常见圆系几种形式
4-5圆系与曲线系
方程可以写成 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F + l (ax + by + c1)(ax - by + c 2 )= 0 ，此时 A + la2 = C - lb2 ，方程表示一
个圆．
2
k2
x - ky - p kx + y - p = 0 ，若 A、B、C、D 四点共圆，则 y2 - 2 px + l x - ky - p kx + y - p = 0 ，
2
2
2
2
( ) ( ) 即 y2 1 - lk 2 + lk 2 x2 + l 1 - k 2 xy + x -2 p - pl - pkl + y pkl - pl = 0 ，由于 xy 的系数为零，故 k2 = 1；
求实数 m 的值． 【分析】充分挖掘本题的几何关系 OA OB ，不难得出 O 在以 AB 为直径的圆上．而 A, B 刚好为直线与圆
的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程．
【解析】过直线 l : x y m 0 与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 的交点的圆系方程为：
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第四章 圆锥曲线
专题 5 圆系与曲线系
秒杀秘籍：第一讲 圆系和曲线中的四点共圆
圆系：具有某种共同属性的圆的集合． 几种常见的圆系方程： （1）同心圆系： (x x0 )2 ( y y0 )2 r 2 ， x0 , y0 为常数， r 为参数． （2）过两已知圆 C1 : f1(x, y) x2 y 2 D1x E1 y F1 0 和 C2 ： f2 (x, y) x2 y 2 D2 x E2 y F2 0 的交 点的圆系方程为： x2 y 2 D1x E1 y F1 (x2 y 2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1) 若 1 时，变为 (D1 D2 )x (E1 E2 ) y F1 F2 0 ，则表示过两圆的交点的直线． 其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时， 此直线表示与两圆连心线垂直的直线． （3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线 l : Ax By C 0 与圆 C : x2 y2 D x E y F 0 相交，则过 直线 l 与圆 C 交点的圆系方程为 x 2 y 2 Dx Ey F ( Ax By C) 0 ． 曲线系：两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同属性的集合．
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
直线方程和圆的方程概念及知识点拓展(高中数学)
直线与圆的概念公式及拓展一．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角α的范围[)π，0。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
注意几种角的范围：异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π； 直线和平面所成角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，； 二面角[]π，0； 两向量的夹角[]π，0；2.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率k ， 即k=tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率。
直线方程：Ax+By+C=0的斜率BAk -=。
方向向量：若()n m a ,=为直线的方向向量，则直线的斜率mn k =。
已知直线上两点：过两点()),(,,2211y x y x 的直线的斜率1212x x y y k --=。
二．直线方程的五种形式：1.点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程)(00x x k y y -=-，它不包括垂直于x 轴的直线。
2.斜截式：已知直线斜率为k ，在y 轴上的截距b ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线。
3.两点式：已知直线过了P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于x 轴的直线。
4.截距式：已知直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ( a ≠0，b ≠0)则直线方程为1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.直线的一般式方程：任何直线都可以写成Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的形式。
拓展：1.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。
直线的斜率为1或直线过原点，则直线两截距互为相反数； 直线的斜率为-1或直线过原点，则直线两截距相等。
2.设直线方程的一些常用技巧：（1）已知直线y 轴截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b 。
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆方程的各种形式
圆方程的各种形式圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的几何图形。
圆方程描述了圆的性质和特征。
在本文中，我们将讨论圆方程的各种形式。
1.标准方程：圆的标准方程是最基本的形式，它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
如果圆的圆心是(h,k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(x,y)是圆上的任意一点。
2.一般方程：圆的一般方程是另一种形式，它可以将圆的方程转换为一个二次方程。
一般方程的一般形式为：Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0其中A、D、E和F是常数。
要将标准方程转换为一般方程，你可以进行平方展开并将所有项相加。
3.参数方程：圆的参数方程使用参数t来表示圆上的点。
该方程的一般形式为：x = h + r * cos(t)y = k + r * sin(t)其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径。
参数t的范围通常是[0,2π]。
4.极坐标方程：圆的极坐标方程使用极坐标来描述圆。
该方程的一般形式为：r = a + b * cos(θ)其中a和b是常数，θ是角度。
通常情况下，θ的范围是[0,2π]。
5.中心半径形式：中心半径形式是另一种表达圆的方式。
它使用圆心的坐标和半径来定义圆。
该形式的一般形式为：(h,k)±r其中(h,k)是圆心的坐标，±表示圆的内外部，r是半径。
该形式更加简洁，适用于描述圆的位置关系。
6.过三点圆方程：如果给出了圆上的三个点的坐标，我们可以使用过三点圆方程来定义圆。
给定三个不共线的点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，过三点圆方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²其中a和b是圆心的坐标，r是半径。
7.方程组形式：方程组形式是将两个方程组合在一起来描述圆的方式。
一般形式为：f(x,y)=0g(x,y)=0其中f(x,y)和g(x,y)分别表示两个方程。
【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
圆系方程公式
圆系方程公式
圆系方程是几何学中一类重要的概念，也是数学中最基本的概念之一。
它是由欧几里得发明的，在17世纪出现在西方数学史上。
圆系方程是一个定义了圆的数学表达式，它可以用来描述圆的形状。
它的形式是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a和b是圆心的坐标，r 是圆的半径。
它可以用来表示一个圆的位置，大小和形状。
圆系方程在几何学中有很多应用，如计算面积、计算周长等。
圆系方程也可以用来描述几何图形，比如圆形，椭圆形，抛物线等，这些图形可以用圆系方程来描述。
此外，圆系方程还有许多工程应用，比如建筑设计、航空航天、城市规划等，它们都需要用圆系方程来表示几何图形，以便正确处理问题。
总之，圆系方程是一类重要的数学表达式，它在几何学和工程应用中都有着重要的作用，可以用来表示几何图形和计算面积、周长等。
圆系方程的理解与推导
圆系方程的理解与推导在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。
圆的方程描述了在平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
圆的方程有多种形式，下面将介绍其中两种常见的形式：标准圆方程和一般圆方程。
1. 标准圆方程：标准圆方程表述为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
这个方程说明了平面上距圆心的欧几里得距离等于半径的点构成了圆。
推导标准圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。
对于任意点(x, y)位于圆上，根据欧几里得距离的定义，有：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方得：(x - h)² + (y - k)² = r²这就是标准圆方程。
2. 一般圆方程：一般圆方程可以写为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。
这个方程描述了平面上满足该方程的点的集合构成了圆。
推导一般圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。
根据圆的定义，圆上的点与圆心的距离应等于半径。
因此，我们可以得到一个方程：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方后展开，并移项，可得：(x - h)² + (y - k)² - r² = 0进一步展开并整理，可得：x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0将上式与一般圆方程进行比较，我们可以得到：A = 1，B = 1，C = -2h，D = -2k，E = h² + k² - r²这就是一般圆方程。
通过推导和理解圆的方程，我们可以在平面几何中更好地描述和分析圆的性质和关系。
78《圆的方程及线性规划》基础知识
《直线和圆的方程》基础知识一.圆的定义:二.圆的标准方程:1.圆心在原点O ,半径为r 的圆的标准方程:2.圆心在点),,(b a C 半径为r 的圆的标准方程:注意:圆是标准式方程时,如何判断一个点),(11y x P 与这个圆的位置关系?三.圆的一般方程:将圆的标准方程展开整理即可得圆的一般方程的基本形式: 即022=++++F Ey Dx y x1.一般的二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆所满足的条件是:注:圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 配方为),4(41)2()2(2222F E D E y D x -+=+++可得圆的圆心坐标为: 半径=r注意:圆是一般式方程时,如何判断一个点),(11y x P 与这个圆的位置关系?2.更一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆所满足的条件是:1) 2) 3)3.解决圆的方程的方法有:1)几何法:根据几何条件,直接求出圆心坐标和半径2)待定系数法:即选取标准式与一般式中的某一种,代入条件,分别求出F E D r b a ,,,,或4.圆的方程设法的选择:实际上就是“待定系数”法1)通常,题目条件中涉及到圆心的位置和半径大小的,就设标准式。
否则,就设一般式2)一般地,题目条件中涉及到圆经过两个及两个以上点的,设一般式四.直线与圆的位置关系判断:(一).判别式法:将圆的方程和直线的方程联立,消去y x 或,看判别式的正负∆情况: 当0>∆ 当0=∆ 当0<∆(二).几何法:先计算圆心C 到直线L 的距离d ,再与圆的半径r 进行比较:当r d >时, 当r d =时, 当r d <时,五.两圆的位置关系:判断方法有几何法与代数法,主要用几何法.(一)设圆1C 的半径为;R 圆2C 的半径为r (r R ≥),两圆圆心之间的距离21C C ,则:1.当 时,两圆外离;2.当 时,两圆外切;3.当 时,两圆相交;4.当 时,两圆内切;5.当 时,两圆内含,特殊地,当 时,两圆同心(二)两圆在各种情况下公切线的条数:注意:两圆公切线方程的求法:六.圆的切线方程:(一)过圆上一点的切线方程:1.过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程是:1)圆222r y x =+斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±2.过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 上一点的切线方程:1)过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点P 00(,)x y 的切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=化简为 0000()()()02222x y D E x x y y D E F ++++⨯+⨯+= (二)过圆外一点),(00y x P 作圆的切线,有两条,其切线方程的求法如下:先根据已知的一点),(00y x P 设出切线L 的点斜式方程,再根据圆心C 到切线L 的距离等于半径r ,从而求出切线的斜率k ,进而求出切线L 的方程.过圆外一点),(00y x P 作圆的切线方程另法: ①过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件0=∆求,k 必有两条切线.若求得的k 值只有一个,则另一条直线的斜率k 不存在,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.②斜率为k 的切线方程设为y kx b =+,利用相切条件求,b 必有两条切线,即两个b 值. 注:过圆外一点),(00y x P 作圆C :022=++++F Ey Dx y x 的切线,有两条,其切线的长度为F Ey Dx y x L ++++=002020 (三)切点弦的方程:过圆022=++++F Ey Dx y x 外一点P 00(,)x y 作圆的切线有两条,切点有两个B A ,,则过两个切点B A ,的弦所在的直线方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=化简为 0000()()()02222x y D E x x y y D E F ++++⨯+⨯+= 七.圆或圆系方程的设法: (一)经过直线0:=++C By Ax L 与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的两个交点Q P ,所作新圆的方程的设法:(二)经过两圆1C :011122=++++F y E x D y x 和2C :022222=++++F y E x D y x 的两个交点Q P ,所作新圆的方程的设法:注:经过两圆1C :011122=++++F y E x D y x 和2C :022222=++++F y E x D y x 的两个交点Q P ,的公共弦所在的直线方程为(三)几种特殊条件下圆的方程的设法:1.经过原点:2.圆心在x 轴上:3.圆心在y 轴上:4.与x 轴相切:5.与y 轴相切:6.与x 轴,y 轴都相切:7.圆心在x 轴上,且与y 轴相切:8.圆心在y 轴上,且与x 轴相切:9.已知1122(,),(,)A x y B x y 以线段AB 为直径的圆的方程:八.线性规划:1.基本概念:A)约束条件和线型约束条件;B)目标函数和线型目标函数;C)可行解与可行域;D)最优解;E)线性规划;2.简单线性规划问题求解步骤:A)画出约束条件确定的可行域;B)令目标函数z Ax By =+,作直线0:0=+By Ax l ;C)平移0l 利用z 的几何意义确定最优解所对应的点的位置:当0>B 时,直线0l 的纵截距最大时,目标函数取得最大值;纵截距最小时,目标函数取得最小值.当0<B 时,则相反;D)解出最优解的坐标,代入目标函数求得最值;。
【高考数学】直线系和圆系方程
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。
和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。
直线系、圆系方程
直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=， 当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=； 当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 3、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
圆的两种形式方程
圆的两种形式方程
圆是平面上所有距离固定点（称为圆心）相等的点所组成的图形。
圆的形式方程有两种：一种是标准形式，一种是极坐标形式。
标准形式的圆的方程为：
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中 (a,b) 是圆心坐标，r 是圆的半径。
极坐标形式的圆的方程为：
r = a + b*cosθ
其中r 是圆的极径，(a,b) 是极坐标系下圆的极坐标表示，θ 是极角。
标准形式的圆的方程适用于直角坐标系，因此它的应用场景主要是在平面直角坐标系中使用。
标准形式的圆的方程是一个二次函数，所以它的图像是一个抛物线，其中圆心为抛物线的对称轴。
在平面直角坐标系中，可以使用标准形式的圆的方程来描述圆的位置和大小。
极坐标形式的圆的方程适用于极坐标系，因此它的应用场景主要是在极坐标系中使用。
极坐标系是一种极其方便的坐标系，在绘制某些图形时经常会使用极坐标系。
例如，在绘制一个极角相等的圆弧时，
可以使用极坐标形式的圆的方程来描述圆的位置和大小。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的十种表示方法
圆的十种表示方法1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述圆是几何学中最基本的图形之一。
它具有无限个点，这些点到一个固定点的距离都相等。
圆的独特性质使它在各个学科和领域都有广泛的应用，如数学、物理、工程、艺术等。
而圆的表示方法则是研究和描述圆形特性的关键。
本文将介绍圆的十种表示方法，通过详细分析每一种方法的特点和使用场景，旨在帮助读者更好地理解和运用圆的概念。
每一种表示方法都有其独特的优劣势，因此在实际应用中需要根据具体情况选择最适合的方法。
在正文部分，我们将依次介绍每一种表示方法，并深入探讨其原理和应用。
其中，有些方法是传统的几何学表示方式，如欧几里德几何中的坐标表示法、半径表示法等；而另一些方法则是现代数学和计算机科学的成果，如参数方程表示法、向量表示法等。
通过本文的阅读，您将会了解到圆的不同表示方法在实际问题中的特点和用途。
这些方法既可以帮助我们更深入地研究圆的性质，又可以为解决实际问题提供有效的数学工具和计算方法。
总之，本文将从多个角度全面介绍圆的表示方法，希望能够为读者提供全面、准确、深入的圆形知识，激发读者对几何学的兴趣，并为相关学科领域的研究和应用提供有益的指导。
接下来的章节将详细介绍每一种表示方法及其相关内容。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将以如下结构来展开探讨圆的十种表示方法：2.1 第一种表示方法* 描述：介绍第一种表示方法，并说明其原理和应用场景。
* 举例：给出一个具体的例子，以便读者更好地理解。
2.2 第二种表示方法* 描述：介绍第二种表示方法，并说明其原理和应用场景。
* 举例：给出一个具体的例子，以便读者更好地理解。
2.3 第三种表示方法* 描述：介绍第三种表示方法，并说明其原理和应用场景。
* 举例：给出一个具体的例子，以便读者更好地理解。
2.4 第四种表示方法* 描述：介绍第四种表示方法，并说明其原理和应用场景。
* 举例：给出一个具体的例子，以便读者更好地理解。
圆的几种表达式
圆的几种表达式
《圆》
圆是一个非常基本的几何形状，可以用多种方式进行表达。
首先，我们可以根据圆的半径和圆心的坐标来表达一个圆。
这种表达方式可以用数学符号来表示，比如(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径。
这个表达式可以用来确定一个圆的位置和大小。
另外，我们也可以用圆的直径来表达一个圆。
圆的直径是圆上任意两点的距离，所以如果知道直径的长度，就可以确定一个圆。
圆的直径和半径之间有一个简单的关系，直径等于半径的两倍，所以我们也可以用直径的一半来表达一个圆。
除此之外，圆还可以用圆周率来表达。
圆周率π是一个无限不循环小数，约等于3.14159。
我们可以用π来表达圆的周长和面积，分别是2πr和πr²。
这种表达方式在数学和工程领域中被广泛应用。
总的来说，圆可以用多种方式进行表达，每一种都有其独特的用途和特点。
无论是数学公式、直径、还是圆周率，它们都可以帮助我们更好地理解和使用圆这一基本形状。
有关圆系的几个成绩
和圆 C2 ：
x 2 y2 D1x E1y F1 0
x 2 y2 D2 x E 2 y F2 0
则称到两圆的切线长相等的点的轨迹称为两圆的根轴。 下面来讨论根轴的方程。
设 P(x 0 , y0 ) ，由切线长公式知：
P 到圆 C1 的切线长
P 到圆 C2 的切线长
(1 )x 2 (1 )y2 (D1 D2 )x (E1 E 2 )y (F1 F2 ) 0
圆心 O'( D1 D2 , E1 E 2 ) ，由定比分点公式可知： 2(1 ) 2(1 )
O' 分有向线段 O1O2 的定比即为 λ，从而也说明了点 O' 在 O1O2 的连线上。
(D1 D2 )x (E1 E 2 )y (F1 F2 ) 0 (3)
(E 1
O1 (
D1 2
E 2 )x
,
E1 2
(D1
)
，
C
2
的圆心
D 2 )y
由 A1A 2 B1B2 0 ，即根轴所在直线的方程(如果存在的话) 必与两圆连心线
(存在的话)垂直。
为了讨论方便起见，我们把方程(1)和(2)分别简记为： C1 ： F(x, y) 0 和 C2 ：
E1y0
F1
(1)
(2)
则有：
整理得：
由 P 点的任意性可知根轴的方程为：
由于
C1 的圆心
线 O1O2 的方程，整理得：
d2
x
2 0
x
y
2 0
2 0
y
x
4-5圆系与曲线系
2111 2 1 1 1 ( 2 221 22 1 专 题 5 圆 系 与 曲 线 系秒杀秘籍：第一讲 圆系和曲线中的四点共圆圆系：具有某种共同属性的圆的集合． 几种常见的圆系方程：（1）同心圆系： (x - x 0 )2 + ( y - y 0 )2 = r 2 ， x 0 , y 0 为常数， r 为参数．（2）过两已知圆C 1 : f 1 (x , y ) = x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0 和C 2 ： f 2 (x , y ) = x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 的交点的圆系方程为： x 2 + y 2 + D 1x + E 1 y + F 1 + λ(x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 ) = 0 (λ≠ -1) 若λ= -1时，变为 (D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 ，则表示过两圆的交点的直线．其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时， 此直线表示与两圆连心线垂直的直线．（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线l : Ax + By + C = 0 与圆C : x 2 + y 2 + D x + E 直线l 与圆C 交点的圆系方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ( Ax + By + C ) = 0 ． 曲线系：两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同属性的集合． 两条直线所组成的二次曲线方程： (a 1 x +b 1 y +c 1)(a 2 x + b 2 y + c 2 )= 0 ． y + F = 0 相交，则过圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则存在四点共圆的情况必为Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F + l (a x + b y + c ) a x + b y + c )= 0 ，由于没有 xy 的项，必有 a b+ a b =0． 定理：圆锥曲线的内接四边形 ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补．其 方程可以写成 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F + l (ax + by + c )(ax - by + c )= 0 ，此时 A +l a 2 = C - l b 2 ，方程表示一 个圆．证明四点共圆的套路：1．设出曲线系方程，解出l ；2．根据 4R 2 = D 2 + E 2 - 4F > 0 证明四点一定共圆．【例 1】求过圆： x 2 + y 2 -2x + 2 y +1=0 与圆： x 2 + y 2 + 4 x -2 y -4 =0 的交点，圆心在直线： x - 2y - 5 = 0 的圆的方程．2122 + = > > 【例 2】已知圆C : x 2 + y 2 - 2x + 4 y - 4 = 0 与直线 x - y + m = 0 相交于 A , B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥ OB ， 求实数 m 的值．【例 3】已知抛物线 y 2 = 2 px ．过焦点 F 任作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于 A , C 和 B , D ，问四点是否共圆？若共圆，求出圆的方程，若不共圆，说明理由．x 2 y 2【例 4】设椭圆C : + 3 2共圆．= 1，过点 P (1 , 1)且倾斜角互补的两直线分别与椭圆交于 A , C 和 B , D ，证明四点2y 2 【例 5】（2011•全国卷）已知O 为坐标原点， F 为椭圆C : x += 1在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率2为- 的直线l 与C 交于 A , B 两点，点 P 满足OA + OB + OP = 0 ． （1）证明：点 P 在C 上；（2）设点 P 关于点O 的对称点为 Q ，证明： A 、 P 、 B 、Q 四点在同一圆上．【例 6】（2016•四川文）已知椭圆 E : x a 2 y 2b 21(a b 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P (3, 1 ) 2在椭圆 E 上． （1）求椭圆 E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为 1的直线l 与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ，线段 AB 的中点为 M ，直线OM2 与椭圆 E 交于C 、 D ，证明： | MA | | MB |=| MC | | MD | ．2213【例 7】（2010•江苏）椭圆 1的左右顶点为 A , B 右焦点为 F ．设过点T 9, m 秒杀秘籍：第二讲 曲线系及其应用方程形如 ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 的曲线，叫做二次曲线，它包括圆、椭圆、双曲线、抛物线以 及退化的二次曲线——两条直线．有必要解释一下什么叫做两条直线，注意如下方程： (A 1x + B 1 y + C 1 )(A 2 x + B 2 y + C 2 )= 0．显然，在它上面的点，要么满足 A 1x + B 1 y + C 1 = 0，要么满足 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，故点的集合是两条直线．而这个方程展开后，是一个二次式，因此是退化的二次曲线．设这条二次曲线的方程分别为 S 1 = 0 , S 2 = 0 ,其中 S 1 ， S 2 均为二次式，有λS 1 + μS 2 = 0 表示所有经过这 两个曲线交点的二次曲线，即曲线系．同样，如果能确定你需要的曲线不是 S 1 = 0 或 S 2 = 0本身，我们可以只设一个参数．当我们已知曲线 H = 0 ,要求某些未知数值的时候，我们利用方程：λS 1 + μS 2 = H ，两边对比系数即可． 同样，如果 H 不为 S 1 或 S 2 本身，通过除以λ或者μ，可知上式的两个待定系数可以放在任两个方程前 面，应选择方便计算的．x 2 + y 2= ( ) 9 5 与椭圆交于 M (x 1，y 1 )， N (x 2，y 2 )，其中 m > 0 ， y 1 > 0 ， y 2 < 0 ．求证：直线 MN 必过 x 轴上一个定点．总结：设 MN : x = ky + n ，是因为 MN 能竖着但不能横着． 利用二次曲线系求解某个未知数的基本步骤： 1. 找到四个点，他们为两个二次曲线的交点． 2. 找出另一个过这个四个点的二次曲线，构造等式． 3. 两边对某些项的系数，找出未知数．需要说明的是，对比系数时，要通过感觉和尝试选出有用的等式．千万不要将式子展开，那样会很繁， 只需要单独算出某些待定项的系数就可以了．另外，将两个直线方程相乘，变成二次曲线，是一个很重要的技巧．的直线TA ， TB 分别2142 + = > > 【例 8】（2016•山东）已知椭圆C : x a 2 （1）求椭圆C 的方程；y 2 b 21(a b 0) 的长轴长为 4，焦距为 2 ．（2）过动点 M (0 ， m )(m > 0) 的直线交 x 轴与点 N ，交 C 于点 A ， P (P 在第一象限），且 M 是线段 PN 的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点 B ．①设直线 PM ，QM 的斜率分别为 k ， k ，证明 k2 为定值；1②求直线 AB 的斜率的最小值．k 1达 标 训 练1．已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ， AB 为过抛物线焦点 F 的弦， AB 的中垂线交抛物线 E 于点 M 、N ．若 A 、M 、 B 、 N 四点共圆，求直线 AB 的方程．2y 2 2．（2002•广东）设 A 、 B 是双曲线x - = 1上的两点，点 N (1 , 2) 是线段 AB 的中点．2（1）求直线 AB 的方程（2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么 A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？2221573．（2005•湖北）设 A 、B 是椭圆3x 2 + y 2 = λ上的两点，点 N (1 , 3) 是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、 D 两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线 AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得 A 、 B 、C 、 D 四点在同一个圆上？并说明理由．x 2+y 2=> >14．（2015•乌鲁木齐模拟）已知椭圆 a 2顶点，且| AB |= ． （1）试求椭圆的方程；b21(a b 0) 的离心率为 ，点 A 、B 分别为椭圆的右顶点和上 2（2）斜率为 3的直线l 与椭圆交于 P 、Q 两点，点 P 在第一象限，求证 A 、 P 、 B 、Q 四点共圆．25．（2019•大理期中）已知椭圆 E 中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A (-2,0), B (2,0),C ⎛1, 3 ⎫三点．2 ⎪ ⎝ ⎭ （1）求椭圆 E 的方程;（2）在直线 x = 4 上任取一点T (4 , m )(m ≠ 0),连接TA , TB ，分别与椭圆 E 交于 M 、N 两点,判断直线 MN 是否过定点？若是,求出该定点;若不是,请说明理由．2162 x 2 y 26．（2019•岳麓月考）已知椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，左右顶点分别是 A 1 、A 2 ，离心率是 2，过 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q （不是左、右顶点），且△ F PQ 的周长是 4 ，直线 A P2 2 1 1与 A 2Q 交于点 M ． （1）求椭圆的方程；（2）①求证直线 A 1 P 与 A 2Q 的交点 M 在一条定直线l 上；② N 是定直线l 上的一点，且 PN 平行于 x 轴，证明： | PF 2 |是定值．| PN |x 2 y 27．（2018•太原模拟）已知椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，右焦点为 F 2 (1 , 0) ，3 B (1 , ) 2在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线l : y = k (x - 4)(k ≠ 0) 与椭圆C 交于 M ，N 两点，已知直线 A 1M 与 A 2 N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．点3y +=>>8．（2017•徐汇模拟）如图，A, B 是椭圆C : x2+22= 1长轴的两个端点，M , N 是椭圆上与A, B 均不重合的相异两点，设直线AM , BN, AN 的斜率分别是k1 , k2, k3．（1）求k2 ⋅k3的值；⎛ 2 ⎫（2）若直线MN 过点, 0 ，求证：k ⋅k =-1 ；2 ⎪ 13 6⎝⎭（3）设直线MN 与x 轴的交点为(t, 0) ( t 为常数且t ≠ 0 )，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．9．已知O 为坐标原点，椭圆C : xa2 y2b21(a b 0) 的焦距等于其长半轴长，M ，N 为椭圆C 的上下顶点，且| MN |= 2 ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P(0 , 1) 作直线l 交椭圆C 于异于M ，N 的A , B 两点，直线AM、BN 交于点T ，求证：点T 的纵坐标为定值3．2217218()C 0 , 1+ = 21210． 在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 x + y= 1 的左右顶点为 A ，B ，右焦点为 F ，设过点T (t , m ) 的9 5直线TA ， TB 与椭圆分别交于点 M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) ，其中 m > 0 , y 1 > 0 , y 2 < 0（1）设动点 P 满足 PF 2 - PB 2 = 4 ，求点 P 的轨迹．（2）若 x 1 = 2 , x 2 = 3，求点T 的坐标．（3）设t = 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）．11．（2011•四川）如图，椭圆有两顶点 A (-1 , 0) 、 B (1 , 0) ，过其焦点 F (0 , 1) 的直线l 与椭圆交于C , D 两点，并与 x 轴交于点 P ．直线 AC 与直线 BD 交于点Q ． 当点 P 异于 A , B 两点时，求证： OP ⋅ O Q 为定值．x 2 y 2 12．（2011•四川）如图，过点的椭圆( > > )的离心率为，椭圆与 x 轴交于两点 a 2 b 21 a b 02A (a , 0)，B (- a , 0)，过点C 的直线l 于椭圆交于另一点D ，并与 x 轴交于 P ，直线 AC 与直线 BD 交于点Q ． （1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点 P 异于点 B 时，求证： OP ⋅ OQ 为定值．3。