包含输入量和输出量的微分方程 牛顿第二定律、克希荷夫电流（电压）定律等 4. 整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程 的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项 按降幂方式排列。 (n) ( n 1) 0 (t ) a0 x0 (t ) a x ( t ) a x (t ) a1 x 如： n 0 n 1 0
k2 (t ) k2 y(t ) cx (t ) c k 1 y 1
第二章 系统的数学模型
2. 电网络系统
2.2 系统的微分方程
遵循的定律：克希荷夫电流定律、克希荷夫电压定律
元素：电阻R、电感L、电容C 电阻元件： 电感元件： 电容元件：
UR U R iR R, iR R diL 1 UL L , iL U L dt dt L dU C 1 U C iC dt , iC C C dt
2. 了解非线性方程的线性化；
3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法；
4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数；
5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
型环节传递函数、方框图等效变换
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
2.1 概 述
一、数学模型 1. 定义 定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参 数与动态性能之间关系的数学表达式。 2. 种类 微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、频 率特性、各种响应式等。 离散系统 连续系统 3. 研究领域 • 时间域——微分方程、差分方程、状态方程； • 复数域——传递函数、脉冲传递函数； • 频率域——频率特性。 连续系统 离散系统
质量元件： 阻尼元件：
弹性元件：
c
F ma m x
c—粘性阻尼系数 Fc cv cx
Fk kx
k—弹性系数
第二章 系统的数学模型
例2-1 列写下图所示机械系统的微分方程
2.2 系统的微分方程
解： 1)明确系统的输入与输出，
f (t) m c x (t)
图2-1
k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
言，若其中一个元件的存在，使另一元件在相同输 入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负 载，这一影响就称为负载效应。 上例中，两个RC电路串联，存在着负载效应。
第1个RC回路：
第2个RC回路：
非线性微分方程的线性化 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似 的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
第二章 系统的数学模型
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
2.3 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换
一、 拉氏变换的定义 若f(t)为实变数t的单值函数，且t＜0时，f(t)＝0；当t≥0 时，则函数f(t)的拉氏变换记作L[f(t)]或F(s)，并定义为 st f ( t ) e dt L[f(t)]＝F(s)＝ 0 (2.3.1) 式中，L—拉氏变换的符号； s—复变数，s＝σ＋jω（σ、ω均为实数）； F(s)—是函数f(t)的拉氏变换，它是一个复变函数，通 常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数；
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-4 下图所示为一电网络系统，其输入为电压ui， 输出为电压uo，列写该系统微分方程。
解：根据克希荷夫电流定律，有 iL＋ iR－iC = 0 u R ui u o iR ui R R 1 1 i u dt (ui uo )dt 又∵ L L L L duC duo iC C C dt dt 以上4个方程联立求解，并整理得，
L ui i R C uo
U 0
解：根据克希荷夫电压定律，有
di (t ) 1 （1） ui (t ) L Ri (t ) i (t )dt dt C duo (t ) （2） 1 uo (t ) i (t )dt i (t ) C C dt
将（2）代入（1）式，整理得， o (t ) RCu o (t ) uo (t ) RCu i (t ) LCu
( m 1) i (t ) b0 xi (t ) bm xi( m) (t ) bm1 x0 (t ) b1 x