【最新】北师大版八年级数学下册第一章《 等腰三角形的性质(2)》公开课课件.ppt
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北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形》优质课件 (2)
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
(B1D)=如CE果吗∠?如AB果D=∠311A3 BD∠=A14B41C∠，A∠BCAC，E=∠3113AC∠E=A14CB41∠，那AC么B呢? 由此，你能得到一个什么结论?
1
1
(2)如1果AD=31 AC1，AE= 31 AB，那么BD=CE吗?
4
34
3
如果AD= 1 AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论?
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这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
我们，还在路上……
第一章三角形的证明 1.等腰三角形(2)
学习目标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、会证明和应用等腰三角形的相关 结论。
3、会证明和应用等边三角形的性质 定理。
复习与回顾
1.等腰三角形的性质是什么？ 2.等边三角形有哪些性质？
合作探究一
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
E
D
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
3
4
11
11
B
C
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB，
22
22
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
又∵AD=CE ∴△ADC≌△CEB（SAS） ∴CD=BE
2021年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明等腰三角形 2》公开课课件.ppt
为__3_5_°__,35°__。
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°B
D
C
是真是假
性质2等腰等三腰角三形角的形顶顶角角平分的线平与分底线边平上分的底中线边，并底 边上的高且互垂相直重于合底边.
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=？
A
(等腰三角形三线合一)
B
D
C
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
⌒
x D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 c；m
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是 19 cm。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°B
D
C
是真是假
性质2等腰等三腰角三形角的形顶顶角角平分的线平与分底线边平上分的底中线边，并底 边上的高且互垂相直重于合底边.
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=？
A
(等腰三角形三线合一)
B
D
C
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
⌒
x D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 c；m
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是 19 cm。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
北师大版数学八年级下册 课件 1.1 等腰三角形 (共26张PPT)
●
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 4
几何的三种语言
B
●●
性质公理: 全等三角形的对应边、对应角相等
A
●
●● ●
∵ △ABC≌△A′B′C′ ∴
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ A′
●
B′
●●
C
●● ●
（全等三角形的对应边相等 ）; （全等三角形的对应角相等 ）.
C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
例1证明：等腰三角形两底角的角平分线相等
【演示】：
议一议
A
如图1-5，在∆ABC中，AB=AC,点D、E 分别在边AC与AB上， 1 1 （1）如果∠ABD= 3 ∠ABC, ∠ABD= ∠ABC, 3 那么BD=CE吗？
1 1 如果∠ABD= 4 ∠ABC, ∠ABD= 4 ∠ABC,
D
E
那么BD=CE吗？ 由此你能得到一个什么结论？
②∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
③∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一） 轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的 三种不同形式的运用.
1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个 角都等于60°. A
●
B′
C
●●
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 6
几何的三种语言
B
推论: 两角及其一角的对边对应相 等的两个三角形全等（AAS）.
′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ ∠C=∠C′ A′ AB=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
北师版八年级数学下册1.1. 等腰三角形(第2课时) 课件(共24张ppt)
折痕为BE；两边AC，BC重叠在一起，折痕为CF，如图所
示，你能发现什么现象吗？
A
A ∠A=∠B=∠AC=60°．
F E
B
CB
CB
C
D
D
探究新新知知探究
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
探究新新知知探究
已知：在△ABC中，AB=AC=BC， 求证：∠A=∠B=∠C=60°．
同理可证， 等腰三角形两腰上的中线相等， 两腰上的高相等.
探究新新知知探究
议一议 如图，在△ABC中，AB=AC，
点D，E分别在边AC和AB上.
A
（1）如果∠ABD= 1 ∠ ABC ，
∠ACE= 1∠ACB,那3么BD=CE吗？如果
E
D
3
∠ABD= 1 ∠ABC，∠ACE= 1 ∠ACB B
C
4
呢？由此能得到一个什么结论？
A
E
D
B
C
探究新新知知探究
解：（2）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= 1 AC，AE= 1
2
2
AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
A
E B
D C
探究新新知知探究
那么 BD=CE.
n
n
在△ABC中，AB=AC，AD= 1AC，AE= 1AB,那么 BD=CE.
n
n
3．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
再见
北师版八年级数学下册
第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第 2 课时
北师大版初二数学八年级下册1.1等腰三角形ppt课件
回顾与思考 5
几何的三种语言
B
基本事实:
全等三角形的对应边相等、 ●
对应角相等.
A
●●
●●
●C B′
●●
在△ABC与△A′B′C′中
∵ △ABC≌△A′B′C′（已知） ∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ A′ ●
●●
● C′
（全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′ ,∠B=∠B′,∠C=∠C′
探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
∵ AB=AC=BC
A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
19
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
回顾与思考 3
几何的三种语言
B
基本事实:
两边及其夹角对应相等的 ●
两个三角形全等（SAS）. A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵AB=A′B′（已知）,
A′ ●
∠A=∠A′ （已知）,
AC=A′C′ （已知）,
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导
出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明 方法称为反证法。
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形课件(第2课时共32张)
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
课堂精练
7. 如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中 线，则∠1的度数为( C ) A．90° B．30° C．120° D．150°
课堂精练
8.【中考·南充】如图，等边三角形OAB的边长为 2，则点B的坐标为( D ) A．(1，1) B．( 3，1) C．( 3， 3) D．(1， 3)
北师版八年级数学下册
第1章 三角形的证明
1.1 等腰三角形 第2课时 等边三角形的性质
复习导入
等腰三角形有哪些性质？ 1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，
即等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线及底边上的高线互相重合.
新知探究
一. 等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分 线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等 的线段吗？能证明你的结论吗？
A．BD，CE为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝
1 3
∠ABC，
∠ACE＝ 1 ∠ACB 3
D．∠ABD＝∠BCE
课堂精练
3. 求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数. 解：如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，
AC边上的中线，且CE与BF相交于点O， 则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC， 在Rt△ABF中，∵∠A＝60°， ∴∠ABF＝30°. 在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°， 即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
②点G与点H一定重合；③点I与点H一定重合；④点G，点I
与点H一定重合．其中正确的有( D )
北师版八年级数学下册等腰三角形的性质课件
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ 1 (180°－∠BAC)
＝
1
2
(180°－50°)＝65°.
2
例题精析
(2)求证：EF＝ED. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ED⊥BC. 又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
导引：利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时， 两个三角形符合“边角边等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
探究新知
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角.
课堂精练
《 等腰三角形》 (第2课时)示范公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学下册】
等腰三角形两底角的平分线相等， 两腰上的中线相等，两腰上的高相等.
探究新知
证明 等腰三角形两底角的平分线相等
A
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和
CE是△ABC的角平分线.
E
D
求证：BD=CE.
B
C
探究新知
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角）.
∵BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
典例精析
例 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延 长线上一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，BE＝DE， 求∠CED的度数．
A
E
B
C
D
典例精析
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵∠ABE＝40°，
A
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE
＝60°－40°＝20°．
D C
探究新知
解：（1）BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角）.
A
∵∠ABD= 1 ∠ ABC ，∠ACE=1
∠ACB, 3
3
E
D
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABD和△ACE中
B
C
∵∠ABD=∠ACE，AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
探究新知
现在请同学们制作等边三角形的纸片如图所示△ABC，
等边三角形的大小可以不一样，把纸片对折，让两边AB，
AC重叠在一起，折痕为AD；两边AB，BC重叠在一起，
折痕为BE；两边AC，BC重叠在一起，折痕为CF，如图所
示，你能发现什么现象吗？
探究新知
证明 等腰三角形两底角的平分线相等
A
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和
CE是△ABC的角平分线.
E
D
求证：BD=CE.
B
C
探究新知
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角）.
∵BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，
典例精析
例 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延 长线上一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，BE＝DE， 求∠CED的度数．
A
E
B
C
D
典例精析
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵∠ABE＝40°，
A
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE
＝60°－40°＝20°．
D C
探究新知
解：（1）BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角）.
A
∵∠ABD= 1 ∠ ABC ，∠ACE=1
∠ACB, 3
3
E
D
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABD和△ACE中
B
C
∵∠ABD=∠ACE，AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
探究新知
现在请同学们制作等边三角形的纸片如图所示△ABC，
等边三角形的大小可以不一样，把纸片对折，让两边AB，
AC重叠在一起，折痕为AD；两边AB，BC重叠在一起，
折痕为BE；两边AC，BC重叠在一起，折痕为CF，如图所
示，你能发现什么现象吗？
北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张ppt)
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形》精品课件
A
已知：如图在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线
求证：BD=CE
证明：∵AB=AC
E
D
∴∠ABC=∠ACB
∵ BD，CE是△ABC的角平分线
∴ ∠DBC= _1_∠ABC， ∠ECB= _1_∠ACB
B
C
2
2
∴ ∠DBC= ∠ECB 又∵BC=CB，∠ABC=∠ACB
∴△BDC≌△CEB(ASA) ∴ BD=CE
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
▪ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
提出问题：等边三角形
A
有哪些特殊的性质呢？
AB=BC=CA
B
C
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的 性质：
①从边看；②从角看；③从重要线段看
探索结论: 等边三角形性质定理
1.等边三角形的内角都相等，且等于60 °
2.等边三角形各边上中线，高线和所对角的
平分线都三线合一
C
F
E
B
A
D
B
3.等边三角形每条边上的中线，高和它所对角的平分 线互相重合.
A
56
D
3 1
B
O
78
9 10
F
E
4 2
C
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
A
方法一：三角形的三边相等；
【最新】北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形(2)》公开课课件.ppt
A
Q
P
B
C
等腰三角形中的相等的线段(2)
议一议
A
1.已知:如图,在△ABC中,
ED
(1)如果∠ABD=
1 2
ABC
,
∠ACE=
1 ACB 2
,
那么BD=CE吗?
如果∠ABD=
1 3
ABC
,
∠ACE=
1 3
ACB
B 呢?
C
这里是一
′
由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
1 2
AC
,
AE=
1 AB 2
•你能证明你的结论吗？
小结
B
C
•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；
•底角的两条平分线相等； A
A
A
•两条腰上的中线相等；
•两条腰上的高线相等。 E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线.
北师大版八年级下册第一章 三角形的证明
等腰三角形 知 识 回 顾
【定义】有两边相等的三角形叫做等腰三角形; A
【性质定理】等腰三角形的两个底角相等.
简称: 等边对等角.
腰 顶角 腰
【性质定理 等腰三角形顶角的平分线、
底角 底角
的推论】 底边上的中线、底边上的高 B 底边 C
互相重合。(简称:“三线合一”)
∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).
【最新】北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形(二)》公开课课件.ppt
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
A
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).BLeabharlann C同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形, A
• 求证:AE=CD
B EC D
证明:
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你 能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两 腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理 和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信 它．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
北师大版八年级下册数学1.2.2等腰三角形的性质课件
∴△AEF≌△CEB(AAS)
证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝ 在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∴∠ABD＝∠CBD＝25°
∴AD⊥BC(“三线合一”)
(2)若BD＝4，则BC＝________.
∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90° ∴∠CBF=∠ABE=90°.
(1)证明:∵∠ABC=90°,
或“HL”.
2. (例1)如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝80°. 求∠BAD的度数. 解：∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠BAD＝∠CAD(“三线合一”) ∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝80° ∴∠BAD＝∠CAD＝40°
3. 如图，AB＝BC，BD平分∠ABC，AC＝10.求AD的长.
∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∴∠AFC=∠AFD=90°.
在△AED和△AFD中， ∴Rt△AFC≌Rt△AFD(HL).
∴∠ADE＝∠C(同角的余角相等) 证明:如图,连接AC,AD,在△ABC和△AED中, 做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. ∴∠BAD＝∠CAD(“三线合一”)
1. 判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 假
斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 真
两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 真
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等
的两个直角三角形全等.
真
例2 如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,点F为 AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF. (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
最新北师大版八年级数学下册《等腰三角形(第2课时)》精品教学课件
3
．
3．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，
则∠ADE＝
75° ．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E
，PF⊥AC于点F.若S△ABC＝1，则PE＋PF＝ 1
（第1题）
（第2题）
（第3题）
．
（第4题）
课堂检测，巩固新知
5.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点
思考：（1）如何检验你认为相等的线段确实相等？
（2）用测量的方法可以吗？如果不恰当，有没有合理的方法？
实践探究，交流新知（大胆猜想）
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB
又∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1＝∠2
∠ACB＝∠ABC，
证明：∵AB＝AC，CE⊥AB，BD⊥AC
∴∠AEC＝∠ADB＝90°.
∠AEC＝∠ADB，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD(AAS)
∠A＝∠A，
AC＝AB，
∴BD＝CE
变式训练 在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线.
求证：BD＝CE.
实践探究，交流新知（拓展延伸）
在△BDC和△CEB中， BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB(ASA)
∴BD＝CE.
∠1＝∠2，
实践探究，交流新知（规范过程）
思考：等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？
请你证明它们，并与同伴交流.
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.
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∴△BPC≌△CQB（AAS）.
驶向胜
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)
利的彼 岸
等议一腰议三角形中的相等的线段(2A )
1.已知:如图,在△ABC中,
ED
(1)如果∠ABD=
1 2
ABC
,
∠ACE=
1 ACB 2
,
那么BD=CE吗?
如果∠ABD=
1 3
ABC
,
∠ACE=
1 3
ACB
B 呢?
C
求证: BD=CE.
A 图形语言
证明: ∵AB=AC(已知),
E
D
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
B 12 C
又∵∠1= 1 ABC， ∠2= 1 ACB(已知),
2
2
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵ ∠DCB=∠ EBC（已知）,
BC=CB（公共边）,
∠1=∠2（已证）,
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
等腰三角形 知 识 回 顾
【定义】有两边相等的三角形叫做等腰三角形; A
【性质定理】等腰三角形的两个底角相等.
简称: 等边对等角.
腰 顶角 腰
【性质定理 等腰三角形顶角的平分线、
底角 底角
的推论】 底边上的中线、底边上的高 B 底边 C
互相重合。(简称:“三线合一”)
A
高
B
D
C
本节课学些什么？
•等腰三角形还具有哪些重要的性质? •除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一 些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?
小结
B
C
•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；
•底角的两条平分线相等； A
A
A
•两条腰上的中线相等；
•两条腰上的高线相等。 E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
例题欣赏 1
命题的证明
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线.
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)
我能行 1
命题的证明
w求证:等腰三角形两腰上的中线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是
A
△ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN.
NM
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CM=
1 2
AC,BN=
1 2
AB(已知),
∴CM=BN(等式性质).
B
C
在△BMC与△CNB中
∵ BC=CB（公共边）,
∠MCB=∠NBC（已知）,
CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
驶向胜利 的彼岸
我能行 2
命题的证明
已w知求:如证图:等,在腰△三AB角C中形,A两B=腰AC上,B的P,C高Q是相等.A
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
△ABC两腰上的高.
求证:BP=CQ.
Q
P
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). B
C
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).
在△BPC与△CQB中
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,
BC=CB（公共边）,
(3)你能证明得到的结论吗？
想一想 1
学无止境
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的 内角有什么特征？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并
且每个角都等于60°
′
已知：在△ABC中,AB=AC=BC,
求证:∠A=∠B=∠C=60°
证明：
驶向胜利 的彼岸
1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于 点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO
练习
证明: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于 顶角的一半.
随堂练习 及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
• 求证:AE=CD
A
B EC
D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
③BE=CD
④OB=OC
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有情形)
(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
A
E
D
O
B
C
①③; ①④; ②③; ②④
课堂小结
结论:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.
定理：等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°
这里是一
′
由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
1 2
AC
,
AE=
1 AB 2
,
那么BD=CE吗?
个由特殊 结论归纳
如果AD=
1 3
AC
,
AE=
1 3
AB
呢?
由此你能得到一个什么结论?
出一般结 论的一种 数学思想
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. 方法.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
学习目标
• 1、命题的证明题的思路、基本步骤和书写 格式
• 2、学会证明等腰三角形中的线段的相等问 题
• 3、学会举一反三运用多种方法多角度思考 问题
实践观察猜想证明
画一画 先画一个等腰三角形,
A
•然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线)，
•你能发现其中一些相等的线段吗？
•你能证明你的结论吗？
∴△BPC≌△CQB（AAS）.
驶向胜
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)
利的彼 岸
等议一腰议三角形中的相等的线段(2A )
1.已知:如图,在△ABC中,
ED
(1)如果∠ABD=
1 2
ABC
,
∠ACE=
1 ACB 2
,
那么BD=CE吗?
如果∠ABD=
1 3
ABC
,
∠ACE=
1 3
ACB
B 呢?
C
求证: BD=CE.
A 图形语言
证明: ∵AB=AC(已知),
E
D
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
B 12 C
又∵∠1= 1 ABC， ∠2= 1 ACB(已知),
2
2
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵ ∠DCB=∠ EBC（已知）,
BC=CB（公共边）,
∠1=∠2（已证）,
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
等腰三角形 知 识 回 顾
【定义】有两边相等的三角形叫做等腰三角形; A
【性质定理】等腰三角形的两个底角相等.
简称: 等边对等角.
腰 顶角 腰
【性质定理 等腰三角形顶角的平分线、
底角 底角
的推论】 底边上的中线、底边上的高 B 底边 C
互相重合。(简称:“三线合一”)
A
高
B
D
C
本节课学些什么？
•等腰三角形还具有哪些重要的性质? •除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一 些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?
小结
B
C
•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；
•底角的两条平分线相等； A
A
A
•两条腰上的中线相等；
•两条腰上的高线相等。 E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
例题欣赏 1
命题的证明
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线.
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)
我能行 1
命题的证明
w求证:等腰三角形两腰上的中线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是
A
△ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN.
NM
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CM=
1 2
AC,BN=
1 2
AB(已知),
∴CM=BN(等式性质).
B
C
在△BMC与△CNB中
∵ BC=CB（公共边）,
∠MCB=∠NBC（已知）,
CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
驶向胜利 的彼岸
我能行 2
命题的证明
已w知求:如证图:等,在腰△三AB角C中形,A两B=腰AC上,B的P,C高Q是相等.A
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
△ABC两腰上的高.
求证:BP=CQ.
Q
P
证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). B
C
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).
在△BPC与△CQB中
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,
BC=CB（公共边）,
(3)你能证明得到的结论吗？
想一想 1
学无止境
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的 内角有什么特征？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并
且每个角都等于60°
′
已知：在△ABC中,AB=AC=BC,
求证:∠A=∠B=∠C=60°
证明：
驶向胜利 的彼岸
1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于 点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO
练习
证明: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于 顶角的一半.
随堂练习 及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
• 求证:AE=CD
A
B EC
D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
③BE=CD
④OB=OC
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有情形)
(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
A
E
D
O
B
C
①③; ①④; ②③; ②④
课堂小结
结论:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.
定理：等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°
这里是一
′
由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
1 2
AC
,
AE=
1 AB 2
,
那么BD=CE吗?
个由特殊 结论归纳
如果AD=
1 3
AC
,
AE=
1 3
AB
呢?
由此你能得到一个什么结论?
出一般结 论的一种 数学思想
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. 方法.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
学习目标
• 1、命题的证明题的思路、基本步骤和书写 格式
• 2、学会证明等腰三角形中的线段的相等问 题
• 3、学会举一反三运用多种方法多角度思考 问题
实践观察猜想证明
画一画 先画一个等腰三角形,
A
•然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线)，
•你能发现其中一些相等的线段吗？
•你能证明你的结论吗？