常见数学建模练习题目及解答

解 LINGO 程序如下： model: data:
M=5; enddata sets:
rows/1..M/: b; cols/1..100/: x; table(rows,cols): a;
endsets data:
a=@qrand(); b=@qrand(); enddata min=@sum(cols(i):i*@abs(x(i))); @sum(cols:x)=1; @sum(cols(i):i*x(i))=1; @sum(cols(i)|i#le#50:x(2*i-1))-@sum(cols(i)|i#le#50:x(2*i))=0; @for(rows(i):@sum(cols(j):a(i,j)*x(j))<b(i)); @for(cols:@free(x)); end
8．某商品前 5 年的销售量见表 5。现希望根据前 5 年的统计数据预测第 6 年起该商品 在各季度中的销售量。要求用差分方程和时间序列两种方法预测。
年份 季度
1 2 3 4
第一年
11 16 25 12
表5 第二年 第三年
⎨ ⎪⎩
y
2
'
=
−
y2 x
− (1 −
1 4x
2
)
y1
y1=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/4)*y','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi',' x'); subplot(1,3,1) ezplot(y1,[pi/2,pi]) f=@(x,y) [y(2);-y(2)/x-(1-0.25./x.^2)*y(1)]; [x,y2]=ode45(f,[pi/2,pi],[2,-2/pi]) subplot(1,3,2) plot(x,y2(:,1)) y3=subs(y1,'x',x); subplot(1,3,3) plot(x,y3)
解：用 i = 1,2,3,4 分别表示货物 1，货物 2，货物 3 和货物 4； j = 1,2,3 分别表示前舱，
中舱和后舱。设 xij （ i = 1,2,3,4 ， j = 1,2,3,4 ）表示第 i 种货物装在第 j 个货舱内的重量，
w j , v j ( j = 1,2,3) 分别表示第 j 个舱的重量限制和体积限制，ai , bi , ci (i = 1,2,3,4) 分别表示
x1
+
d
− 2
−
d
+ 2
= 12
对 II 级有
12 −
x1
+
x2
+
d
− 3
−
d
+ 3
= 15
对 III 级有
15 −
x2
+
x3
+
d
− 4
−
d
+ 4
= 15
II，III 级的升级面尽可能达到现有人数的 20％
对 II 级有
x1
+
d
− 5
−
d5+
= 12 × 0.2
对 III 级有
x2
+
d
− 6
−
d
+ 6
8
2
55
5
2
1
9
7
4
3
3
51
7
6
7
3
9
2
7
1
43
2
3
9
5
7
2
6
5
41
5
5
2
2
8
1
4
3
52
35 37 22 32 41 32 43 38
2. 使用 MATLAB 软件随机生成一个 200 × 200 的矩阵，然后把矩阵的对角线元素修改
成 0，把所得到的矩阵作为 TSP 问题中的距离邻接矩阵。使用纯文本文件和 Excel 文件两种 方法传递数据，用 LINGO 软件编程求最短 Hamilton 圈的长度。
p(ctr)=1; @for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0); @for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dmin us(j))); @for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g( i)); @for(level(i)|i #lt# @size(level):@bnd(0,z(i),goal(i))); @for(variable:@gin(x)); end
4
4
4
∑ ∑ ∑ xi1
xi2
xi3
i =1
= i=1
= i=1
10 16
8
model:
sets:
wu/1..4/:a,b,c;
cang/1..3/:w,v;
link(wu,cang):x;
endsets
data:
a,b,c= 18
480
3200
15
650
3900
23
580
3600
12
390
2950;
7．Lorenz方程是一个三阶的非线性系统，它是由描述大气动力系统的Navier-Stokes 偏微分方程演化而来的。自由系统如下：
⎧x& = σ ( y − x)
⎪ ⎨
y&
=
βx
−
y
−
xz
⎪⎩z& = −λz + xy
当系统参数σ , β , λ 在一定范围内，系统就出现混沌，如σ = 10 ， β = 28 ， λ = 8 / 3
3
∑ j ≤ ai ， i = 1,2,3,4
j =1
ii）三个货舱的重量限制
4
∑ xij ≤ w j ， j = 1,2,3
i =1
iii）三个货舱的体积限制
4
∑ bi xij ≤ v j ， j = 1,2,3
i =1
iv）三个货舱装入货物的平衡限制
4
4
4
∑ ∑ ∑ xi1
xi2
xi3
i =1
表3
重量（吨）
空间（立方米/吨） 利润（元/吨）
货物 1
18
480
3200
货物 2
15
650
3900
货物 3
23
580
3600
货物 4
12
390
2950
假设： （1）每种货物可以无限细分； （2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内； （3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。 问应如何装运，使货机飞行利润最大？
= i=1
= i=1
10 16
8
综上所述，我们建立如下线性规划模型
4
3
∑ ∑ max z = ci xij
i=1 j=1
3
∑ s.t.
xij ≤ ai ， i = 1,2,3,4
j =1
4
∑ xij ≤ w j ， j = 1,2,3
i =1
4
∑ bi xij ≤ v j ， j = 1,2,3
i =1
@for(cang(j)|j#le#2:@sum(wu(i):x(i,j))/w(j)=@sum(wu(i):x(i,j+1))/w(j+1));
end
5. 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守以下规定：
（1）不超过年工资总额 60000 元； （2）每级的人数不超过定编规定的人数；
3．求解下列数学规划
100
min ∑i xi i=1
100
∑ s.t.
xi = 1
i=1
100
∑ixi = 10
i =1
50
50
∑ ∑ x2i−1 − x2i = 0
i=1
i =1
Ax ≤ b
这里的 A 是随机生成的 5×100 矩阵， b 是随机生成的 5 维列向量， x = (x1,L, x100 )T 。
解 求符号解的MATLAB命令为 y=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/4)*y','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x ')
下面求数值解，首先把方程化成一阶方程组。
设 y1 = y ， y2 = y' ，则二阶方程可以化成如下一阶方程组
⎧ ⎪
y1
'
=
y2
先分别建立各目标约束。 年工资总额不超过 60000 元：
2000(10 −10 × 0.1 + x1 ) + 1500(12 − x1 + x2 ) + 1000(15 − x2 + x3 ) + d1− − d1+ = 60000
每级的人数不超过定编规定的人数：
对 I 级有
10(1 −
0.1)
+
（3）II，III 级的升级面尽可能达到现有人数的 20％；
（4）III 级不足编制的人数可录用新职工，又 I 级的职工中有 10％要退休。 有关资料汇总于表 4 中，问该领导应如何拟定一个满意的方案。
表4
等级
工资额（元/年）
现有人数
编制人数
I
2000
10
12
II
1500