2.数理逻辑12
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第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
精品课件
1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
重要的9条推理定律：附加、化简、假言推 理、拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三 段论、构造性二难、 破坏性二难。
除此之外，每个等精品值课件式均产生两条推理定 11 律。
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
当
A1A2…AkB为重言式
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
精品课件
3
推理的形式结构
推理的形式结构
1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B
2. A1A2…AkB 若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B
3. 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
确
精品课件
6
例2
判断下列推理是否正确：如果天气凉快，小王
就不去游泳，天气凉快，所以小王没去游泳。
解这类推理问题，应先将命题符号化，然后写 出前提、结论和推理的形式结构，最后进行判断。
设p：天气凉快；q：小王去游泳。
前提：p→﹁q, p。结论：﹁q。
推理的形式结构： ((p→﹁q )∧p)→﹁q 。
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
精品课件
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
Байду номын сангаас12
构造
3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I).
判断推理是否正确的方法:
真值表法
等值演算法
主析取范式法
精品课件
4
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天
是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天
解 是设1号p.：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理3.1可知推理正确
精品课件
5
推理实例
(2) 推理的形式结构:(pq)qp
用主析取范式法
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正
∨(﹁q∧﹁p) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(p∧﹁q) m3∨m1∨m0∨m2
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
(5) 附加规则
AB A
∴B (6) 化简规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则
AB ∴A
AB B ∴A
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
AB
AB
BC
B
∴AC
∴A
精品课件
15
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB
CD
AC ∴BD
(11) 破坏性二难推理规则
AB
CD
BD
∴AC
(12) 合取引入规则
A
B
精品课件
∴AB
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在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果
每
一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用
推理
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
(2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同前） 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
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14
推理规则
(4) 假言推理规则
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
程，前提是已知的命题公式，结论是从前
题出发应用推理规则推出的命题公式。
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2
3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋
值，
A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅
下面分别用三种方法来判断该蕴含式是否为重言式。
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（1）真值表法
((p→﹁q)∧p)→﹁q (*)的真值表
p q ﹁q p→﹁q
(p→﹁q)∧p (*)
00 1
1
0
1
01 0
1
0
1
10 1
1
1
1
11 0
0
0
1
真值表的最后一列全为1，因而（*）是重言式，
所以推理正确。
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（2）等值演算法
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
重要的9条推理定律：附加、化简、假言推 理、拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三 段论、构造性二难、 破坏性二难。
除此之外，每个等精品值课件式均产生两条推理定 11 律。
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
当
A1A2…AkB为重言式
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理的形式结构
推理的形式结构
1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B
2. A1A2…AkB 若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B
3. 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
确
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例2
判断下列推理是否正确：如果天气凉快，小王
就不去游泳，天气凉快，所以小王没去游泳。
解这类推理问题，应先将命题符号化，然后写 出前提、结论和推理的形式结构，最后进行判断。
设p：天气凉快；q：小王去游泳。
前提：p→﹁q, p。结论：﹁q。
推理的形式结构： ((p→﹁q )∧p)→﹁q 。
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
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8. (AB)(CD)(AC) (BD)
Байду номын сангаас12
构造
3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I).
判断推理是否正确的方法:
真值表法
等值演算法
主析取范式法
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天
是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天
解 是设1号p.：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
用等值演算法
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理3.1可知推理正确
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5
推理实例
(2) 推理的形式结构:(pq)qp
用主析取范式法
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正
∨(﹁q∧﹁p) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(p∧﹁q) m3∨m1∨m0∨m2
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
(5) 附加规则
AB A
∴B (6) 化简规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则
AB ∴A
AB B ∴A
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
AB
AB
BC
B
∴AC
∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB
CD
AC ∴BD
(11) 破坏性二难推理规则
AB
CD
BD
∴AC
(12) 合取引入规则
A
B
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∴AB
16
在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果
每
一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用
推理
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
(2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同前） 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
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推理规则
(4) 假言推理规则
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
程，前提是已知的命题公式，结论是从前
题出发应用推理规则推出的命题公式。
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋
值，
A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅
下面分别用三种方法来判断该蕴含式是否为重言式。
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（1）真值表法
((p→﹁q)∧p)→﹁q (*)的真值表
p q ﹁q p→﹁q
(p→﹁q)∧p (*)
00 1
1
0
1
01 0
1
0
1
10 1
1
1
1
11 0
0
0
1
真值表的最后一列全为1，因而（*）是重言式，
所以推理正确。
精品课件
8
（2）等值演算法