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2019年-上海中考数学一模-24题合集

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上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题（二次函数综合）（含2019上海中考试题答案）

上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题（二次函数综合）（含2019上海中考试题答案）

22213-3)（第24题图）题图）∵抛物线21:C y ax bx A B=+经过点、，∴可得：342033233a a b a b b ì=-+=ìïïíí-=-ïî=ïî解得：………………………………………………（1分）分）∴这条抛物线的表达式为232333y x x=-+…………………………………………（1分）分）（2）过M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ，∵232333y x x =-+∴顶点M 是31,3æöç÷ç÷èø，得33MG = ……………………………………………………（1分）分）∵(1,3)A--，M 31,3æöç÷ç÷èø．∴得：直线AM 为23333y x =- …………………………………………………（1分）分） ∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02æöç÷èø……………………………………………………（1分）分）∴1122AOM SON MG ON AH D =×+×11311322322=´´+´´33=…………………………………………………………………………（1分）分）（3）∵）33，1（M 、)0,2(B ，∴33MG Rt BGM MBG BG D Ð=在中，中，tan tan =，∴MBG а=30．∴MBF 150Ð=°．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ，∴MBO MOB=150Ð=а． ∵OB=120A а，∴OM=150A а ∴OM=MBF A ÐÐ．∴BM BFOA OM 或BF BM OA OM 相似时，有：AOM 与MBF 当==D D 即332BF 2332或BF 3322332==，∴32BF 或2BF ==． ∴）0，38）或（0，4（F ………………………………………………（2分）分）设向上平移后的抛物线kx x y ++-=33233:为C 22，当）0，4（F 时，338=k ，∴抛物线33833233:为C 22++-=x x y …（1分）分）当）0，38（F 时，27316=k ，抛物线22323163:3327C y x x =-++……．（1分）】【2019届一模浦东】届一模浦东】24. （本题满分12分，其中每小题各4分）分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b=-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. 抛物线（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB; （3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP=∠DBO ， 求点P 的坐标. xBOAy【24、（1）211482y x x =-++；（2）证明略；（3）1612,55æöç÷èø】【2019届一模杨浦】届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB.若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；的坐标；（3）在（2）的条件下，的条件下，点点P 是抛物线对称轴上的一点是抛物线对称轴上的一点（位于（位于x 轴上方），且∠APB=45°.求P 点的坐标. O xy1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -3 （第24题图）【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m >），∴DH= m ，HO=1. ∵1tan 3COD?，∴13OH DH =，∴m=3. m=3. · ····················································· （1分）分）∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （1,3）. 又∵抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C （0,2），∴3,1,22.a b c b a c ì++=ïïïïï-=íïïïï=ïî（2分）∴1,2,2.a b c ì=-ïïï=íïï=ïïî∴抛物线的表达式为222y x x =-++. ······ （1分）分） （2）∵将此抛物线向上平移，）∵将此抛物线向上平移，∴设平移后的抛物线表达式为222(0)y x x k k =-+++>，. ···························· （1分）分） 则它与y 轴交点B （0,2+k ）. ∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA=OB ，∴A 点的坐标为（2+k,0）. .（1分）分）∴20(2)2(2)2k k k =-+++++.∴122,1k k =-=. ∵0k >，∴1k =. ∴A （3,0），抛物线222y x x =-++向上平移了1个单位. . ······························ （1分）分）∵点A 由点E 向上平移了1个单位所得，∴E （3,-1）. . ··································· （1分）分） （3）由（2）得A （3,0），B （0, 3），∴32AB =. ∵点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°,原顶点D （1,3）, ∴设P （1,y ），设对称轴与AB 的交点为M ，与x 轴的交点为H ，则H （1,0）. ∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB=45°, ∴∠AMH=45°. ∴M （1,2）. ∴2BM =. ∵∠BMP=∠AMH, ∴∠BMP=45°. ∵∠APB=45°, ∴∠BMP=∠APB. ∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△ A. ·BP A. ··································································· （2分）分）B A PyO M H∴BP BA BMBP =.∴23226BP BA BM =??∴221(3)6BP y =+-=.∴123535y y，=+=-（舍）.. ···························· （1分）分）∴(1,35)P+. . ····················································································· （1分）】【2019届一模普陀】届一模普陀】 24．（本题满分12分）分） 如图10，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ¹与x轴交于点A()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；的坐标；（2）如果点E 是y轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ^时，求点E 的坐标；的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且，求点F 的坐标．的坐标．135FBD Ð=xOy图10 C BAOyx【24．解：．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，∴点的坐标是()3,0． ··········································································· （1分）分）解法一：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．得03,093 3.a b a b =--ìí=+-î 解得1,2.a b =ìí=-î ······························································ （1分）分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ······················································ （1分）分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）分） 解法二：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．可设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-， 由抛物线与y轴的交点C 的坐标是()0,3-，得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ······························································ （1分）分） ∴抛物线的表达式是223y x x =--． ························································ （1分）分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）分） （2）过点D 作DH OC ^，H 为垂足．为垂足． ∴90DHO Ð=．∴90DEH EDH Ð+Ð=． ∵BE DE ^，∴90DEH BEO Ð+Ð=． ∴BEO EDH Ð=Ð．又∵BOE EHDÐ=Ð，∴△BOE∽△E H D ． ········································· （1分）分）∴BO OEEH HD =． ∵点D 的坐标是()1,4-，∴1DH =，4OH =．B B∵点的坐标是()3,0，∴3OB =．∴341OEOE=-． ·············································································· （1分）分） ∴1OE =或3OE =． ················································································ （1分）分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =．∴点E 的坐标是()0,1-． ··········································································· （1分）分）（3）过点F 作FG x ^轴，G 为垂足．为垂足．作45DBM Ð=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合．重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =． 可得△BOE ≌△E H D ． ∴BE ED =． ∵90BED Ð=，∴45DBE Ð=． ∵135FBD Ð=，∴90FBE Ð=． ················································································ （1分）分） ∴OBE GFB Ð=Ð．∴在Rt △BOE 中，90BOE Ð=，∴cot 3OBE Ð=∴cot 3GFB Ð=． ·········· （1分）分） ∴3FG BG =．设点F 点的坐标为()2,23m m m --．∴223FG m m =--,3BG m =-． ∴2233(3)m m m --=-． ··································································· （1分）分）解得3m =，4m =-． ∵3m =不合题意舍去，∴4m =-． 点F 的坐标是()4,21-． ·········································································· （1分）】【2019届一模奉贤】届一模奉贤】24．（本题满分12分，每小题满分6分）分）B如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2y ax bx=+交于点A(6，0)和点B(1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．的坐标．【24．解：（1）由题意得，抛物线2y ax bx=+经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得3660,5.a b a b ì+=ïïíï+=-ïî 解得解得 1,6.a b ì=ïïíï=-ïî ∴抛物线的表达式是26y x x =-. ······ （4分）分）由题意得，设直线AB 的表达式为y kx b=+，它经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得60,5.k b k b ì+=ïïíï+=-ïî 解得解得 1,6.k b ì=ïïíï=-ïî ∴直线AB 的表达式是6y x =-. ········ （2分）分）（2）过点O 作OH AB ^，垂足为点H ． 设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()0,6-. ∴45ODA OAD??，cos4532DH OH OD ==·°=. ∵2BD =，∴22BH =. 在Rt △OBH 中，90OHB?，3tan 2OH OBHBH ?=． ······························· （2分）分）∵∠BOC 的正切值是32，∴BOCCBO ?. ··············································· （1分）分）①当点C 在点B 上方时，BOCCBO ?.∴CO CB =．设点C(,6)x x -， 2222(6)(1)(65)x x x x +-=-+-+xOy图10 ABxyo解得解得 174x =，1776644x -=-=-.--------------------------------------------------------------------（2分）分）所以点D坐标为177,44æö-ç÷èø. ②当点C 在点B 下方，BOC CBO ?时，OC//AB. 点C 不在直线AB 上. ········ （1分）分）综上所述，如果∠BOC 的正切值是32，点C 的坐标是177,44æö-ç÷èø．】【2019届一模松江】届一模松江】24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）分）如图，抛物线cbx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值. 【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴îíì==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =ìí=î………………………（1分）分） ∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分）分）(第24题图) y xOBA（2）()2912142122+--=++-=xxxy…………………………………（1分）分）∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴PG BOBG AO=……………………………………………（1分）分）∴121BG=，∴12BG=…………………………………（1分）分）∴72OG=，∴P（1，27）………………………………（1分）分）（3）设新抛物线的表达式为2142y x x m=-++-…（1分）分）则()0,4D m-,()2,4E m-，DE=2……………………（1分）分）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴2=1DE EO DOFH OF OH==，∴FH=1……………………………………………（1分）分）点D在y轴的正半轴上，则51,2F mæö--ç÷èø，∴52OH m=-∴42512DO mOH m-==-，∴m=3……………………………………………………（1分）分）点D在y轴的负半轴上，则91,2F mæö-ç÷èø，∴92OH m=-∴42912DO mOH m-==-，∴m=5……………………………………………………（1分）分）∴综上所述m的值为3或5.】(第24题图) yx OBAEDF H的面积；的面积； D ，点E 的坐标．的坐标． 2)O 1 1 x y--∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分 过点M 作y MH ^轴，垂足为点H∴AOC MHCAOHMAMCSSSSD D D --= (1)分∴42211412149)41(21´´-´´-´+´=D AMC S∴23=D AMC S …………1分 （3）联结OB过点B 作x BG ^轴，垂足为点G∵点B 的坐标为)2,2(，点A 的坐标为)0,4(∴2=BG ，2=GA∴△BGA 是等腰直角三角形∴°=Ð45BAO 同理：°=Ð45BOA∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ∴°=Ð45DBO ,22=BO ∴DBO BAO Ð=Ð∵°=Ð45DOE ∴°=Ð+Ð45BOE DOB ∵°=Ð+Ð45EOA BOE ∴DOB EOA Ð=Ð ∴△AOE ∽△BOD∴BO AO BD AE = …………1分 ∵抛物线221412++-=x x y 的对称轴是直线1=x ，∴点D 的坐标为)2,1(∴1=BD …………1分∴2241=AE∴2=AE …………1分过点E 作x EF ^轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ∴1==AF EF∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】分】 【2019届一模青浦】届一模青浦】24．（本题满分12分，分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式；）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD=2，求∠CAD 的正弦值；的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．的坐标．【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2+=-+y x bx c． ······················· （1分）分）将A （-1，0）、B （4，0），代入得，代入得C B A xy O CB A xyO （第24题图）题图） （备用图）（备用图）101640.，--+=ìí-++=îb c b c ··············································································· （1分）分） 解得：34.，=ìí=îb c所以，2+34=-+y x x ． ·········································································· （1分）分）（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ····································· （1分）． 设直线BC 的解析式为y= kx+4，将B （4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，∴y= -x+4． ········································································································ 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．∵CD=2，∴22=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），∴点D 的坐标为（1，3）． ········································································· （1分）分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．∵1122×=×AC BN AB OC，∴1754×=´BN ，∴202017=1717=BN ． ········ （1分）分） ∵DM ∥BN ，∴=DM CD BN CB ，∴242=DM BN ，∴51717=DM ． ···················· （1分）分） ∴51715221sin =1722113Ð=´=DM CAD AD ． ············································· （1分）分）（3）设点Q 的坐标为（n ，2+34-+n n ）．如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ=PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．∵22+3444=-++-=-PQ n n n n n，2=PC n ， ····································· （2分）分）∴24=2-n n n，解得=42-n 或=0n （舍）． ·········································· （1分）分）∴点Q 的坐标为（42-，522-）． ···················································· （1分）】【2019届一模静安】届一模静安】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++¹的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD D 的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；）求该抛物线的表达式； （2）求A D B Ð的正切值；的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE D 与ABD D 相似时，求点P 的坐标．的坐标．【24．解：．解：（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．∵132ABDSAB DHD =×=，又∵(5,3)D∴2AB =．····························································································· （1分）分） ∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，的左侧，∴(2,0)A ． ····························································································· （1分）分）把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入2y ax bx c =++，得04201643255a b c a b c a b c =++ìï=++íï=++î 解得168a b c =ìï=-íï=î ． ···························································· （1分）分）∴抛物线解析式是268y x x =-+． ······························································ （1分）分） （2）过点B 作BG AD ^，交AD 于点G ． ··················································· （1分）分）B D O 图10 x y ﹒ ﹒由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D，得A D H D 是等腰直角三角形，且45HAD Ð=∵3AH DH ==，∴32AD =． ································································ （1分）分） ∴在等腰直角AGB D 中，由2AB =，得2AG BG ==， ∴22DG AD AG =-=，∴在Rt DGB D 中，1tan 2BG ADB DGÐ==． ·················································· （1分）分） （3）∵抛物线268y x x =-+与y轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ，∴直线CD 的解析式为8y x=-+，∴(8,0)E． ···························································································· （1分）分）当点P 在线段AD 上时，APE D ∽ABD D ，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则对应，则AP AE AB AD =，即262232AB AE AP AD ´´===．………………………………………（1分）··························································································································· 过点P 作PQ ^∴2AQ PQ ==，即(4,2)P ． ····································································· （1分）分）②当点P 在线段AD 延长线上时，APE A D B Ð=Ð， ·················································· ∴EP //D B过点P 作PR x ^轴于点R ，·················································································· 13AH AD AB AR AP AE ===，∴9AR PR ==， ······················································································ （1分）分）即(11,9)P． ···························································································· （1分）分）∴APE D 与ABD D 相似时，点P 的坐标为的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】 【2019届一模宝山】届一模宝山】24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）分）如图9，已知：二次函数的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P,一次函数2y x bx=+。

2019年上海市金山区中考数学一模试卷-解析版

2019年上海市金山区中考数学一模试卷-解析版

2019年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数是二次函数的是()A. y=xB. y=1x C. y=x−2+x2 D. y=1x22.在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin∠B等于()A. ACAB B. BCABC. ACBCD. BCAC3.如图，已知BD与CE相交于点A，ED//BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于()A. 4B. 9C. 12D. 164.已知e⃗是一个单位向量，a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式正确的是()A. |a⃗|e⃗=a⃗B. |e⃗|b⃗ =b⃗C. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，那么a、b、c的取值范围是()A. a<0、b>0、c>0B. a<、b<0、c>0C. a<0、b>0、c<0D. a<0、b<0、c<06.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是()A. 点B、点C都在⊙A内B. 点C在⊙A内，点B在⊙A外C. 点B在⊙A内，点C在⊙A外D. 点B、点C都在⊙A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知二次函数f(x)=x2−3x+1，那么f(2)=______．8.已知抛物线y=12x2−1，那么抛物线在y轴右侧部分是______(填“上升的”或“下降的”)．9.已知xy =52，那么x+yy=______．10.已知α是锐角，sinα=12，那么cosα=______．11.一个正n边形的中心角等于18°，那么n=______．12.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=4，那么AP=______．13.如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部(点B)60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=______米．14.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5，圆心距为d，若⊙O1与⊙O2相交，那么d的取值范围是______．15.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAB =25，DE//BC，设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 、OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗，那么DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用b⃗ 、c⃗表示)．16.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°，AP=6，那么⊙O2的半径等于______．17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.在边AB上取一点O，使BO=BC，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′)，那么△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是______三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：cos245°−cot30°2sin60∘+tan260°−cot45°⋅sin30°．20.已知二次函数y=x2−4x−5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．(点B在点A的右侧)(1)当y=0时，求x的值．(2)点M(6,m)在二次函数y=x2−4x−5的图象上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．21.如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求(1)背水坡AB的长度．(2)坝底BC的长度．22.如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC⏜的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．(1)求证：△BHE∽△BCO．(2)若OC=4，BH=1，求EH的长．23.如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．(1)求证：AM2=MF⋅MH．(2)若BC2=BD⋅DM，求证：∠AMB=∠ADC．24.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)，点B(1,3)，直线l1：y=kx(k≠0)，直线l2：y=−x−2，直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M)，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N)．(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式．(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．(3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方)，当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果)．25.已知多边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设⊙O的半径为r(r>0)．(1)求证：四边形ACDF是矩形．(2)当CH经过点E时，⊙M与⊙O外切，求⊙M的半径(用r的代数式表示)．(3)设∠HCD=α(0<α<90°)，求点C、M、H、F构成的四边形的面积(用r及含α的三角比的式子表示)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、y=x属于一次函数，故本选项错误；B、y=1x的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C、y=x−2+x2=x2+x−2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D、y=1x2的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．根据二次函数的定义判定即可．本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∴sin∠B=ACAB，故选A．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵ED//BC，∴ABAD =ACAE，即86=12AE，∴AE=9，故选B．4.【答案】B【解析】解：A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B.符合向量的长度及方向，故本选项正确；C.得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选B．长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．本题考查了向量的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图象开口可知：a<0，由图象与y轴交点可知：c<0，<0，由对称轴可知：−b2a∴b<0，即a<0，b<0，c<0，故选D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．也考查了含30°角的直角三角形的性质．先解直角△ABC，求出AB、AC的长，再根据点到圆心距离与半径的关系可以确定点B、点C与⊙A的位置关系．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，∵⊙A的半径为3，4>3，2√3>3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．7.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x=2代入f(x)=x2−3x+1得f(2)=22−3×2+1=−1．故答案为−1．8.【答案】上升的【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】x2−1，解：∵y=12∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y 轴右侧部分是上升的， 故答案为：上升的．9.【答案】72【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】 解：∵xy =52，∴设x =5a ，则y =2a ， 那么x+y y =2a+5a 2a =72． 故答案为：72．10.【答案】√32【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．先确定α的度数，即可得出cosα的值． 【解答】解：∵α是锐角，sinα=12， ∴α=30°， ∴cosα=√32． 故答案为：√32．11.【答案】20【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【解答】 解：n =360°18∘=20，故答案为：20． 12.【答案】2√5−2【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12.根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长． 【解答】解：由于P 为线段AB =4的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则AP =√5−12AB =√5−12×4=2√5−2． 故答案为2√5−2． 13.【答案】20√3【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出AB 的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：tan30°=AB CB=AB 60=√33， 解得：AB =20√3，答：铁塔的高度AB 为20√3m. 故答案为：20√3． 14.【答案】3<d <7【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d 、两圆的半径分别为r 、R ：①两圆外离⇔d >R +r ；②两圆外切⇔d =R +r ；③两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)；④两圆内切⇔d =R −r(R >r)；⑤两圆内含⇔d <R −r(R >r).利用两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)求解． 【解答】解：∵⊙O 1与⊙O 2相交， ∴3<d <7．故答案为3<d <7． 15.【答案】−25b ⃗+25c ⃗【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．根据三角形法则和平行线分线段成比例来求DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：∵ADAB =25，DE//BC ， ∴DEBC =ADAB =25， ∴DE =25BC ． ∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−25b ⃗ +25c ⃗ ．故答案是：−25b ⃗+25c ⃗ ． 16.【答案】2√3【解析】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接AB 交O 1P 于C ，根据相交两圆的性质得到AB ⊥O 1P ，AC =BC ，得到∠APC =12∠APB =30°，根据直角三角形的性质得到AC =12AP =3，连接AO 2，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AB 交O 1P 于C ， 则AB ⊥O 1P ，AC =BC ， ∴AP =PB ，∴∠APC =12∠APB =30°，∴AC =12AP =3， 连接AO 2， ∵AO 2=PO 2， ∴∠AO 2C =60°， ∴AO 2=ACsin60∘=√32=2√3，∴⊙O 2的半径等于2√3．17.【答案】√172【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数定义，解答本题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，作EF ⊥BC 于点F ，根据余弦定义求出CD 长，根据等腰三角形性质求出BC 长，根据平行关系易证△BDG∽△BFE ，再根据相似三角形的对应边成比例结合线段的和差关系求出GE 即可． 【解答】解：作EF ⊥BC 于点F ，∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB =AC =5，cos∠C =45， ∴AD ⊥BC ，AD =3，CD =4， ∴AD//EF ，BC =8，∴EF =1.5，DF =2，△BDG∽△BFE ，∴DGFE =BDBF=BGBE，BF=6，∴DG=1，∴BG=√17，∴46=√17BE，得BE=3√172，∴GE=BE−BG=3√172−√17=√172，故答案为√172．18.【答案】5.76【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到OA′=OA=4，∠A′=∠A，根据相似三角形的性质得到OM=3，求得AM=1，根据相似三角形的性质得到S△AON=6，同理，S△AMP= 0.24，于是得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BO=BC=6，∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，∴OA′=OA=4，∠A′=∠A，∵∠A′OM=∠C=90°，∴△A′OM∽△ACB，∴OMBC =OA′AC，∴OM=3，∴AM=1，∵∠A′MO=∠AMP，∴∠APM=∠A′ON=90°，∴△AON∽△ACB，∴S△AONS△ACB =(AOAC)2=14，∵S△ABC=12×8×6=24，∴S△AON=6，同理，S△AMP=0.24，∴△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是6−0.24=5.76．故答案为：5.76．19.【答案】解：原式=(√22)2−√32×√32+(√3)2−1×12=12−1+3−12 =2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)把y =0代入y =x 2−4x −5，得x 2−4x −5=0，解得，x 1=5，x 2=−1，即当y =0时，x 的值是−1或5；(2)∵点M(6,m)在二次函数y =x 2−4x −5的图象上，∴m =62−4×6−5=7，∴点M(6,7)，∵二次函数y =x 2−4x −5，与y 轴的交点为P ，∴点P 的坐标为(0,−5)，设直线MP 的函数解析式为y =kx +b ，{6k +b =7b =−5，得{k =2b =−5， 即直线MP 的解析式为y =2x −5，当y =0时，x =52，即点C 的坐标为(52,0)，由(1)知，当y =0时，x 的值是−1或5，∵二次函数y =x 2−4x −5与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，∴点B 的坐标为(5,0)，∴cot∠MCB =6−527=12．【解析】(1)根据题目中的函数解析式，可以求得当y −0时对应的x 值；(2)根据题意可以求得点M 的坐标，点C 的坐标和点B 的坐标，从而可以求得cot∠MCB 的值．本题考查抛物线与x 轴的交点、一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21.【答案】解：(1)分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，根据题意，可知AM =DN =24(米)，MN =AD =6(米)，在Rt △ABM 中，∵AM BM =13，∴BM =72(米)，∵AB 2=AM 2+BM 2，∴AB =√242+722=24√10(米)，答：背水坡AB 的长度为24√10米；(2)在Rt△DNC中，DNCN =12，∴CN=48(米)，∴BC=72+6+48=126(米)，答：坝底BC的长度为126米．【解析】(1)直接分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为点M、N，得出AM= DN=24(米)，MN=AD=6(米)，进而利用坡度以及勾股定理进而得出答案；(2)利用(1)中所求，进而得出BC的长．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．22.【答案】(1)证明：∵OD为圆的半径，D是BC⏜的中点，∴OD⊥BC，BE=CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°，∴HE=12BC=BE，∴∠B=∠EHB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠EHB=∠OCB，又∵∠B=∠B∴△BHE∽△BCO．(2)解：∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC=4，BH=1，∴OB=4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH=BE=√2．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；(2)由△BHE∽△BCO，可得BHBC =BEOB，由此即可解决问题；本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴AMMF =DMMB，DMMB=MHAM，∴AMMF =MHAM，即AM2=MF⋅MH．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵BC2=BD⋅DM，∴AD 2=BD ⋅DM 即AD DB =DM AD ，又∵∠ADM =∠BDA ，∴△ADM∽△BDA ，∴∠AMD =∠BAD ，∵AB//CD ，∴∠BAD +∠ADC =180°，∵∠AMB +∠AMD =180°，∴∠AMB =∠ADC ．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)由△ADM∽△BDA ，推出∠AMD =∠BAD ，由AB//CD ，推出∠BAD +∠ADC =180°，由∠AMB +∠AMD =180°，可得∠AMB =∠ADC ；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c 得：{c =63=1+b +c ，解得：{b =−4c =6， 则抛物线的表达式为：y =x 2−4x +6；(2)y =x 2−4x +6=(x −2)2+2，故顶点坐标为(2,2)，把点P 坐标代入直线l 1表达式得：2=2k ，即k =1，∴直线l 1表达式为：y =x ，设：点M(2,m)代入直线l 2的表达式得：m =−4，即点M 的坐标为(2,−4)，设：点N(n,−4)代入直线l 1表达式得：n =−4，则点N 坐标为(−4,−4)，同理得：点D 、E 的坐标分别为(−2,0)、(0,−2)、联立l 1、l 2得{y =x y =−x −2，解得：{x =−1y =−1，即：点C 的坐标为(−1,−1)， ∴OC =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2，CE =√2=OC ，∵点C 在直线y =x 上，∴∠COE =∠OEC =45°，∴∠OCE =90°，即：NC ⊥l 2，NC =√(−1+4)2+(−1+4)2=3√2>4，∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线l 2相离；(3)①当点F 在直线l 2下方时，设：∠OBK =α，点A 、B 的坐标分别为(0,6)，(1,3)，则AO =6，AB =BO =√10， 过点B 作BL ⊥y 轴交于点L ，则tan∠OAB =13，sin∠OAB =√10，OK =AOsin∠OAB =√10×6√10，sinα=OK OB =35， ∵等腰△MHF 和等腰△OAB 相似，∴∠HFM =∠ABO ，则∠KBO =∠OFM =α，点C 、M 的坐标分别为(−1,−1)、(2,−4)， 则CM =3√2，FM =CM sinα=5√2，CF =4√2，OF =OC +FC =5√2，则点F 的坐标为(−5,−5)，∵FH =FM =5√2，OH =OF +FH =10√2，则点H 的坐标为(−10,−10)；②当点F 在直线l 2上方时，同理可得点F 的坐标为(8,8)，点H 的坐标为(3,3)或(−10,10)；故：点F 、H 的坐标分别为(−5,−5)、(−10,−10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(−10,−10)．【解析】(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c ，即可求解；(2)求而出点N 、点C 的坐标，计算NC 得长度即可求解；(3)分点F 在直线l 2下方、点F 在直线l 2上方两种情况，求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在(3)，利用等腰三角形相似得出∠KBO =∠OFM =α，再利用解直角三角形的方法求线段的长度，从而求解．25.【答案】解：(1)证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AB =AC ，∠ABC =∠BAF =180×(6−2)6=120°，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠BAC +∠BCA +∠ABC =180°，∴∠BAC =30°，得∠CAF =90°，同理∠ACD =90°，∠AFD =90°，∴四边形ACDF 是矩形；(2)如图1，连接OC 、OD ，由题意得：OC =OD ，∠COD =360°6=60°，∴△OCD 为等边三角形，∴CD =OC =r ，∠OCD =60°，作ON ⊥CD ，垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，∴CN =12CD =12r ，由sin∠OCD =ON OC =√32得ON =√32r ， 作OP ⊥AC 垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，∴CP=12AC，∵∠OCP=90°−60°=30°，∴CP=OC⋅cos30°=√32r，得AC=√3r，当CH经过点E时，可知∠ECD=30°，∵四边形ACDF是矩形，∴AF//CD，∴∠AHC=∠ECD=30°，∴在Rt△ACH中，CH=2AC=2√3r，∵MH⊥CH，∴cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，∴MN=72r，∴在Rt△MON中，OM=√ON2+MN2=√13r，∵⊙M与⊙O外切，∴r Q+r M=OM，即⊙M的半径为(√13−1)r．(3)如图2，作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，∵AF//CD，AC⊥CD，∴HQ=AC=√3r，∴CQ=HQ·1tan∠HCQ =√3r⋅1tanα，MQ=HQ⋅tan∠QHM=√3r⋅tanα，即CM=√3r(tanα+1tanα)，①当0°<α<60°时，点H在边AF的延长线上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CQ−CD=√3r⋅1tanα−r，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(6×1tana)2．②当α=60°时，点H与点F重合，此时点C、M、H、F构成三角形，非四边形，所以舍去．③当60°<α<90°时，点H在边AF上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CD−CQ=r−√3r⋅1tanα，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(√3+3tanα)⋅r22．综上所述，当∠HCD=α(0°<α<90°)时，点C、M、H、F构成的四边形的面积为(6tan+3tana−√3)·r22或(√3+3tanα)⋅r22．【解析】(1)根据正多边形的性质和矩形的判定解答即可；(2)连接OC、OD，证△OCD为等边三角形得CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求得ON=√32r，再作OP⊥AC，求得AC=√3r，由四边形ACDF是矩形知∠AHC=∠ECD=30°，据此得CH=2AC=2√3r，由cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，MN=72r，利用勾股定理求得OM=√ON2+MN2=√13r，依据⊙M与⊙O外切可得答案；(3)作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，再由AF//CD，AC⊥CD知HQ=AC=√3r，继而求得CQ=√3r⋅1tanα，MQ=√3r⋅tanα，则CM=√3r(tanα+1tanα)，再分0°<α<60°、α=60°和60°<α<90°三种情况分别求解可得．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、垂径定理、平行线的性质、圆与圆的位置关系、三角函数的应用及分类讨论思想的运用等知识点．。

2019年上海市长宁区中考数学一模试卷及答案(word解析版)

2019年上海市长宁区中考数学一模试卷及答案(word解析版)

上海市长宁区2019年中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂在答题纸的相应位置上．】BcosA=2．（4分）（2019•长宁区一模）如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）B，则可得+=3．（4分）（2019•长宁区一模）如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（）25．（4分）（2008•茂名）如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ）6．（4分）（2019•长宁区一模）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m ． ．x=x=二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•长宁区一模）已知实数x、y满足，则=2．=8．（4分）（2019•长宁区一模）已知，两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，若△ABC的周长是27，则△DEF的周长为9．=39．（4分）（2019•长宁区一模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则=．=10．（4分）（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后，得到新的抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣1．11．（4分）（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+c在y轴左侧图象上升（填“左”或“右”）．﹣12．（4分）（2019•长宁区一模）正八边形绕其中心至少要旋转45度能与原图形重合．13．（4分）（2019•长宁区一模）已知圆⊙O的直径为10，弦AB的长度为8，M是弦AB 上一动点，设线段OM=d，则d的取值范围是3≤d≤5．==314．（4分）（2019•长宁区一模）如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是5：12．=12015．（4分）（2019•长宁区一模）两圆相切，圆心距为2cm，一圆半径为6cm，则另一圆的半径为4或8cm．16．（4分）（2019•长宁区一模）已知△ABC中，AB=6，AC=9，D、E分别是直线AC和AB上的点，若且AD=3，则BE=4或8．代入，所以若代入，17．（4分）（2019•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB边上一点，△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，则cot∠EDB=．．故答案为18．（4分）（2019•长宁区一模）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则三、解答题：（本大题共7题，第19--22题，每题10分；第23、24题，每题12分；25题14分；满分78分）19．（10分）（2019•长宁区一模）计算：．分别代入即可得出答案．﹣×20．（10分）（2019•长宁区一模）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点．请完成下列问题：（1）设；．判断向量是否平行，说明理由；（2）在正方形网格中画出向量：4﹣，并写出4﹣的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）．）故可得向量．21．（10分）（2019•长宁区一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=7，∠B=45°，P在BC边上，E在CD边上，∠B=∠APE．（1）求等腰梯形的高；（2）求证：△ABP∽△PCE．，中，22．（10分）（2019•长宁区一模）由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段．如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包含轮胎厚度）为120cm，车轮入水部分的弧长约为其周长的，试计算该路段积水深度（假设路面水平）．=23．（12分）（2019•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．，∴BC=BD+CD=1+，BE==．24．（12分）（2019•长宁区一模）在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）．点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形．（1）求C点坐标；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的顶点与⊙M的位置关系，说明理由．x+，，）的距离为，＞25．（14分）（2019•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，⊥，AB=8cm，BC=6cm，点P从A点出发，以1cm/秒的速度沿AB向B点匀速运动，点Q从A点出发，以x cm/秒的速度沿AC向C点匀速运动，且P、Q两点同时从A点出发，设运动时间为t 秒（），连接PQ．解答下列问题：（1）当P点运动到AB的中点时，若恰好PQ∥BC，求此时x的值；（2）求当x为何值时，△ABC∽△APQ；（3）当△ABC∽△APQ时，将△APQ沿PQ翻折，A点落在A′，设△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数解析式及定义域．，则=，即=，=PQ===则函数解析式是：。

2019上海市中考数学真题试卷-含答案

2019上海市中考数学真题试卷-含答案

半径长是（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【知识考点】圆与圆的位置关系．
【思路分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C 的半径为 x，y，z．构建方程组即可解决问题．
【解题过程】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C 的半径为 x，y，z．
由题意：
，
解得 ，
故选：C．
【总结归纳】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，
属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．计算：（2a2）2＝
．
【知识考点】幂的乘方与积的乘方．
【思路分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算
即可．
【解题过程】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．
【总结归纳】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
D.8.
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
—1—
7．计算： (2a3 )2
．
8．计算： f (x) x2 1 ,那么 f (1)
．
9．如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是
．
10．如果关于 x 的方程 x2 x m 0 没有实数根,那么实数 m 的取值范围是
．
11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷得的点
过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60°时，箱盖 ADE 落在 ADE 的位置(如图 7-2 所示).已知 AD=90 厘米，DE=30 厘米，EC=40 厘米．
（1）求点 D 到 BC 的距离； （2）求 E、 E 两点的距离．

详解及答案-2019年上海市崇明区中考数学一模试卷

详解及答案-2019年上海市崇明区中考数学一模试卷

2019年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.若2x=3y，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据比例的基本性质改写即可.【详解】∵2x=3y，∴x∴y=3:2.故选B.【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）.2.在Rt△ABC中，如果，那么表示的()A. 正弦B. 正切C. 余弦D. 余切【答案】D【解析】【分析】根据余切的定义求解可得．【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故选：D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．3.已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A. a＞0，b＞0B. a＜0，b＞0C. a＞0，b＜0D. a＜0，b＜0【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a、b的符号．【详解】如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，又因为对称轴在y轴左侧，故＜0，因为a＞0，所以b ＞0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴确定．4.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（）A. ∠B＝∠DB. ∠C＝∠AEDC. =D. =【答案】C【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】∠BAD =∠CAE∴A∴B∴D都可判定∴选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.故选：C.【点睛】考查相似三角形的判断方法，掌握相似三角形常用的判定方法是解题的关键.5.已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（∴A. ∴B. ∴C. ∴D. ∴【答案】D【解析】【分析】模长为1的向量称为单位向量，它的方向是不确定的，所以只有D选项符合题意.【详解】∵向量和都是单位向量，但它们的方向不确定，∴A、B、C不正确，D正确.故选D.【点睛】本题考查了单位向量的意义，同时也考查了向量的相等与和差计算，掌握单位向量的意义是解答本题的关键.6.如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交【答案】C【解析】【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离．【详解】解：∵r＞1，∴2＜3＋r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R ＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：____.【答案】【解析】【分析】依据向量的加法计算即可.【详解】==【点睛】此题考查向量的加减，掌握向量加减的法则是解答此题的关键.8.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1∴c=4，那么b∴∴ ∴【答案】2.【解析】∵b是a、c的比例中项，∴b²=ac，即b²=4，∴b=±2(负数舍去).故答案是：2.本题主要考查了线段的比例中项的定义，如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项注意线段不能为负.属于基础题.应熟练掌握.9.在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么____.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】如图：过点A作AB⊥y轴于点B，∵A（4，3），∴OB=3，AB=4，∴由勾股定理可知：OA=5，∴cosα=，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．10.如果一个正六边形的半径为，那么这个正六边形的周长为______.【答案】12.【解析】【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【详解】∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2，正六边形的周长=6a=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．11.如果两个相似三角形的周长比为，那么面积比是．【答案】16：81【解析】试题分析：相似三角形面积比等于相似比的平方周长比==面积比的平方=．考点：相似三角形的性质．12.已知线段的长为厘米，点是线段的黄金分割点，且，那么线段的长为____厘米.【答案】【分析】根据黄金比值是，列式计算即可．【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=AB=（5-5）cm，故答案为：5-5．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．13.已知抛物线，那么这条抛物线的顶点坐标为_____.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【详解】∵y=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标是（1，-4）故答案为：（1，-4）．【点睛】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．14.已知二次函数，那么它的图像在对称轴的_____部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）.【答案】右侧【解析】【分析】根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．【详解】∵二次函数y=-x2-2中，a=-1＜0，抛物线开口向下，∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．故答案为：右侧．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断抛物线的增减性．15.已知△ABC中，，，，为△ABC的重心，那么___.【答案】【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．【详解】如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD=AB=5，∵G为△ABC的重心，∴CG=CD=，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点、分别在边、上，已知，△ABC 的高，则正方形的DEFG边长为____.【答案】2.【解析】【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，所以AM=3-x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到，然后根据比例的性质求出x即可．【详解】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，∴AM=AH-MH=3-x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，∴x=2，∴正方形DEFG的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．17.已知Rt△ABC中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有唯一的公共点，那么的半径的取值范围为____.【答案】或【解析】【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d ＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【详解】根据勾股定理求得BC==6，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8，故半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8，故答案为：r=4.8或6＜r≤8．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．18.如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点.例如，如图的四边形ABCD中，点在边CD上，连结、，，则点为直角点.若点、分别为矩形ABCD边、CD上的直角点，且，，则线段的长为____.【答案】或【解析】【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【详解】作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB=90°，∴∠AFD+∠BFC=90°，∵∠AFD+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠BFC，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCB，∴，即，∴FC=2或3，∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE=FC，∴当FC=2时，AE=2，EH=1，∴EF2=FH2+EH2=（）2+12=7，∴EF=，当FC=3时，此时点E与点H重合，即EF=BC=，综上，EF=或．故答案为：或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】分别把cos45°=，tan30°=，cos30°=，cot30°=，sin60°=，代入原式计算即可．【详解】原式=()2-+=-+=【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设，，求向量(用向量、表示）．【答案】（1）2（2）【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．试题解析：（1）由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，．又DE=BC且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，．又AC=6且DE=BC，得AE=AC，AD=AB．，．=．考点：平面向量21.已知：如图，AO是的半径，AC为的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF-EF=r-2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；（2）由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=可得答案．【详解】（1）∵O是圆心，且点F为的中点，∴OF⊥AC，∵AC=8，∴AE=4，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF-EF=r-2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+（r-2）2，解得：r=5，即AO=5；（2）如图：∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE==．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．22.安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面的圆心O，的半径为米，AO与屋面AB的夹角为，与铅垂线OD的夹角为，，垂足为B，，垂足为D，米．求支架BF的长；求屋面AB的坡度（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）的坡度为，【解析】【分析】（1）在Rt△ABO中，根据tan∠OAB==tan32°，求出OB的长度，继而可求得BF；（2）根据∠AOD=40°，OD⊥AD，可得∠OAD=50°，继而可求得∠CAD的度数，以及AB的坡度．【详解】解：，，，，，，的半径为，；，，，，的坡度为，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．23.如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，联结DG并延长交AE于点F，∠BGD=∠BAD=∠C．（1）求证：；（2）如果∠BAC=90°，求证：AG⊥BE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由△BDG∽△BEC，可得，即可推出结论；（2）由△BAD∽△BCA，推出∠BDA=∠BAC=90°，由∠BAD=∠BGD，推出A，B，D，G四点共圆，推出∠AGB=∠ADB=90°.【详解】（1）证明：∵∠DBG=∠CBE，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴，∴BD•BC=BG•BE；（2）∵∠ABD=∠CBA，∠BAD=∠C，∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA=∠BAC=90°，∵∠BAD=∠BGD，∴A，B，D，G四点共圆，∴∠AGB=∠ADB=90°，∴AG⊥BE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a、b都是常数，且a<0）的图像与x轴交于点、，顶点为点C.（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，利用勾股定理可得出BC 的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，再利用余切的定义即可求出∠CBD的余切值；（3）设直线PB与y轴交于点M，由∠PBA=∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的长，进而可得出点M 的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．【详解】（1）将A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+6，∵y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，∴点C的坐标为（2，8）；、（2）当x=2时，y=-x+3=2，∴点D的坐标为（2，2），过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．∵抛物线的顶点坐标为（2，8），∴点F的坐标为（2，0），∵点B的坐标为（6，0），∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC==4，BD==2，∴sin∠BCF==，即=，∴DE=，∴BE==，∴cot∠CBD===；（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．∵∠PBA=∠CBD，∴cot∠PBA=，即，∴OM=，∴点M的坐标为（0，）或（0，-），设直线BP的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（6，0），M（0，）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直线BP的解析式为y=-x+，同理，当点M的坐标为（0，-）时，直线BP的解析式为y=-x+，联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，解得：，或，，∴点P的坐标为（-，）或（-，-）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出∠CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标．25.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC 交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x.（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由.【答案】（1）；（2）（）；（3）能，或【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD=3，通过证明△ABD∽△GBP，可得BG=BP=x，即可得DG的长度；（2）根据相似三角形的性质可得FD=BD-BF=3-x，DE=x-，根据三角形面积公式可求y与x之间的函数关系式；（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长．【详解】（1）∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，∴BD=CD=3，在Rt△ABD中，AD==4，∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，∴△ABD∽△GBP，∴，∴BG=BP=x，∴DG=BG-BD=x-3；（2）∵PF∥AC，∴△BFP∽△BCA，∴，即，∴BF=x，∴FD=BD-BF=3-x，∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90°，∴△DEG∽△DBA，∴，∴，∴DE=x-，∴S△DEF=y=×DF×DE=×（3-x）×（x-）=-x2+x-（＜x＜）；（3）若EF⊥PG时，∵EF⊥PG，ED⊥FG，∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，∴∠EFD=∠DEG，且∠EDF=∠EDG，∴△EFD∽△GDE，∴，∴ED2=FD×DG，∴（x-）2=（3-x）（x-3），∴5×57x2-1138x+225×5=0，∴x=（不合题意舍去），x=；若EF⊥PF，∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，∴△EDF∽△CDA，∴，∴，∴x=，综上所述：当BP为或时，△PEF为直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．。

精品2019届上海中考数学各区一模汇编-03提升题(18、23、24、25题)

精品2019届上海中考数学各区一模汇编-03提升题(18、23、24、25题)

2019届一模提升题汇编目录2019届一模提升题汇编目录 (1)Ⅰ第18题（填空小压轴） (3)【2019届一模徐汇】 (3)【2019届一模浦东】 (3)【2019届一模杨浦】 (3)【2019届一模普陀】 (4)【2019届一模奉贤】 (4)【2019届一模松江】 (4)【2019届一模嘉定】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模青浦】 (5)【2019届一模静安】 (6)【2019届一模宝山】 (6)【2019届一模长宁】 (6)【2019届一模金山】 (7)【2019届一模闵行】 (7)【2019届一模虹口】 (7)Ⅱ第23题（几何证明题） (9)【2019届一模徐汇】 (9)【2019届一模浦东】 (9)【2019届一模杨浦】 (10)【2019届一模普陀】 (10)【2019届一模奉贤】 (11)【2019届一模松江】 (11)【2019届一模嘉定】 (12)【2019届一模青浦】 (12)【2019届一模静安】 (13)【2019届一模宝山】 (13)【2019届一模长宁】 (14)【2019届一模金山】 (14)【2019届一模闵行】 (15)【2019届一模虹口】 (15)Ⅲ第24题（二次函数综合） (16)【2019届一模徐汇】 (16)【2019届一模浦东】 (17)【2019届一模普陀】 (19)【2019届一模奉贤】 (20)【2019届一模松江】 (21)【2019届一模嘉定】 (22)【2019届一模青浦】 (23)【2019届一模静安】 (24)【2019届一模宝山】 (25)【2019届一模长宁】 (26)【2019届一模金山】 (27)【2019届一模闵行】 (28)【2019届一模虹口】 (29)Ⅳ第25题（压轴题） (30)【2019届一模徐汇】 (30)【2019届一模浦东】 (31)【2019届一模杨浦】 (32)【2019届一模普陀】 (33)【2019届一模奉贤】 (34)【2019届一模松江】 (35)【2019届一模嘉定】 (36)【2019届一模青浦】 (37)【2019届一模静安】 (38)【2019届一模宝山】 (39)【2019届一模长宁】 (40)【2019届一模金山】 (41)【2019届一模闵行】 (42)【2019届一模虹口】 (43)Ⅰ第18题（填空小压轴）【2019届一模徐汇】18．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，BC=6，CD =2，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为 ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模浦东】18. 将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果∠AED 的余弦值为35，那么ABBC =__________.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】 【2019届一模杨浦】18．Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ▲ .【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】GEABC DF （第18题图）ACB（第18题图）18．如图5，△ABC 中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与边BC 相交于点F ，如果2BD =，那么EF = ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模奉贤】18．如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，3sin =5C ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ,点B 、C 分别与点D 、E 对应，AD 与边BC 交于点F ．如果AE //BC ，那么BF 的长是 ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模松江】18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB ＝90°，∠OAB ＝30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图5ABCD图5 ABC（第18题图）xyC BOA18．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AE AC 3=，︒=∠45CDE (如图3)，△DCE 沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在△ABC 内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果AE BG =，那么=B tan ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，tan ∠CAB=2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF= ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的 点S 称为“亮点”． 如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是 “亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ， AB=2，AE=1，∠B=∠C= 60°，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形的面积为 ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】 EDCBAS 2S 1（第18题图）18．如图6，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结AE ．如果2tan 3DFC ∠=，那么BD AE的值是 ▲ ． 【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模宝山】18．如图4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =5，点P 为AC 上一点，将△BCP 沿直线BP 翻折，点C落在C ’处，连接AC ’，若AC ’∥BC ，则CP 的长为 ▲ ． 【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模长宁】18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，34tan =B ，那么BP 的长为 ▲ ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AC（图4）B图6F BA CD EBACD第18题图18．如图，在ABC Rt ∆中，o90=∠C ，8=AC ，6=BC ．在边AB 上取一点O ，使BC BO =，以点O为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90，得到C B A '''∆（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么ABC ∆与C B A '''∆的重叠部分的面积是 ▲ ．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模闵行】18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，点D 为边AB 上一点．将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结AE ．如果AE // CD ，那么BE = ▲ ． 【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模虹口】18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点B 旋转至△BD 1E 1，如果点D 、E 、D 1在同一直线上，那么EE 1的长为 ▲ ．ABC第18题OABC （第18题图）C第18题图A BDE O【】答案请加QQ群712018203见Word教师版Ⅱ第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥； (2) 求证：22BC DF BF =⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模浦东】23. （本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，M 是边BC 的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：GF EFGM EM=; （2）当22BC BA BE =⋅时，求证：∠EMB =∠ACD .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】GD EF BCA （第23题图）（图8）DCM BAF GE【2019届一模杨浦】23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）求证：DF CEDE CB=．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第23题图）EABCDF图9ABCDE23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ， 交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2． （1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 是对角线AC 上一点，且AC ·CE=AD ·BC . （1）求证：∠DCA=∠EBC ；（2）延长BE 交AD 于F ，求证：AB 2=AF ·AD .【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AB CDEF图9 （第23题图）EDCBAF（第23题图）EDCBA23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅． （1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠， 求证：ACAFBC AD =．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图6BCDAE FABCDEF（第23题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽FDC ∆； （2）求证：2AE BE EF =⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模宝山】23．（本题满分12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图8所示，电梯AB 的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B 处的仰角为14°，求电梯AB 的坡度与长度． 参考数据：24.014sin ≈︒，25.014tan ≈︒，97.014cos ≈︒.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】Q 9.9米B出口顶部1.5米（图8）AP6米2.4米︒14图9 AC BDEF23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AC 、AB 上，延长DE 、CB 交 于点F ，且AC AD AB AE ⋅=⋅． （1）求证：C FEB ∠=∠；（2）联结AF ，若FD CD AB FB =，求证：FB AC AB EF ⋅=⋅．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模金山】23．如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：MH MF AM ⋅=2．（2）若DM BD BC ⋅=2，求证：ADC AMB ∠=∠．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第23题图CEDABF A BCD HF M第23题23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且AD = AB ，AE ⊥BC ，垂足为点E ．过点D 作DF // AB ，交边AC 于点F ，联结EF ，212EF BD EC =⋅．（1）求证：△EDF ∽△EFC ；（2）如果14EDF ADC S S =V V ，求证：AB = BD ．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】【2019届一模虹口】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点E ． （1）求证：DE CD AD CE ⋅=⋅；（2）设F 为DE 的中点，联结AF 、BE ，求证：=AF BC AD BE ⋅⋅．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】AB CDEF（第23题图）D 第23题图AECBⅢ第24题（二次函数综合）【2019届一模徐汇】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线C 1:2(0)y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，AO =OB =2，120AOB ∠=o ． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S V ；（3）将抛物线C 1向上平移得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线C 2的表达式．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第24题图）【2019届一模浦东】24.（本题满分12分，其中每小题各4分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线12y x b=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. 抛物线244y ax ax=-+经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D.（1）求抛物线的表达式;（2）求证: △BOD∽△AOB;（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP=∠DBO，求点P的坐标.【答案请加QQ群712018203见Word教师版】（图9）x BOAy【2019届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2）， 它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD ?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA =OB .若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB =45°.求P 点的坐标.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】O xy 1 2 3 4 1 2 3 45-1-2 -3 -1 -2 -3 （第24题图）24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ≠与x 轴交于点A ()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标； （3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=，求点F 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图10C BAOyx24．（本题满分12分，每小题满分6分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点A (6，0)和点B (1，－5)． （1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式； （2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32， 求点C 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图10ABxyo24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】(第24题图)y xOBA24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，抛物线22++=bx ax y 经过点)0,4(A 、)2,2(B ， 与y 轴的交点为C ．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且︒=∠45DOE ，求点E 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图7 O 11 xy--24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =2，求∠CAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】CB A xyOCB A xyO（第24题图）（备用图）24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD ∆的面积是3． （1）求该抛物线的表达式； （2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE ∆与ABD ∆相似时，求点P 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】BD O图10xy﹒﹒24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图9，已知：二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ,一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C , ∠OCA 的正切值为23． (1)求二次函数的解析式与顶点P 坐标；(2)将二次函数图像向下平移m 个单位,设平移后抛物线顶点为P ’,若，求m 的值．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A B C O yx（图9）24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，︒=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于PMN ∆的面积的2倍，求NCMN 的值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第24题图xO A By备用图xO A By24．已知抛物线c bx x y ++=2经过点()6,0A ，点()3,1B ，直线1l ：()0≠=k kx y ，直线2l ：2--=x y ，直线1l 经过抛物线c bx x y ++=2的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E .若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）． （1）求抛物线c bx x y ++=2的解析式．（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由．（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当MHF ∆与OAB ∆相似时，求点F 、H 的坐标（直接写出结果）．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第24题yxO24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y a x b x=+经过点A（5，0）、B（-3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO =∠BAO，求点P的坐标．【答案请加QQ群712018203见Word教师版】x yO（第24题图）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点B （4，0），点A （3，m ）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求tan ∠OAB 的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD =45°，求点D 的坐标．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】OAy 第24题图xBF EA CB DF E A CB DⅣ第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长； （2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（第25题图1） （第25题图）25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】G（图10-1）（图10-2）E DCABDCBAE25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长； （2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A BC D EF （图1） （第25题图） A B C D E F （图2）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A BCPOABCPO图11①图11②25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】图11ABC D F E G 备用图ABC D25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD ，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC D E25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A备用图BD CA 图8B M E DC N A 备用图 BD C ME N A 图9 B D C25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】NHG FEDC AB （第25题图）图11ABCPQM25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若13AP ，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】备用图A BCD PEABCDF（图10）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第25题图如图2BF EC N DA MB FC E N AD M如图1备用图BC NAM25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．【答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】A B C D EF G O HM第25题图第25题备用图 ABCD E FO25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】ABCDEFG（第25题图）ABCD（备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEFS y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．【 答案请加QQ 群712018203见Word 教师版】第25题备用图 AB C 第25题图 E A B C F D G。

详解及答案-2019年上海市长宁区中考数学一模试卷

详解及答案-2019年上海市长宁区中考数学一模试卷

2019年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1.抛物线y＝2（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A. （2，﹣3）B. （﹣2，﹣3）C. （﹣2，3）D. （2，3）【答案】B【解析】【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【详解】∵y＝2（x+2）2﹣3∴抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）故选B．【点睛】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．2.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中能够判定DE∥BC的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】A．由，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；C．由，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosB＝，BC＝a，那么AC的长是（）A. 2aB. 3aC. aD. a【答案】A【解析】【分析】依据cos B＝，BC＝a，即可得到AB＝3a，再根据勾股定理，即可得到AC的长．【详解】如图，∵cos B＝，BC＝a，∴AB＝3a，∵∠C＝90°，∴Rt△ABC中，AC＝，故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．在直角三角形中，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．4.如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A. ||＝2||B. 是与方向相同的单位向量C. 2-＝D. ∥【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．5.在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．【详解】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝，OB＝＝5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．6.在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（）A. 如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD⊥BCB. 如果AD⊥BC，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°C. 如果AD⊥BC，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°D. 如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD⊥BC【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．【详解】如图：A、∵AB2=BD•BC，∴，又∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA=∠BAC=90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2=BD•CD，∴，又∠ADC=∠BDA=90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD=∠C，∵∠DAC+∠C=90°，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAC=90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2=BD•BC，∴，又∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC=∠BDA=90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC=90°，AD2=BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.若线段a、b、c、d满足，则的值等于_____．【答案】【解析】【分析】根据等比的性质即可求出的值．【详解】∵线段a、b、c、d满足，∴．故答案为：．【点睛】考查了比例线段，关键是熟练掌握等比的性质．8.如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是_____．【答案】m＞3【解析】【分析】根据二次函数y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即3﹣m＜0，即可得出答案．【详解】∵抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴m＞3，故答案为m＞3.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．9.如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于_____．【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是，∴其相似比等于1：4，∴它们的面积比是：=1：16，故答案为：1：16．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．10.边长为6的正六边形的边心距为_____．【答案】【解析】试题分析：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM==考点:正多边形和圆11.如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3，AC＝7，EF＝6，则DE的长为_____．【答案】【解析】【分析】根据AB＝3，AC＝7，可得BC＝4，再根据AD∥BE∥CF，即可得出，即，进而得到DE的长．【详解】∵AB＝3，AC＝7，∴BC＝4，∵AD∥BE∥CF，∴，即，解得DE＝，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．12.已知点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB的长为_____．【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出BP＝AB，代入数据即可得出AB的长．【详解】∵点P在线段AB上，满足AP：BP＝BP：AB，∴P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段，∴BP＝AB，∴AB＝2，解得AB＝．故答案为：．【点睛】本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．13.若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．【答案】6．【解析】【分析】由抛物线的对称性解答即可．【详解】∵抛物线经过A（﹣1，7）、B（5，7），∴点A、B为抛物线上的对称点，∴抛物线对称轴为直线x==2．∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，即C（﹣2，﹣3）与D（k，﹣3）关于直线x=2对称，∴，解得：k=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．14.如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【答案】（2+2）【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD、AD的长，然后在Rt△BCD中求得BD的长，即可得到码头A、B之间的距离．【详解】如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC•cos30°＝4×＝2（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2+2（km），故答案是：（2+2）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．15.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，若圆A的半径长为5，圆C的半径长为R，且圆A与圆C内切，则R的值等于_____．【答案】5﹣2或5+2【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，讨论：当点C在⊙A内时，5﹣R＝2；当点A在⊙C内时，R﹣5＝2，然后分别解关于R的方程即可．【详解】如图，∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴AC＝＝2，当点C在⊙A内时，∵圆A与圆C内切，∴5﹣R＝2，即R＝5﹣2；当点A在⊙C内时，∵圆A与圆C内切，∴R﹣5＝2，即R＝5+2；综上所述，R的值为5﹣2或5+2．故答案为5﹣2或5+2．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．16.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE ＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于_____．【答案】9【解析】【分析】过E作EG⊥BC于G，根据已知条件得到点F是△ABC的重心，求得AD＝3DF＝9，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据平行线分线段成比例定理得到EG＝AD＝，CG＝CD，根据勾股定理得到BG＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】过E作EG⊥BC于G，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴点F是△ABC的重心，∴AD＝3DF＝9，∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵BE是边AC上的中线，∴AE＝CE，∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD，∴EG＝AD＝，CG＝CD，∵BE＝6，∴BG＝，∴BC＝BG＝2，∴△ABC的面积＝×9×2＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17.已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，如果点P为Rt△ABC的自相似点，那么∠ACP的余切值等于_____．【答案】【解析】【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算∠ACP的余切即可．【详解】∵AC＝12，BC＝5，∴∠CAB＜∠CBA，故可在∠CAB内作∠CBP＝∠CAB，又∵点P为△ABC的自相似点，∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D，则△BPC∽△ACB，∴点P为△ABC的自相似点，∴∠BCP＝∠CBA，∴∠ACP＝∠BAC，∴∠ACP的余切＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键．18.如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tanB＝，那么BP的长为_____．【答案】或7【解析】【分析】①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设AH＝4x，BH＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝5x＝5，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，根据勾股定理得到MB′＝＝3，求得HN＝MN＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论；②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，求得NB＝NB′，推出点P与N重合，得到BP＝BN ＝7．【详解】①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设BB′与AP交于E，AD的垂直平分线交AD于M，BC于N，∵tan B＝，∴设AH＝4x，BH＝3x，∴AB＝＝5x＝5，∴x＝1，∴AH＝4，BH＝3，∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线MN上，∴AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，∴四边形AHNM是正方形，MB′＝＝3，∴HN＝MN＝4，∴BN＝7，B′N＝1，∴BB′＝，∴BE＝BB′＝，∵∠BEP＝∠BNB′＝90°，∠PBE＝∠B′BN，∴△BPE∽△BB′N，∴，∴，∴BP＝；②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，∴NB＝NB′，∴点N在BB′的垂直平分线上，∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，∴点P也在BB′的垂直平分线上，∴点P与N重合，∴BP＝BN＝7，综上所述，BP的长为或7．故答案为：或7．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：．【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．【详解】原式＝＝＝＝﹣．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，点F在DB的延长线上，联结BC，若BC平分∠ABF，AE＝2，BE＝3．（1）求BD的长；（2）设＝，＝，用含、的式子表示．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质得到AB＝AC＝5，然后结合平行线截线段成比例求得BD的长度．（2）由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．【详解】（1）∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF．∵AC∥BD，∴∠CBF＝∠ACB．∴∠ABC＝∠ACB．∴AC＝AB．∵AE＝2，BE＝3，∴AB＝AC＝5．∵AC∥BD，∴．∴．∴BD＝；（2）∵AC∥BD，∴．∵＝，∴＝．∴＝+＝﹣．【点睛】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大．21.如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC＝AB，OC＝3，sinA＝．求：（1）圆O的半径长；（2）BC的长．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，设OH＝3k，AO＝5k，则AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到结论；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sinA＝，设OH＝3k，AO＝5k，则AH＝，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sinA＝，∵AC＝8，∴CG＝，AG＝，BG＝，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC＝．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．22.如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【答案】（1）瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米（2）渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米【解析】【分析】（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，利用坡度表示出CG，BG的长，进而求出答案；（2）在Rt△ADF中，利用cotA＝，得出AF的长，进而得出答案．【详解】（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i＝，设CG＝4k，BG＝3k，则BC＝=5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DFA＝90°，∴cotA＝，∴≈1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．23.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD•AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若，求证：EF•AB＝AC•FB．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明△AED∽△ACB即可解决问题；（2）证明△EFB∽△F AB，可得，由AF＝AC，可得结论.【详解】（1）∵AE•AB＝AD•AC．∴，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴∠AED＝∠C，又∵∠AED＝∠FEB，∴∠FEB＝∠C．（2）∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，∴△EFB∽△CFD，∴∠FBE＝∠FDC，∵，∴，∴△FBA∽△CDF，∴∠FEB＝∠C∴AF＝AC，∵∠FEB＝∠C，∴∠FEB＝∠AFB，又∵∠FBE＝∠ABF，∴△EFB∽△FAB，∴，∵AF＝AC，∴EF•AB＝AC•FB．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24.如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求的值．【答案】（1）a＝﹣1，b＝4（2）（，）（3）【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，根据等腰直角三角形的性质可求点A（4，0），用待定系数法可求抛物线的表达式；（2）根据平行线的性质可得BM∥OA，可求点M坐标，用待定系数法可求直线BO，直线AB，直线PM 的解析式，即可求点P坐标；（3）延长MP交x轴于点D，作PG⊥MN于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝CN，PG＝NG，根据锐角三角函数可得tan∠BOA＝3＝tan∠MPG＝，可得MG＝3PG＝3NG，根据面积关系可求．【详解】（1）如图，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，∵点B（1，3）∴BH＝3，OH＝1，∵∠BAO＝45°，∠BHA＝90°∴AH＝BH＝3，∴OA＝4∴点A（4，0）∵抛物线过原点O、点A、B，∴设抛物线的表达式为y＝ax2+bx（a≠0）∴解得：a＝﹣1，b＝4∴抛物的线表达式为：y＝﹣x2+4x（2）如图，∵PM∥OB∴∠PMB+∠OBM＝180°，且∠BMP＝∠AOB，∴∠AOB+∠OBM＝180°∴BM∥OA，设点M（m，3），且点M在抛物线y＝﹣x2+4x上，∴3＝﹣m2+4m，∴m＝1（舍去），m＝3∴点M（3，3），∵点O（0，0），点A（4，0），点B（1，3）∴直线OB解析式为y＝3x，直线AB解析式为y＝﹣x+4，∵PM∥OB，∴设PM解析式为y＝3x+n，且过点M（3，3）∴3＝3×3+n，∴n＝﹣6∴PM解析式为y＝3x﹣6∴解得：x＝，y＝∴点P（，）（3）如图，延长MP交x轴于点D，作PG⊥MN于点G，∵PG⊥MN，MC⊥AD∴PG∥AD∴∠MPG＝∠MDC，∠GPN＝∠BAO＝45°，又∵∠PGC＝90°，∠ACG＝90°，∴AC＝CN，PG＝NG，∵PM∥OB，∴∠BOA＝∠MDC，∴∠MPG＝∠BOA∵点B坐标（1，3）∴tan∠BOA＝3＝tan∠MPG＝∴MG＝3PG＝3NG，∴MN＝4PG，∵△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，∴×AC×NC＝2××MN×PG，∴NC2＝2×MN×MN＝MN2，∴.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求函数解析式，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．25.已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．【答案】（1）16（2）（3）或【解析】【分析】（1）由锐角三角函数可求AC＝15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB，AF的长，即可求EF的长；（2）通过证△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA，可得y关于x的函数解析式；（3）分△ADF∽△CEA，△ADF∽△CAE两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD的长．【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴cos∠BCA＝cos∠MBN＝，∴∴AC＝15∴AB＝＝20∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF，∴AF＝＝12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF＝cos∠MBN＝∴AE＝20∴EF＝＝16（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，∴BH＝＝16，∵BF＝x，∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，∴△FAE∽△FCA∴，∠AEF＝∠FAC，∴AF2＝FC×EF∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，∴EF＝∴BE＝BF+EF＝∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠FAC，∴△BDE∽△CFA∴∴∴y＝（0<x≤）（3）如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF＝∠AEC，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，∴AB＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，∴∠BDE＝90°＝∠AFC，∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF，∴AF＝＝12，∴BF＝，∵AB＝AE，∠AFC＝90°，∴BE＝2BF＝32，∴cos∠MBN＝，∴BE＝，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE，∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，∴AC∥DF∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，∴∠MBN＝∠DFB，∴DF＝BD，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，∴△ABE∽△CAE∴设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）∴BE＝k，∵BC＝BE﹣CE＝25∴k＝∴AE＝，CE＝，BE＝∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE，∴△AFC∽△EFA，∴，设AF＝7a，EF＝20a，∴CF＝a，∵CE＝EF﹣CF＝a＝，∴a＝，∴EF＝，∵AC∥DF，∴，∴，∴DF＝，综上所述：当BD为或时，△ADF与△ACE相似【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷及答案(word解析版)

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷及答案(word解析版)

上海市普陀区2019年中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）B2．（4分）（2019•普陀区一模）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一3．（4分）（2019•普陀区一模）若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k4．（4分）（2019•普陀区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）5．（4分）（2019•普陀区一模）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）=；=；==6．（4分）（2019•普陀区一模）已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，下列作图正确的．．二.填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•普陀区一模）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34千米．÷8．（4分）（2019•普陀区一模）把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5﹣5cm．线段分割叫做黄金分割，他们的比值（×﹣原线段的9．（4分）（2019•普陀区一模）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是1：4．10．（4分）（2019•普陀区一模）如果抛物线y=（k﹣1）x2+4x的开口向下，那么k的取值范围是k＜1．11．（4分）（2019•普陀区一模）把抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x﹣3）2﹣2．12．（4分）（2019•普陀区一模）二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为﹣1．13．（4分）（2019•普陀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC= 2．14．（4分）（2019•普陀区一模）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，那么与相等的向量是和．相等的向量．相等的向量是和．故答案为：和．15．（4分）（2019•普陀区一模）如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为4．16．（4分）（2019•普陀区一模）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB=，则△ABC 的面积是12cm2．tanB===tanB==，17．（4分）（2019•普陀区一模）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是210cm．18．（4分）（2019•普陀区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是．=），即可求得四边形）NC=22，=24﹣=18．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2019•普陀区一模）计算：．，﹣20．（10分）（2019•普陀区一模）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．（10分）（2019•普陀区一模）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．22．（10分）（2019•普陀区一模）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）CBD=，，，﹣=60=1523．（12分）（2019•普陀区一模）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．EM=，即可求得答案．EM=24．（12分）（2019•普陀区一模）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．×=2，）代入，得﹣+时，在POD==不符合题意，舍去，2|2|2）25．（14分）（2019•普陀区一模）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=3；直线BC 与直线B′C′所夹的锐角为60度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．）（=2=。

2019年上海市奉贤区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市奉贤区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（）A．a+b＝7B．5a＝2b C．＝D．＝12．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）3．如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）4．对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝5．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣10﹣3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3+2（）＝．8．计算：sin30°tan60°＝．9．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是．10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个即可）11．如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线．12．如图，AD与BC相交于点O，如果＝，那么当的值是时，AB∥CD．13．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是．14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．15．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是．16．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC 的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin C＝，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C分别与点D、E对应，AD与边BC交于点F．如果AE∥BC，那么BF的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．20．（10分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．（1）设＝，＝，用向量、表示；（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．21．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．22．（10分）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C ′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．（1）求证：∠EBA＝∠C；（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标．25．（14分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．2019年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（）A．a+b＝7B．5a＝2b C．＝D．＝1【分析】根据比例的性质进行判断即可．【解答】解：A、当a＝10，b＝4时，a：b＝5：2，但是a+b＝14，故本选项错误；B、由a：b＝5：2，得2a＝5b，故本选项错误；C、由a：b＝5：2，得＝，故本选项正确；D、由a：b＝5：2，得＝，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，比较简单．2．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是（﹣1，0）【分析】由二次函数y＝（x+1）2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；对每个选项分析、判断即可；【解答】解：A、由二次函数二次函数y＝（x+1）2中a＝＞0，则抛物线开口向上；故本项错误；B、当x＝0时，y＝，则抛物线不过原点；故本项错误；C、由二次函数y＝（x+1）2得，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，对称轴右侧的图象上升；故本项错误；D、由二次函数y＝（x+1）2得，顶点为（﹣1，0）；故本项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．3．如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα＝3，设AB＝3x，OB＝x，根据勾股定理列出方程即可求出x的值，从而可求出点A的坐标．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα＝3，∴，设AB＝3x，OB＝x，∵OA＝，∴由勾股定理可知：9x2+x2＝10，∴x2＝1，∴x＝1，∴AB＝3，OB＝1，∴A的坐标为（1，3），故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练作出辅助线后，利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．4．对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝【分析】根据已知条件得到非零向量、的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【解答】解：∵2||＝3||，∴||＝||．又∵非零向量与的方向相同，∴＝．故选：B．【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．5．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣10﹣3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．【分析】除了x＝2，y＝﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x＝2，y＝﹣1错误．【解答】解：由表中数据得x＝0和x＝4时，y＝3；x＝1和x＝3时，y＝0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x＝2时y＝﹣1错误．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8【分析】先确定点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，利用⊙C与⊙A相交或相切确定r的范围．【解答】解：∵⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，∴点C到⊙A的最大距离为8，最小距离为2，∵⊙C与⊙A有公共点，∴2≤r≤8．故选：D．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3+2（）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可；【解答】解：3+2（）＝3+2﹣＝5﹣；故答案为5﹣；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．8．计算：sin30°tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．【解答】解：sin30°tan60°＝×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．9．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是m≠1．【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，∴m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案为：m≠1．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+2（答案不唯一）．（只需写一个即可）【分析】二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的可知该函数图象的开口向下，得出符合条件的函数解析式即可．【解答】解：∵二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，∴a＜0，∴符合条件的二次函数解析式可以为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质判断出a的符号是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．11．如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线x＝3．【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出答案．【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位得到的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2，故所得到的新抛物线的对称轴是直线：x＝3，故答案为：x＝3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．12．如图，AD与BC相交于点O，如果＝，那么当的值是时，AB∥CD．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，据此可得结论．【解答】解：∵＝，∴当＝时，＝，∴AB∥CD．故答案为：．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．13．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是35°．【分析】连接OC交AB于E．想办法求出∠OAC即可解决问题．【解答】解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【解答】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．15．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是6．【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．【解答】解：依题意有＝×2，解得n＝6．故答案为：6．【点评】此题考查了多边形内角与外角，此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．16．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC 的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【分析】直接利用坡度的定义表示出AM，BN的长，进而利用已知表示出AB的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是2．【分析】由“钻石菱形”的面积可求对角线的乘积，再根据比例中项的定义可求“钻石菱形”的边长．【解答】解：由比例中项的定义可得，“钻石菱形”的边长＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查比例线段、菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin C＝，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C分别与点D、E对应，AD与边BC交于点F．如果AE∥BC，那么BF的长是．【分析】如图，过A作AH⊥BC于H，得到∠AHB＝∠AHC＝90°，BH＝CH，根据三角函数的定义得到AH＝3，求得CH＝BH＝＝4，根据旋转的性质得到∠BAF＝∠CAE，根据平行线的性质得到∠CAE＝∠C，设AF＝BF＝x，得到FH＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，BH＝CH，∵AB＝AC＝5，sin C＝＝，∴AH＝3，∴CH＝BH＝＝4，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAF＝∠CAE，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠BAF＝∠B，∴AF＝BF，设AF＝BF＝x，∴FH＝4﹣x，∵AF2＝AH2+FH2，∴x2＝32+（4﹣x）2，解得：x＝，∴BF＝，故答案为：，【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；（2）利用二次函数平移规律得出平移后解析式．【解答】解：（1）y＝x（x﹣2）+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）∵将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．20．（10分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．（1）设＝，＝，用向量、表示；（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．【分析】（1）根据已知条件得到＝，由＝，得到＝+，由于G是重心，得到＝＝（+）＝+，于是得到结论；（2）延长BG交AC于H，根据等腰三角形的判定得到GA＝GC，求得AH＝AC＝1，求得BH⊥AC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，＝，∴＝，∵＝，∴＝+，∵G是重心，∴＝＝（+）＝+，∴＝×（+）═+；（2）延长BG交AC于H，∵∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GC，∵G是重心，AC＝2，∴AH＝AC＝1，∴BH⊥AC，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝3，∴BH＝＝2，∴BG＝BH＝．【点评】本题考查了三角形的直线，平面向量，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．【分析】（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH即可解决问题；（2）作DM⊥AC于M．利用面积法求出DM即可解决问题；【解答】解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，∵•AB•AC＝•BC•AH，∴AH＝＝2，∴BH＝＝1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．（2）作DM⊥AC于M．＝S△ABD+S△ACD，∵S△ACB∴××2＝×2×2+×2×DM，∴DM＝，∴sin∠DAC＝＝＝．【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C ′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）【分析】（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，解直角三角形顶点AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，根据相似三角形的性质得到DH；（2）过C′作C′S⊥MN于S，解直角三角形得到A′S＝C′S＝10，求得A′B＝10+10，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴＝，∴＝，∴DH＝≈23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS＝＝10，∴A′B＝10+10，∵BG＝＝10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．（1）求证：∠EBA＝∠C；（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．【分析】（1）欲证明∠EBA＝∠C，只要证明△BAE∽△CEB即可；（2）欲证明AB2＝AD•AC，只要证明△BAD∽△CAB即可；【解答】（1）证明：∵ED2＝EA•EC，∴＝，∵∠BEA＝∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA＝∠C．（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠C+∠DBC＝∠EBA+∠ABD，∵∠EBA＝∠C，∴∠DBC＝∠ABD，∵DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴＝，∴AB2＝AD•AC．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；（2）先说明OA＝OH＝6，则∠OAH＝45°，作辅助线，根据正切值证明∠BOC＝∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：先根据中点坐标公式可得F（，﹣），易得直线OB的解析式为：y＝﹣5x，根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为：y＝x﹣，列方程x﹣＝x﹣6，解出可得C的坐标；解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），根据OC＝BC，列方程可得结论．【解答】解：（1）把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx得：，解得：，∴这条抛物线的表达式：y＝x2﹣6x，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：y＝x﹣6；（2）当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝6，∴OA＝OH＝6，∵∠AOH＝90°，∴∠OAH＝45°，过B作BG⊥x轴于G，则△ABG是等腰直角三角形，∴AB＝5，过O作OE⊥AB于E，S△AOH＝AH•OE＝OA•OH，6•OE＝6×6，OE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，Rt△BOE中，tan∠OBE＝＝＝，∵∠BOC的正切值是，∴∠BOC＝∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：∵B（1，﹣5），∴F（，﹣），易得直线OB的解析式为：y＝﹣5x，设直线FC的解析式为：y＝x+b，把F（，﹣）代入得：﹣＝+b，b＝﹣，∴直线FC的解析式为：y＝x﹣，x﹣＝x﹣6，x＝，当x＝时，y＝﹣6＝﹣，∴C（，﹣）；解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），则AC＝（6﹣m），∵OC＝BC，∴m2+（m﹣6）2＝[5﹣（6﹣m）]，m＝，∴C（，﹣）．【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题．25．（14分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．【分析】（1）由题意可得四边形DCEF是平行四边形，可得CD＝EF，通过证明△CFE∽△CAB，可得，可得BE＝CE，则可求CE：BE的值；（2）延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H，由题意可得四边形ADCN是矩形，可得AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，BN＝3，由平行线分线段成比例可求BE，ME，MC，CH，GC的长，即可求GD的长，由三角求形面积公式可△DFG的面积；（3）由△AFD∽△ADG，可得∠AFD＝∠ADG＝90°，由余角的性质可得∠DAG＝∠B，即可求∠DAG的余弦值．【解答】解：（1）如图，∵DC∥EF，DF∥CE∴四边形DCEF是平行四边形∴CD＝EF，∵AB＝2CD＝6，∴AB＝2EF，∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB∴∴BC＝2CE，∴BE＝CE∴EC：BE＝1：1＝1（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H∵AD⊥CD，CN⊥CD∴AD∥CN，且CD∥AB∴四边形ADCN是平行四边形，又∵∠DAB＝90°∴四边形ADCN是矩形，∴AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，∴BN＝AB﹣AN＝3，在Rt△BCN中，BC＝＝5∴BE＝BC﹣CE＝5﹣m，∵EF∥AB∴，即∴ME＝BE＝5﹣m，∴MC＝ME﹣CE＝5﹣2m，∵EF∥AB∴＝∴HC＝m，∵CG∥EF∴即∴GC＝∴DG＝CD﹣GC＝3﹣＝＝×DG×CH＝∴S△DFG（3）过点C作CN⊥AB于点N，∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠ADG＝90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD＝∠ADG＝90°∴DF⊥AG又∵DF∥BC∴AG⊥BC∴∠B+∠GAB＝90°，且∠DAG+∠GAB＝90°∴∠B＝∠DAG∴cos∠DAG＝cos B＝【点评】本题是相似形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．。

上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析

上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------上海市黄浦区2019届中考数学一模试题含答案解析2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 3．已知一个坡的坡比为i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（） A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.501/ 182.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.503.60 ？A．3.60 和2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段 b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ． 8．化简：= ． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则 AP﹣BP= ． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1） f（5）（填＞或＜） 11．求值：sin60tan30= ． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若AC=BC=2，则线段 CG 的长为． 13．两个相似三角形的相似比为 2： 3，则它们的面积之比为． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是米． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则cosA= ．三.解答题（本大题共7 题，共---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量． 21．如图，在△ABC 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和 BD，过点 D 作地面MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：DE=DF． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在3/ 18点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向． 25．如图，△ABC 边 AB 上点D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设 AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域． 2019 年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分） 1．下列抛物线中，与抛物线 y=x2 ﹣2x+4 具有相同对称轴的是（） A．y=4x2 +2x+1 B．y=2x2 ﹣4x+1 C．y=2x 2 ﹣x+4 D．y=x2 ﹣4x+2 【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．【解答】解：抛物线 y=x2 ﹣2x+4 的对称轴为 x=1； A、y=4x2 +2x+1 的对称轴为 x=﹣，不符合题意； B、y=2x2 ﹣4x+1 的对称轴为 x=1，符合题意； C、y=2x2 ﹣x+4 的对称轴为 x=，不符合题意； D、y=x2 ﹣4x+2 的对称轴为 x=2，不符合题意，故选 B．【点评】此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难度不大． 2．如图，点 D、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE∥BC 的是（） A．ADDB=AEEC B．ADAE=BDEC C．ADCE=AEBD D．ADBC=ABDE 【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．【解答】解：∵ADCE=AEBD，，DE∥BC，故选 C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 的关键． 3．已知一个坡的坡比为 i，坡角为，则下列等式成立的是（） A．i=sin B．i=cos C．i=tan D．i=cot 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比的定义：斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，据此即可判断．【解答】解：i=tan．故选 C．【点评】本题考查了坡比的定义，理解坡比是斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，是关键． 4．已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．| |﹣| |=0 【考点】*平面向量．【专题】推理填空题．【分析】根据向量和都是单位向量，可知| |=| |=1，由此即可判断．【解答】解：∵已知向量和都是单位向量， | |=| |=1， | |﹣| |=0，故选 D．【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键． 5．已知二次函数 y=x2 ，将它的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，则所得图象的表达式为（）A．y=（x+2）2 +3 B．y=（x+2） 2 ﹣3 C．y=（x﹣2） 2 +3 D．y=（x﹣2） 2 ﹣3 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据上加下减、左加右减的原则进行解答即可．【解答】解：由左加右减的原则可知，二次函数 y=x2 的图象向左平移个单位得到 y=（x+2） 2 ，由上加下减的原则可知，将二次函数 y=（x+2）2 的图象向上平移 3 个单位可得到函数 y=（x+2） 2 +3，故选：5/ 18A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知上加下减、左加右减的原则是解答此题的关键． 6．Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知 AB=AC，当它以底边 BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是（）图形图① 图② 图③ 图④ 图⑤绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ？绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ？A．3.60 和 2.40 B．2.56 和 3.00 C．2.56 和 2.88 D．2.88 和 3.00 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理可求 AB，即图⑤绝对宽度，再根据三角形面积公式可求图⑤绝对高度．【解答】解：图④，过 A 点作 ADBC 于 D， BD=3.602=1.80，在Rt△ABD 中，AB= =3，图⑤绝对宽度为 3；图⑤绝对高度为：2.403.60223 =4.3223 =2.88．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握图形的绝对高度和绝对宽度的定义．二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．已知线段 a 是线段b、c 的比例中项，如果 a=3，b=2，那么 c= ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义可得 b2 =ac，从而易求 c．【解答】解：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∵线段 a 是线段 b、c 的比例中项， a2 =bc，即 32 =2c，c= ．故答案是：．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 8．化简：= ﹣﹣7 ．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：=2 ﹣4 ﹣3 ﹣3 =﹣﹣7 ．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 9．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），若 AB=2，则 AP﹣BP= 2 ﹣4 ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．【解答】解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞BP， AP= AB= ﹣1，则BP=2﹣AP=3﹣， AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2 ﹣4，故答案为： 2 ﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC），且使AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割． 10．已知二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，则 f（1）＞ f（5）（填＞或＜）【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．【解答】解：∵二次函数 y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，当 x7/ 18的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大， f（1）＞f（5），故答案为：＞．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性，难度不大． 11．求值：sin60tan30= ．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式的乘法进行计算即可．【解答】解：原式= = ．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．已知 G 是等腰直角△ABC 的重心，若 AC=BC=2，则线段 CG 的长为．【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍解答即可．【解答】解：∵G 是等腰直角△ABC 的重心，AC=BC=2， CG= ，故答案为：【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键． 13．两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，它们的面积之比为 4：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 9．故答案为：4：9 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方． 14．等边三角形的周长为 C，面积为 S，则面积 S 关于周长 C 的函数解析式为 S= C2 ．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】直接利用等边三角形的性质得出 AD 的长，再利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：如图所示：过点 A 作ADBC 于点D，∵等边三角形的周长为C，AB=BC=AC= ， DC=BD= ， AD= = C， S= C = C2 ．故答案为： S= C = C2 ．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题关键． 15．如图，正方形 ABCD 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边AB、AC 上，已知 BC=6，△ABC 的面积为 9，则正方形 DEFG 的面积为 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DG∥BC 得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：作 AHBC 于 H，交 DG 于 P，如图所示：∵△ABC 的面积= BCAH=9，BC=6， AH=3，设正方形 DEFG 的边长为 x．由正方形 DEFG 得，DG∥EF，即DG∥B C，∵AHBC， APDG．由DG∥BC 得△ADG∽△ABC ．∵PHBC，DEBC PH=ED，AP=AH﹣PH，9/ 18即，由 BC=6，AH=3，DE=DG=x，得，解得 x=2．故正方形 DEFG 的面积=22 =4；故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 16．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB 的底部 A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB 顶部 B 处的仰角是，若 tan=0.45，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB 的高度是 27 米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作 PEAB 于点 E，在直角△AEP 中，利用三角函数求得 AE 的长，根据 AB=2AE 即可求解．【解答】解：作PEAB 于点E，在直角△AEP 中，APE=，则AE=PEtanAPE=300.45=13.5（米），则 AB=2AE=27（米）．故答案是： 27．【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 17．如图，在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段 AP 的长为 4 或．【考点】相似三角形的判定．【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再分△ADP∽△ABC 与△ADP∽△ACB 两种情况进行讨论即可．【解答】解：∵在△ABC 中，C=90，AC=8，BC=6， AB= =10．∵D 是边 AB 的中点， AD=5．当△ADP∽△ABC 时， = ，即 = ，解得 AP=4；当---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ △ADP∽△ACB 时， = ，即 = ，解得 AP= ．故答案为：4 或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，菱形 ABCD 内两点 M、N，满足 MBBC，MDDC，NBBA，NDDA，若四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，则 cosA= ．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD的角平分线，设BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，因为四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，所以S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出 OB2 =OAON=5k 2 ，推出 OB=k，AB=AD= = k，由 ADBH= BDAO，推出BH= = ，再利用勾股定理求出 AH 即可解决问题．【解答】解：如图，连接 AN、CM，延长 BM 交 AD 于 H．∵ABBN，ADDN，ABN=ADN=90，在Rt△ANB 和Rt△AN D 中，，△ABN≌△ADN，BAN=DAN， AN 是菱形 ABCD 的角平分线，同理 CM 也是菱形 ABCD 的角平分线，设 BD 与 AC 交于点 O，易知四边形 BMDN 是菱形，设 S △OMB =S △ONB =S △OMD =S △OND =a，∵四边形 BMDN 的面积是菱形 ABCD 面积的，S △AMB =S △AMD =S △CNB =S △CND =4a，AM=4OM，CN=4ON，设 ON=OM=k，则 AM=CN=4k，∵△ABO∽△BNO， OB2 =OAON=5k 2 ， OB= k，AB=AD= = k，∵ ADBH= BDAO， BH= = ，11/ 18AH= = = k， cosA= = = ．故答案为【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．三.解答题（本大题共 7 题，共 10+10+10+10+12+12+14=78 分） 19．用配方法把二次函数 y= x2 ﹣4x+5 化为 y=a（x+m） 2 +k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：y= x2 ﹣4x+5=（x﹣4）2 ﹣3，抛物线开口向上，对称轴 x=4，顶点（4，﹣3）．【点评】本题考查的是二次根式的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 20．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点 E、F 分别在两腰上，且EF∥AD，AE：EB=2：1；（1）求线段 EF 的长；（2）设 = ， = ，试用、表示向量．【考点】*平面向量；梯形．【专题】计算题．【分析】（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，将问题转化到△ABM 中，利用相似三角形的判定与性质求 EN，由 EF=EN+NF=EN+AD 进行求解；（2）由 = 、 = 得 BC= AD，EB= AB，根据 = 可得答案．【解答】解：（1）作BM∥CD 交 AD、EF 于 M、N 两点，又AD∥BC，EF∥AD，---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 四边形 BCFN 与 MNFD 均为平行四边形． BC=NF=MD=2， AM=AD﹣MD=1．又 =2， = ，∵EF∥AD，△BEN∽△BAM，，即， EN= ，则 EF=EN+NF= ；（2）∵ = ， = ， BC= AD，EB= AB， = = ，= = ，则 = = + ．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出对应边的长度之比和向量的基本运算是解题的关键． 21．如图，在△AB C 中，ACB=90，AB=5，tanA= ，将△ABC 沿直线 l 翻折，恰好使点 A 与点 B重合，直线 l 分别交边 AB、AC 于点 D、E；（1）求△ABC 的面积；（2）求 sinCBE 的值．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据A 的正切用 BC 表示出 AC，再利用勾股定理列方程求出 BC，再求出 AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）设 CE=x，表示出 AE，再根据翻折变换的性质可得 BE=AE，然后列方程求出 x，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵ACB=90，tanA= ， = ， AC=2BC，在Rt△ABC 中，BC2 +AC 2 =AB 2 ，即 BC2 +4BC 2 =25，解得 BC= ，所以，AC=2 ，△ABC 的面积= ACBC= 2 =5；（2）设 CE=x，则 AE=AC﹣CE=2 ﹣x，∵△ABC 沿直线 l 翻折点 A 与点 B 重合， BE=AE=2 ﹣x，在Rt△BCE 中，BC2 +CE 2 =BE 2 ，即2 +x 2 =（2﹣x）2 ，解得 x= ，所以，CE= ， BE=2 ﹣x=2 ﹣ = ，所以，sinCBE= = = ．【点评】本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，此类题目，13/ 18利用勾股定理列出方程求出相关的线段的长度是解题的关键． 22．如图，在坡 AP 的坡脚 A 处竖有一根电线杆 AB，为固定电线杆在地面 C 处和坡面 D 处各装一根等长的引拉线 BC 和BD，过点 D 作地面 MN 的垂线 DH，H 为垂足，已知点 C、A、H 在一直线上，若测得 AC=7 米，AD=12 米，坡角为 30 ，试求电线杆 AB 的高度；（精确到 0.1 米）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，根据三角函数，利用 x 表示出 AE 和 BE 的长，则在直角△BED 中，利用勾股定理表示出 BD 的长，在直角△ABC 中利用勾股定理表示出BC，根据 BC=BD 即可列方程求解．【解答】解：作 BEAD 于点 E，设 AB=x 米，在直角△ABE 中，BAE=90﹣DAH=90﹣30=60，则 AE=ABcosBAE=xcos60= x（米）， BE=ABsinBAE=xsin60= x（米）．则 DE=AD﹣AE=12﹣ x，在直角△BED 中，BD2 =BE 2 +DE 2 =（x）2 +（12﹣x）2 =144+x 2 ﹣12x，在直角△ABC 中，BC2 =AC 2 +AB 2 =7 2 +x 2 =49+x 2 ．∵BC=BD， 144+x2 ﹣12x=49+x 2 ．解得 x= 7.9 答：电线杆 AB 的高度约是 7.9 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，正确作出辅助线，利用 AB 的长表示抽BD 和 BC 是关键． 23．如图 1，点 D 位于△ABC 边 AC 上，已知 AB 是 AD 与 AC 的比例中项．（1）求证：ACB=ABD；（2）现有点 E、F 分别在边 AB、BC 上如图 2，满足EDF=A+C，当 AB=4，BC=5，CA=6 时，求证：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ DE=DF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出 AD= ，BD= ，得出 BD=CD，由等腰三角形的性质得出DBC=ACB，证出ABD=BDC，再证明点 B、E、D、F 四点共圆，由圆周角定理得出，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB 是AD 与AC 的比例中项．，又∵A=A，△ABD∽△ACB， ACB=ABD；（2）证明：∵△ABD∽△ACB，，即，解得：AD= ，BD= ， CD=AC﹣AD=6﹣ = ， BD=CD， DBC=ACB，∵ACB=ABD，ABD=BDC，∵EDF=A+C，A+C=180﹣ABC， EDF+ABC=180，点 B、E、D、F 四点共圆，， DE=DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四点共圆是解决问题（2）的关键． 24．平面直角坐标系 xOy 中，对称轴平行于 y 轴的抛物线过点 A（1，0）、B（3，0）和 C（4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，再沿y 轴方向平移 k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点 D、E（点 D 在点 E 的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点 A、C、D 依次对应顶点 A、E、C），试求 k 的值，并注明方向．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出 D，E 坐标，根据平移，用 k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标15/ 18轴上点的特点得出m+n=16，mn=63﹣，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出 k 【解答】解：（1）∵抛物线过点 A（1，0）、B（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），∵C（4，6）， 6=a（4﹣1）（4﹣3）， a=2，抛物线的解析式为 y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2 ﹣8x+6；（2）如图，设点 D（m，0），E（n，0），∵A（1，0）， AD=m﹣1，AE=n﹣1 由（1）知，抛物线的解析式为 y=2x2 ﹣8x+6=2（x﹣2） 2 ﹣2；将此抛物线先沿 x 轴方向向右平移 6 个单位，得到抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2；再沿 y 轴方向平移 k 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=2（x﹣8）2 ﹣2﹣k；令 y=0，则 2（x﹣8）2 ﹣2﹣k=0，2x2 ﹣32x+126﹣k=0，根据根与系数的关系得， m+n=16，mn=63﹣，∵A（1，0），C（4，6）， AC2 =（4﹣1）2+6 2 =45，∵△ACD∽△AEC，，AC2 =ADAE， 45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1， 45=63﹣﹣16+1，k=6，即：k=6，向下平移 6 个单位．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角形的性质，根与系数的关系，解本题的关键是设出了点 D，E 的坐标，借助韦达定理直接求出 k． 25．如图，△ABC 边 AB 上点 D、E（不与点 A、B 重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当 CDAB 时，求线段 BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段 AD 的长；（3）设AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【考点】三角形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 性质；解直角三角形．【专题】压轴题；面积法．【分析】（1）先根据ACB=90，AC=3，BC=4，求得 AB=5，sinA= ，tanB= ，再根据△ACD 为直角三角形，求得 AD，在Rt△CDE 中，求得 DE，最后根据 BE=AB ﹣AD﹣DE 进行计算即可；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，进而得出CED=CDE，再根据B=DCE，CDE=BDC，得到BCD=CED=CDE=BDC，最后求得 AD 的长；（3）先作 CHAB 于 H，Rt△ACH 中，求得 CH 和 AH 的长，在Rt△CDH 中，根据勾股定理得出：CD2 =x 2﹣ x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出 CD2 =DEDB，即 x 2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．【解答】（1）在△ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4， AB=5，sinA= ，tanB= ，如图，当 CDAB 时，△ACD 为直角三角形，CD=ACsinA= ，AD= = ，又∵DCE=ABC，在Rt△CDE 中，DE=CDtanDCE= = ， BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣ = ；（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知CDE＞A＞B=DCE，CED＞B=DCE，唯有CED=CDE，又∵B=DCE，CDE=BDC， BCD=CED=CDE=BDC， BD=BC=4， AD=5﹣4=1；（3）如图所示，作 CHAB 于 H，∵ BCAC= ABCH， CH= ，Rt△ACH 中，AH= = ，在Rt△CDH 中，CD2 =CH 2 +DH 2 =（）2 +（﹣x）2 =x 2 ﹣x+9，又∵CDE=BDC，DCE=B，△BDC∽△CDE， CD2 =DEDB，即 x2 ﹣x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），解得．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性17/ 18质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．。

2019年上海市普陀区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市普陀区中考数学一模考试卷含逐题详解

2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜12．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．86．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．（4分）正八边形的中心角为度．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝（用向量、表示）21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y ＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当＝时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当＝时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【解答】解：A、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为＝2，＝﹣2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为＝2，＝﹣2，所以∥，则•＝0，故本选项说法错误；D、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别求出即可．【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R ＝d．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故①正确；∴＝，故③正确；∵DG∥BF，∴＝＝，故②错误；∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝，∴＝，故④正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝7a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于1．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（x+1）2﹣1．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣4＝（x+1）2﹣4；再向上平移3个单位为：y＝（x+1）2﹣4+3，即y＝（x+1）2﹣1．故答案是：y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于﹣4．【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴﹣＝1，解得b＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于24．【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：＝，解得：x＝24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．代入数据直接计算得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（4分）正八边形的中心角为45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于2．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C＝＝，∴BD＝CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E ＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF ＝8﹣x，DF＝AF＝2﹣x，依据BD+DF+CF＝BC，可得x的值，进而得出EF的长．【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝8，cos B＝，∴BH＝6＝CH，BC＝12，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，∴DF＝AF＝2﹣x，∵BD+DF+CF＝BC，∴2+2﹣x+4x＝12，解得x＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+（）2﹣＝2+﹣2（+）＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝+，＝﹣﹣（用向量、表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝3，∴＝3，∴EC：BC＝2：3．（2）∵＝，AC＝2AO，∴＝2，∵＝+＝+2，EC＝BC，∴＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴BG＝BD，∵＝+＝+＝++2＝2+2，∴＝（2+2）＝+，∴＝﹣﹣故答案为+，﹣﹣．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．【分析】（1）连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH＝5，DH ＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°＝＝＝0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝∠BAC，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得＝，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，∴＝，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）∵△ADE∽△ACB，∴＝，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①函数对称轴为x＝﹣＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，∴∠LED＝∠OBE，∴tan∠LED＝tan∠OBE，即：＝，＝，解得：m＝1或3（舍去x＝3），则点E的坐标为（0，﹣1）；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3），∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，tan∠ABD＝＝＝2，OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝＝GH′，则点H′的坐标为（3﹣，），将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9…②，联立①②并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍去），故点F的坐标为（﹣4，21）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【分析】（1）如图①中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，根据AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明＝，即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝1，CH＝，∴＝，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a＝或（舍弃）．经检验a＝是分式方程的解．∴a＝．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a+x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（﹣1）a或（﹣﹣1）a（舍弃），∴OC＝（﹣1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴＝，∴＝，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴＝，∴＝＝＝【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2019年上海市虹口区中考数学一模试卷-解析版

2019年上海市虹口区中考数学一模试卷-解析版

2019年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.抛物线y=x2−1与y轴交点的坐标是()A. (−1,0)B. (1,0)C. (0,−1)D. (0,1)2.如果抛物线y=(a+2)x2开口向下，那么a的取值范围为()A. a>2B. a<2C. a>−2D. a<−23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么cos A的值为()A. 513B. 1213C. 125D. 5124.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为()A. 5 米B. 5√3米C. 2√5米D. 4√5米5.如果向量a⃗与单位向量e⃗的方向相反，且长度为3，那么用向量e⃗表示向量a⃗为()A. a⃗=3e⃗B. a⃗=−3e⃗C. e⃗=3a⃗D. e⃗=−3a⃗6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE=∠C，AE=2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为()A. 1：2B. 2：3C. 1：4D. 4：9二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果ab =23，那么a+ba的值为______．8.计算：2a⃗−(3b⃗ −a⃗ )=______9.如果抛物线y=ax2+2经过点(1,0)，那么a的值为______．10.如果抛物线y=(m−1)x2有最低点，那么m的取值范围为______．11.如果抛物线y=(x−m)2+m+1的对称轴是直线x=1，那么它的顶点坐标为______．12.如果点A(−5,y1)与点B(−2,y2)都在抛物线y=(x+1)2+1上，那么y1______y2(填“>”、“<”或“=”)13.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=23，BC=4，那么AB=______．14.如图，AB//CD//EF，点C、D分别在BE、AF上，如果BC=6，CE=9，AF=10，那么DF的长为______．15.如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE//AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF//BC交AC于点F，如果DF=4，那么BE的长为______．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC=2，BC=4，那么cot∠CAE=______．17.定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA=2，那么PC=______．18.如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：2cos230°−sin30°tan260∘−4cos45∘四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.已知抛物线y=2x2−4x−6．(1)请用配方法求出顶点的坐标；(2)如果该抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位后经过原点，求m的值．21. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =43，BC =6，点D 、E分别在边AC 、AB 上，且DE//BC ，tan∠DBC =12．(1)求AD 的长；(2)如果AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE 高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE 上的线段AB 重合，BE 长为0.2米，当踏板连杆绕着点A 旋转到AC 处时，测得∠CAB =37°，此时点C 距离地面的高度CF 为0.45米，求AB 和AD 的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)23. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是边BC 的中点，DE ⊥AC ，垂足为点 E ．(1)求证：DE ⋅CD =AD ⋅CE ；(2)设F 为DE 的中点，连接AF 、BE ，求证：AF ⋅BC =AD ⋅BE ．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B(4,0)，点A(3,m)在抛物线上．(1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；(2)求tan∠OAB的值．25.如图，在四边形ABCD中AD//BC，∠A=90°，AB=6，BC=10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．(1)如果cos∠DBC=2，求EF的长；3=y，求y关于x的函数关系(2)当点F在边BC上时，连接AG，设AD=x，S△ABGS△BEF式并写出x的取值范围；(3)连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：当x=0时，y=x2−1=−1，所以抛物线y=x2−1与y轴交点的坐标为(0,−1)．故选：C．通过计算自变量为对应的函数值可得到抛物线y=x2−1与y轴交点的坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．2.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口向下可得出a+2<0，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．”是解题的关键．【解答】解：∵抛物线y=(a+2)x2开口向下，∴a+2<0，∴a<−2．故选：D．3.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=13，∴cosA=ACAB =513，故选：A．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．本题主要考查了锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．4.【答案】C【解析】解：作BC⊥地面于点C，设BC=x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC=2x米，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即(2x)2+x2=102，解得，x=2√5，即BC=2√5米，故选：C．作BC⊥地面于点C，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵向量e⃗为单位向量，向量a⃗与向量e⃗方向相反，∴a⃗=−3e⃗．故选：B．根据平面向量的定义即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．6.【答案】B【解析】解：∵AD：ED=3：1，∴AE：AD=2：3，∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD=2：3，故选：B．根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=94S△ABE即可求得．本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．7.【答案】52【解析】解：∵ab =23，∴设a=2x，则b=3x，那么a+ba =2x+3x2x=52．故答案为：52．直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．8.【答案】3a⃗−3b⃗【解析】解：原式=2a⃗−3b⃗ +a⃗=3a⃗−3b⃗ ．故答案是：3a⃗−3b⃗ ．实数的加减计算法则同样适用于平面向量的加减计算法则．考查了平面向量，掌握平面向量的加减计算法则即可解题，属于基础计算题．9.【答案】−2【解析】解：把(1,0)代入y=ax2+2得a+2=0，解得a=−2．故答案为−2．把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出a的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10.【答案】m>1【解析】解：∵抛物线y=(m−1)x2有最低点，∴m−1>0，即m>1．故答案为m>1．由于抛物线y=(m−1)x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定m的范围．本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．11.【答案】(1,2)【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，属于基础题．首先根据对称轴是直线x=1，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=(x−m)2+m+1的对称轴是直线x=1，∴m=1，∴解析式y=(x−1)2+2，∴顶点坐标为：(1,2)，故答案为：(1,2)．12.【答案】>【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质得到当x<−1时，y随x的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到y1与y2的大小关系．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=−1，而抛物线开口向上，所以当x<−1时，y随x的增大而减小，因为−5<−2<−1，所以y1>y2．故答案为>．13.【答案】6【解析】解：∵在Rt△ABC中，sinA=BCAB =23，且BC=4，∴AB=BCsinA =423=6，故答案为：6．由sinA=BCAB 知AB=BCsinA，代入计算可得．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．14.【答案】6【解析】解：∵AB//CD//EF，∴BECE =AFDF，∴6+99=10DF，∴DF=6，故答案为：6．根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出DF是解决问题的关键．15.【答案】8【解析】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴BGHG=2，∵DE//AC，DF//BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE=DF=4，∵GE//CH，∴△BEG∽△CBH，∴BECE =BGGH=2，∴BE=8，故答案为：8．连接BG并延长交AC于H，根据G为ABC的重心，得到BGHG=2，根据平行四边形的性质得到CE=DF=4，根据相似三角形的性质即可得到结论本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，∴AD=CD=BD，∴∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD=∠B+∠CAD=90°，∴∠CAE=∠B，∴cot∠CAE=cotB=BCAC =42=2，故答案为：2．根据直角三角形的性质得到AD=CD=BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠CAD，∠DCB=∠B，根据余角的性质得到∠CAE=∠B，于是得到结论．本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17.【答案】165【解析】解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵∠PCB=∠PBA，∴∠ACB−∠PCB=∠ABC−∠PBA，即∠ACP=∠CBP．在△ACP与△CBP中，{∠ACP=∠CBP∠PAC=∠PCB，∴△ACP∽△CBP，∴PAPC =ACBC，∵AC=5，BC=8，PA=2，∴PC=2×85=165．故答案为165．根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACP∽△CBP，利用相似三角形对应边的比相等即可求出PC．本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．18.【答案】6√105【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=AD=4，∴BD=√2AB=4√2，∵点E为边AB的中点，∴AE=12AB=2，∵∠EAD=90°，∴DE=√AD2+AE2=2√5，过B作BF⊥DD1于F，∴∠DAE=∠EFB=90°，∵∠AED=∠BFE，∴△ADE∽△FEB，∴EFAE =BEDE，∴EF2=22√5，∴EF=2√5，∴DF=2√5+2√5=12√5，∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1，∴BD1=BD，∠D1BD=∠E1BE，BE1=BE，∴DD1=2DF=24√5，△D1BD∽△E1BE，∴EE1DD1=BEBD，∴EE124√5=24√2，∴EE1=6√105，故答案为：6√105．根据正方形的性质得到AB=AD=4，根据勾股定理得到BD=√2AB=4√2，=√AD 2+AE 2=2√5，过B 作BF ⊥DD 1于F ，根据相似三角形的性质得到EF =2√5，求得DF =2√5+2√5=12√5，根据旋转的性质得到BD 1=BD ，∠D 1BD =∠E 1BE ，BE 1=BE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．19.【答案】解：原式=2×(√32)2−12(√3)2−4×√22=2×34−123−2√2=13−2√2=3+2√2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20.【答案】解：(1)y =2x 2−4x −6=2(x 2−2x)−6=2(x −1)2−8，故该函数的顶点坐标为：(1,−8)； (2)当y =0时，0=2(x −1)2−8， 解得：x 1=−1，x 2=3，即图象与x 轴的交点坐标为：(−1,0)，(3,0)， 故该抛物线沿x 轴向左平移3个单位后经过原点， 即m =3．【解析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键． (1)直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； (2)直接求出图象与x 轴的交点，进而得出平移规律．21.【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =43，BC =6，∴ACCB =AC 6=43，则AC =8．又∵在Rt △BCD 中，tan∠DBC =12， ∴DCBC =DC 6=12，∴CD =3．∴AD =AC −CD =5．(2)∵DE//BC ， ∴DEBC =AD AC =58．∴DE =58BC ． ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ． ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58b ⃗ −58a ⃗ ．【解析】(1)通过解Rt △ABC 求得AC =8，解Rt △BCD 得到CD =3，易得AD =AC −CD =5；(2)由平行线截线段成比例求得DE 的长度，利用向量表示即可．考查了平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的． 22.【答案】解：过点C 作CG ⊥AB 于G ， 则四边形CFEG 是矩形， ∴EG =CF =0.45， 设AD =x ，∴AE =1.8−x ，∴AC =AB =AE −BE =1.6−x ， AG =AE −CF =1.35−x ，在Rt △ACG 中，∠AGC =90°，∠CAG =37°， cos∠CAG =AGAC =1.35−x 1.6−x=0.8，解得：x =0.35，∴AD =0.35米，AB =1.25米，答：AB 和AD 的长分别为1.25米，0.35米．【解析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 过点C 作CG ⊥AB 于G ，得到四边形CFEG 是矩形，根据矩形的性质得到EG =CF =0.45，设AD =x ，求得AE =1.8−x ，AC =AB =AE −BE =1.6−x ，AG =AE −CF =1.35−x ，即可得到结论．23.【答案】证明：(1)∵AB =AC ，D 是边BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， ∴∠ADC =90°，∴∠ADE +∠CDE =90°． ∵DE ⊥AC ， ∴∠CED =90°，∴∠CDE +∠DCE =90°， ∴∠ADE =∠DCE ．又∵∠AED =∠DEC =90°， ∴△AED∽△DEC ， ∴DE AD=CE CD，∴DE ⋅CD =AD ⋅CE ； (2)∵AB =AC ， ∴BD =CD =12BC ． ∵F 为DE 的中点， ∴DE =2DF ．∵DE ⋅CD =AD ⋅CE ， ∴2DF ⋅12BC =AD ⋅CE ，∴CE DF =BCAD ．又∵∠BCE =∠ADF ， ∴△BCE∽△ADF ， ∴BCAD =BEAF ，∴AF ⋅BC =AD ⋅BE ．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：(1)利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC ；(2)利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF ．(1)由AB =AC ，D 是边BC 的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC =90°，由同角的余角相等可得出∠ADE =∠DCE ，结合∠AED =∠DEC =90°可证出△AED∽△DEC ，再利用相似三角形的性质可证出DE ⋅CD =AD ⋅CE ；(2)利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD =12BC ，DE =2DF ，结合DE ⋅CD =AD ⋅CE 可得出CEDF =BCAD ，结合∠BCE =∠ADF 可证出△BCE∽△ADF ，再利用相似三角形的性质可证出AF ⋅BC =AD ⋅BE ．24.【答案】解：(1)把点O(0,0)，点B(4,0)分别代入y =−x 2+bx +c 得： {c =0−16+4b +c =0， 解得：{b =4c =0，即抛物线的表达式为：y =−x 2+4x ， 它的对称轴为：x =−42×(−1)=2，(2)把点A(3,m)代入y =−x 2+4x 得： m =−32+4×3=3， 即点A 的坐标为：(3,3)，过点B 作BD ⊥OA ，交OA 于点D ，过点A 作AE ⊥OB ，交OB 于点E ，如下图所示，AE =3，OE =3，BE =4−3=1，OA =√32+32=3√2，AB =√12+32=√10， S △OAB =12×OB ×AE =12×OA ×BD ， BD =OB×AE OA =3√2=2√2，AD =√AB 2−BD 2=√10−8=√2，tan∠OAB =BDAD =2．【解析】(1)把点O(0,0)，点B(4,0)分别代入y =−x 2+bx +c ，解之，得到b 和c 的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴x =−b2a ，代入求值即可，(2)把点A(3,m)代入y =−x 2+4x ，求出m 的值，得到点A 的坐标，过点B 作BD ⊥OA ，交OA 于点D ，过点A 作AE ⊥OB ，交OB 于点E ，根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BD 和AD 的长，即可得到答案．本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题的关键：(1)正确掌握代入法和抛物线的对称轴公式，(2)正确掌握三角形面积公式和勾股定理．25.【答案】解：(1)将ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处， ∴BG ⊥EF ，BG =AB =6，cos∠DBC =23=BG BF =6BF ，则：BF =9，S △BEF =12BF ⋅AB =12EF ⋅BG ，即：9×6=6×EF ， 则EF =9；(2)过点A 作AH ⊥BG 交于点H ，连接AG ，设：BF =a ， 在Rt △BGF 中，cos∠GBF =cosα=BGBF =6a ，则tanα=√a 2−366，sinα=√a 2−36a，y =S △ABG S △BEF=12BG×AH 12BF×AB =6×6×sinαa×6=36a 2…①，tanα=AB AD =6x =√a 2−366，解得：a 2=36+(36x )2…②，把②式代入①式整理得：y =x 2x 2+36(x ≥92)；(3)①当GF =FC 时，FC =10−a =GF =asinα=√a 2−36， 把②式代入上式并解得：x =454，②当CF =CG 时， 同理可得：x =18√9191； 故：AD 的长为454或18√9191．【解析】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．(1)利用S △BEF =12BF ⋅AB =12EF ⋅BG ，即可求解；(2)y=S△ABGS△BEF =12BG×AH12BF×AB=6×6×sinαa×6=36a2，tanα=ABAD=6x=√a2−366，即可求解；(3)分GF=FC、CF=CG两种情况，求解即可．。

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷试题及答案(解析版)

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷试题及答案(解析版)

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是( )A ．1:2000B ．1:200C ．200:1D ．2000:12．将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( )A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-3．若斜坡的坡比为( ) A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒4．如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =5．若2a e =，向量b 和向量a 方向相反，且||2||b a =，则下列结论中不正确的是( ) A ．||2a =B ．||4b =C ．4b e =D ．12a b =-6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线1x =-；③m 的值为0；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是( ) A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知23a b =，则aa b+的值是 ． 8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，4AB =，那么AP = ． 9．计算：3(2)42a b b --= ．10．已知1(2,)A y -、2(3,)B y -是抛物线2(1)y x c =-+上两点，则1y 2y ．（填“>”、“ =”或“<”）11．如图，在ABCD 中，3AB =，5AD =，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且1CF =，则CE 的长为 ．12．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，则sin A = ．13．如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为 厘米．14．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，//AH CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =，BC b =，则用a 、b 表示EG = ．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，2sin 3ACG ∠=，则BC 长为 ．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60︒，测得2号楼顶部F 的俯角为45︒．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 米（结果保留根号）．17．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD CD =，CE AB ⊥于点E ，5cos 13B =，则BED ABCS S ∆∆= ．18．在梯形ABCD 中，//AB DC ，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作//EF AD 交边AB 于点F ．将BEF ∆沿直线EF 翻折得到GEF ∆，当EG 过点D 时，BE 的长为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 1920．如图，已知ABC ∆，点D 在边AC 上，且2AD CD =，//AB EC ，设BA a =，BC b =． （1）试用a 、b 表示CD ；（2）在图中作出BD 在BA 、BC 上的分向量，并直接用a 、b 表示BD ．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴交于点C (0,2)．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D 的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan CEB ∠的值．22．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且71BCA ∠=︒．（参考数据：sin 710.95︒≈，cos710.33︒≈，tan 71 2.88)︒≈ （1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1)cm ；（2）根据经验，当车座B '到地面的距离B E ''为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB '应是多少？（结果精确到1)cm23．如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =．（1）求证：DE EF ⊥； （2）求证：22BC DF BF =．24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒． （1）求该抛物线的表达式； （2）联结AM ，求AOM S ∆；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果MBF ∆与AOM ∆相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．25．已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是( )A ．1:2000B ．1:200C ．200:1D ．2000:1【解答】解：因为2毫米0.2=厘米， 则0.2厘米：40厘米1:200=； 所以这幅设计图的比例尺是1:200． 故选：B ．2．将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =+-【解答】解：将抛物线2y x =向右平移1个单位长度，再向上平移2+个单位长度所得的抛物线解析式为2(1)2y x =-+． 故选：A ．3．若斜坡的坡比为( ) A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：斜坡的坡比为α，tan α∴==60α∴=︒．故选：D ．4．如图，下列条件中不能判定ACD ABC ∆∆∽的是( )A ．ADC ACB ∠=∠ B ．AB ACBC CD=C ．ACD B ∠=∠ D ．2AC AD AB =【解答】解：A 、由ADC ACB ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； B 、由AB ACBC CD=不能判定ACD ABC ∆∆∽，此选项符合题意； C 、由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意；D 、由2AC AD AB =，即AC ABAD AC=，且A A ∠=∠可得ACD ABC ∆∆∽，此选项不符合题意； 故选：B ．5．若2a e =，向量b 和向量a 方向相反，且||2||b a =，则下列结论中不正确的是( ) A ．||2a =B ．||4b =C ．4b e =D ．12a b =-【解答】解：A 、由2a e =推知||2a =，故本选项不符合题意． B 、由4b e =-推知||4b =，故本选项不符合题意． C 、依题意得：4b e =-，故本选项符合题意．D 、依题意得：12a b =-，故本选项不符合题意．故选：C ．6．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线1x =-；③m 的值为0；④图象不经过第三象限．上述结论中正确的是( ) A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线1312x -+==，故②错误，抛物线的顶点坐标是(1,1)-，有最小值，故抛物线2y ax bx c =++的开口向上，故①错误， 当0y =时，0x =或2x =，故m 的值为0，故③正确，当0y …时，x 的取值范围是02x 剟，故④正确， 故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分） 7．已知23a b =，则a ab +的值是 5． 【解答】解：23a b = ∴设2a k =，则3b k =． ∴22235a k ab k k ==++．8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，4AB =，那么AP = 2- ． 【解答】解：由于P 为线段4AB =的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则42AP AB ===-．故答案为2．9．计算：3(2)42a b b -- 72b - ．【解答】解：：3333(2)42472222a b b a b b a b --=-⨯-=-．故答案是：372a b -．10．已知1(2,)A y -、2(3,)B y -是抛物线2(1)y x c =-+上两点，则1y < 2y ．（填“>”、“ =”或“<” )【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x =， 而1x <时，y 随y 的增大而减小， 所以12y y <． 故答案为<．11．如图，在ABCD 中，3AB =，5AD =，AF 分别交BC 于点E 、交DC 的延长线于点F ，且1CF =，则CE 的长为4．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形 //AB CD ∴，5AD BC ==， ABE FCE ∴∆∆∽ ∴331AB BE CF CE === 3BE CE ∴= 5BC BE CE =+=54CE ∴=故答案为：5412．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，则sin A =5．【解答】解：90C ∠=︒，5AB =，3BC =， 3sin 5BC A AB ∴==， 故答案为：35．13．如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为3厘米．【解答】解：设三角形ABC 的高AH 为x 厘米． 由正方形DEFG 得，//DG EF ，即//DG BC ，AH BC ⊥，AP DG ∴⊥．由//DG BC 得ADG ABC ∆∆∽ ∴AP DG AH BC=． PH BC ⊥，DE BC ⊥，PH ED ∴=，AP AH PH =-， BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米， ∴252540x x -=， 解得2003x =． 即AH 为2003厘米． 故答案为：2003． 14．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，//AH CD 分别交EF 、BC 于点G 、H ，若AD a =，BC b =，则用a 、b 表示EG = 2．【解答】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，则//AD HC ，//AH CD ，∴四边形AHCD 是平行四边形．AD HC ∴=．又EF 是梯形ABCD 的中位线，2AD BC EF +∴=，且GF AD =． 22AD BC BC AD EG EF GF AD +-∴=-=-=． AD a =，BC b =， ∴2b a EG -=． 故答案是：2b a -．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，2sin 3ACG ∠=，则BC 长为 4 ．【解答】解：延长CG 交AB 于D ，作DE BC ⊥于E ，点G 是ABC ∆的重心，2CG =，3CD ∴=，点D 为AB 的中点，DC DB ∴=，又DE BC ⊥，12CE BE BC ∴==， 90ACG DCE DCE CDE ∠+∠=∠+∠=︒，ACG CDE ∴∠=∠，2sin sin 3ACG CDE ∠=∠=， 2CE ∴=，4BC ∴= 故答案为：4．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B 点垂直起飞到高度为50米的A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为60︒，测得2号楼顶部F 的俯角为45︒．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为 (50- 米（结果保留根号）．【解答】解：过点E作EG AB⊥于G，过点F作FH AB⊥于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，20EC GB∴==，HB FD=，B为CD的中点，EG CB BD HF∴===，由已知得：906030EAG∠=︒-︒=︒，45AFH∠=︒．在Rt AEG∆中，502030AG AB GB=-=-=米，tan3030EG AG∴=︒==米，在Rt AHP∆中，tan45AH HF=︒=50FD HB AB AH∴==-=-)．答：2号楼的高度为(50-米．故答案为：(50-．17．如图，在ABC∆中，AB AC=，BD CD=，CE AB⊥于点E，5cos13B=，则BEDABCSS∆∆=169．【解答】解：AB AC =，BD CD =，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒， 5cos 13BD B AB ==， 设5BD x =，13AB x =，12AD x ∴==，210BC BD x ∴==，CE AB ⊥，90BEC ∴∠=︒，B B ∠=∠，ABD CBE ∴∆∆∽， ∴BC BE CE AB BD AD ==， ∴1013512x BE CE x x x==， 5013BE x ∴=，12013CE x =， ∴11501201252213132116910122BCE BEDABC ABC x x S S S S x x ∆∆∆∆⨯⨯⨯===⨯⨯， 故答案为：25169． 18．在梯形ABCD 中，//AB DC ，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作//EF AD 交边AB 于点F ．将BEF ∆沿直线EF 翻折得到GEF ∆，当EG 过点D 时，BE 的长为 12．【解答】解：如图，//EF AD ，A EFB ∴∠=∠，GFE AMF ∠=∠，GFE ∆与BFE ∆关于EF 对称，GFE BFE ∴∆≅∆，GFE BFE ∴∠=∠，A AMF ∴∠=∠，AMF ∴∆是等腰三角形，AF FM ∴=，作DQ AB ⊥于点Q ，90AQD DQB ∴∠=∠=︒．//AB DC ，90CDQ ∴∠=︒．90B ∠=︒，∴四边形CDQB 是矩形，2CD QB ∴==，6QD CB ==，1028AQ ∴=-=，在Rt ADQ ∆中，由勾股定理得10AD ==，3tan 4A =， 3tan 4BE EFB BF ∴∠==， 设3EB x =，4FB x ∴=，63CE x =-，104AF MF x ∴==-，810GM x ∴=-，90G B DQA ∠=∠=∠=︒，GMD A ∠=∠，DGM DQA ∴∆∆∽， ∴DG GM DQ AQ=， 1562GD x ∴=-， 1532DE x ∴=-， 在Rt CED ∆中，由勾股定理得2215(3)(63)42x x ---=， 解得：65312x =， ∴当EG 过点D 时6512BE =． 故答案为：6512．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19【解答】解：原式===2=+．20．如图，已知ABC ∆，点D 在边AC 上，且2AD CD =，//AB EC ，设BA a =，BC b =．（1）试用a 、b 表示CD ；（2）在图中作出BD 在BA 、BC 上的分向量，并直接用a 、b 表示BD ．【解答】解：（1）BA a =，BC b =，∴CA CB BA b a =+=-+，2AD CD =， 13CD CA ∴=， CD 与CA 同向， ∴1111()3333CD CA b a a b ==-+=-；（2）如图BD 在BA 、BC 上的分向量分别为BM ，BN ．11123333BD BC CD b a b a b =+=+-=+．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴交于点C (0,2)．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D 的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan CEB ∠的值．【解答】解：（1）抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A -和点B ，与y 轴交于点C (0,2)， ∴22(3)(3)032b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩，得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，2224282(1)3333y x x x ∴=--+=-++， ∴抛物线顶点D 的坐标为8(1,)3-， 即该抛物线的解析式为224233y x x =--+，顶点D 的坐标为8(1,)3-； （2）228(1)33y x =-++， ∴该抛物线的对称轴为直线1x =-，点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点(0,2)C ，∴点E 的坐标为(2,2)-，当0y =时，2280(1)33x =-++，得13x =-，21x =， ∴点B 的坐标为(1,0)，设直线BE 的函数解析式为y kx n =+，022k n k n +=⎧⎨-+=⎩，得2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BE 的函数解析式为2233y x =-+， 当0x =时，23y =， 设直线BE 与y 轴交于点F ，则点F 的坐标为2(0,)3， 23OF ∴=， 点(0,2)C ，点(2,2)E -，2OC ∴=，2CE =，24233CF ∴=-=， 423tan 23CE CEF CF ∴∠===， 即tan CEB ∠的值是23．22．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且71BCA ∠=︒．（参考数据：sin 710.95︒≈，cos710.33︒≈，tan 71 2.88)︒≈（1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1)cm ；（2）根据经验，当车座B '到地面的距离B E ''为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB '应是多少？（结果精确到1)cm【解答】解：（1）设AC 于BE 交于H ，AD l ⊥，CF l ⊥，HE l ⊥，////AD CF HE ∴，30AD cm =，30CF cm =，AD CF ∴=，∴四边形ADFC 是平行四边形，90ADF ∠=︒，∴四边形ADFC 是矩形，30HE AD cm ∴==， BC 长为54cm ，且71BCA ∠=︒，sin 7151.3BH BC cm ∴=︒=，51.33081BE BH EH BH AD cm ∴=+=+=+≈； 答：车座B 到地面的高度是81cm ；（2）如图所示，96.8B E cm ''=，设B E ''与AC 交于点H '，则有//B H BH ''， ∴△B H C BHC ''∆∽，得B H B C BH BC'''=． 即90305154B C -'=， 63B C cm '∴=．故63549()BB B C BC cm ''=-=-=．∴车架中立管BC 拉长的长度BB '应是9cm ．23．如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =．（1）求证：DE EF ⊥；（2）求证：22BC DF BF =．【解答】（1）证明：AF BC ⊥于点F ，90AFB ∴∠=︒， 点E 是AB 的中点，AE FE ∴=，EAF AFE ∴∠=∠，2AE EG ED =， ∴AE DE EG AE=， AEG DEA ∠=∠，AEG DEA ∴∆∆∽，EAG ADG ∴∠=∠，AGD FGE ∠=∠，DAG FEG ∴∠=∠，四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴，90DAG AFB ∴∠=∠=︒，90FEG ∴∠=︒，DE EF ∴⊥；（2）解：AE EF =，2AE EG ED =，2FE EG ED ∴=， ∴EF EG DE EF=， FEG DEF ∠=∠，FEG DEF ∴∆∆∽，EFG EDF ∴∠=∠，BAF EDF ∴∠=∠，90DEF AFB ∠=∠=︒，ABF DFE ∴∆∆∽， ∴AB BF DF EF=， 四边形ACBD 是菱形，AB BC ∴=，90AFB ∠=︒，点E 是AB 的中点，1122FE AB BC ∴==，∴12BC BF DF BC =， 22BC DF BF ∴=．24．如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ∆；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），如果MBF ∆与AOM ∆相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．【解答】解：（1）抛物线21:(0)C y ax bx a =+<经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒，∴点(2,0)B，点(1,A -，∴22022(1)(1)a b a b ⎧=⨯+⨯⎪⎨=⨯-+⨯-⎪⎩，得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的解析式为2y x =+； （2）连接MO ，AM ，AM 与y 轴交于点D ，2231)yx =-+=-+，∴点M 的坐标为， 设过点(1,A -，M 的直线解析式为y mx n =+，m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM的函数解析式为y =-， 当0x =时，y =， ∴点D的坐标为(0,，OD ∴AOM AOD MODS S S ∆∆∆∴=+=+=； （3）当AOM FBM ∆∆∽时，OM OA BM BF=， 2OA =，点(0,0)O，点M ，点(2,0)B ，OM ∴=，BM =，∴2BF=， 解得，2BF =，∴点F 的坐标为(4,0)，设抛物线2C的函数解析式为：21)y x c =-+， 点(4,0)F 在抛物线2C 上，201)c ∴=-+，得c = ∴抛物线2C的函数解析式为：21)y x =-+ 当AOM MBF ∆∆∽时，OM OA BF BM=， 2OA =，点(0,0)O，点M ，点(2,0)B ，OM ∴=，BM =，∴=， 解得，23BF =， ∴点F 的坐标为8(3，0)，设抛物线2C 的函数解析式为：21)y x d =-+， 点8(3F ，0)在抛物线2C 上，280(1)3d ∴=-+，得d =∴抛物线2C 的函数解析式为：21)y x =-+．25．已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．【解答】解：（1）设：ACB EDC CAD α∠=∠=∠=∠， 4cos 5α=，3sin 5α∴=， 过点A 作AH BC ⊥交于点H ，sin 6AH AC DF α===，2BH =，如图1，设：4FC a =，4cos 5ACB ∴∠=，则3EF a =，5EC a =， EDC CAD α∠=∠=∠，ACD ACD ∠=∠， ADC DCE ∴∆∆∽，22223616105AC CE CD DF FC a a ∴==+=+=，解得：2a =或98（舍去2)a =， 710242AD HF a ==--=； （2）过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，22222(sin )(cos )CD CH DH AC AC x αα=+=+-， 即：2236(8)CD x =+-，由（1）得：2AC CE CD =， 即：21810(016105y x x x =-+<<且10)x ≠⋯①， （3）①当DF DC =时，ECF FDC α∠=∠=，DFC DFC ∠=∠， DFC CFE ∴∆∆∽，DF DC =， FC EC y ∴==，10x y ∴+=， 即：2181010105x x x =-++， 解得：6x =；②当FC DC =，则DFC FDC α∠=∠=，则：EF EC y ==，10DE AE y ==-，在等腰ADE ∆中，11422cos cos 105AD x DAE AE y α∠====-， 即：5880x y +=，将上式代入①式并解得：394x =； ③当FC FD =，则FCD FDC α∠=∠=，而ECF FCD α∠=≠∠，不成立， 故：该情况不存在；故：AD 的长为6和394．。

2019年上海市松江区中考数学一模试卷(解析版)

2019年上海市松江区中考数学一模试卷(解析版)

2019年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为()A. 34B. 43C. 35D. 45【答案】A【解析】解：∵AC=4，BC=3，∴tanA=BCAC =34，故选：A．根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．2.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是()A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=(x+1)2D. y=(x−1)2【答案】D【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，所以所得的抛物线的表达式为y=(x−1)2．故选：D．先得到抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，再得到点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3.下列各组图形中一定是相似形的是()A. 两个直角三角形B. 两个等边三角形C. 两个菱形D. 两个矩形【答案】B【解析】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．4.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是()A. DEBC=23B. DEBC=25C. AEAC=23D. AEAC=25【答案】D【解析】解：当ADDB=AEEC或ADAB=AEAC时，DE//BD，即AEEC=23或AEAC=25．故选：D．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当ADDB=AEEC或ADAB=AEAC时，DE//BD，然后可对各选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．5.已知e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗，那么下列结论中错误的是()A. a⃗//e⃗B. |a⃗|=3C. a⃗与e⃗方向相同D. a⃗与e⃗方向相反【答案】C【解析】解：A、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，相互平行，即a⃗//e⃗，故本选项错误．B、由a⃗=−3e⃗得到|a⃗|=3，故本选项错误．C、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项正确．D、由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项错误．故选：C．根据向量的定义，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．6.如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是()A. AFDF=DEBCB. DFDB =AFDFC. EFCD =DEBCD. AFBD =ADAB【答案】C【解析】解：∵DE//BC，EF//CD ∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴DEBC =AEAC，EFDC=AEAC∴EFDC=DEBC故选：C．根据相似三角形的性质可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知ab =43，那么a−bb=______．【答案】13【解析】解：∵ab =43，∴a=43b，∴原式=43b−bb =13．故答案为13．因为ab =43，所以a=43b，代入求解即可．本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．【答案】6【解析】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，根据题意得，12x=150000，解得：x=600000cm=6km，故答案为：6．根据图上距离实际距离=比例尺列方程即可得到结论．本题考查了比例线段，熟练掌握图上距离实际距离=比例尺是解题的关键．9.在△ABC中，∠C=90∘，sinA=25，BC=4，则AB值是______．【答案】10【解析】解：∵sinA=BCAB，即25=4AB，∴AB=10，故答案为：10．根据正弦函数的定义得出sinA=BCAB，即25=4AB，即可得出AB的值．本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．10.已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，则AC的长______cm．【答案】√5−1【解析】解：∵AC2=BC⋅AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，∴AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，故答案为：√5−1．根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为√5−12是解题的关键．11.已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：______．【答案】y=−x2【解析】解：∵二次函数的顶点是：(0,0)，∴设函数的解析式为：y=ax2，又∵点(0,0)是二次函数图象的最高点，∴抛物线开口方向向下，∴a<0，令a=−1，则函数解析式为：y=−x2．根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y=ax2，根据顶点是二次函数图象的最高点，结合二次函数的性质，得到a<0，任取负数a代入原解析式，即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．12.如果点A(−4,y1)、B(−3,y2)是二次函数y=2x2+k(k是常数)图象上的两点，那么y1______y2.(填“>”、“<”或“=”)【答案】>【解析】解：抛物线的对称轴为y轴，所以当x<0时，y随y的增大而减小，所以y1>y2．故答案为>．先根据二次函数的性质得到当x<0时，y随y的增大而减小，然后比较自变量的大小得到函数值的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质．13.小明沿坡比为1：√3的山坡向上走了100米.那么他升高了______米.【答案】50【解析】解：∵坡比为1：√3，∴设BC=x米，则AC=√3x米，由勾股定理得，BC2+AC2=AB2，即x2+(√3x)2=1002，解得，x1=50，x2=−50(舍去)，∴BC=50米，故答案为：50．设BC=x米，根据坡度的概念得到AC=√3x米，根据勾股定理计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．14.如图，已知直线a//b//c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=3，CE=5，DF=4，那么BD=______．【答案】125【解析】解：∵a//b//c，∴ACCE=BDDF，即35=BD4，解得，BD=125，故答案为：125．利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15.如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且ADAB=AEAC=13.设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，那么AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用向量a⃗、b⃗ 表示)【答案】a⃗+3b⃗【解析】解：∵ADAB=AEAC=13，∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABC∴DEBC=ADAB=13∴BC=3DE∵设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗+3b⃗故答案为：a⃗+3b⃗由题意可得△ADE∽△ABC，可得BC=3DE，根据向量的加法可求解．本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．16.如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE//BC.如果DEBC =35，CE=4，那么AE的长为______．【答案】32【解析】解：∵DE//BC∴△ADE∽△ABC∴DEBC=AEAC=35∴设AE=3k，AC=5k(k≠0))，∴CE=3k+5k=4∴k=1 2∴AE=3k=3 2故答案为：32根据相似三角形的性质可得DEBC =AEAC=35，即可求AE的长．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．17.如图，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE=∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么AFAG的值为______．【答案】35【解析】证明：∵AB=6，D是边AB的中点，∴AD=3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG=∠EAF，∵∠ADE=∠C，∴△ADF∽△ACG；∴AFAG=ADAC=35，故答案为：35．根据线段中点的定义得到AD=3，根据角平分线的定义得到∠BAG=∠EAF，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18.如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为(3,2)，∠AOB=90∘，∠OAB=30∘，AB与x轴交于点C，那么AC：BC的值为______．【答案】2√33【解析】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A(3,2)，∴OA=√32+22=√13，∵∠OAB=30∘，∠AOB=90∘，∴OAOB=√3，∵∠AOB=90∘，∠EOC=90∘，∴∠EOB=∠AOD，又∵∠BEO=∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴OEOD=OBAO=√33，即OE3=√33，解得：OE=√3，∵AC：BC=S△AOC：S△OBC=AD：OE=2：√3=2√33，故答案为：2√33．作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y 轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到OEOD =OBAO=√33，最后依据AC：BC=S△AOC：S△OBC=AD：OE求解即可．本题主要考查的是含30∘的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【答案】解：y=2(x2+2x)−1，y=2(x2+2x+1)−2−1，y=2(x+1)2−3，开口方向：向上，顶点坐标：(−1,−3)，对称轴：直线x=−1．【解析】利用配方法把将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．20.如图，已知△ABC中，AB=AC=5，cosA=35.求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cosA=ADAB，∵cosA=35，AB=5，∴AD=AB⋅cosA=5×35=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∵AC=AB=5，∴DC=2，∴BC=√BD2+CD2=2√5．【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE//BC，点F在线段DE上，过点F作FG//AB、FH//AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC=2：4：3.求S△ADES△FGH的值．【答案】解：∵BG：GH：HC=2：4：3，∴设BG=2k，GH=4k，HC=3k，(k≠0)∵DE//BC，FG//AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF=BG=2k，∵DE//BC，FH//AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF=HC=3k，∴DE=5k∵DE//BC∴∠ADE=∠B，∵FG//AB∴∠FGH=∠B，∴∠ADE=∠FGH，同理可得：∠AED=∠FHG∴△ADE∽△FGH∴S△ADES△FGH=(DEGH)2=2516，【解析】设BG=2k，GH=4k，HC=3k，根据平行四边形的性质可得DF=BG=2k，EF=HC=3k，可得DE=5k，根据△ADE∽△FGH可得S△ADES△FGH=(DEGH)2=2516．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．22.某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)，直线MN垂直于地面，垂足为点P.在地面A处测得点M的仰角为58∘、点N的仰角为45∘，在B处测得点M的仰角为31∘，AB=5米，且A、B、P三点在一直线上.请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60，sin31∘=0.52，cos31∘=0.86，tan31∘=0.60.)【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP=45∘，∴PA=PN，在Rt△APM中，tan∠MAP =MPAP，设PA=PN=x，∵∠MAP=58∘，∴MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP=MPBP，∵∠MBP=31∘，AB=5，∴0.6=1.6x5+x，∴x=3，∴MN=MP−NP=0.6x=1.8(米)，答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【解析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA=PN，设PA=PN=x，得到MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．23.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC⋅CE=AD⋅BC．(1)求证：∠DCA=∠EBC；(2)延长BE交AD于F，求证：AB2=AF⋅AD．【答案】证明：(1)∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA∵AC⋅CE=AD⋅BC，∴ACBC=ADCE∴△ACD∽△CBE∴∠DCA=∠EBC(2)∵AD//BC，∴∠AFB=∠EBC，且∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA∵AD//BC，AB=DC∴∠BAD=∠ADC∴△ABF∽△DAC∴ABAD=AFCD且AB=DC，∴AB2=AF⋅AD【解析】(1)通过题意可证△ACD∽△CBE，可得∠DCA=∠EBC；(2)通过证明△ABF∽△DAC，可得ABAD=AFCD，可得AB2=AF⋅AD．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，根据题意找到正确的两个三角形相似是本题的关键．24.如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−2,0)，点B(0,4)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；(3)将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE//x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO =2OF ，求m 的值．【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(−2,0)，点B(0,4) ∴{c =4−2−2b+c=0，解得{c =4b=1∴抛物线解析式为y =−12x 2+x +4， (2)y =−12x 2+x +4=−12(x −1)2+92，∴对称轴为直线x =1，如图1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ，∵∠PBO =∠BAO ，∴tan∠PBO =tan∠BAO ，∴PG BG =BOAO∴1BG =21，∴BG =12∴OG =72， ∴P(1,72)， (3)如图2设新抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4−m 则D(0,4−m)，E(2,4−m)，DE =2 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ， ∵DE//FH ，EO =2OF∴DE FH =EO OF =DO OH =21， ∴FH =1，①点D 在y 轴的正半轴上，则F(−1,52−m)，∴OH =m −52∴DO OH=4−mm−52=21， ∴m =3，②点D 在y 轴的负半轴上，则F(1,92−m)，∴OH =m −92， ∴DOOH =m−4m−92=21，∴m =5∴综上所述m 的值为3或5．【解析】(1)把点A(−2,0)，点B(0,4)代入解析式求解即可；(2)先确定抛物线的对称轴，再过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ，根据三角函数建立等量关系，求解即可； (3)设新抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4−m ，则D(0,4−m)，E(2,4−m)，DE =2，过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，运用平行建立线段的比例关系求解即可．此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键25.如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．(1)如果BC=6，AC=8，且P为AC的中点，求线段BE的长；(2)联结PD，如果PD⊥AB，且CE=2，ED=3，求cosA的值；(3)联结PD，如果BP2=2CD2，且CE=2，ED=3，求线段PD的长．【答案】解：(1)∵P为AC的中点，AC=8，∴CP=4，∵∠ACB=90∘，BC=6，∴BP=2√13，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE=23BP=43√13；(2)如图1，过点B作BF//CA交CD的延长线于点F，∴BDDA =FDDC=BFCA，∵BD=DA，∴FD=DC，BF=AC，∵CE=2，ED=3，则CD=5，∴EF=8，∴CPBF =CEEF=28=14，∴CPCA =14，∴CPPA =13，设CP=k，则PA=3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA=PB=3k∴BC=2√2k，∴AB=2√6k，∵AC=4k，∴cosA=√63；(3)∵∠ACB=90∘，D是边AB的中点，∴CD=BD=12AB，∵PB2=2CD2，∴BP2=2CD⋅CD=BD⋅AB，∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD=∠A，∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2=DE⋅DC，∵DE=3，DC=5，∴PD=√15．【解析】(1)根据已知条件得到CP=4，求得BP=2√13，根据三角形重心的性质即可得到结论；(2)如图1，过点B作BF//CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到BDDA=FDDC=BFCA，求得CPPA=13，设CP=k，则PA=3k，得到PA=PB=3k根据三角函数的定义即可得到结论；(3)根据直角三角形的性质得到CD=BD=12AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2019中考数学一模试题及答案(上海杨浦、静安、闵行、松江、崇明)

2019中考数学一模试题及答案(上海杨浦、静安、闵行、松江、崇明)

上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷2019.1.5（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中，属于二次函数的是 （A ）32-=x y ； （B ）22)1(x x y -+=； （C ）x x y 722-=；（D ）22xy -=． 2．抛物线422-+-=x x y 一定经过点 （A ）（2,-4）； （B ）（1,2）；（C ）（-4,0）； （D ）（3,2）．3．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 （A ）αsin 3； （B ）αcos 3； （C ）αsin 3； （D ）αcos 3． 4．在平面直角坐标系xOy 中有一点P （8,15），那么OP 与x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 （A ）178； （B ）1715； （C ）158； （D ）815． 5．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3、5、6，△DEF 的最短边长为9，那么△DEF 的周长等于（A ）14；（B ）5126； （C ）21； （D ）42．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果35=y x ，那么y x yx -+3= ▲ ．8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，53=AB AD ，那么CEAE的值等于 ▲ ． 9．已知P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =20cm ，AP >BP ，那么AP = ▲ cm ． 10．如果抛物线k x k y ++=2)4(的开口向下，那么k 的取值范围是 ▲ ． 11．二次函数m x x y ++=62图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AQAP的值等于 ▲ ．14．已知在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =35，那么∠A = ▲ 度．15．已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么GCB ∠tan 的值为 ▲ ． 16．向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为5，那么用向量e 表示向量a 为 ▲ ． 17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．18．将等腰△ABC 绕着底边BC 的中点M 旋转30°后，如果点B 恰好落在原△ABC 的边AB 上，那么∠A 的余切值等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）（第13题图）已知抛物线32++=mx x y 的对称轴为x =-2． （1）求m 的值；（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y 轴的交点坐标．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，CD ∶AD =1∶2，=，=． （1）试用向量,表示向量；（2）求作：-21．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60°． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠C 的余弦值．22．（本题满分10分）已知：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知BC =12，AH =6，EF ∶GF =1∶2，求矩形DEFG 的周长．C（第22题图）ABC（第21题图）（第20题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（第24题图）C（第23题图）（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO=∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相（第25题图）上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．9； 8．23； 9．10510-； 10．k <-4； 11．-3； 12．xx y 42+=；13．32； 14．120； 15．43； 16．5-； 17．南偏西35°；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）由题意，得22-=-m．……………………………………………………（2分）∴m =4．…………………………………………………………………………（2分） （2）此抛物线的表达式为1)2(3422-+=++=x x x y ．……………………（2分） ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为1)3(2--=x y ，即862+-=x x y ．………………………………………………………………（2分） ∴它与y 轴的交点坐标为（0,8）．……………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ∶AD =1∶2，∴CA CD 31=，得CA CD 31=．…………（2分）M∵-=-=． ………………（2分）∴3131)(31-=-=………………（1分） ∴b a b a b CD BC BD 3231)(31+=-+=+=．…………………………（1分）（2）a b AM -=21．……………………………………（画图正确3分，结论1分）21．解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =60°，AB =6，∴BH =3，33=AH ．………（2分，2分） ∴S △ABC =31233821=⨯⨯．…………………………………………………（1分）（2）∵BC =8，BH =3，∴CH =5． ………………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∵33=AH ，CH =5，∴132=AC ．………………………………………（2分） ∴261351325cos ===AC CH C ．………………………………………………（2分） 22．解：设EF =x ，则GF =2x ．∵GF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AK ⊥GF ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ．………………………………………………（2分）∴BCGFAH AK =．…………………………………………………………………（2分） ∵AH =6，BC =12，∴12266xx =-．……………………………………………（2分） 解得x =3．………………………………………………………………………（2分） ∴矩形DEFG 的周长为18．……………………………………………………（2分）23．解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴125=PH AH ．…………………………………（2分）设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2．∴AH =10．………………………………………………………………………（2分）答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………………………………………（1分） （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．…………………………………………（1分） ∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．……………………………（1分） ∵∠BPD =45°，∴PD =BD ． …………………………………………………（1分） 设BC =x ，则x +10=24+DH ． ∴AC =DH =x -14． 在Rt △ABC 中，AC BC =︒76tan ，即0.414≈-x x．…………………………（2分） 解得356=x ，即19≈x ．………………………………………………………（1分） 答：古塔BC 的高度约为19米．………………………………………………（1分）24．证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BECEBF AC =．………………………………………………（2分） ∵BD =CD ，BE =DE ，∴CE =3BE ．……………………………………………（2分） ∴AC =3BF ．………………………………………………………………………（1分） （2）∵ED AE 3=，∴223ED AE =．…………………………………………（1分） 又∵CE =3ED ，∴CE ED AE ⋅=2．……………………………………………（1分） ∴CEAEAE ED =．……………………………………………………………………（1分） ∵∠AED =∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ．………………………………………（1分）∴AEEDAC AD =．…………………………………………………………………（1分） ∵ED =BE ，∴AEBEAC AD =．……………………………………………………（1分） ∴BE AC AE AD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=.2342,311c b c b ………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,32c b ……………………………………………………………………（1分）∴所求二次函数的解析式为232312++-=x x y ．……………………………（1分）对称轴为直线x =1．……………………………………………………………（1分）证明：（2）由直线OA 的表达式y =-x ，得点C 的坐标为（1,-1）．…………………（1分）∵10=AB ，10=BC ，∴AB =BC ．………………………………………（1分） 又∵2=OA ，2=OC ，∴OA =OC ．………………………………………（1分） ∴∠ABO =∠CBO ．………………………………………………………………（1分） 解：（3）由直线OB 的表达式y =x ，得点D 的坐标为（1,1）．………………………（1分）由直线AB 的表达式3431+=x y ， 得直线与x 轴的交点E 的坐标为（-4,0）．……………………………………（1分） ∵△POB 与△BCD 相似，∠ABO =∠CBO ，∴∠BOP =∠BDC 或∠BOP =∠BCD ． （i ）当∠BOP =∠BDC 时，由∠BDC ==135°，得∠BOP =135°．∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为（-4,0）．………………………………………………………（2分） （ii ）当∠BOP =∠BCD 时， 由△POB ∽△BCD ，得BCBDBO BP =． 而22=BO ，2=BD ，10=BC ，∴1052=BP ． 又∵102=BE ，∴1058=PE ． 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵PH ∥BF ，∴EFEHBE PE BF PH ==． 而BF =2，EF =6，∴58=PH ，524=EH ．∴54=OH ．∴点P 的坐标为（54,58）．……………………………………………………（2分）综上所述，点P 的坐标为（-4,0）或（54,58）．。

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷含答案解析

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷含答案解析

2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1．下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形D．两个等腰梯形2．如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=3．将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）24．点G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（）A．∠AED=∠ECB B．∠ADE=∠ACE C．B E=AD D．BC=CE二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7．计算：2（2+3）﹣+=．8．如果=，那么=．9．已知二次函数y=2x2﹣1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是．10．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．11．如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是米．12．已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛物线的对称轴对称，那么点N的坐标是．13．点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是．14．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC 上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．20．抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，=，AE=3，CE=1，BC=6．（1）求DE的长；（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设=，=，求向量（用向量、表示）22．如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD 的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．23．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：（1）BD2=AD•BE；（2）CD•BF=BC•DF．24．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象限，OB=2，抛物线y=x2+bx+c经过点A和B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE 和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．25．如图，四边形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ和BP交于点E，且∠BEQ=90°﹣∠BAD，设A、P两点的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点的距离．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1．下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形D．两个等腰梯形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．2．如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；B、∵AB∥CD∥EF，∴，故正确；C、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；D、∵AB∥CD∥EF，∴，∴AC•DF=BD•CE，故错误．故选B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系．3．将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），再利用点平移的规律，点（﹣1，﹣2）平移后的对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），把点（﹣1，﹣2）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2．故选d．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．点G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形的重心．【分析】根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出AG的长．【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，∴AD⊥BC，BD=BC=×8=4，∴AD===3，∴AG=AD=×3=2．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向【考点】方向角．【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（）A．∠AED=∠ECB B．∠ADE=∠ACE C．BE=AD D．BC=CE【考点】梯形．【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC=AC，从而证得BC≠CE，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB=45°，证得∠DAC=∠ABC，因为∠ACD=∠BCE，证得△DAC∽△EBC，得出=，==，从而证得BE=AD，进一步证得△ABC∽△DEC，得出∠EDC=∠BAC=90°，从而证得A、D在以EC为直径的圆上，根据圆周角定理证得∠AED=∠ACD=∠ECB，∠ADE=∠ACE，根据以上结论即可判断．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴BC=AC，∵EC＞AC，∴BC≠CE，∵AD∥BC，∠ECD=45°，∴∠DAC=∠ACB=45°，∴∠DAC=∠ABC，∠ACD=∠BCE，∴△DAC∽△EBC，∴=，∵∠ACB=∠ECD=45°，∴△ABC∽△DEC，∴∠EDC=∠BAC=90°，∴A、D在以EC为直径的圆上，∴∠AED=∠ACD，∠ADE=∠ACE，∵∠ACD=∠ECB，∴∠AED=∠ECB，∵△DAC∽△EBC，∴==，∴BE=AD，故选D．【点评】本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7．计算：2（2+3）﹣+=+．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（2+3）﹣+=4+6﹣+=+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的运算．注意掌握去括号时符号的变化是解此题的关键．8．如果=，那么=．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．9．已知二次函数y=2x2﹣1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是x≥0．【考点】二次函数的性质．【分析】由于抛物线y=2x2﹣1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，∴当x≥0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故答案为：x≥0．【点评】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．10．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是2：3．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴它们对应高的比是2：3．故答案为：2：3．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．11．如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是26米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡比i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡比的定义．12．已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛物线的对称轴对称，那么点N的坐标是（3，4）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求得抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣=2，进一步利用二次函数的对称性求得点M关于此抛物线对称轴的对称点N的坐标是即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣=2，∴点M（1，4）关于该抛物线的对称轴对称点N的坐标是（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称轴，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．13．点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由∠A=∠A，∠ACD=∠B，得到△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴，即：，∴AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，②有两角对应相等的两三角形相似．14．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，CD=AB=6，由平行线的性质得到∠AED=∠EAB，由角平分线的定义得到∠DAE=∠BAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，根据等腰三角形的判定得到DE=AD=4，由相似三角形的性质得到==，【解答】解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，CD=AB=6，∴∠AED=∠EAB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠AED，∴DE=AD=4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴==，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：由正方形DEFG得，DE∥E=GF，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DE，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得：AH=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠A CD=，AB=5，那么CD的长是．【考点】解直角三角形．【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=，∴tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，∵AC2+BC2=AB2，∴（3x）2+（4x）2=52，解得：x=1，∴AC=3，BC=4，∵S△ABC=，∴CD==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是6：1．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】延长BE，AD交于G，根据平行线的性质得到∠G=∠EBC，根据全等三角形的性质得到DG=BC=2AD，GE=BE，于是得到AG=3AD，通过△AGF∽△BCF，得到=，设GF=3x，BF=2x，求得，由==，得到S△ABF=S△BCF，由==4，得到S△CEF=S△BCF，即可得到结论．【解答】解：延长BE，AD交于G，∵AD∥BC，∴∠G=∠EBC，在△DGE与△BCE中，，∴DG=BC=2AD，GE=BE，∴AG=3AD，∵AD∥BC，∴△AGF∽△BCF，∴=，∴设GF=3x，BF=2x，∴BG=5x，∴BE=GE=2.5x，∴EF=x，∴，∴==，∴S△ABF=S△BCF，∵==4，∴S△CEF=S△BCF，∴△ABF和△CEF的面积比==6：1．故答案为：6：1．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先利用余弦定义计算出BC=5，再利用勾股定理计算出AC=4，接着根据旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，利用三角形内角和定理易得∠ACE=∠B，作AH⊥CE于H，由等腰三角形的性质得EH=CH，如图，在Rt△ACH中，利用cos∠ACH==可计算出CH=AC=，所以CE=2CH=．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，cosB==，∴BC=5，∴AC==4，∵△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠B=（180°﹣∠BAD），∠ACE=（180°﹣∠CAE），∴∠ACE=∠B，∴cos∠ACE=cosB=，作AH⊥CE于H，则EH=CH，如图，在Rt△ACH中，∵cos∠ACH==，∴CH=AC=，∴CE=2CH=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明∠ACE=∠B．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式=4×﹣2××+=2﹣1+2=2+1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．20．抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式；（2）先确定抛物线y=x2﹣2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，0），然后利用交点式可写出新抛物线的表达式．【解答】解：（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1；（2）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，抛物线的对称轴为直线x=1，而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2，所以A（0，0），B（2，0），所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，=，AE=3，CE=1，BC=6．（1）求DE的长；（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设=，=，求向量（用向量、表示）【考点】*平面向量；平行线分线段成比例．【分析】（1）由=，AE=3，CE=1，可得==，即可证得DE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得DE的长；（2）由DF∥AC，可得==，再由三角形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）∵AE=3，CE=1，∴AC=AE+CE=4，∴==，∴DE∥BC，∴==，∴DE=BC×=6×=；（2）∵DF∥AC，∴==，∴==（+）=+．【点评】此题考查了平行向量的知识以及平行线分线段成比例定理．注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键．22．如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD 的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，根据正切的定义分别求出AE、BE的长，列出方程，解方程求出x的值，计算即可．【解答】解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，∵∠EBC=45°，∴BE=x米，∵∠EAC=30°，∴AE==x米，由题意得，x﹣x=400，解得x=200（+1）米，则CD=800﹣200（+1）≈254米．答：大楼CD的高度约为254米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．23．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：（1）BD2=AD•BE；（2）CD•BF=BC•DF．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由∠CBE=∠ABD，得到∠ABC=∠DBE等量代换得到∠A=∠DBE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADB，∠DBE=∠BDE，等量代换得到∠A=∠DBE=∠BDE，推出△ABD∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）通过△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质得到∠C=∠E，BE=BC，由于∠CFD=∠EFB，证得△CFD∽△EFB，根据相似三角形的性质得到结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE=∠ABD，∴∠ABC=∠DBE，∵∠A=∠ABC，∴∠A=∠DBE，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，∵BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∴∠A=∠DBE=∠BDE，∴△ABD∽△DEB，∴，即BD2=AD•BE；（2）在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE，∴∠C=∠E，BE=BC，∵∠CFD=∠EFB，∴△CFD∽△EFB，∴，∴，即：CD•BF=BC•DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象限，OB=2，抛物线y=x2+bx+c经过点A和B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE 和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据互相垂直的两直线一次项系数的乘积为﹣1，可得BO的解析式，根据勾股定理，可得B点坐标；（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；（3）根据待定系数，可得AB的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E、F点的坐标，分类讨论：△BCD∽△BEO时，可得F点坐标；△BCD∽△BOE时，根据相似于同一个三角形的两个三角形相似，可得△BFO∽BOE，根据相似三角形的性质，可得BF的长，根据勾股定理，可得F 点坐标．【解答】解：（1）AO的解析式为y=x，AO⊥BO，BO的解析式为y=﹣x，设B点坐标为（a，﹣a），由OB=2，得=2．解得a=2（不符合题意，舍），或a=﹣2，B（﹣2，2）；（2）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣，对称轴是x=1；（3）设AB的解析式为y=kx+b，将A、B点的坐标代入，得，解得，AB的解析式为y=﹣3x﹣4．当y=0时，x=﹣，即F（﹣，0）．AO：y=x，当x=1时，y=1，即C（1，1）；BO：y=﹣x，当x=1时，y=﹣1，即D（1，﹣1）；AB=BC=，AO=OC=．①图1，∠CBD=∠ABD，∠BOF=∠BDC=45°，△BCD∽△BEO时．此时，F与E重合，E（﹣，0）；②图2，设E点坐标为（b，﹣3b﹣4），△BCD∽△BOE时，∵△BCD∽△BFO，∴△BFO∽BOE，=，∴BO2=BF•BE，8=•BE，BE=，=，解得b=﹣，﹣3b﹣4=﹣3×（﹣）﹣4=﹣，∴E（﹣，﹣），综上所述：当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标（﹣，0），（﹣，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用互相垂直的两直线一次项系数的乘积为﹣1得出BO的解析式是解题关键；利用配方法得出对称轴是解题关键；利用相似于同一个三角形的两个三角形相似得出△BFO∽BOE，又利用了相似三角形的性质．25．如图，四边形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ和BP交于点E，且∠BEQ=90°﹣∠BAD，设A、P两点的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点的距离．【考点】相似形综合题．【分析】（1）求∠BEQ的正切值，要把∠BEQ放在直角三角形中进行解决，根据AB=AD=5，CB=CD=8可知，连接四边形ABCD的对角线可得到AC⊥BD，可通过∠BEQ=90°﹣∠BAD和∠ABD=90°﹣∠BAD，可知∠BEQ=∠ABD，通过求∠ABD的正切值来求得∠BEQ的正切值．（2）设AQ与BD交于点F，由（1）中的∠BEQ=∠ABD，AB=AD，CB=CD，得到∠AEP=∠ADF，从而可得△FAB∽△PBD，△APE∽△AFD．先由△FAB∽△PBD中的比例式=用含x的式子表示BF=（5﹣x），DF=BD﹣BF=，再用△APE∽△AFD中的比例式=用含x的式子表示y=（因为点P是在线段AD上移动，所以x的取值范围是0＜x≤5）．（3）由于题中没有说明△AEP中那两条边相等，所以要分情况讨论：①当AE=PE时，y==1 可得x=，可求出OF=1，作QH⊥BD，构造相似三角形，Rt△QHF∽Rt△AOF设BQ=a，用含有a 的式子表示BH=a，QH=a，根据==，可解得BQ=a=9﹣3；②当AP=PE时，易证△PAE∽△ABD，根据==，可得x=﹣，因为不合题意，故此种情况舍去；③当AP=AE 时，易证△AEP∽△ABD，利用==，可得AP=5，此时B、Q重合，即BQ=0．综合这三种情况可以求得B、Q两点间距离为：0或9﹣3．【解答】解：（1）连接BD、AC，交点于点O，（图1）∵AB=AD=5，CB=CD=8∴AC⊥BD，且OB=OD=BD=4∴∠ABD=90°﹣∠BAC=90°﹣∠BAD∴∠BEQ=∠ABD在Rt△ABO中，AB=5，OB=4∴tan∠BEQ=tan∠ABO==（2）设AQ与BD交于点F（图2）∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP∠AFB=∠BFE∴△FBE∽△FAB，△FBE∽△PBD∴△FAB∽△PBD=，即=∴BF=（5﹣x），DF=BD﹣BF=又∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP=∠ADB∠EAP=∠DAF ∴△APE∽△AFD∴y===整理得：y=（0＜x≤5）（3）如图3①当AE=PE时，y==1解得x=∵y===∴DF==5∴OF=DF﹣OD=5﹣4=1作QH⊥BD，∵AO⊥BD，∠ACB=30°∴∠BQH=30°，Rt△QHF∽Rt△AOF设BQ=a，则BH=a，QH=a，则==，即=，解得BQ=a=9﹣3；②当AP=PE时，∠PAE=∠PEA∵∠AEP=∠BEQ=∠ABD=∠ADB∴△PAE∽△ABD又∵BD=BC=CD=8∴==，即=，解得x=﹣（不合题意，舍去）③当AP=AE时，∠AEP=∠APE=∠ABD=∠ADB∴△AEP∽△ABD∴==，即=，解得x=5，即AP=5此时B、Q重合，即BQ=0，综上可知，B、Q两点间距离为：0或9﹣3．【点评】本题考查的知识点有：①通过等量代换的方法把一个角放到直角三角形中求三角函数值的方法；②利用相似三角形的相似比作为等量关系，用含x的式子表示某条线段或线段比；③利用△AEP是等腰三角形，求B、Q两点的距离时，没有说清那两条边相等的情况下要分三种情况考虑问题，然后再根据相等的角或边找到对应的等量关系求x的值．。

2019年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)

2019年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)

2019年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分，满分24分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣34．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞05．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝．8．化简：（）＝．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而（填“增大”或“减小”）．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝厘米．（结果保留根号）12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为米．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（只需填写一个正确的答案）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．参考答案一、选择1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴tan B＝，故A选项成立；cos B＝，故B选项成立；sin A＝，故C选项成立；cot A＝，故D选项不成立；故选：D．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．故选：B．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣3【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象的开口方向可知：a＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：x＝＜0，∴b＜0，故B错误；（C）由图象可知：c＞0，故C正确；（D）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故D正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．5．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝AB．【解答】解：∵AC＝2BC，∴BC＝AB，AC＝AB，∴AC+2BC＝AB，AC﹣2BC＝0，AC+BC＝AB，AC﹣BC＝BC，∴＝，﹣2＝4，||＝||，||＝3||．故选项ABD等式不成立，选项C等式正确．故选：C．【点评】考查了平面向量，掌握平面向量的定义和线段间的数量关系是解题的关键，难度不大．6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得A正确．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝，∴＝．故选：A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝7：5．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵x：y＝2：5，∴设x＝2a，则y＝5a，那么（x+y）：y＝7：5．故答案为：7：5．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．化简：（）＝．【分析】实数的运算法则同样适用于本题．【解答】解：（）＝﹣＝（﹣+）+（1﹣）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【分析】若求抛物线与y轴的交点坐标，只需令x＝0求得y值即可．【解答】解：令x＝0，y＝2，则抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令x＝0或y＝0即可．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，∴该函数的开口向下，顶点坐标为（0，﹣3），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝2﹣2厘米．（结果保留根号）【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝10．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而分析得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，解得：BC＝10．故答案为10．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的面积比为4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝2．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，可设BC＝a，AC＝3a，再根据勾股定理列方程求解，即可得到BC的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【分析】已知斜坡的坡比就是告诉了两直角边的关系，设最高点离地面的高度为x，由勾股定理建立方程，解方程即可．【解答】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是∠B＝∠E（答案不唯一）（只需填写一个正确的答案）．【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，需要添加的条件是∠B＝∠E（答案不唯一），故答案为：∠B＝∠E．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．【分析】将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，由旋转的性质可得AF ＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，即可证△FCD≌△ECD，可得DE＝DF，根据勾股定理可求DE的长度．【解答】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，∵AD＝2，∴BD＝6＝DE+BE，∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF∴△AFC≌△BEC∴AF＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠A BC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，∴∠F AD＝90°∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝BC，CD＝CD，∴△FCD≌△ECD（SAS）∴DE＝DF，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴DE2＝4+（6﹣DE）2，∴DE＝故答案为【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE ∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．【解答】解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，由折叠可得，CD垂直平分BE，∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∴AD＝BD，∴D是AB的中点，∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，∵DG⊥BC，∴BG＝1.5，∴Rt△BDG中，DG＝2，∵BC×DG＝CD×BF，∴BF＝＝，∴BE＝2BF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标和对称轴【解答】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3），∴，解得，∴所求函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝﹣+；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝+，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【分析】（1）根据三角形法则计算即可．（2）根据三角形法则以及平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵＝，BE＝2AE，∴＝，∵＝+＝﹣+．故答案为﹣+．（2）∵＝+＝+，AF＝AC，∴＝+，∵＝+＝﹣++＝+．向量在向量和方向上的分向量分别为：，（如图所示）故答案为＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝＝，求得DE＝2，推出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF＝BC＝6，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到∠B＝∠F，根据勾股定理得到AB＝＝＝10，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，又∵BC＝6，∴DE＝2，∵DF∥BC，CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC＝6，∴EF＝DF﹣DE＝4；（2）∵四边形BCFD是平行四边形，∴∠B＝∠F，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，利用勾股定理，得AB＝＝＝10，∴sin B＝＝＝，∴sin∠CFE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°＝．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH＝，即得tan32°＝，解得：x＝≈32.99∴塔高AB约为32.99米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【分析】（1）利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明；（2）由△EDF∽△ADC，推出＝（）2＝，推出＝，即ED＝AD，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D的坐标，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，由点B，D的坐标可得出CD，BC的长度，结合余切的定义可求出∠BDO的余切值；（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，结合∠P AO＝∠BAO可得出m ﹣2n＝5①，由BC⊥x轴，PQ⊥x轴可得出BC∥PQ，进而可得出4m＝﹣3n②，联立①②可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠∠BAC＝＝＝2．∵∠P AO＝∠BAO，∴cot∠P AO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．【分析】（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；（3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ． ∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝5，BC ＝15，∴BM ＝，在Rt △ABM 中，∠AMB ＝90°，∴． ∴AB ＝13．（2）∵， ∴．即得 ， ∵∠AFD ＝∠BEC ，∠ADF ＝∠C ．∴△ADF ∽△BCE ．∴，又∵CE ＝x ，FD ＝x ，AB ＝CD ＝13．即得 FC ＝． ∵AD ∥BC ，∴．∴．∴．∴所求函数的解析式为，函数定义域为．（3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得．∴． ∵，∴S 四边形ABEF ＝80．设S △ADF ＝S ．由△ADF ∽△BCE ，，得 S △AEC ＝9S ．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 S 四边形ABCD ﹣S 四边形ABEF ＝8S ＝40．∴S ＝5．∴S △AEC ＝9S ＝45．∴．∴EH ＝6．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH ∥DN ． ∴．又 CD ＝AB ＝13，∴，（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 S 四边形ABCD +S 四边形ABEF +S △AEF ＝9S ． ∴8S ＝200．解得 S ＝25．∴S △BEC ＝9S ＝225．∴．解得 EH ＝30．∴． ∴， ∴． 【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．。

2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷-含详细解析

2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷-含详细解析

2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷副标题题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）A. y =2x +1B. y =(x −1)2−x 2C. y =1−x 2D.y =1x 22. 已知抛物线y =x 2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）A. y =(x +2)2+3B. y =(x −2)2+3C. y =x 2+1D. y =x 2+5 3. 已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，那么AB 的长为（ ）A. 5sinAB. 5cosAC. 5sinAD. 5cosA4. 如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD =2CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ）A. AD =a ⃗ +b ⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +23b ⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −23b ⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ⃗ 5. 如果点D 、E 分别在△ABC 中的边AB 和AC 上，那么不能判定DE ∥BC 的比例式是（ ）A. AD ：DB =AE ：ECB. DE ：BC =AD ：ABC. BD ：AB =CE ：ACD. AB ：AC =AD ：AE6. 已知点C 在线段AB 上（点C 与点A 、B 不重合），过点A 、B 的圆记作为圆O 1，过点B 、C 的圆记作为圆O 2，过点C 、A 的圆记作为圆O 3，则下列说法中正确的是（ ）A. 圆O 1可以经过点CB. 点C 可以在圆O 1的内部C. 点A 可以在圆O 2的内部D. 点B 可以在圆O 3的内部 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 如果抛物线y =（k -2）x 2+k 的开口向上，那么k 的取值范围是______． 8. 抛物线y =x 2+2x 与y 轴的交点坐标是______．9. 二次函数y =x 2+4x +a 图象上的最低点的横坐标为______． 10. 如果3a =4b （a 、b 都不等于零），那么a+b b=______．11. 已知P 是线段AB 的黄金分割点，AB =6cm ，AP ＞BP ，那么AP =______cm ．12. 如果向量a ⃗ 、b ⃗ 、x ⃗ 满足关系式2a ⃗ -（x ⃗ -3b ⃗ ）=4b ⃗ ，那么x ⃗ =______（用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示）．13. 如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为4、5、6，△DEF 的最短边长为12，那么△DEF 的周长等于______．14. 在等腰△ABC 中，AB =AC =4，BC =6，那么cos B 的值=______．15. 小杰在楼下点A 处看到楼上点B 处的小明的仰角是42度，那么点B 处的小明看点A 处的小杰的俯角等于______度．16. 如图，在圆O 中，AB 是弦，点C 是劣弧AB 的中点，连接OC ，AB 平分OC ，连接OA 、OB ，那么∠AOB=______度．17.已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于______厘米．18.在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在边BC、AC上，AC=3AE，∠CDE=45°（如图），△DCE沿直线DE翻折，翻折后的点C落在△ABC内部的点F，直线AF与边BC相交于点G，如果BG=AE，那么tan B=______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.计算：2|1-sin60°|+tan45°．cot30∘−2cos45∘20.已知抛物线y=x2+bx-3经过点A（1，0），顶点为点M．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求∠OAM的正弦值．四、解答题（本大题共5小题，共56.0分）21.某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i=1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC=13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）22.如图，在圆O中，弦AB=8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．23.如图6，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD=BC•AE．（1）求证：∠BAC=∠AED；（2）在边AC取一点F，如果∠AFE=∠D，求证：ADBC =AF AC．24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE=45°，求点E的坐标．25.在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边AD上一点，EM⊥BC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：∠ANE=∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN 的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y=（x-1）2-x2，是一次函数，故此选项错误；C、y=1-x2，是二次函数，符合题意；D、y=，是反比例函数，不合题意．故选：C．直接利用一次函数以及二次函数的定义分别分析得出答案．此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+3向左平移2个单位所得直线的解析式为：y=（x+2）2+3；故选：A．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，∴sinA==，∴AB=，故选：C．依据Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，可得sinA=，即可得到AB的长的表达式．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．4.【答案】D【解析】解：∵BD=2CD，∴BD=BC．∵=，∴=．又=，∴=+=+．故选：D．由BD=2CD，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值．此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用．5.【答案】B【解析】解：当AD：DB=AE：EC时，DE∥BC；当BD：AB=CE：AC时，DE∥BC；当AB：AC=AD：AE时，则AD：AB=AE：AC，所以DE∥BC．故选：B．根据平行线分线段成比例定理的逆定理对各选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.【答案】B【解析】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．根据已知条件对个选项进行判断即可．本题考查了圆的认识，根据已知条件正确的作出判断是解题的关键．7.【答案】k＞2【解析】解：由题意可知：k-2＞0，∴k＞2，故答案为：k＞2．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8.【答案】（0，0）【解析】解：当x=0时，y=x2+2x=0，所以抛物线y=x2+2x与y轴的交点坐标为（0，0）．故答案为（0，0）．计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．9.【答案】-2【解析】解：∵二次函数y=x2+4x+a=（x+2）2-4+a，∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：-2．故答案为：-2．直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．10.【答案】73【解析】解：∵3a=4b（a、b都不等于零），∴设a=4x，则b=3x，那么==．故答案为：．直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．11.【答案】3（√5-1）【解析】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB，而AB=6cm，∴AP=6×=3（-1）cm．故答案为3（-1）．根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=6cm代入计算即可．本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．12.【答案】2a⃗-b⃗【解析】解：2-（-3）=42-+3-4=02--=0=2-故答案是：2-．根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．13.【答案】45【解析】解：设△DEF的周长别为x，△ABC的三边长分别为4、5、6，∴△ABC的周长=4+5+6=15，∵△ABC∽△DEF，∴=，解得，x=45，故答案为：45．根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．14.【答案】34【解析】解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB=AC=4，BC=6，∴BD=BC=3，在Rt△ABD中，cosB==．故答案为．作AD⊥BC于D点，根据等腰三角形的性质得到BD=BC=3，然后根据余弦的定义求解．本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．15.【答案】42【解析】解：由题意可得，∠BAO=42°，∵BC∥AD，∴∠BAO=∠ABC，∴∠ABC=42°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，故答案为：42．根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B处的小明看点A处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.【答案】120【解析】解：连接AC．∵=，∴OC⊥AB，∠AOC=∠BOC，∵AB平分OC，∴AB是线段OC的垂直平分线，∴AO=AC，∵OA=OC，∴OA=OC=AC，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°．故答案为120．连接AC．证明△AOC是等边三角形即可解决问题．本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】3【解析】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d=R-r=5-2=3cm，故答案为：3．由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．18.【答案】37【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，∠CDE=45°，∴∠DEC=45°∵AC=3AE∴设AE=k=BG，AC=3k，（k≠0）∴EC=2k，∵折叠∴EF=EC=2k，∠FED=∠DEC=45°∴∠FEC=90°，且∠ACB=90°∴EF∥BC∴△AEF∽△ACG∴∴GC=3EF=6k，∴BC=BG+GC=7k，∴tanB==故答案为：设AE=k=BG，AC=3k，（k≠0），可得EC=2k，由折叠的性质可得EF=EC=2k，∠FED=∠DEC=45°，根据相似三角形的性质可得，即GC=3EF=6k，则可求tanB的值．本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用折叠的性质是本题的关键．19.【答案】解：2|1-sin60°|+tan45°cot30∘−2cos45∘=2（1-√32）+√3−2×√22 =2-√3+√3−√2 =2-√3+√3+√2=2+√2．【解析】先代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．20.【答案】解：（1）由题意，得1+b -3=0，解这个方程，得，b =2，所以，这个抛物线的表达式是y =x 2+2x -3，所以y =（x +1）2-4，则顶点M 的坐标为（-1，-4）；（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x =-1，设直线x =1与x 轴的交点为点B ，则点B 的坐标为（-1，0），且∠MBA =90°，在Rt △ABM 中，MB =4，AB =2，由勾股定理得：AM 2=MB 2+AB 2=16+4=20，即AM =2√5，所以sin ∠OAM =MB AM =2√55． 【解析】（1）把A 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x 轴的交点B 坐标，根据题意得到三角形AMB 为直角三角形，由MB 与AB 的长，利用勾股定理求出AM 的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21.【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC=90°，i=1：2.4，在Rt△ABC中，i=ABBC =512，设AB=5x，则BC=12x，∴AB2+BC2=AC2，∴AC=13x，∵AC=13，∴x=1，∴AB=5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC=12，在Rt△ABD中，cot∠ADC=DBAB，∵∠ADC=13°，AB=5，∴DB=5cot13°≈21.655（m），∴DC=DB-BC=21.655-12=9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【解析】（1）根据坡度的概念，设AB=5x，则BC=12x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22.【答案】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD=DC，同理：CE=EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB，∵AB=8，∴DE=4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH=3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH=BH=12AB，∵AB=8，∴AH=4，在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，∴AO=5，即圆O的半径为5．【解析】（1）由OD⊥AC知AD=DC，同理得出CE=EB，从而知DE=AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH=3，AH=4，利用勾股定理可得答案．本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．23.【答案】证明（1）∵AD∥BC，∴∠B=∠DAE，∵AB-AD=BC-AE，∴AB AE =BC AD，∴△CBA∽△DAE，∴∠BAC=∠AED．（2）由（1）得△DAE∽△CBA∴∠D=∠C，ADBC =DE AC，∵∠AFE=∠D，∴∠AFE=∠C，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD，∵∠BAC=∠AED，∴DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE=AF，∴AD BC =AF AC．【解析】（1）欲证明∠BAC=∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；（2）由△DAE∽△CBA，可得=，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE=AF，即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）将A （4，0），B （2，2）代入y =ax 2+bx +2，得：{4a +2b +2=216a+4b+2=0， 解得：{a =−14b =12， ∴抛物线的表达式为y =-14x 2+12x +2．（2）∵y =-14x 2+12x +2=-14（x -1）2+94，∴顶点M 的坐标为（1，94）．当x =0时，y =-14x 2+12x +2=2，∴点C 的坐标为（0，2）．过点M 作MH ⊥y 轴，垂足为点H ，如图1所示．∴S △AMC =S 梯形AOHM -S △AOC -S △CHM ，=12（HM +AO ）•OH -12AO •OC -12CH •MH ，=12×（1+4）×94-12×4×2-12×（94-2）×1， =32． （3）连接OB ，过点B 作BG ⊥x 轴，垂足为点G ，如图2所示．∵点B 的坐标为（2，2），点A 的坐标为（4，0），∴BG =2，GA =2，∴△BGA 是等腰直角三角形，∴∠BAO =45°．同理，可得：∠BOA =45°．∵点C 的坐标为（2，0），∴BC =2，OC =2，∴△OCB 是等腰直角三角形，∴∠DBO =45°，BO =2√2，∴∠BAO =∠DBO ．∵∠DOE =45°，∴∠DOB +∠BOE =45°．∵∠BOE +∠EOA =45°，∴∠EOA =∠DOB ，∴△AOE ∽△BOD ，∴AE BD =AO BO ．∵抛物线y =-14x 2+12x +2的对称轴是直线x =1，∴点D 的坐标为（1，2），∴BD=1，∴AE1=2√2，∴AE=√2，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，∴EF=AF=1，∴点E的坐标为（3，1）．【解析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，利用分割图形求面积法可得出△AMC的面积；（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，则△BGA，△OCB是等腰直角三角形，进而可得出∠BAO=∠DBO，由∠DOB+∠BOE=45°，∠BOE+∠EOA=45°可得出∠EOA=∠DOB，进而可证出△AOE∽△BOD，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线x=1可求出AE的长，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出AF、EF的长，进而可得出点E的坐标．本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出△AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度．25.【答案】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴AM AE =AE AN，∵∠A=∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM =∠ANE ，∵∠D =90°，∴∠DCE +∠DEC =90°，∵EM ⊥BC ，∴∠AEM +∠DEC =90°，∴∠AEM =∠DCE ，∴∠ANE =∠DCE ；（2）∵AC 与NE 互相垂直，∴∠EAC +∠AEN =90°，∵∠BAC =90°，∴∠ANE +∠AEN =90°，∴∠ANE =∠EAC ，由（1）得∠ANE =∠DCE ，∴∠DCE =∠EAC ，∴tan ∠DCE =tan ∠DAC ，∴DE DC =DC AD ，∵DC =AB =6，AD =8，∴DE =92，∴AE =8-92=72，由（1）得∠AEM =∠DCE ，∴tan ∠AEM =tan ∠DCE ，∴AM AE =DE DC ，∴AM =218，∵AM AE =AE AN ，∴AN =143，∴MN =4924；（3）∵∠NME =∠MAE +∠AEM ，∠AEC =∠D +∠DCE ，又∠MAE =∠D =90°，由（1）得∠AEM =∠DCE ，∴∠AEC =∠NME ，当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM=∠EAC，如图2，∴∠ANE=∠EAC，由（2）得：DE=92；②∠ENM=∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE=∠DCE，∴∠ECA=∠DCE，∴HE=DE，又tan∠HAE=HEAH =DCAD=68，设DE=3x，则HE=3x，AH=4x，AE=5x，又AE+DE=AD，∴5x+3x=8，解得x=1，∴DE=3x=3，综上所述，DE的长分别为92或3．【解析】（1）由比例中项知=，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM=∠ANE，再证∠AEM=∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE=∠EAC，结合∠ANE=∠DCE得∠DCE=∠EAC，从而知=，据此求得AE=8-=，由（1）得∠AEM=∠DCE，据此知=，求得AM=，由=求得MN=；（3）分∠ENM=∠EAC和∠ENM=∠ECA两种情况分别求解可得．本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．。

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（1）求抛物线 y x2 bx c 的解析式． （2）判断以点 N 为圆心，半径长为 4 的圆与直线 l2 的位置关系，并说明理由． （3）设点 F 、H 在直线 l1 上（点 H 在点 F 的下方），当 MHF 与 OAB 相似时，求点 F 、 H 的坐标（直接写出结果）．
12. （2019•宝山区一模）如图，已知：二次函数 y x2 bx 的图象交 x 轴正半轴于点 A ，
上海初中数学一模-2019 年-24 题分题合集
1. （2019•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴相交于原点 O 和点 B(4, 0) ，点 A(3, m) 在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求 tan OAB 的值．
NC
10. （2019•崇明区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ax2 bx 6(a 、b 都是常数，且 a 0) 的图象与 x 轴交于点 A(2,0) 、 B(6, 0) ，顶点为点 C ．
（1）求这个二次函数的解析式及点 C 的坐标； （2）过点 B 的直线 y 1 x 3 交抛物线的对称轴于点 D ，联结 BC ，求 CBD 的余切
2 值； （3）点 P 为抛物线上一个动点，当 PBA CBD 时，求点 P 的坐标．
11. （2019•金山区一模）已知抛物线 y x2 bx c 经过点 A(0, 6) ，点 B(1,3) ，直线 l1 : y kx(k 0) ，直线 l2 : y x 2 ，直线 l1 经过抛物线 y x2 bx c 的顶点 P ，且 l1 与 l2 相交于点 C ，直线 l2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ．若把抛物线上下平移，使 抛物线的顶点在直线 l2 上（此时抛物线的顶点记为 M ) ，再把抛物线左右平移，使抛物 线的顶点在直线 l1 上（此时抛物线的顶点记为 N ) ．
（1）求该抛物线的表达式； （2）联结 AM ，求 SAOM ； （3）将抛物线 C1 向上平移得到抛物线 C2 ，抛物线 C2 与 x 轴分别交于点 E 、F （点 E 在 点 F 的左侧），如果 MBF 与 AOM 相似，求所有符合条件的抛物线 C2 的表达式．
14. （2019•黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴交
顶点为 P ，一次函数 y 1 x 3 的图象交 x 轴于点 B ，交 y 轴于点 C ，OCA 的正切值 2
为2 ． 3
（1）求二次函数的解析式与顶点 P 坐标； （2）将二次函数图象向下平移 m 个单位，设平移后抛物线顶点为 P ，若 Δ ' = Δ '， 求 m 的值．
13. （2019•徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线 C1 : y ax2 bx(a 0) 经过点 A 和 x 轴上的点 B ， AO OB 2 ， AOB 120 ．
5. （2019•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与抛物线 y ax2 bx 交 于点 A(6, 0) 和点 B(1, 5) ．
（1）求这条抛物线的表达式和直线 AB 的表达式； （2）如果点 C 在直线 AB 上，且 BOC 的正切值是 3 ，求点 C 的坐标．
2
4. （2019•静安区一模）在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的图象经过点 B (4,0) 、D (5,3) ，设它与 x 轴的另一个交点为 A （点 A 在点 B 的左侧），且 ABD 的面积是 3．
（1）求该抛物线的表达式； （2）求 ADB 的正切值； （3）若抛物线与 y 轴交于点 C ，直线 CD 交 x 轴于点 E ，点 P 在射线 AD 上，当 APE 与 ABD 相似时，求点 P 的坐标．
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9. （2019•长宁区一模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点 O 、点 B(1,3) ，又与 x 轴正半轴相交于点 A ， BAO 45 ，点 P 是线段 AB 上的一点，过点 P 作 PM / /OB ， 与抛物线交于点 M ，且点 M 在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式； （2）若 BMP AOB ，求点 P 的坐标； （3）过点 M 作 MC x 轴，分别交直线 AB 、x 轴于点 N 、C ，若 ANC 的面积等于 PMN 的面积的 2 倍，求 MN 的值．
于点 A ，与 y 轴相交于点 B ，抛物线 y ax2 4ax 4 经过点 A 和点 B ，并与 x 轴相交 于另一点 C ，对称轴与 x 轴相交于点 D ． （1）求抛物线的表达式； （2）求证： BOD∽AOB ； （3）如果点 P 在线段 AB 上，且 BCP DBO ，求点 P 的坐标．
2. （2019•闵行区一模）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx 经过点 A(5, 0) 、 B(3, 4) ，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 D ．
（1）求抛物线的表达式； （2）联结 OB 、 BD ．求 BDO 的余切值； （3）如果点 P 在线段 BO 的延长线上，且 PAO BAO ，求点 P 的坐标．
16. （2019•松江区一模）如图，抛物线 y 1 x2 bx c 经过点 A(2,0) ，点 B(0, 4) ． 2
（1）求这条抛物线的表达式； （2） P 是抛物线对称轴上的点，联结 AB 、 PB ，如果 PBO BAO ，求点 P 的坐标； （3）将抛物线沿 y 轴向下平移 m 个单位，所得新抛物线与 y 轴交于点 D ，过点 D 作 DE / / x 轴交新抛物线于点 E ，射线 EO 交新抛物线于点 F ，如果 EO 2OF ，求 m 的值．
7. （2019•杨浦区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 y 轴交 于点 C(0, 2) ，它的顶点为 D(1, m) ，且 tan COD 1 ． 3
（1）求 m 的值及抛物线的表达式； （2）将此抛物线向上平移后与 x 轴正半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，且 OA OB ．若点 A 是由原抛物线上的点 E 平移所得，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 P 是抛物线对称轴上的一点（位于 x 轴上方），且 APB 45 ．求 P 点的坐标．
6. （2019•嘉定区一模）在平面直角坐标系 xOy （如图）中，抛物线 y ax2 bx 2 经过 点 A(4, 0) 、 B(2, 2) ，与 y 轴的交点为 C ．
（1）试求这个抛物线的表达式； （2）如果这个抛物线的顶点为 M ，求 AMC 的面积； （3）如果这个抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D ，点 E 在线段 AB 上，且 DOE 45 ， 求点 E 的坐标．
3. （2019•青浦区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y x2 平移后经过点 A(1, 0) 、 B(4, 0) ，且平移后的抛物线与 y 轴交于点 C （如图）．
（1）求平移后的抛物线的表达式； （2）如果点 D 在线段 CB 上，且 CD 2 ，求 CAD 的正弦值； （3）点 E 在 y 轴上且位于点 C 的上方，点 P 在直线 BC 上，点 Q 在平移后的抛物线上， 如果四边形 ECPQ 是菱形，求点 Q 的坐标．
于 A(1, 0) 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点为点 D ， 对称轴为直线 x 1 ，交 x 轴于点 E ， tan BDE 1 ．
2 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 P 是对称轴上一点，且 DCP BDE ，求点 P 的坐标．
15. （2019•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 1 x b 与 x 轴相交 2
8. （2019•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx 3(a 0) 与 x 轴交于点 A(1, 0) 和点 B ，且 OB 3OA ，与 y 轴交于点 C ，此抛物线顶点为点 D ．
（1）求抛物线的表达式及点 D 的坐标； （2）如果点 E 是 y 轴上的一点（点 E 与点 C 不重合），当 BE DE 时，求点 E 的坐标； （3）如果点 F 是抛物线上的一点．且 FBD 135 ，求点 F 的坐标．
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