第六章扭转与弯曲的强度计算
第4节 圆轴扭转时的强度计算
55 . 5 MPa [ ]
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第四节
一、强度条件
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时 的强度条件
max
T WP
[ ]
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0 . 8 10 63 . 7 a [ ] AB段： max WP 3 ( 40 10 ) 16 d 45 0 . 818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 1 10 max Pa WP 3 3 4 ( 55 10 ) (1 0 . 818 ) 16
第六章 扭转
第六章 扭转\扭矩与扭矩图 3）绘出扭矩图如图所示。
350 ＋
－ 223
573 T图(单位：N ·m)
由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各横截面上,其值为
T 573N m max
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
6.3.1 圆轴的扭转试验
1. 扭转试验现象与分析 图（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线， 形成矩形网格。扭转变形后[图（b）]，在弹性范围内，可以观察到 以下现象：
点G的纵向线EG的倾斜角为， 即为E点处的切应变。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
令G点到轴线的距离为，由几何关系知
tan
GG EG
d
dx
由于在同一横截面处 d 为一个常量，因此上式表明，横截
dx
面上任一点处的切应变与该点到圆心的距离成正比。这就是变形
1）各纵向线都倾斜了一个微小的角度，矩形网格变成了平行
四边形。 2）各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转
动了不同的角度。
目录
第六章 扭转\圆轴扭转时的应力与强度计算
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断： ① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆 轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴 线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。 ② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了 相对转动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于 半径。
上式就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。切 应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致。
工程力学弯扭组合
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
扭转时的强度计算.
一、强度计算
1 强度条件： 塑性材料： 脆性材料：
Mn max WP 0.5 0.6
0.8 1.0
2 强度计算的三个方面： a、强度校核 b、截面选择 c、许可荷载确定
• 例1
• • • •
Wp
D3
1 16
4
d 90 2 2.5 0.944 D 90
4 3
•将
得
Wp
903
16
1 0.944 29400m m ，代入上式，
Mn 1.5 103 51MPa 60MPa max 9 Wp 2940010
• 所以 该轴满足强度条件。如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5 ，
Mn
KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。 由平衡条件，得 （2） 校核强度 由公式 max
• 解：（1 ）计算扭矩
M n m 2.5KN .m
Mn ，得 WP
M n M n 2.5 103 16 max 2 59MPa 60MPa 2 W p d 6 10 16
•
所以，满足强度要求。
• 例2 如图为某汽车传动轴简图，传递的最大力矩m=1.5KN.m,
• • 轴为无缝钢管，外径D=90mm，厚T=2.5mm,已知许用剪应 力 60MPa ，试校核该轴的强度。
解：1. 求扭矩Mn. 取脱离体如图(b).
M n 1.5kN.m 由平衡条件 M x 0 得： Mn •2. 强度校核 由公式 max W p •式中 Wp 是空心圆截面的抗扭截面模量
弯曲与扭转组合变形的强度计算.
外力偶矩的大小为
10 M C M D 9550 N m 360 .38N m 265
则
Ft1
2M D
Fr1 Ft1 tan 1820 N tan20 662N
Fr 2 Ft 2 tan 4290 N tan20 1561 N
MC =(FT+Ft)D/2
FT+Fd=(8+4)kN=12kN M=(FT-Fd)D/2
c)
T=(FT-Ft)D/2
=(8-4)×0.5/2kN· m=1kN· m
FT+Fd与A、B处的约束力使轴产生
弯曲变形，附加力偶M与联轴器上的 外力偶使轴产生扭转变形，因此，轴
d) 图8-4
AB发生弯扭组合变形。
(2)作内力图 如图所示，轴在两相互垂直的平面内同时受到力的作用， 所以在两个平面内都会发生弯曲变形，同时也可以作出两个相
D2
2 360.38103 N 1820 N 396
2M D 2 360.38103 Ft 2 N 4290 N D2 168
Myz Mxy
133N· m
M max Mn max 和 max Wz Wn
式中，Mmax为危险截面上的弯矩；Mn为危险截面上的扭矩；Wz 为抗弯截面系数；Wn为抗扭截面系数。 第三、第四强度理论的强度条件分别为
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
第二节 弯曲与扭转组合变形的强度计算
一、弯曲与扭转组合变形的概念
Y A
C
F
Z
B x
a)
Y
A MA F Z
l
B
第六章 组合变形学习指导
第六章组合变形一．内容•组合变形的概念和危险点的应力状态。
•用叠加法计算拉伸(压缩)与弯曲组合、偏心拉压、斜弯曲的应力，用平面应力分析理论计算弯扭组合的应力。
•实验内容：弯扭组合梁电测实验，复杂应力状态下应力测试技术。
二．学习目标学完本章后，学生能够：•掌握组合变形的一般求解方法。
•熟练掌握拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、偏心拉压、扭转与弯曲组合变形的概念和强度计算。
•了解截面核心概念和计算。
•学会弯扭组合梁的电测实验操作步骤。
三．重点和难点重点：采用叠加原理和平面应力分析理论计算拉（压）弯组合、斜弯曲、弯扭组合的最大应力，并进行强度校核。
难点：杆件组合变形下危险截面和危险点的确定；拉伸（压缩）和弯曲、和扭转组合时的强度校核。
四．学习建议1.无论何种形式的组合变形，首先将几组载荷分解成若干基本载荷，分别计算各基本载荷引起杆件横截面上的应力，然后进行叠加，当应力平行时，则求其代数和，否则（如正应力和切应力）将根据平面应力分析计算截面最大应力。
分析和求解组合变形习题的关键是分与合。
分，就是将同时作用的几组载荷分解成若干基本载荷，并分别计算杆件的应力。
合，则是将各基本变形引起的应力叠加起来，但不是简单的代数相加，而应是同一截面正应力或切应力矢量和，当应力平行时，则应是求其代数和，故应注意应力的方向。
这种分析方法适用于各种基本变形的组合变形，在学习时应注意分析方法和步骤，具体问题具体分析，不必强记一些计算公式。
在使用时要注意条件，如扭弯组合变形的强度条件适用于圆截面轴，虽然对非圆截面轴公式不再适用，但分析方法仍然与圆截面轴相同。
2.处理组合变形问题的方法，学习时应着意领会方法的实质，而不要只是记住有关的公式，因为组合变形问题是多种多样的，但处理原则是一致的。
如圆截面杆除承受弯扭组合变形外，同时还承受轴向拉（压）变形，按照以上处理原则，可以写出其强度条件为3.组合变形下，若危险点处为单向应力状态时，叠加只是一种代数运算；若危险点处为复杂应力状态时，叠加将是应力状态的叠加，其强度问题应使用适当的强度理论。
《汽车机械基础》第六章直梁的弯曲
灌南中专教师授课教案2018 /2019 学年第一学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.圆轴扭转的概念。
2.圆轴扭转的外力偶矩、扭矩的计算方法。
3.圆轴扭转的强度计算方法。
讲授新课：第六章材料力学基础第5节直梁的弯曲一、平面弯曲的概念1. 平面弯曲在工程实际中，把发生弯曲变形为主的构件称为梁，如跨江大桥两桥墩之间的横梁、汽车前梁等。
梁在自重和载荷的作用下会产生平面弯曲变形。
梁弯曲变形的受力特点：外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用。
变形的特点：轴线在纵向对称平面内由直线弯曲成曲线。
2. 梁的基本类型根据支座对梁的约束，将梁简化为三种基本形式。
（1）简支梁梁的两端均用铰链支座约束，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6-26a所示。
（2）外伸梁简支梁的一端（或两端）伸出支座以外，如图6-26b所示。
（3）悬臂梁梁的一端为固定支座，另一端为自由端，如图6-26c所示。
3.载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为以下三种形式。
（1）集中力集中力是将作用于梁上方的长度很短的力简化为作用于一点的力，单位为N或kN。
（2）集中力偶矩集中力偶矩是将作用于梁上方的长度很短的力偶矩简化为作用于某一截面的集中力偶矩，单位为N·m或kN·m。
（3）分布载荷分布载荷是指沿梁的长度或部分长度连续均匀分布的载荷，称为分布载荷。
单位长度上的力用q表示，称集度载荷，单位为N/m或kN/m。
二、梁弯曲变形的内力1.用截面法求梁的内力为了计算梁的强度，必须研究梁上各截面上的内力，分析内力和计算内力的方法仍旧采用截面法。
例6-8剪力和弯矩的大小、方向或转向的确定原则如下：（1）截面上剪力的大小等于此截面以左（或右）所有外力的代数和。
截面左侧的外力，向上取正号，向下取负号。
截面右侧的外力与此相反。
（2）截面上弯矩的大小等于此截面以左（或右）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
截面左侧的外力对截面形心的力矩顺时针转向为正，反之为负。
扭转强度计算公式
扭转强度计算公式
扭转强度是指材料可以承受持续转变外力的能力，它也是衡量材料结构强度的一个重要指标。
由于它对于确定材料性能及其结构安全性起着重要作用，因此了解扭转强度和计算其值非常重要。
扭转强度的计算可以通过以下公式来实现：T=F * r / J，其中T为扭转强度，F为外力，r为外力的作用半径，J为扭转截面积矩，即材料主轴线上的横截面积。
通过上述公式可以看出，要计算扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J的大小。
外力F是指作用在材料上的外力，可以通过实验来确定。
而扭转截面积矩J是指材料的横截面积，可以通过实验或理论计算来确定。
在实际应用中，扭转强度的计算还受到水平和垂直外力的影响，因此，在计算扭转强度时，必须考虑外力的方向和强度。
在计算扭转强度时还要考虑材料的尺寸、形状和结构，以及外力的作用点。
这些因素都会影响材料的扭转强度，因此，在计算扭转强度时，必须将这些因素考虑在内。
要计算材料扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J，还要考虑材料尺寸、形状和结构以及外力方向和强度等因素。
通过恰当的计算，可以准确地测量出材料的扭转强度，从而为结构的安全性
提供可靠的参考。
第六章 扭转
2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；
3、比较实心轴和空心轴的重量。
解：1、校核轴的强度
符轴
α = D − 2t = 90 − 2× 2.5 ≈ 0.944
合的
D
90
WP
=
π D3
16
(1−α 4 )
=
π
16
× 903
× (1−
0.9444 )
≈
29400mm4
要 求
强 度
[ ] τ max
Wp
=
Ip
D
2
⎜⎛α = d ⎟⎞
⎝ D⎠
( ) = πD3 1 − α 4 16
∫ 3、薄壁圆环截面
Ip =
ρ 2dA
A
D = 2r0 + δ
δ
d = 2r0 − δ
τ
r0
I p ≈ 2πr03δ
d D
Wp ≈ 2πr02δ
dρ
τ
ρ
δ
dρ
τ
τ
ρ
r0
d
I
p
=
πd 4
32
Wp
=
πd 3
16
d D
( ) I p
A
∫
A
ρGρ
dϕ
dx
dA
=
T
G
dϕ
dx
∫
ρ 2dA
=
T
A
∫ 令I p = ρ 2dA
A
τ ρdA ρ dA
o
∫ I p = ρ 2dA 极 惯 性 矩
A
则 dϕ = T
dx GI p
dϕ = T
dx G I p
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
弯曲与扭转组合变形的强度计算_工程力学_[共6页]
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σ1
σ+ 2
σ 2
2
+τ
2
，，
σ2
=
0
σ3
=
σ 2
−
σ 2
2
+τ2
对于塑性材料，通常选第三或第四强度理论，强度条件分别为
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤≤[σ≤] , σ r4 σ 2 + 3τ 2 [σ ]
（10.6）
将式（a）代入式（10.6）并注意到 Wp=2Wz，得到圆杆弯扭组合变形以内力表示的强度条件
= σ eq3
M 2 + = MT2 Wz
7.62 + 62 × 106 =
50.5 MPa <= [σ ]
80 MPa
π × 1253
32
计算结果表明轴 OA 的强度是足够的。
162
− 1125 × 103 1003 / 6
=6.99 MPa < [σ ]
故梁是安全的。
10.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算
弯曲与扭转组合变形在机械工程中是很常见的，例如皮带轮传动轴、齿轮轴、曲柄轴等轴
类构件，在传递扭矩的同时往往还发生弯曲变形。
如图 10-5（a）所示水平直角曲拐，AB 段为圆杆，受集中力 F 作用。将 F 向 AB 杆的 B 端
σr3
= 1 M 2 + M Wz
2 n
≤≤[σ
]
,
σr4
= 1 M 2 + 0.75 Wz
M
2 n
[σ ]
（10.7）
工程中除了弯扭组合的杆件外，还有拉（压）与扭转的组合，或者拉压、弯曲与扭转的组 合变形，运用相同的分析方法，仍可用式（10.6）进行强度计算。
扭转的强度计算—例题分析
扭转的强度条件—例题分析例题1-1 一电机传动钢轴，直径d = 40mm ，轴传递的功率30kW ，转速n = 1400r/min 。
轴的许用切应力[]τ= 40MPa ，试校核此轴的强度。
解：（1）计算扭力偶矩和扭矩。
扭力偶距为x m = 9550n P = 9550140030⨯= 204×103 （N ·mm ） 由截面法求得轴横截面上的扭矩为：320410(N mm)x T m ==⨯⋅(2) 强度校核。
轴的抗扭截面系数为 334320 1.25510(mm )22R W ρππ⨯===⨯3maxmax 42041016.3(MPa)1.25510T W ρτ⨯==⨯ 因为 max []40(MPa)ττ<=轴满足扭转强度条件。
例题1-2 如图所示为汽车传动轴简图，轴选用无缝钢管，其外半径45mm R =，内半径42.5mm r =。
许用剪应力[]τ=60MPa ，根据强度条件，求轴能承受的最大扭矩。
例题1-2图解：按强度条件确定最大扭矩。
42.50.94445r R α=== 3344345(1)(10.944)29400(mm )22R W ρππα⨯=-=-=由强度条件得3max []6029400176410(N mm)1764(N m)T W ρτ≤=⨯=⨯⋅=⋅轴能承受的最大扭矩为1764N m ⋅。
例题1-3 某传动轴，轴内的最大扭矩max 1.5kN m T =⋅，若许用切应力[]τ=50MPa ，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。
①实心圆截面轴；②空心圆截面轴，其内、外半径的比值9.022=R r 。
解：（1）确定实心圆轴的半径。
根据强度条公式可得 max T W ρτ≥ 将实心圆轴的抗扭截面系数32R W ρπ=代入上式得126.73(mm)R ≥= 取 )(271mm R =（2）确定空心圆轴的内、外半径。
将空心圆轴的抗扭截面系数()3412R W ρπα=-代入强度条件式可得238.15(mm)R = 其内半径相应为220.90.938.1534.34(mm)r R ==⨯=取 239(mm)R = 234(mm)r =（3）重量比较。
第六章 材料力学剪切与扭转
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
第六章扭转与弯曲的强度计算
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉绘制剪力图
①分段定形
根据梁受外力和支承情况,全梁可分为AC 和BC两段 两段梁上无均布载荷作用，故FQ图均为水平线
②定点绘图
因两段梁上的剪力图均为水平线，故只需分 别在两段内确定任一横截面上的剪力值。
FQ1
FAy
Gb l
FQ 2
FBy
Ga l
3〉绘制弯矩图
①分段定形 全梁仍可分为两段。且两段梁上无均布 载荷作用，故M图均为斜直线 AC段：FQ＞0，M图直线斜率为正 BC段：FQ＜0，M图直线斜率为负
截面A、B、C处受集中力作用，M图有折角且无突变
②定点绘图 求特殊截面上的弯矩值并绘图
由于梁的两端均无集中力偶作用，故MA=0，MB=0
利用上述规律,可不必列出剪力方程和弯矩方程, 而更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图。
其步骤如下： （1）分段定形
根据梁上载荷和支承情况将梁分成若干段，由各段内 的载荷情况判断剪力图和弯矩图的形状；
（2）定点绘图
求出某些特殊横截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘 制梁的剪力图和弯矩图。
典型例题1
❖ 已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比 例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是 剪切虎克定律。
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
T
IP
M Pa
T — 横截面上的扭矩（N.mm）
工程力学-弯扭组合
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W
FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O
63扭转强度与刚度计算
8
2、强度校核
max1
MT1 WT 1 3000 16 3.14 (75 10 )
3 3
36.2( MPa) [ ]
max 2
MT 2 WT 2
1200 16 3.14 (50 10 )
3 3
48.9( MPa) [ ]
轴的强度足够!
180
7
例题2 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m; m2=1200N.m, G=80GPa,[τ]=80MPa, 1) 试求τmax的值，并作强度校核； 2）若 [θ] =1.5 o /m,试校核其刚度；3）轴的总变形。
m1
m2
50 75
750
50
MT x
-1200N.m -3000N.m
解：1、求内力，作扭矩图
3、刚度校核
1
d M T 1 dx GI P1
MT 2 d dx GI P 2
3000 80109
2
4、总变形
1 3.14 (75103 ) 4 32 1200 180 o 1.402( / m) [ ] 1 80109 3.14 (50103 ) 4 3
扭
转
§6–2 外力偶矩T和内力偶矩MT
§6–3 等直圆轴扭转时的应力和变形 §6–4 圆杆扭转时的强度与刚度计算 §6–5 切应力互等定律的证明 §6–6 矩形截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
2
教学内容：
• 圆杆扭转时的强度和刚度条件；矩形截面等直杆 的自由扭转。
• 教学要求：
注意！ h b 查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。
14
1
第六章 杆的强度计算
zP
i
2 y
z
yP iz2
y
令 = 0，中性轴上点的坐标为y0和z0，有
1
zP
i
2 y
z0
yP iz2
y0
0
end
1
zP
i
2 y
z0
yP iz2
y0
0
此时的中性轴为一不通过形心 的直线，其在y,z轴上的截距分别为
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
中性轴和力的作用点必分居截面形心的两侧， D1 处压应力最大
end
例6-2 铸铁托架，其尺寸如图。今已知其形心坐标 yC = 52mm，惯性矩
Iz=7.63710mm.设铸铁的许用应力[ ]+ =40MPa, [ ]- =120MPa，试按m-m
处的截面尺寸确定其所能承受的最大载荷P 。
解： 由于[ ]+ ≠[ ]- ，故应分别计算
截面的抗拉和抗压截面系数。
end
工程实际中，通常均采用假定计算法，即： ①一方面对联接件的受力和应力分布进行某些简化和作出假定，
从而计算出各部分的名义应力； ②另一方面又对同类联接件进行破坏试验并用同样的计算方法由
破坏载荷确定出材料的名义极限应力； ③再根据实践的经验，针对各种具体情况规定适当的安全系数以
得到材料的许用应力。
z0 I y
变形平面和荷载平面就不重合
end
最大正应力在距离中性轴最远处
D2
max
P
L
c
osj
Iz
y1
s in j
Iy
弯扭合成强度计算公式
弯扭合成强度计算公式
弯扭合成强度计算公式是用于评估材料在受到弯曲和扭转同时作用时的强度。
该公式用于工程领域，尤其是在设计和制造结构件时非常重要。
通过计算弯扭合成强度，工程师可以确定材料的可靠性并确保结构的安全运行。
弯扭合成强度计算公式如下：
σc = √((σb^2) + (τ^2))
其中：
- σc表示弯扭合成强度；
- σb表示弯曲应力；
- τ表示扭转应力。
弯曲应力是由受力物体的内部应力分布产生的，是垂直于截面剪切应力的一个力，常用弯曲矩I和截面模量W计算。
扭转应力是由物体在扭转时所受到的应力，产生于物体截面上的切应力。
弯扭合成强度计算公式的主要思想是将弯曲和扭转应力分量合成为一个等效应力。
这是因为弯曲和扭转会在结构件中同
时产生，可能引起材料破坏。
通过计算并比较弯扭合成强度和材料的强度极限，可以确定结构件是否足够强固以承受外部载荷。
需要注意的是，弯扭合成强度计算公式是根据特定假设和
理论推导得出的，只能用于特定条件下的工程计算。
在实际工程中，还需考虑其他因素，如材料的疲劳性能、环境影响和设计安全系数等。
因此，在进行结构设计时，工程师应综合考虑各种因素，并根据具体情况进行适当调整。
总之，弯扭合成强度计算公式是工程设计中重要的工具，
帮助工程师评估材料的强度。
准确计算弯曲和扭转应力，并合成为弯扭合成强度，能够确保结构件的安全可靠性。
然而，在应用公式时需要注意其适用条件，并对其他因素进行综合考虑，以保证设计的合理性和可靠性。
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Tm a x WP
[ ]
其中实心轴
Wp
d3
16
0.2d 3
空心轴
Wp
D3
16
(1 4 )
( d )
D
❖ 例3 某传动轴所传递的功率P=80kW,其转速 n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应 力[τ]=50MPa ，试校核轴的强度。
解：传动轴的外力偶矩为：
M 9549 P 9549 80 1317.1Ngm
Me=9549 n(Pr(/kmWi)n)(N.m)
2.扭矩与扭矩图
T
x
用平行于轴线的 x
坐标表示横截面的位置，用垂直于 x 轴的坐标T表示横 截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线， 称为扭矩图。
截面法求扭矩
Me
m
Me
T Me 0
T M e Me
扭矩正负规定：
m
T
Me
右手法则
T
例1 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面 的扭矩，并做出扭矩图。
MB
MC
MD
T
MA
x
350N.m 700N.m
1146N.m
结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置不同，轴 所承受的最大扭矩(内力)也就不同。显然，这种布局是 不合理的。
二、圆轴扭转时的应力与强度计算 1.圆轴扭转时的变形特征:
Me
Me
1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化； 各圆周线绕轴线转动了不同的角度。 2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一
解： 求AB、BC段扭矩
TAB= -5kN.m TBC= -1.8kN.m
根据切应力计算公式:
ABmax
TTAB WAB
5106 0.2 803
48.83MPa
BC max
TBC WBC
1.8 106 0.2 503
72MPa
三、 圆轴扭转强度计算 等截面圆轴扭转的强度设计准则
max
1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。
解：1、校核强度
max
T WP
T
0.2D3 (1 4 )
1.5 106
0.2
D3[1
(
D2t D
)4
]
带入数据后得：τmax＝50.33MPa<[τ]＝60MPa;强度足够
2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等)
max
T WP
T ；即 0.2D13
扭转变形的特点： 受力特点：
在垂直于杆件轴线的平面内，作用了一对大小相 等，转向相反，作用平面平行的外力偶矩。 变形特点： 杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。
研究对象： 轴(以扭转变形为主的杆件）
一、扭矩与扭矩图 1.外力偶矩的计算
扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩与作用在轴 上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。
解：1)由外力偶矩的计算 公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为 BC,CA,AD段轴的扭矩。
D1
3
T
0.2 max
3
1.5 106 0.2 50.3
53.03mm
3、两轴重量比
G实心轴 A1L D12 G空心轴 A2 L D 2 d 2
532 3.21 902 852
第三节 弯曲内力
一、平面弯曲的概念
角度 。
平面假设：圆轴扭转变形后各个横截面仍为 平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之 间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论：
1.横截面上各点无轴向变形,故截面上无正应力。
2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生了
剪切变形，故横截面上有切应力存在。
3.各横截面半径不变，所以切应力方向与截面半径方 向垂直。
— 欲求应力的点到圆心的距离（mm）
I p — 截面对圆心的极惯性矩（mm4）
max
T max
IP
T IP
max
T WP
W p为抗扭截面系数( mm
3 )
M Pa
极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小只 与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心圆轴和空 心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算：
由 T1 + M B = 0 得:T1 = -M B =-350N.m
由 M B + M C + T2 =0
得:T2 =-M B -M C =-700N.m 由 M D -T3 = 0
得:T3 = M D = 446N.m
T
3)画扭矩图：
446N.m x
350N.m 700N.m
对于同一根轴来说，若把 主动轮A安置在轴的一端， 例如放在右端，则该轴的 扭矩图为：
n
580
工作切应力的最大值：
max
T WP
M 0.2d 3
1317.1103 0.2 553
39.58MPa [ ] 50MPa
强度足够！
❖ 例4 汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知[τ]=60MPa，若 钢管的外径D＝90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩 T=1.5kN.m.
4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比 例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是 剪切虎克定律。
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
Tmm）
第六章 扭转与弯曲的强度计算
第一节 圆轴扭转时的内力、应力和强度计算
▪ 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（力偶作用面平行于 横截面）
▪ 变形特点：横截面绕轴线 转动
▪ 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩T
T=M
正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系
工程中发生扭转变形的构件
工程中发生扭转变形的构件
实心轴:
Ip
D4
32
0.1D4
Wp
Ip
max
D 3
16
0.2D3
空心轴:
d/D
Ip
D4
32
d 4
32
D4
32
1 4
0.1D4 1 4
Wp
Ip
max
D 3
16
1 4
0.2D3 1 4
例2 如图所示,已知M1=5kNm，M2=3.2kNm，M3=1.8kNm， AB=80mm，BC=50mm。求此轴的最大切应力。